資源簡介

3．2.2　基本不等式的應用(1)
一、 單項選擇題
1 若x>0，則下列關于函數y＝－x－的判斷中正確的是(　　)
A. 最大值為－2 B. 最小值為－2
C. 最大值為2 D. 最小值為2
2 若a，b均為正實數，且a＋2b＝1，則ab的最大值是(　　)
A. B. C. D.
3 (2024婁底期末)已知x>0，則的最小值為(　　)
A. 5 B. 3
C. －5 D. －5或3
4 (2024榆林府谷一中月考)已知實數x滿足0A. 9 B. 18
C. 27 D. 36
5 (2024揚州大學附中月考)設m，n∈(0，＋∞)，且＋＝1，則m＋2n的最小值為(　　)
A. 4 B. 5
C. 4 D. 3＋2
6 (2024連云港期中)設正數x，y滿足x＋2y＝1，則＋的最小值為(　　)
A. 2＋1 B. 3－1
C. ＋1 D. 3＋2
二、 多項選擇題
7 (2024鹽城陳洋中學月考)若x>0，y>0，且x＋y＝4，則下列結論中正確的是(　　)
A. xy的最大值為4
B. ＋的最小值為4
C. x2＋y的最小值為
D. x2＋y不存在最值
8 (2024南通期末)已知x>0，則下列結論中正確的是(　　)
A. x(2－x)的最大值為1
B. 3－x－的最大值為1
C. 的最小值為2
D. x＋的最小值為3
三、 填空題
9 (2024商丘期末)設a>0，則a＋＋1的最小值為________．
10 (2024莆田二十四中期中)已知x<，則y＝＋2x－1的最大值為________．
11 (2024揚州精誠高級中學月考)設x>0，y>0，x＋＝1，則的最大值為________．
四、 解答題
12 (1) 已知x>3，求y＝x＋的最小值，并求取到最小值時x的值；
(2) 已知013 (2024宿遷沭陽期中)已知0(1) 求2x－y的取值范圍；
(2) 若3x＋y＝1，求＋的最小值．
3．2.2　基本不等式的應用(2)
一、 單項選擇題
1 (2024廣安期末)已知一直角三角形的面積為200 cm2，則其兩條直角邊和的最小值為(　　)
A. 20 cm B. 20cm
C. 30 cm D. 40 cm
2 (2024柳州期末)某物流公司為了提高運輸效率，計劃在機場附近建造新的倉儲中心．已知倉儲中心建造費用C(單位：萬元)與倉儲中心到機場的距離S(單位：km)之間滿足的關系為C＝＋2S＋2 000，則當C最小時，S的值為(　　)
A. 2 080 B. 40 020
C. 20 D. 20
3 (2024長沙雅禮教育集團期中)若a>0，b>0，且a＋b＝4，則下列不等式中恒成立的是(　　)
A. 0C. ≤2 D. a2＋b2≤8
4 (2024南通期末)用總長為20m的籬笆圍成一塊矩形菜地，其中一邊空出2m的缺口作為進出通道．若要使菜地的面積最大，則有缺口的一邊的籬笆長為(　　)
A. 2m B. 3m C. 3.5m D. 5.5m
5 某公司租地建倉庫，每月土地費用與倉庫到車站的距離成反比，而每月貨物的運輸費用與倉庫到車站的距離成正比．若在距離車站10 km 處建倉庫，則土地費用和運輸費用分別為2萬元和8萬元，要使兩項費用之和最小，倉庫到車站的距離為(　　)
A. 2 km B. 3 km C. 4 km D. 5 km
6 (2024鹽城五校聯盟期末)對于直角三角形的研究，中國早在商朝時期，就有商高提出了“勾三股四弦五”這樣的勾股定理特例，而西方直到公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯才提出并證明了勾股定理．若一個直角三角形的斜邊長等于6，則這個直角三角形周長的最大值等于(　　)
A. 12 B. 12
C. 6＋6 D.
二、 多項選擇題
7 (2024山東名校考試聯盟調研)已知實數x，y滿足x2＋y2－xy＝4，則下列結論中正確的是(　　)
A. x＋y≤2 B. x＋y≥－4
C. xy≤4 D. xy≥－
8 (2024深圳外國語學校月考)如圖，某小區擬建造一塊矩形綠地，若在AB的中點M的正北方向25m處立起一根旗桿E，在BC的中點N的正東方向40 m處立起一根旗桿F，且E，B，F三點在同一直線上，則該矩形綠地的周長可能為(　　)
A. 40m
B. 60m
C. 80m
D. 90m
三、 填空題
9 (2024南京金陵中學月考)某公司一年需購買某種貨物200t，平均分成若干次進行購買，每次購買的運費為2萬元，一年的總存儲費用數值等于每次的購買噸數數值，則當每次購買該種貨物的噸數是________時，一年的總運費與總存儲費用(單位：萬元)之和最小，最小值是________萬元．
10 (2024淄博一中月考)若對任意的x>0，≤a恒成立，則實數a的取值范圍是________．
11 (2024唐山志嶸高級中學月考)阿基米德有句名言：“給我一個支點，我就能撬起整個地球！”這句話說的便是杠桿原理，即“動力×動力臂＝阻力×阻力臂”．現有一商店使用兩臂不等長的天平稱黃金，一位顧客到店里預購買20g黃金，售貨員先將10g的砝碼放在天平左盤中，取出xg黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將10g的砝碼放在天平右盤中，取yg黃金放在天平左盤中使天平平衡，最后將稱得的xg和yg黃金交給顧客，則顧客購得的黃金重量________20g.(填“大于”“小于”或“等于”)
四、 解答題
12 已知a>0，b>0，且a＋b＝2，求：
(1) a2＋b2的最小值；
(2) ＋的最大值．
13 設矩形ABCD(AB>AD)的周長為20，把△ABC沿AC向△ADC折疊得到△AB1C，AB1交DC于點P，設AB＝x，B1P＝y.
(1) 將y用x表示并求x的取值范圍；
(2) 求△B1CP面積的最大值及相應x的值．
3．2.2　基本不等式的應用(1)
1. A　因為x>0，所以x＋≥2，所以－x－≤－2，當且僅當x＝1時，等號成立，故函數y＝－x－的最大值為－2，沒有最小值．
2. D　因為a，b均為正實數，且a＋2b＝1，所以ab＝≤＝，當且僅當a＝2b，即a＝，b＝時，等號成立，所以ab有最大值.
3. B　由x>0，得＝x＋－1≥2－1＝3，當且僅當x＝，即x＝2時，等號成立，所以的最小值為3.
4. C　因為00，所以＋＝[3x＋(1－3x)]＝15＋＋≥2＋15＝27，當且僅當＝，即x＝時，等號成立．
5. D　因為m，n∈(0，＋∞)，且＋＝1，所以m＋2n＝(m＋2n)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，當且僅當＝，即n＝1＋，m＝1＋時，等號成立．故m＋2n的最小值為3＋2.
6. A　因為x＋2y＝1，所以＋＝＋＝1＋＋≥1＋2＝1＋2，當且僅當＝，即x＝－1，y＝1－時，等號成立．故＋的最小值為2＋1.
7. ABC　對于A，因為4＝x＋y≥2，所以xy≤4，當且僅當x＝y＝2時，等號成立，故A正確；對于B，＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，當且僅當x＝y＝2時，等號成立，故B正確；對于C，D，x2＋y＝(4－y)2＋y＝y2－7y＋16＝＋≥，故C正確，D錯誤．故選ABC.
8. ABD　對于A，令y＝x(2－x)＝－x2＋2x，由二次函數的性質，得當x＝1時，y取得最大值，最大值為1，故A正確；對于B，3－x－＝3－，又x＋≥2，當且僅當x＝1時，等號成立，故3－x－的最大值為1，故B正確；對于C，令y＝＝＋≥2，當且僅當＝時，等號成立，但此時x不為實數，故無法取等號，即無法取到最小值2，故C錯誤；對于D，易知x＋＝x＋1＋－1≥2－1＝3，當且僅當x＝1時，等號成立，故D正確．故選ABD.
9. 5　因為a>0，所以a＋＋1≥2＋1＝5，當且僅當a＝2時，等號成立，所以a＋＋1的最小值為5.
10. 0　因為x<，所以2x－3<0，則3－2x>0，>0，所以y＝＋(2x－3)＋2＝－[＋(3－2x)]＋2.又＋(3－2x)≥2＝2，當且僅當＝3－2x，即x＝1時，等號成立，所以y＝＋(2x－3)＋2＝－[＋(3－2x)]＋2≤－2＋2＝0.故所求最大值為0.
11. 　方法一：因為x>0，y>0，x＋＝1，所以＝1－x>0，即0方法二：因為1＝x＋≥2，所以≤，當且僅當＝x＝時，等號成立．故的最大值為.
12. (1) 因為x>3，所以x－3>0，
則y＝x＋＝x－3＋＋3≥2＋3＝7，當且僅當x－3＝，即x＝5時，等號成立，
故當x＝5時，y的最小值為7.
(2) 因為00，
故x(4－3x)＝·3x(4－3x)≤×＝，當且僅當3x＝4－3x，即x＝時，等號成立，
所以x(4－3x)的最大值為.
13. (1) 因為0所以0<2x<4，－3<－y<0，
所以－3<2x－y<4.
故2x－y的取值范圍為(－3，4).
(2) 因為3x＋y＝1，0所以＋＝(3x＋y)＝4＋＋≥4＋2＝4＋2，當且僅當＝，即x＝，y＝時，等號成立．
故＋的最小值為4＋2.
3．2.2　基本不等式的應用(2)
1. D　設兩條直角邊長分別為a cm，b cm，則ab＝200，即ab＝400.由基本不等式，得a＋b≥2＝40，當且僅當a＝b＝20時，等號成立，故兩條直角邊和的最小值為40 cm.
2. D　因為C＝＋2S＋2 000≥2＋2 000＝2 080，當且僅當＝2S，即S＝20時，等號成立，所以當C最小時，S的值為20.
3. C　對于A，取a＝3，b＝1，滿足a>0，b>0，且a＋b＝4，故A錯誤；對于B，＋＝＋1＝，故B錯誤；對于D，a2＋b2＝32＋12＝10，故D錯誤；對于C，≤＝2，當且僅當a＝b＝2時，等號成立，故C正確．
4. C　設有缺口的一邊的籬笆長為xm，矩形的另一邊長為ym，菜地的面積為Sm2，則2x＋2y＋2＝20，即x＋y＝9，所以(x＋2)＋y＝11，S＝(x＋2)y.由基本不等式，得S＝(x＋2)·y≤＝30.25，當且僅當x＋2＝y＝5.5，即x＝3.5時，S取得最大值30.25，所以當有缺口的一邊的籬笆長為3.5m時，菜地的面積最大．
5. D　設倉庫到車站的距離為xkm，土地費用為y1萬元，運輸費用為y2萬元．由題意，得y1＝，y2＝k2x.因為當x＝10時，y1＝2，y2＝8，所以k1＝20，k2＝，所以費用之和為y＝y1＋y2＝＋≥2＝8，當且僅當＝，即x＝5時，等號成立，故倉庫到車站的距離為5 km時，兩項費用之和最小．
6. C　如圖，在Rt△ABC中，兩條直角邊長為a，b，斜邊長為c＝6，則a2＋b2＝c2＝36.因為2ab≤a2＋b2，所以a2＋2ab＋b2≤2(a2＋b2)＝72，即(a＋b)2≤72，當且僅當a＝b＝3時，等號成立，所以Rt△ABC的周長為a＋b＋c≤6＋6.故這個直角三角形周長的最大值為6＋6.
7. BCD　對于A，B，因為x2＋y2－xy＝4，所以(x＋y)2－4＝3xy.又xy≤，所以(x＋y)2－4≤(x＋y)2，所以(x＋y)2≤16，所以－4≤x＋y≤4.當x＝y＝2時，x＋y＝4；當x＝y＝－2時，x＋y＝－4，故A錯誤，B正確；對于C，D，因為(x＋y)2≥0，所以x2＋y2≥－2xy，所以4＋xy≥－2xy，所以xy≥－，當且僅當或時，等號成立．因為(x－y)2≥0，所以x2＋y2≥2xy，所以4＋xy≥2xy，所以xy≤4，當且僅當x＝y＝±2時，等號成立，故C，D正確．故選BCD.
8. CD　設MB＝xm，BN＝ym.由題意可得△EMB∽△BNF，則＝.又EM＝25m，NF＝40m，所以＝，化簡，得xy＝1 000，所以矩形綠地的周長為2(2x＋2y)≥2×2＝8×10＝80，當且僅當x＝y＝10時，等號成立．故該矩形綠地的周長可能為80m，90m.故選CD.
9. 20　40　設每次購買該種貨物的噸數為xt，則共買次，其中x>0，故一年的總運費與總存儲費用之和為2×＋x＝＋x.由基本不等式可得＋x≥40，當且僅當x＝20時，等號成立，所以當每次購買該種貨物的噸數是20時，一年的總運費與總存儲費用之和最小，最小值是40萬元．
10. 　因為x>0，所以＝≤＝，當且僅當x＝，即x＝1時，等號成立．又對任意的x>0，≤a恒成立，所以a≥.
11. 大于　設天平的左臂長為x1，右臂長為x2，且x1≠x2，則所以因為x2≠x1，所以x＋y＝＋>2＝2×10＝20.
12. (1) 由題意，得a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2×＝＝2，
當且僅當a＝b＝1時，等號成立，
所以a2＋b2的最小值為2.
(2) 由題意，得(＋)2＝a＋b＋2≤2(a＋b)＝4，
則＋≤2，
當且僅當a＝b＝1時，等號成立，
所以＋的最大值為2.
13. (1) 由對稱性可得∠BAC＝∠PAC.
因為∠BAC＝∠ACP，
所以∠PAC＝∠PCA，所以 PA＝PC.
又AB1＝AB＝CD，所以B1P＝DP.
因為B1P＝DP＝y，
所以PA＝PC＝x－y，CB1＝CB＝10－x.
在Rt△B1CP中，由勾股定理，得(10－x)2＋y2＝(x－y)2，化簡可得y＝10－.
由AB>AD可得x>10－x>0，即5所以y＝10－，5(2) S△B1CP＝(10－x)y＝(10－x)(10－)＝5，
因為5當且僅當x＝，即x＝5時，等號成立．
故當x＝5時，△B1CP面積的最大值為25(3－2).

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