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2．3　全稱量詞命題與存在量詞命題
2.3.1　全稱量詞命題與存在量詞命題
一、 單項(xiàng)選擇題
1 (2024常州聯(lián)盟學(xué)校月考)下列命題中，是全稱量詞命題的是(　　)
A. x∈R，x2>
B. 存在一個(gè)菱形的四條邊不相等
C. 偶數(shù)的平方是偶數(shù)
D. 有一個(gè)數(shù)不能作為除數(shù)
2 (2024鹽城陳洋中學(xué)期中)下列命題中，是存在量詞命題的是(　　)
A. 所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)
B. x∈R，|x|＋1≥1
C. 對(duì)任意一個(gè)無(wú)理數(shù)x，x2也是無(wú)理數(shù)
D. 有一個(gè)偶數(shù)是素?cái)?shù)
3 (2024東莞七校期中聯(lián)考)下列命題中，是全稱量詞命題且為真命題的是(　　)
A. 梯形是四邊形
B. x∈R，x3＋1≠0
C. x∈R，|x|＋1≥1
D. 存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x2＋2x－3＝0
4 下列存在量詞命題中，是假命題的是(　　)
A. x∈Z，x2－2x－3＝0
B. 至少有一個(gè)x∈Z，使x能同時(shí)被2和3整除
C. 有的三角形沒有外接圓
D. 某些四邊形不存在外接圓
5 (2024浙江9＋1高中聯(lián)盟期中)若命題“ x∈R，x2＋2x＋a<0成立”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A. (－∞，1] B. (－∞，1)
C. [1，＋∞) D. (1，＋∞)
6 命題“ x∈[2，3]，x2－a≤0”是真命題的一個(gè)充分且不必要條件是(　　)
A. a≥9 B. a≤9
C. a≥10 D. a≤10
二、 多項(xiàng)選擇題
7 已知集合 A＝{x|x≥0}，B＝{x|x>1}，則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A. x∈A，x∈B
B. x∈B，x A
C. x∈A，x B
D. x∈B，x∈A
8 (2024遼寧朝陽(yáng)期中)下列命題中，為真命題的是(　　)
A. x∈R，|x|＋|x－1|>0
B. x∈N，(x－1)2>0
C. x∈R，x＋－1<0
D. x∈N，x2－x＋<0
三、 填空題
9 用符號(hào)“ ”或“ ”表示命題：有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x2＋2x＋3＝0：______________．
10 (2024常州金壇期中)若命題“ x∈R，x2＋2x＋a≠0”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．
11 若“ x∈(－∞，a]，x2＝2”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
四、 解答題
12 指出下列命題中，哪些是全稱量詞命題，哪些是存在量詞命題，并判斷其真假．
(1) 任意兩個(gè)等邊三角形都相似；
(2) 存在一個(gè)實(shí)數(shù)，它的絕對(duì)值不是正數(shù)；
(3) 對(duì)任意實(shí)數(shù)x1，x2，若x1(4) 存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得x2＋2x＋3＝0.
13 已知命題p： x∈(0，1)，x＋m－1<0，q： x0∈R，mx＋4x0－1＝0.若p，q均為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
2．3.2　全稱量詞命題與存在量詞命題的否定
一、 單項(xiàng)選擇題
1 (2024海南瓊中中學(xué)期中)若命題p： x0∈N，使x0(x0＋2)是素?cái)?shù)，則命題p的否定為(　　)
A. x0∈N，使x0(x0＋2)不是素?cái)?shù)
B. x∈N，x(x＋2)是素?cái)?shù)
C. x∈N，x(x＋2)不是素?cái)?shù)
D. x0 N，使x0(x0＋2)不是素?cái)?shù)
2 (2025蘇州期末)若命題p： x∈R，x2＋2x>0，則命題p的否定是(　　)
A. x∈R，x2＋2x≤0
B. x∈R，x2＋2x≤0
C. x∈R，x2＋2x>0
D. x R，x2＋2x≤0
3 下列命題的否定中，是真命題的為(　　)
A. 有些實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù)
B. 所有平行四邊形都不是菱形
C. 任意兩個(gè)不全等的等邊三角形都是相似的
D. 3是方程x2－9＝0的一個(gè)根
4 下列命題的否定中，是全稱量詞命題且為真命題的是(　　)
A. x∈R，x2－x＋<0
B. 所有的正方形都是矩形
C. x<0，x2≥0
D. 至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x3＋1＝0
5 (2024揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué)月考)已知命題“ x∈R，使2x2＋(a－1)x＋≤0”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A. (－∞，－1] B. (－1，3)
C. [－1，3] D. (－3，1)
6 某校組織了一次“我勞動(dòng)、我快樂”的主題活動(dòng)，旨在引導(dǎo)學(xué)生以自己的切身感受，體驗(yàn)勞動(dòng)帶來(lái)的樂趣，以促進(jìn)學(xué)生道德品質(zhì)的提高．已知參加此次活動(dòng)的有50人，其中男生30名，女生20名，負(fù)責(zé)人將這些同學(xué)平均分為5個(gè)小組展開活動(dòng)，則命題“存在某個(gè)小組，至少分配到1名女生”的否定是(　　)
A. 存在某個(gè)小組，至少分配到2名女生
B. 任意一個(gè)小組，至少分配到1名女生
C. 任意一個(gè)小組，沒有分配到女生
D. 存在某個(gè)小組，沒有分配到女生
二、 多項(xiàng)選擇題
7 下列說(shuō)法中，正確的是(　　)
A. 若p：能被2整除的數(shù)是偶數(shù)，則 p：存在一個(gè)能被2整除的數(shù)不是偶數(shù)
B. 若p：有些矩形是正方形，則 p：所有的矩形都不是正方形
C. 若p：有的三角形為正三角形，則 p：所有的三角形不都是正三角形
D. 若p： n∈N，2n≤100，則 p： n∈N，2n>100
8 (2024清遠(yuǎn)陽(yáng)山南陽(yáng)中學(xué)期中)下列說(shuō)法中，正確的是(　　)
A. “ n∈N，n2－n＋1＝0”的否定是“ n∈N，n2－n＋1≠0”
B. a∈R，方程x2－ax－1＝0有實(shí)數(shù)根
C. n∈N，n2＋1是4的倍數(shù)
D. “ x∈R，x2＋x＋1<0”的否定是“ x∈R，x2＋x＋1<0”
三、 填空題
9 若命題p： a，b∈R，方程ax2＋b＝0恰有一解，則命題p的否定是_____
_____________________________________________________________________.
10 若命題“存在x∈R，x2－3x＋9a≤0”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
11 若命題p： x∈[1，＋∞)，x2＋1≥m，則命題p的否定是________________
______________________；若p是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_____________．
四、 解答題
12 判斷下列命題是否為全稱量詞命題或存在量詞命題，如果是，寫出這些命題的否定，并說(shuō)明否定的真假，不必證明；如果不是全稱量詞命題和存在量詞命題，則只需判斷命題的真假，并給出證明．
(1) 存在實(shí)數(shù)x，使得x2＋2x＋3≤0；
(2) 有些三角形是等邊三角形；
(3) 方程x2－8x－10＝0的每一個(gè)根都不是奇數(shù)．
13 (2024高郵中學(xué)月考)已知命題p： 2≤x≤3，x2－a≥0，命題q： x∈R，x2＋2x＋2a＝0.
(1) 若命題 p為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2) 若命題p和 q均為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
2．3　全稱量詞命題與存在量詞命題
2.3.1　全稱量詞命題與存在量詞命題
1. C　對(duì)于A，含有“ ”，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，含有存在量詞“存在”，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，命題為所有偶數(shù)的平方是偶數(shù)，是全稱量詞命題，故C正確；對(duì)于D，含有存在量詞“有一個(gè)”，故D錯(cuò)誤．
2. D　對(duì)于A，含有全稱量詞“所有的”，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，含有“ ”，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，含有全稱量詞“任意”，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，含有存在量詞“有一個(gè)”，則該命題為存在量詞命題，故D正確．
3. A　對(duì)于A，是全稱量詞命題且為真命題，故A正確；對(duì)于B，是全稱量詞命題，當(dāng)x＝－1時(shí)，x3＋1＝0，為假命題，故B錯(cuò)誤；C，D都為存在量詞命題，不符合題意．
4. C　對(duì)于A，x＝－1或x＝3滿足題意，是真命題；對(duì)于B，x＝6滿足題意，是真命題；對(duì)于C，所有的三角形都有外接圓，是假命題；對(duì)于D，只有對(duì)角互補(bǔ)的四邊形才有外接圓，是真命題．
5. B　因?yàn)?x∈R，x2＋2x＋a<0成立，所以Δ＝4－4a>0，解得a<1.
6. C　當(dāng)該命題為真命題時(shí)，a≥(x2)max＝9，所以“a≥10”是“a≥9”的一個(gè)充分且不必要條件．
7. AD　因?yàn)榧螦＝{x|x≥0}，B＝{x|x>1}，所以B是A的真子集，所以 x∈A，x∈B或 x∈B，x∈A.故選AD.
8. AC　因?yàn)閨x|≥0，|x－1|≥0，所以|x|＋|x－1|≥0.又x＝0，x＝1不能同時(shí)取得，所以 x∈R，|x|＋|x－1|>0為真命題，故A正確；當(dāng)x＝1時(shí)，(x－1)2＝0，所以 x∈N，(x－1)2>0為假命題，故B錯(cuò)誤；當(dāng)x＝－1時(shí)，x＋－1<0成立，故 x∈R，x＋－1<0為真命題，故C正確；因?yàn)閤2－x＋＝－，x∈N，所以當(dāng)x＝0或x＝1 時(shí)，有最小值，故 x∈N，x2－x＋<0為假命題，故D錯(cuò)誤．故選AC.
9. x∈R，x2＋2x＋3＝0
10. (1，＋∞)　因?yàn)?x∈R，x2＋2x＋a≠0，則x2＋2x＋a＝0在R上無(wú)解，所以4－4a<0，解得a>1.
11. (－∞，－)　由x2＝2，解得x＝－或 x＝.又“ x∈(－∞，a]，x2＝2”是假命題，所以 a<－.
12. (1) 全稱量詞命題，所有的等邊三角形都有三邊對(duì)應(yīng)成比例，該命題是真命題．
(2) 存在量詞命題，存在一個(gè)實(shí)數(shù)零，它的絕對(duì)值不是正數(shù)，該命題是真命題．
(3) 全稱量詞命題，存在x1＝－5(－3)2，該命題是假命題．
(4) 存在量詞命題，因?yàn)閤∈R，則x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，所以使得x2＋2x＋3＝0的實(shí)數(shù)x不存在，該命題是假命題．
13. 因?yàn)槊}p是真命題，
所以x＋m－1<0對(duì)0即m－1<－x對(duì)0當(dāng)0所以m－1≤－1，即m≤0.
因?yàn)槊}q是真命題，
所以關(guān)于x的方程mx2＋4x－1＝0有實(shí)數(shù)根．
當(dāng)m＝0時(shí)，4x－1＝0有實(shí)數(shù)根；
當(dāng)m≠0時(shí)，由題意，得Δ＝16＋4m≥0，解得m≥－4，且m≠0，
綜上，m≥－4.
因?yàn)閜，q均為真命題，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是[－4，0].
2．3.2　全稱量詞命題與存在量詞命題的否定
1. C　由存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，得原命題的否定為“ x∈N，x(x＋2)不是素?cái)?shù)”．
2. B　由題意可知命題p為全稱量詞命題，則該命題的否定為“ x∈R，x2＋2x≤0”．
3. B　對(duì)于A，因?yàn)椴粸?的實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù)，所以有些實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù)為真命題，其否定為假命題，故A不符合題意；對(duì)于B，四條邊都相等的平行四邊形是菱形，所以所有平行四邊形都不是菱形為假命題，其否定為真命題，故B符合題意；對(duì)于C，任意兩個(gè)不全等的等邊三角形都是相似的為真命題，其否定為假命題，故C不符合題意；對(duì)于D，3是方程x2－9＝0的一個(gè)根為真命題，其否定為假命題，故D不符合題意．
4. A　對(duì)于A，命題的否定是 x∈R，x2－x＋≥0，是真命題，也是全稱量詞命題，故A正確；對(duì)于B，命題的否定是有的正方形不是矩形，假命題，也是存在量詞命題，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，命題的否定是 x<0，x2<0，假命題，也是存在量詞命題，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，命題的否定是 x∈R，x3＋1≠0，是假命題，故D錯(cuò)誤．
5. B　因?yàn)槊}“ x∈R，使2x2＋(a－1)x＋≤0”是假命題，所以2x2＋(a－1)x＋>0恒成立，所以Δ＝(a－1)2－4×2×<0，解得－16. C　原命題是存在量詞命題，其否定是“任意一個(gè)小組，沒有分配到女生”．
7. ABD　根據(jù)含有一個(gè)量詞的否定，可判斷A，B，D正確；對(duì)于C，“有的三角形為正三角形”為存在量詞命題，其否定為全稱量詞命題“所有的三角形都不是正三角形”，故C錯(cuò)誤．故選ABD.
8. AB　對(duì)于A，“ n∈N，n2－n＋1＝0”的否定是“ n∈N，n2－n＋1≠0”，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)棣ぃ?－a)2－4×(－1)＝a2＋4>0，所以方程x2－ax－1＝0恒有實(shí)根，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，n2＋1是奇數(shù)不是4的倍數(shù)；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，設(shè)n＝2k＋1，k∈N，n2＋1＝(2k＋1)2＋1＝4k2＋4k＋2，則n2＋1不是4的倍數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，“ x∈R，x2＋x＋1<0”的否定是“ x∈R，x2＋x＋1≥0”，故D錯(cuò)誤．故選AB.
9. a，b∈R，方程ax2＋b＝0無(wú)解或有兩個(gè)解
10. 　由題意，得對(duì)任意的x∈R，x2－3x＋9a>0是真命題，則Δ＝9－36a<0，解得a>，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
11. x∈[1，＋∞)，x2＋12.
12. (1) 存在量詞命題，該命題的否定為對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，x2＋2x＋3>0，為真命題．
(2) 存在量詞命題，該命題的否定為所有的三角形都不是等邊三角形，為假命題．
(3) 全稱量詞命題，該命題的否定為方程x2－8x－10＝0的根至少有一個(gè)是奇數(shù)，為假命題．
13. (1) 因?yàn)槊} p為假命題，所以命題p為真命題，則a≤x2在x∈[2，3]時(shí)恒成立，
所以a≤(x2)min＝4.
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，4].
(2) 由題意，得命題 q： x∈R，x2＋2x＋2a≠0.
因?yàn)?q為真命題，則Δ＝22－8a<0，解得a>.
又由(1)知，當(dāng)命題p為真命題時(shí)，a≤4，
所以當(dāng)命題p和 q均為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

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