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3.2.1　基本不等式的證明
一、 單項選擇題
1 (2024北京八十中期中)已知a>0，則a＋1＋的最小值為(　　)
A. －1 B. 3
C. 4 D. 5
2 (2024高郵中學月考)若a，b，c是互不相等的正數，且a2＋c2＝2bc，則下列關系中可能成立的是(　　)
A. a>b>c B. c>a>b
C. b>a>c D. a>c>b
3 (2024徐州月考)已知x>0，A＝x－2，B＝－，則A與B的大小關系是(　　)
A. A≥B B. A≤B
C. A>B D. A4 (2024菏澤巨野二中月考)設a，b∈R，且aA. < B. >
C. ＋>2 D. >
5 (2024諸暨中學月考)已知a，b為互不相等的正實數，則下列四個數中最大的是(　　)
A.
B.
C.
D.
6 (2024南寧月考)近來牛肉價格起伏較大，假設第一周、第二周的牛肉價格分別為a元/斤，b元/斤，a≠b.已知甲和乙購買牛肉的方式不同，甲每周購買30元的牛肉，乙每周購買6斤牛肉，若甲、乙這兩周購買牛肉的平均單價分別為m1，m2，則下列結論中正確的是(　　)
A. m1＝m2
B. m1>m2
C. m1D. m1，m2的大小無法確定
二、 多項選擇題
7 下列命題中，正確的是(　　)
A. 若a≠0，則a2＋>2
B. 若a<0，則a＋≥－4
C. 若a>0，b>0，則＋≥a＋b
D. 若a<0，b<0，則＋≥2
8 已知正數a，b，則下列不等式中恒成立的是(　　)
A. >
B. (a＋b)≥4
C. a＋b≥2
D. (a＋b)2≥2(a2＋b2)
三、 填空題
9 已知m＝a＋，其中 a>2，n＝4－b2，其中b≠0，則m，n之間的大小關系是________．
10 (2024上海世外中學期中)已知a為正數，比較大小：________4.
11 若0四、 解答題
12 已知a>0，b>0，c>0，求證：
(1) ＋＋≥6；
(2) a(b2＋c2)＋b(a2＋c2)＋c(a2＋b2)≥6abc.
13 (2024廣州黃廣中學等三校聯考)
(1) 已知a>b>0，c；
(2) 已知x，y，z都是正數，求證：(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8xyz.
3.2.1　基本不等式的證明
1. D　由基本不等式可得a＋1＋＝a＋＋1≥2＋1＝5，當且僅當a＝，即a＝2時，等號成立．故a＋1＋的最小值為5.
2. C　因為a，c均為正數，且a≠c，所以a2＋c2>2ac.又a2＋c2＝2bc，所以2bc>2ac.因為c>0，所以b>a，故排除A，B，D.
3. A　因為x>0，A－B＝x－2＋≥2－2＝0，所以A≥B，當且僅當x＝1時，等號成立．
4. C　因為a，故A錯誤；因為ab2，即b2－a2<0.又ab>0，則－＝<0，所以<，故B錯誤；因為a0，>0，且≠，則＋>2＝2，故C正確；因為a0，所以<，故D錯誤．
5. C　因為a，b為互不相等的正實數，由基本不等式可得a2＋b2>2ab，則2(a2＋b2)>a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2，所以>，則>>.由基本不等式可得<＝，所以>>>，所以四個數中最大的是.
6. C　由題意，得m1＝＝≤＝，當且僅當a＝b時，等號成立，m2＝＝≥，當且僅當a＝b時，等號成立．又a≠b，所以m1<7. CD　對于A，a≠0，a2＋≥2＝2，當且僅當a＝±1時，等號成立，故A錯誤；對于B，當 a<0時，a＋＝－≤－4，當且僅當a＝－2時，等號成立，故B錯誤；對于C，因為＋b＋＋a≥2＋2＝2a＋2b，所以＋≥a＋b，當且僅當a＝b時，等號成立，故C正確；對于D，若a<0，b<0，則＋≥2＝2，當且僅當a＝b時，等號成立，故D正確．故選CD.
8. BC　對于A，C，因為a>0，b>0，所以a＋b≥2，所以(a＋b)≥2ab，即≤，當且僅當a＝b時，等號成立，故A錯誤，C正確；對于B，因為a>0，b>0，(a＋b)(＋)＝＋＋2≥2＋2＝4，當且僅當a＝b時，等號成立，故B正確；對于D，(a＋b)2－2(a2＋b2)＝－a2＋2ab－b2＝－(a－b)2≤0，即(a＋b)2≤2(a2＋b2)，當且僅當a＝b時，等號成立，故D錯誤．故選BC.
9. m>n　因為a>2，所以a－2>0，又m＝a＋＝(a－2)＋＋2，所以m≥2＋2＝4，當且僅當a＝3時，等號成立．由b≠0，得b2≠0，所以n＝4－b2<4.綜上，m>n.
10. ≥　因為a>0，所以＝a＋2＋≥2＋2＝4，當且僅當a＝1時，等號成立．
11. x＋y　由基本不等式，得x＋y≥2，x2＋y2≥2xy.因為012. (1) ＋＋＝＋＋＋＋＋＝＋＋＋＋＋，
因為a>0，b>0，c>0，所以＋≥2＝2，＋≥2＝2，＋≥2＝2，當且僅當a＝b＝c時，等號同時成立，
所以＋＋≥6.
(2) 因為b2＋c2≥2bc，a>0，
所以a(b2＋c2)≥2abc，當且僅當b＝c時，等號成立；
因為a2＋c2≥2ac，b>0，
所以b(a2＋c2)≥2abc，當且僅當a＝c時，等號成立；
因為a2＋b2≥2ab，c>0，
所以c(a2＋b2)≥2abc，當且僅當a＝b時，等號成立，
累加，得a(b2＋c2)＋b(a2＋c2)＋c(a2＋b2)≥6abc，當且僅當a＝b＝c時，等號成立．
13. (1) 由c－d>0.
又a>b>0，所以a－c>b－d>0，
所以<.
又e<0，所以>.
(2) 因為x>0，y>0，z>0，
所以x＋y≥2>0，y＋z≥2>0，x＋z≥2>0，當且僅當x＝y＝z時，等號同時成立，
所以(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8＝8xyz.

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