資源簡介

2．2　充分條件、必要條件、充要條件
2.2.1　充分條件、必要條件、充要條件(1)
一、 單項選擇題
1 已知x，y∈R，則“x和y均為有理數(shù)”是“xy為有理數(shù)”的(　　)
A. 充分且不必要條件
B. 必要且不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分又不必要條件
2 “x2＝4”是“x＝－2”的(　　)
A. 充分且不必要條件
B. 必要且不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分又不必要條件
3 (2024唐山期中)已知p：0A. 充分且不必要條件
B. 必要且不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分又不必要條件
4 (2024徐州銅川期中)已知a，b都是自然數(shù)，則“a＋b是偶數(shù)”是“a，b都是偶數(shù)”的(　　)
A. 充分且不必要條件
B. 必要且不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分又不必要條件
5 (2024浙江南太湖聯(lián)盟聯(lián)考)設a，b，c分別是△ABC的三條邊，則“△ABC為直角三角形”是“a2＋b2＝c2”的(　　)
A. 充分且不必要條件
B. 必要且不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分又不必要條件
6 (2024蘇州中學期中)老子《道德經(jīng)》有云“天下難事，必作于易；天下大事，必作于細”，根據(jù)這句話，說明“做容易題”是“做難題”的(　　)
A. 充分且不必要條件
B. 必要且不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分又不必要條件
二、 多項選擇題
7 (2024石家莊二中月考)已知“若p，則q”為真命題，則下列說法中正確的是(　　)
A. p是q的充分條件
B. p不是q的必要條件
C. p的必要條件是q
D. q不是p的充分條件
8 (2024天一中學期中)下列命題中，為真命題的是(　　)
A. “x>4”是“x<5”的既不充分又不必要條件
B. “三角形為正三角形”是“三角形為等腰三角形”的必要且不充分條件
C. “關于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有實數(shù)根”的充要條件是“b2－4ac>0”
D. 設a，b∈R，則“a≠0”是“ab≠0”的必要且不充分條件
三、 填空題
9 已知△ABC，△A1B1C1，則“兩三角形對應角相等”是“△ABC≌△A1B1C1”的________條件．(填“充分且不必要”“必要且不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)
10 (2024杭州四中期末)已知α：－1≤x≤2，β：－2≤x≤2a＋1，若α是β的充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是________．
11 (2024莆田八中期中)已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的必要且不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是________．
四、 解答題
12 指出下列命題中，p是q的什么條件．
(1) p：x＝1，q：|x|＝1；
(2) p：兩直線平行，q：同位角相等；
(3) p：點在角的平分線上，q：點到角的兩邊所在直線的距離相等；
(4) p：斜邊相等，q：兩直角三角形全等．
13 設命題p：實數(shù)x滿足a0；q：實數(shù)x滿足2(1) 若a＝1，且p和q均為真，求實數(shù)x的取值范圍；
(2) 若q是p的充分條件，求實數(shù)a的取值范圍.
2．2.2　充分條件、必要條件、充要條件(2)
一、 單項選擇題
1 (2024安徽A10聯(lián)盟期中)使－1A. －1C. －12 (2024廣東八校聯(lián)盟期中)方程ax2＋5x＋4＝0(a≠0)有兩個異號實根的一個充要條件是(　　)
A. a<0 B. a>0
C. a<2 D. a<－1
3 (2024南通如東、通州期中)“m<2”是“|m－1|<1”的(　　)
A. 充分且不必要條件
B. 充要條件
C. 必要且不充分條件
D. 既不充分又不必要條件
4 “二次函數(shù)y＝x2＋mx＋n的圖象與x軸沒有交點”的充要條件是(　　)
A. m2－4n>0 B. m2－4n<0
C. m2－4n＝0 D. m＝1，n＝2
5 (2024淮陰中學期中)設x，y∈R，則“xy＋1＝x＋y”的充要條件為(　　)
A. x，y至少有一個為1 B. x，y都為1
C. x，y都不為1 D. x2＋y2＝2
6 (2024泰州三中期中)已知p：－2≤x≤5，q：2－2m≤x≤2＋m(m>0)，若p的充分且不必要條件是q，則實數(shù)m的取值范圍為(　　)
A. (－∞，3] B. (0，3]
C. [2，＋∞) D. (0，2]
二、 多項選擇題
7 (2024石家莊二中月考)設全集為R，在下列條件中，滿足B A的充要條件的有(　　)
A. A∩B＝A
B. ( RA)∩B＝R
C. RA RB
D. A∪( RB)＝R
8 下列說法中，正確的是(　　)
A. 若a，b∈R，則“a2＋b2≠0”是“a，b不全為0”的充要條件
B. “>”是“aC. “A∩B≠ ”是“A B”的既不充分又不必要條件
D. “a>b>0”是“an>bn(n∈N，n≥2)”的充要條件
三、 填空題
9 (2024泉州四校期中聯(lián)考)若集合A＝(2，＋∞)，B＝(－∞，m)，則A∪B＝R的一個充分且不必要條件為__________．(用m表示)
10 (2024肇慶廣信中學月考)已知“xa＋1”是“x>2或x<－1”的必要且不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是________．
11 (2024連云港贛榆期中)已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|x≥b－a}，若“a＝2”是“A∩B＝A”的充分條件，則實數(shù)b的取值范圍為________．
四、 解答題
12 已知集合A＝{x|－7(1) 當B＝ 時，求實數(shù)m的取值范圍；
(2) 當B為非空集合時，若“x∈B”是“x∈A”的充分且不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍．
13 (2024咸陽彬州城關中學期中)已知集合P＝{x|1≤x≤2}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．
(1) 是否存在實數(shù)m，使x∈P是x∈S的充要條件？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由；
(2) 是否存在實數(shù)m，使x∈P是x∈S的必要條件？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．
2．2　充分條件、必要條件、充要條件
2.2.1　充分條件、必要條件、充要條件(1)
1. A　若x和y均為有理數(shù)，則xy為有理數(shù)，反之，xy為有理數(shù)，x和y不一定為有理數(shù)，如x＝y(tǒng)＝，滿足xy＝2是有理數(shù)，而x，y均為無理數(shù)，所以“x和y均為有理數(shù)”是“xy為有理數(shù)”的充分且不必要條件．
2. B　當x2＝4時，x＝±2，所以充分性不成立；當x＝－2時，x2＝4，所以必要性成立，所以“x2＝4”是“x＝－2”的必要且不充分條件．
3. A　因為{x|04. B　若a＋b是偶數(shù)，則a，b都是偶數(shù)或a，b都是奇數(shù)，所以“a＋b是偶數(shù)”是“a，b都是偶數(shù)”的必要且不充分條件．
5. B　當a＝5，b＝4，c＝3時，易知△ABC是直角三角形，但a2＋b2≠c2，所以充分性不成立；根據(jù)勾股定理，由a2＋b2＝c2，得△ABC是直角三角形，所以必要性成立，所以“△ABC為直角三角形”是“a2＋b2＝c2”的必要且不充分條件．
6. B　由題意可知“做容易題”不一定能推出“做難題”，但“做難題”一定可以推出“做容易題”，故“做容易題”是“做難題”的必要且不充分條件．
7. AC　因為“若p，則q”為真命題，所以p q，所以p是q的充分條件，q是p的必要條件，故A，C正確；q能否推出p無法判斷，故B，D錯誤．故選AC.
8. AD　對于A，“x>4”與“x<5”互相不能推出，故A正確；對于B，正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，所以“三角形為正三角形”是“三角形為等腰三角形”的充分且不必要條件，故B錯誤；對于C，“關于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有實數(shù)根”的充要條件是“b2－4ac≥0”，故C錯誤；對于D，因為b可以等于零，所以由a≠0不能推出ab≠0，故充分性不成立；由ab≠0可得a≠0且b≠0，所以必要性成立，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要且不充分條件，故D正確．故選AD.
9. 必要且不充分　由兩三角形對應角相等不能推出△ABC≌△A1B1C1；反之，由△ABC≌△A1B1C1可以推出∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1.故“兩三角形對應角相等”是“△ABC≌△A1B1C1”的必要且不充分條件．
10. 　若α是β的充分條件，則集合{x|－1≤x≤2}是集合{x|－2≤x≤2a＋1}的子集，可得2a＋1≥2，解得a≥，所以實數(shù)a的取值范圍是.
11. [3，＋∞)　因為x∈A是x∈B的必要且不充分條件，所以B?A.又A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，所以a≥3.
12. (1) 由|x|＝1，得x＝±1，
所以“x＝1”是“|x|＝1”的充分且不必要條件，
即p是q的充分且不必要條件．
(2) 若兩直線平行，則同位角相等，即充分性成立；反之，若同位角相等，則兩直線平行，即必要性成立，
所以p是q的充要條件．
(3) 若點在角的平分線上，則點到角的兩邊所在直線的距離相等，即充分性成立；
反之，如圖，對于∠AOB，過點P分別作PM⊥OB，PN⊥OA，且PM＝PN，
此時滿足點P到∠AOB的兩邊所在直線的距離相等，但點P不在∠AOB的平分線上，即必要性不成立，
所以p是q的充分且不必要條件．
(4) 若斜邊相等，兩個直角三角形不一定全等，所以充分性不成立；
反之，若兩個直角三角形全等，則斜邊相等，即必要性成立，
所以p是q的必要且不充分條件．
13. (1) 當a＝1時，若命題p為真，則1若命題q為真，則2又p和q均為真，
所以實數(shù)x的取值范圍為(2，3).
(2) 若q是p的充分條件，則即1≤a≤2，
故實數(shù)a的取值范圍為[1，2].
2．2.2　充分條件、必要條件、充要條件(2)
1. B　設A＝(－1，4)，則使－12. A　由題意，得解得a<0.
3. C　由|m－1|<1，得－14. B　由二次函數(shù)y＝x2＋mx＋n的圖象與x軸沒有交點，得m2－4n<0.
5. A　由xy＋1＝x＋y，則(x－1)(y－1)＝0，可得x＝1或y＝1，即x，y至少有一個為1，所以“xy＋1＝x＋y”的充要條件為“x，y至少有一個為1”．
6. D　設集合A＝{x|－2≤x≤5}，集合B＝{x|2－2m≤x≤2＋m，m>0}．因為p的充分且不必要條件是q，所以B是A的真子集，則等號不同時成立，解得07. CD　當A∩B＝A時，A B，不滿足題意，故A錯誤；若( RA)∩B＝R，顯然只有A＝ ，B＝R時成立，不滿足題意，故B錯誤；若 RA RB，則B A，同時若B A，則 RA RB，滿足題意，故C正確；當A∪( RB)＝R時，B A，同時若B A，則A∪( RB)＝R，滿足題意，故D正確．故選CD.
8. ABC　對于A，a，b∈R，若a2＋b2≠0，即必有a，b不全為0，則充分性成立；若a，b不全為0，則同樣有a2＋b2≠0，即必要性成立，故A正確；對于B，由>不能推出a，但是 2>－3，即充分性不成立；由a，比如－2<3，但是<，即必要性不成立，所以“>”是“abn(n∈N，n≥2)不能推出a>b>0，比如a＝1，b＝0，1n>0n(n∈N，n≥2)滿足，但是a>b>0不滿足，所以必要性不滿足，故D錯誤．故選ABC.
9. m>3(m的取值范圍為集合{m|m>2}的真子集即可)　因為集合A＝(2，＋∞)，B＝(－∞，m)，且A∪B＝R，所以m>2，故A∪B＝R的一個充分且不必要條件為m>3.
10. [0，1]　因為“xa＋1”是“x>2或x<－1”的必要且不充分條件，所以集合{x|x>2或x<－1}是集合{x|xa＋1}的真子集，則且等號不同時成立，解得0≤a≤1.
11. (－∞，1]　若A∩B＝A，則A B，所以b－a≤－1，即b≤a－1.因為“a＝2”是“A∩B＝A”的充分條件，所以b≤2－1＝1.故實數(shù)b的取值范圍為(－∞，1].
12. (1) 由B＝{x|2m＋3≤x≤m＋1}＝ ，得2m＋3>m＋1，解得m>－2，
即實數(shù)m的取值范圍為(－2，＋∞).
(2) 由B≠ ，得2m＋3≤m＋1，即m≤－2.
由“x∈B”是“x∈A”的充分且不必要條件，得B?A，
則解得－5綜上，實數(shù)m的取值范圍為(－5，－3).
13. (1) 要使x∈P是x∈S的充要條件，則需使P＝S，
即此方程組無解，
故不存在實數(shù)m，使x∈P是x∈S的充要條件．
(2) 要使x∈P是x∈S的必要條件，則需使S P.
當S＝ 時，1－m>1＋m，解得m<0，滿足題意；
當S≠ 時，1－m≤1＋m，解得m≥0，要使S P，則解得m≤0，所以m＝0.
綜上，存在實數(shù)m，使x∈P是x∈S的必要條件，m的取值范圍是(－∞，0].

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