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3.3.1　從函數觀點看一元二次方程
一、 單項選擇題
1 設x1，x2是函數y＝6x2－x－2的兩個零點，則＋的值為(　　)
A. 2 B. －2
C. D. －
2 二次函數y＝2x2＋x－1的零點是(　　)
A. ，－1
B. －，1
C. ，(1，0)
D. ，(－1，0)
3 若二次函數y＝x2＋2x＋a沒有零點，則實數a的取值范圍是(　　)
A. (－∞，1) B. (1，＋∞)
C. (－∞，1] D. [1，＋∞)
4 已知函數y＝ax2＋bx＋c(b≠0)的一個零點是－1，則的值為(　　)
A. 1 B. －1
C. 0 D. 2
5 已知關于x的函數y＝x2－2ax－8a2 (a>0)的兩個零點為x1，x2，且x2－x1＝15，則a的值為　(　　)
A. B.
C. D.
6 設m為實數，若二次函數y＝x2－2x＋m在區間(1，＋∞)上有且僅有一個零點，則實數m的取值范圍是(　　)
A. (1，＋∞) B. [1，＋∞)
C. (－∞，1) D. R
二、 多項選擇題
7 如圖是二次函數y＝ax2＋bx＋c圖象的一部分，圖象過點A(－3，0)，對稱軸為直線x＝－1，則下列結論中正確的是(　　)
A. b2>4ac
B. 2a－b＝1
C. a－b＋c＝0
D. 5a8 已知二次函數y＝1－(x－a)(x－b)的左、右零點分別為m，n，則實數a，b，m，n的大小關系可能是(　　)
A. mC. m三、 填空題
9 函數y＝x2＋3x＋m的兩個零點都是負數，則實數m的取值范圍是________．
10 已知函數y＝ax2－2x＋1(x∈R)有兩個零點，一個大于1另一個小于1，則實數a的取值范圍為________．
11 已知函數y＝－3(x－1)2＋k的兩個零點分別為x1，x2，且x＋x＝，則x1＋x2＝________，k＝________．
四、 解答題
12 求下列函數的零點：
(1) y＝2x2－3x－2；
(2) y＝ax2－x－1；
(3) y＝ax2＋bx＋c, 其圖象如圖所示．
13 (2024南通如皋調研)已知二次函數y＝x2－2(m－1)x＋m2－2m－3，其中m為實數．
(1) 求證：對任意實數m，該二次函數有兩個零點；
(2) 設該二次函數在區間(0，＋∞)上有兩個零點為x1，x2，且＋＝，求此二次函數的表達式．
3.3.1　從函數觀點看一元二次方程
1. D　由題意，得x1，x2是方程6x2－x－2＝0的兩個實根．由根與系數的關系，得x1＋x2＝，x1x2＝－，故＋＝＝－.
2. A　二次函數y＝2x2＋x－1的零點就是2x2＋x－1＝0的解，解得x＝或x＝－1.
3. B　由題意知，關于x的方程x2＋2x＋a＝0無解，則Δ＝4－4a<0，即a>1，所以實數a的取值范圍是(1，＋∞).
4. A　由題意，得a(－1)2－b＋c＝0，所以b＝a＋c，所以＝＝1.
5. B　因為x1，x2為方程x2－2ax－8a2＝0(a>0)的兩根，所以x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2.由(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，解得a＝.
6. C　由題意，得二次函數y＝x2－2x＋m的圖象開口向上，對稱軸方程為x＝1，要使二次函數y＝x2－2x＋m在區間(1，＋∞)上有且僅有一個零點，則12－2×1＋m<0，即m<1，所以實數m的取值范圍是(－∞，1).
7. AD　因為二次函數的圖象與x軸交于兩點，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，故A正確；對稱軸方程為x＝－1，即－＝－1，則2a－b＝0，故B錯誤；結合圖象，當x＝－1時，y>0，即a－b＋c>0，故C錯誤；由對稱軸方程為x＝－1，知b＝2a.又函數圖象開口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a8. AC　由y＝1－(x－a)(x－b)可知，二次函數的圖象開口向下，且當x＝a或x＝b時，y＝1>0.因為m，n是方程1－(x－a)(x－b)＝0的兩根，所以當x＝m或x＝n時，y＝0.由二次函數的圖象可知，實數a，b，m，n的關系可能是m圖1 　圖2
9. 　因為函數y＝x2＋3x＋m的兩個零點都是負數，所以解得010. (0，1)　函數y＝ax2－2x＋1(x∈R)有兩個零點，則a≠0.因為一個大于1另一個小于1，且當x＝0時，y＝1>0，所以或解得011. 2　　令y＝0，則－3x2＋6x－3＋k＝0，所以x1＋x2＝2，x1x2＝，所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4＋＝，解得k＝.
12. (1) 由2x2－3x－2＝0，解得x1＝2，x2＝－，
所以函數y＝2x2－3x－2的零點為2和－.
(2) 當a＝0時，y＝－x－1，由－x－1＝0，得x＝－1，所以函數的零點為－1；
當a≠0時，由ax2－x－1＝0，得Δ＝1＋4a，
①當Δ<0，即a<－時，方程無實數根，則函數無零點；
②當Δ＝0，即a＝－時，x1＝x2＝－2，則函數有唯一的零點－2；
③當Δ>0，即a>－且a≠0時，由ax2－x－1＝0，得x＝，
則函數有兩個零點和.
綜上，當a＝0時，函數的零點為－1；當a＝－時，函數的零點為－2；當a>－且a≠0時，函數有兩個零點和；當a<－時，函數無零點．
(3) 因為函數的圖象與x軸的交點的橫坐標為－3和1，
所以該函數的零點為－3和1.
13. (1) 由題意，得Δ＝4(m－1)2－4(m2－2m－3)＝16>0，
所以對任意實數m，該二次函數有兩個零點．
(2) 因為該二次函數在區間(0，＋∞)上有兩個不同的零點，所以
則解得m>3.
因為＋＝，所以＝，解得m＝5，
所以該二次函數的表達式為y＝x2－8x＋12.

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