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第2章　常用邏輯用語 本 章 復 習
一、 單項選擇題
1 命題“所有能被5整除的整數都是奇數”的否定是(　　)
A. 所有能被5整除的整數都不是奇數
B. 所有奇數都不能被5整除
C. 存在一個能被5整除的整數不是奇數
D. 存在一個奇數，不能被5整除
2 “a＝1”是“ab＋1＝a＋b”的(　　)
A. 充分且不必要條件
B. 必要且不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分又不必要條件
3 “m>2”是命題“ x∈R，x2＋2(m－1)x＋m2－1>0”的(　　)
A. 充分且不必要條件
B. 必要且不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分又不必要條件
4 (2024廈門翔安一中期中)已知集合A＝{x|－1A. [2，＋∞) B. (－∞，2]
C. (2，＋∞) D. (－2，2)
5 (2024安康月考)關于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有實數解的一個必要且不充分條件是(　　)
A. m< B. m≤
C. m<－ D. m<
6 (2024興化中學月考)已知集合A＝{x|0≤x≤a}，B＝{x|m2＋3≤x≤m2＋4}，若命題“ m∈R，A∩B≠ ”為假命題，則實數a的取值范圍為(　　)
A. (－∞，3) B. (－∞，4)
C. (1，5) D. (0，4)
二、 多項選擇題
7 (2024鎮江實驗高級中學月考)下列說法中，正確的是(　　)
A. x，y∈R，x2＋y2－4x＋2y＋5＝0
B. 梯形的對角線不相等
C. 自然數集N中最小的數是0
D. 空集是任何集合的真子集
8 (2024臨沂期中)下列結論中，正確的是(　　)
A. 命題“ x∈R，3x2－2x－1<0”的否定是“ x∈R，3x2－2x－1≥0”
B. 若“ x∈R，x2－2x－a<0”為假命題，則a≥－1
C. 設a，b∈R，則“a2>b2”的充分且不必要條件是“a>b”
D. x∈{y|y是無理數}，x2是無理數
三、 填空題
9 已知集合A＝{x|－110 已知集合A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}, x，y∈Z，則“x，y∈A”是“x＋y∈B”的________________條件．(填“充分且不必要”“必要且不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)
11 (2024河北文安一中月考)已知集合A＝{x|0四、 解答題
12 已知命題p： x∈R，x2－2ax＋a2＋a－2＝0為真命題．
(1) 求實數a的取值范圍；
(2) 命題q：m≤a≤m＋1，若p是q的必要且不充分條件，求實數m的取值范圍．
13 已知a∈R，命題p： x∈(1，2)，(a－2)x－1>0；q： x∈R，x2＋ax＋4>0.
(1) 寫出p的否定，并求當p的否定為真命題時，實數a的取值范圍；
(2) 若p，q中有且僅有一個為真命題，求實數a的取值范圍．
本 章 復 習
1. C　全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，而選項A，B是全稱量詞命題，故A，B錯誤；因為“所有能被5整除的整數都是奇數”的否定是“存在一個能被5整除的整數不是奇數”，故D錯誤，C正確．
2. A　由ab＋1＝a＋b，知(a－1)(b－1)＝0，則a＝1或b＝1，所以“a＝1”是“ab＋1＝a＋b”的充分且不必要條件．
3. A　若 x∈R，x2＋2(m－1)x＋m2－1>0，則4(m－1)2－4(m2－1)<0，解得m>1.因為(2，＋∞)?(1，＋∞)，所以由m>2能推得出 x∈R，x2＋2(m－1)x＋m2－1>0，即充分性成立；由 x∈R，x2＋2(m－1)x＋m2－1>0推不出m>2，即必要性不成立．故“m>2”是命題“ x∈R，x2＋2(m－1)x＋m2－1>0”的充分且不必要條件．
4. C　若x∈A是x∈B成立的充分條件，則A B，所以m＋1>3，解得m>2.
5. A　因為關于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有實數解，所以Δ＝1－4m≥0，解得m≤，結合選項可知m≤的一個必要且不充分條件是m<.
6. A　因為命題“ m∈R，A∩B≠ ”為假命題，所以命題“ m∈R，A∩B＝ ”為真命題．因為集合A＝{x|0≤x≤a}，B＝{x|m2＋3≤x≤m2＋4}，所以當A＝ 時，a<0，此時A∩B＝ 成立；當A≠ 時，a≥0，因為 m∈R，A∩B＝ ，所以a7. AC　對于A，因為x2＋y2－4x＋2y＋5＝(x－2)2＋(y＋1)2＝0，所以當x＝2，y＝－1時，等號成立，故A正確；對于B，等腰梯形的對角線相等，故B錯誤；對于C，自然數集N中的最小的數是0，故C正確；對于D，空集是任何非空集合的真子集，故D錯誤．故選AC.
8. AD　對于A，由全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，可知A正確；對于B，由題意可知命題“ x∈R，x2－2x－a≥0”為真命題，則Δ＝(－2)2＋4a≤0，解得a≤－1，故B錯誤；對于C，a>b，不能推出a2>b2，例如，a＝1，b＝－2，反之，a2>b2也不能推出a>b，例如，a＝－2，b＝1，所以a>b是a2>b2的既不充分又不必要條件，故C錯誤；對于D，x＝是無理數，x2＝也是無理數，故D正確．故選AD.
9. (－1，＋∞)　當a＝－2時，B＝{x|－2－1.
10. 既不充分又不必要　設x＝2n1，y＝2n2，n1，n2∈Z，則x＋y＝2(n1＋n2)，當n1＋n2為奇數時，x＋y B，當n1＋n2為偶數時，x＋y∈B，故充分性不成立；設x＝1，y＝3，則x＋y∈B，但x，y A，故必要性不成立，故“x，y∈A”是“x＋y∈B”的既不充分又不必要條件．
11. [1，＋∞)　由x∈A是x∈B成立的一個充分且不必要條件，得A?B，所以a＋1≥2，解得a≥1.故實數a的取值范圍是[1，＋∞).
12. (1) 由命題p是真命題，
可得Δ＝4a2－4(a2＋a－2)≥0，
整理，得a－2≤0，解得a≤2，
所以實數a的取值范圍是(－∞，2].
(2) 由(1)知，a≤2，
設A＝{a|a≤2}，B＝{a|m≤a≤m＋1}，
由p是q的必要且不充分條件，可得B?A，
所以m＋1≤2，解得m≤1.
所以實數m的取值范圍是(－∞，1].
13. (1) 由題意，得p的否定為“ x∈(1，2)，(a－2)x－1≤0.
若p的否定為真命題”，
則a－2≤對任意x∈(1，2)恒成立，
所以a－2≤，解得a≤.
故實數a的取值范圍是.
(2) 由(1)可得，當p的否定為真命題時，a≤，所以當p為真命題時，a>.
若q為真命題，則 x∈R，x2＋ax＋4>0恒成立，
所以Δ＝a2－16<0，解得－4①若p為真命題，q為假命題，
則或解得a≥4；
②若p為假命題，q為真命題，
則解得－4綜上，實數a的取值范圍是∪[4，＋∞).

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