資源簡介

3．3.2　從函數觀點看一元二次不等式(1)
一、 單項選擇題
1 二次函數y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分對應值如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
則不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(　　)
A. {x|－2B. {x|x<－2或x>3}
C. {x|－2D. {x|x<－2或x>6}
2 (2024揚州精誠高級中學月考)不等式－6x2－5x＋6>0的解集為(　　)
A.
B.
C.
D.
3 (2024浙江開化中學月考)不等式≥0的解集為(　　)
A.
B.
C. (－∞，－1]∪[2，＋∞)
D. (－∞，－1)∪
4 (2024鹽城阜寧期末)設x∈R，則“|x－2|>3”是“x2－5x－6>0”的(　　)
A. 充分且不必要條件
B. 必要且不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分又不必要條件
5 (2024北京交大附中期中)若關于x的不等式ax－b>0的解集為{x|x>1}，則關于x的不等式>0的解集為(　　)
A. {x|x<－2或x>1} B. {x|1C. {x|x<－1或x>2} D. {x|－26 若a，a2，a3是一個三角形的三邊長，則實數a的取值范圍是(　　)
A. (，) B. (，)
C. (，) D. (，)
二、 多項選擇題
7 下列說法中，正確的是(　　)
A. 不等式x2－12x＋20>0的解集為{x|x<2或x>10}
B. 不等式x2－5x＋6<0的解集為{x|2C. 不等式9x2－6x＋1>0的解集為R
D. 不等式－2x2＋2x－3>0的解集為
8 (2024乳山銀灘高級中學期中)使得≤1成立的一個充分且不必要條件是(　　)
A. －2C. －2≤x<2 D. －1三、 填空題
9 關于x的不等式≥1的解集為________．
10 已知不等式3x－2－x2<0的解集是A，集合B＝{x|x－a<0}，且B A，則A＝________，實數a的取值范圍是________．
11 已知不等式ax2＋bx＋1>0的解集為{x|－2四、 解答題
12 解下列不等式：
(1) 2x2＋3x－2>0；
(2) x2－4x＋4>0；
(3) －x2＋2x－3<0.
13 解下列不等式：
(1) <0；
(2) <1.
3．3.2　從函數觀點看一元二次不等式(2)
一、 單項選擇題
1 (2024連云港惠澤高級中學月考)若不等式ax2＋bx－3<0的解集是(－∞，1)∪(3，＋∞)，則b－a的值是(　　)
A. －3 B. 3 C. －5 D. 5
2 已知關于x的不等式組的解集不是空集，則實數a的取值范圍是(　　)
A. (－1，3)
B. (－∞，－1)∪(3，＋∞)
C. (－3，1)
D. (－∞，－3)∪(1，＋∞)
3 若“－1A. (－∞，1]∪[2，＋∞)
B. (－2，－1)
C. [－2，－1]
D. (－∞，－2]∪[－1，＋∞)
4 在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積不小于300 m2的內接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x(單位：m)的取值范圍是(　　)
A. [15，30] B. [12，25]
C. [10，30] D. [20，30]
5 (2024泰安一中月考)已知關于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集為{x|－1A. B. {x|－2C. {x|－16 (2024常熟期中)常熟“叫花雞”，又稱“富貴雞”，既是常熟的特產，也是聞名四海的佳肴，以其鮮美、香噴、酥嫩著稱．雙十一購物節來臨，某店鋪制作了300只“叫花雞”，若每只“叫花雞”的定價是40元，則均可被賣出；若每只“叫花雞”在定價40元的基礎上提高x(x∈N*)元，則被賣出的“叫花雞”會減少5x只．要使該店鋪的“叫花雞”銷售收入超過12 495元，則該店鋪的“叫花雞”每只定價應為(　　)
A. 48元 B. 49元
C. 51元 D. 50元
二、 多項選擇題
7 某自來水廠的蓄水池存有400 t水，水廠每小時可向蓄水池中注水60 t，同時蓄水池又向居民小區不間斷供水，x h內供水總量為120(0≤x≤24)，則下列說法中正確的是(　　)
A. 蓄水池中的存水量最少為60 t
B. 從供水開始到第6個小時時蓄水池中的存水量最少
C. 從供水開始到第4個小時時蓄水池中的存水量多于80 t
D. 在一天的24h內，有8個小時蓄水池中的存水量少于80 t
8 (2024汕頭潮陽河溪中學期中)已知不等式ax2＋bx－6<0的解集為{x|－3A. a<0
B. x＝－3和x＝2是方程ax2＋bx－6＝0的兩個實數根
C. b＝－1
D. 不等式x2－bx－2a≥0的解集為{x|x≤－1或x≥2}
三、 填空題
9 (2024河南名校大聯考)已知a，b，c為常數，若不等式≥0的解集為[－1，1)，則不等式ax＋b<0的解集為________．
10 已知不等式x2－2x－3＜0的解集為A，不等式x2＋x－6＜0的解集為B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集是A∩B，則A∪B＝________，a＋b＝________．
11 (2024揭陽三中期中)某種襯衫進貨價為每件30元，若以40元一件出售，則每天能賣出40件；若每件提價1元，則每天賣出件數將減少1件，為使每天出售襯衫的凈收入不低于525元，則每件襯衫的售價的取值范圍是________．
四、 解答題
12 (2024常州期中)已知關于x的不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集為(－∞，1)∪(2，＋∞).求：
(1) 不等式bx＋c>0的解集；
(2) 不等式cx2＋bx＋a<0的解集．
13 (2024福州高級中學月考)實行垃圾分類、保護生態環境人人有責．某企業新建了一座垃圾回收利用工廠，于今年年初用98萬元購進一臺垃圾回收分類生產設備，并立即投入生產使用．該設備使用后，每年的總收入為50萬元．若該設備使用x年，則其所需維修保養費用x年來的總和為(2x2＋10x)萬元，設該設備產生的盈利總額(純利潤)為y萬元．
(1) 寫出y與x之間的函數關系式，并求該設備使用幾年后，其盈利總額開始達到52萬元以上；
(2) 該設備使用幾年后，其年平均盈利額達到最大？最大值是多少？(年平均盈利額＝)
3．3.2　從函數觀點看一元二次不等式(3)
一、 單項選擇題
1 (2024廣州五中期中)使“不等式mx2＋x＋m>0在R上恒成立”的實數m的取值范圍為(　　)
A. B. (0，1)
C. D. (1，＋∞)
2 設m＋n>0，則關于x的不等式(m－x)·(n＋x)>0的解集是(　　)
A. {x|－nB. {x|x<－n或x>m}
C. {x|－mD. {x|x<－m或x>n}
3 已知關于x的方程2kx2－2x－5k－2＝0的兩個實數根一個小于1，另一個大于1，則實數k的取值范圍是(　　)
A. (0，＋∞)
B.
C.
D. ∪(0，＋∞)
4 (2024宿州碭山七校期中聯考)對于任意的x，y∈R，定義運算：x⊙y＝x(y＋2).若不等式x⊙(x＋a)＋4>0對任意實數x恒成立，則實數a的取值范圍是(　　)
A. (－2，6) B. (－6，2)
C. (－6，6) D. (－2，2)
5 (2024南菁高級中學月考)若關于x的不等式x2－(1＋2a)x＋2a<0的解集中恰有2個整數，則實數a的取值范圍是(　　)
A. [－2，－1)∪(3，4]
B. [－2，－1]∪[3，4]
C. ∪
D. ∪
6 (2024常州橫山橋高級中學月考)“ x∈[－1，2]，x2－2a≤0”的一個充分且不必要條件是(　　)
A. a≥0 B. a≥1
C. a≥2 D. a≥3
二、 多項選擇題
7 (2024鹽城陳洋中學期中)若不等式x2＋bx＋c≥2x＋b對任意的x∈R恒成立，則下列說法中正確的是(　　)
A. b2－4c＋4≤0 B. b≤0
C. c≥1 D. b＋c≥0
8 設集合A＝{x|x2＋2x－3>0}，B＝{x|x2－2ax－1≤0}，則下列說法中正確的有(　　)
A. 當a＞0時，若A∩B中恰含有一個整數，則a∈
B. 若A∩B＝ ，則a∈
C. 若A∪B＝R，則a∈
D. a∈R，有A∪B≠R
三、 填空題
9 (2024廣州五中期中)已知關于x的不等式ax2＋(2－4a)x－8>0，則當a>0時，不等式的解集為________．
10 (2024南京勵志高級中學調研)已知關于x的不等式x2－2ax－a>0的解集為R，則實數a的取值范圍是________．
11 (2024上海大同中學期末)設a∈R，若關于x的不等式x2－ax<0的解集是區間(0，1)的真子集，則實數a的取值范圍是________．
四、 解答題
12 (2024廣州期中)設函數y＝ax2＋x－b(a∈R，b∈R).
(1) 若b＝1，且集合{x|y＝0}中有且只有一個元素，求實數a的取值集合；
(2) 解關于x的不等式y<(a－1)x2＋(b＋2)x－2b.
13 (2024安陽龍安高級中學期中)已知關于x的不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0).
(1) 若不等式的解集為{x|x<－3或x>－2}，求實數k的值；
(2) 若關于x的不等式kx2－2x＋6k<0恒成立，求實數k的取值范圍．
3．3.2　從函數觀點看一元二次不等式(1)
1. B　由表格可知，函數過點(－2，0)，(3，0)，(0，－6)，可設二次函數為y＝a(x＋2)(x－3).將(0，－6)代入，得－6a＝－6，即a＝1，即y＝(x＋2)(x－3)，故(x＋2)(x－3)>0，解得x<－2或 x>3.
2. B　由－6x2－5x＋6>0，得6x2＋5x－6<0，即<0，解得－0的解集為.
3. D　由≥0，得解得x≥或x<－1，所以不等式的解集為(－∞，－1)∪.
4. B　因為|x－2|>3，所以x－2<－3或x－2>3，解得x<－1或x>5，所以不等式|x－2|>3的解集為{x|x<－1或x>5}．因為x2－5x－6>0，所以(x－6)(x＋1)>0，解得x<－1或x>6，所以不等式x2－5x－6>0的解集為{x|x<－1或x>6}．又{x|x<－1或x>6}是{x|x<－1或x>5}的真子集，所以“|x－2|>3”是“x2－5x－6>0”的必要且不充分條件．
5. C　因為不等式ax－b>0的解集為{x|x>1}，所以a＝b>0，所以不等式>0等價于>0，即(x＋1)·(x－2)>0，解得x<－1或x>2，所以關于x的不等式>0的解集為{x|x<－1或x>2}．
6. A　由題意知，a，a2，a3是一個三角形的三邊長，故有a>0，所以即解得故7. ABD　對于A，不等式x2－12x＋20>0的解集為{x|x<2或x>10}，故A正確；對于B，不等式x2－5x＋6<0的解集為{x|20的解集為，故C錯誤；對于D，不等式－2x2＋2x－3>0，即＋<0，解集為 ，故D正確．故選ABD.
8. AD　由≤1，得(x－2)(x＋2)≤0(x≠2)，解得－2≤x<2，所以使得≤1成立的一個充分且不必要條件是[－2，2)的真子集即可，結合選項可知A，D符合．故選AD.
9. {x|010. {x|x<1或x>2}　(－∞，1]　由題意，得A＝{x|3x－2－x2<0}＝{x|x2－3x＋2>0}＝{x|x<1或 x>2}，B＝{x|x11. －　由題意，易知－2，7是ax2＋bx＋1＝0的兩個根，則解得對于y＝x2＋bx＋a，其所有零點之和為－b＝－.
12. (1) 因為Δ>0，方程2x2＋3x－2＝0的根是x1＝，x2＝－2，
所以不等式2x2＋3x－2>0的解集為{x|x<－2或x>}．
(2) 因為Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的根是x1＝x2＝2，
所以不等式x2－4x＋4>0的解集為{x|x≠2}．
(3) 原不等式可化為x2－2x＋3>0，
因為Δ<0，方程x2－2x＋3＝0無解，
所以不等式－x2＋2x－3<0的解集為R.
13. (1) <0等價于(x－3)(x＋7)<0，解得－7(2) 由<1，得－1<0，即<0，等價于(x－10)(x＋7)<0，解得－73．3.2　從函數觀點看一元二次不等式(2)
1. D　由題意，得x＝1和x＝3是方程ax2＋bx－3＝0的根，且a<0，則解得a＝－1，b＝4，所以b－a＝5.
2. A　由題意，得a2＋1a2＋1，即a2－2a－3<0，解得－13. C　由(x－a)(x－3－a)≤0可得a≤x≤a＋3.因為“－14. C　設矩形的另一邊長為y m，則由三角形相似知，＝，所以y＝40－x.因為xy≥300，所以x(40－x)≥300，即x2－40x＋300≤0，解得 10≤x≤30.
5. A　由題意，得x＝－1和x＝2是方程ax2＋bx＋2＝0的兩個根，且a<0，則解得a＝－1，b＝1，所以不等式2x2＋bx＋a<0，即2x2＋x－1<0，解得－16. D　由題意可得(40＋x)(300－5x)>12 495，整理，得x2－20x＋99<0，解得97. BD　設x h后蓄水池中的水量為y t，則y＝400＋60x－120.設＝u，則u2＝6x(u∈[0，12])，所以y＝400＋10u2－120u＝10(u－6)2＋40.因為u∈[0，12]，所以當u＝6，即x＝6時，ymin＝40，即從供水開始到第6個小時時，蓄水池中的存水量最少，為40 t，故A錯誤，B正確；令400＋10u2－120u＞80，即u2－12u＋32＞0，解得u＜4或u＞8，所以0≤x＜或＜x≤24，故C錯誤；由400＋10u2－120u＜80，得8. BD　由題意知，x＝－3和x＝2是方程ax2＋bx－6＝0的兩個實數根，則解得a＝1，b＝1，故A，C錯誤，B正確；不等式x2－bx－2a≥0，即x2－x－2≥0，可得解集為{x|x≤－1或x≥2}，故D正確．故選BD.
9. (1，＋∞)　因為不等式≥0的解集為[－1，1)，所以＝－1，c＝1，且a<0.由ax＋b<0可得x>－，即x>1，所以不等式ax＋b<0的解集為(1，＋∞).
10. {x|－3＜x＜3}?。?　由題意，得A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}，則A∩B＝{x|－1＜x＜2}，A∪B＝{x|－3＜x＜3}．由根與系數的關系可得a＝－1，b＝－2，所以a＋b＝－3.
11. [45，65]　設每件襯衫提價x元，則每件襯衫的售價為(40＋x)元，則每天出售襯衫的凈收入(單位：元)為(40＋x－30)(40－x)＝－(x－15)2＋625.由題意，得－(x－15)2＋625≥525，整理，得(x－25)(x－5)≤0，解得5≤x≤25，所以45≤40＋x≤65.故每件襯衫的售價的取值范圍是[45，65].
12. (1) 因為關于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集為(－∞，1)∪(2，＋∞)，
所以a>0，且x＝1和x＝2是方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根，
則－＝3，＝2，所以b＝－3a，c＝2a，
所以不等式bx＋c>0可化為－3ax＋2a>0.
因為a>0，所以－3x＋2>0，解得x<，
所以不等式bx＋c>0的解集為.
(2) 由(1)知，b＝－3a，c＝2a，
則不等式cx2＋bx＋a<0可化為2ax2－3ax＋a<0.
因為a>0，所以2x2－3x＋1<0，即(2x－1)(x－1)<0，解得所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集為.
13. (1) 由題意，得y＝50x－(2x2＋10x)－98＝－2x2＋40x－98，x>0.
由－2x2＋40x－98≥52，得x2－20x＋75≤0，解得5≤x≤15，
所以該設備使用5年后，盈利總額開始達到52萬元以上．
(2) 由(1)可得平均盈利額為＝－2＋40≤－2×2＋40＝12，
當且僅當x＝，即x＝7時，等號成立，
所以該設備使用7年后，其年平均盈利額達到最大，最大值為12萬元．
3．3.2　從函數觀點看一元二次不等式(3)
1. A　由題意，得若m＝0，則x>0，不符合題意；若m≠0，則解得m>.綜上，實數m的取值范圍為.
2. A　方程(m－x)(n＋x)＝0的兩根為x＝m和x＝－n.因為m＋n>0，所以m>－n，結合函數y＝(m－x)(n＋x)的圖象，得原不等式的解集是{x|－n3. D　令y＝2kx2－2x－5k－2，當k＞0時，開口向上的拋物線與x軸的兩個交點，一個在點(1，0)的左邊，一個在點(1，0)的右邊，所以當x＝1時，y＜0，即2k－2－5k－2＜0，解得k＞－，所以 k＞0；當k＝0時，y＝0只有一個實根，不符合題意；當k＜0時，開口向下的拋物線與x軸的兩個交點，一個在點(1，0)的左邊，一個在點(1，0)的右邊，所以當x＝1時，y＞0，即2k－2－5k－2＞0，解得k＜－.綜上所述，實數k的取值范圍是∪(0，＋∞).
4. B　由題意，得x⊙(x＋a)＋4＝x(x＋a＋2)＋4＝x2＋(a＋2)x＋4>0對任意實數x恒成立，則Δ＝(a＋2)2－16<0，解得－65. C　由x2－(1＋2a)x＋2a<0可得(x－1)(x－2a)<0，當a＝時，(x－1)(x－2a)＝(x－1)2≥0，則原不等式無解，不滿足題意；當a>時，解得16. D　若 x∈[－1，2]，x2－2a≤0，則a≥對任意x∈[－1，2]恒成立，即a≥.由x∈[－1，2]可得0≤x2≤4，所以0≤≤2，所以a≥2.因為{a|a≥3}是{a|a≥2}的真子集，所以D符合題意．
7. ACD　x2＋bx＋c≥2x＋b可化為x2＋(b－2)x＋c－b≥0，則Δ＝(b－2)2－4(c－b)＝b2－4c＋4≤0，故A正確；當b＝1，c＝2時，滿足Δ≤0，即原不等式成立，故B錯誤；由Δ≤0，得c≥＋1，所以c≥1，故C正確；b＋c≥＋b＋1＝≥0，故D正確．故選ACD.
8. ABD　A＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x<－3或x>1}，函數y＝x2－2ax－1圖象的對稱軸為直線x＝a，當a＞0時，若x＝－3，則y＝6a＋8>0，根據對稱性知，要使A∩B中恰含有一個整數，則這個整數解為2，所以當x＝2時，y＝4－4a－1≤0，且當x＝3時，y＝9－6a－1＞0，所以≤a<，故A正確；在函數y＝x2－2ax－1中，Δ＝4a2＋4＞0.因為A∩B＝ ，所以對稱軸x＝a∈(－3，1)，當x＝－3時，y＝9＋6a－1≥0，且當x＝1時，y＝1－2a－1≥0，所以a∈，故B正確；因為函數y＝x2－2ax－1的圖象開口向上，若 A∪B＝R，則當x＝－3時，y＝9＋6a－1≤0，且當x＝1時，y＝1－2a－1≤0，所以a不存在，故D正確，C錯誤．故選ABD.
9. ∪(4，＋∞)　由ax2＋(2－4a)x－8>0，得(ax＋2)(x－4)>0.因為a>0，所以(x－4)>0，解得x>4或x<－，所以不等式的解集為∪(4，＋∞).
10. (－1，0)　因為關于x的不等式x2－2ax－a>0的解集為R，所以Δ＝4a2＋4a<0，解得－111. [0，1)　不等式x2－ax<0可化為x(x－a)<0，當a>0時，不等式的解集為(0，a)，由不等式的解集是區間(0，1)的真子集，可得012. (1) 由題意，得y＝ax2＋x－1(a∈R).
因為集合{x|y＝0}中有且只有一個元素，
所以方程ax2＋x－1＝0有且僅有一個根．
當a＝0時，x－1＝0，即x＝1，則{x|y＝0}＝{1}，滿足題意；
當a≠0時，Δ＝1＋4a＝0，即a＝－，則{x|y＝0}＝{2}，滿足題意，
所以實數a的取值集合為.
(2) 由題意，得ax2＋x－b<(a－1)x2＋(b＋2)x－2b，整理，得(x－b)(x－1)<0，
當b<1時，解得b當b＝1時，無解；
當b>1時，解得1綜上，當b<1時，原不等式的解集為{x|b1時，原不等式的解集為{x|113. (1) 由題意，得x1＝－3和x2＝－2是方程kx2－2x＋6k＝0的兩個實數根，
則(－3)＋(－2)＝，解得k＝－.
(2) 由題意，得k<0且Δ＝(－2)2－4×k×6k<0，解得k<－.
故實數k的取值范圍是.

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