資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
第十章 數(shù)的開方
專題10.1 平方根
基礎(chǔ)知識夯實
知識點01 平方根
1.平方根
如果一個數(shù)的平方等于，那么這個數(shù)叫做的平方根.
2．平方根的表示
若 ，則叫做的平方根，記作，其中2為根指數(shù)，通常省略不寫，即記作
讀作＂正負(fù)根號＂，其中稱為被開方數(shù)。
重點：平方根的定義中是非負(fù)數(shù)，即.
知識點02 平方根的性質(zhì)
1.平方根的性質(zhì)
（1）正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)
（2）0的平方根是0
（3）負(fù)數(shù)沒有平方根
重點：判斷一個數(shù)是否有平方根，就是判斷這個數(shù)是正數(shù)、負(fù)數(shù)還是0.如果一個數(shù)有平方根，那么這個數(shù)一定是非負(fù)數(shù)。
知識點03 算術(shù)平方根
1.算術(shù)平方根
正數(shù)的正的平方根，叫做的算術(shù)平方根
規(guī)定：0的算術(shù)平方根是0.
表示方法：正數(shù)的算術(shù)平方根記為，讀作＂根號＂，叫做被開方數(shù)。
重點：（1）算術(shù)平方根 具有雙重非負(fù)性：被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，即；算術(shù)平方根 是非負(fù)數(shù)，即 ．
算術(shù)平方根是它，本身的數(shù)只有0和1．
（3）任何一個數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù)，所以求算術(shù)平方根時，被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，它的算術(shù)平方根也一定是非負(fù)數(shù)。
2.平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系
算術(shù)平方根 平方根
區(qū)別 定義不同 正數(shù)的正的平方根叫做的算術(shù)平方根 如果一個數(shù)的平方等于，那么這個數(shù)叫做的平方根
個數(shù)不同 一個正數(shù)的算術(shù)平方根只有一個 一個正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)
表示方法不同 非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根表示為 非負(fù)數(shù)的平方根表示為
取值范圍不同 正數(shù)的算術(shù)平方根一定是正數(shù) 正數(shù)的平方根是一正一負(fù)
聯(lián)系 具有包含關(guān)系 平方根包含算術(shù)平方根，算術(shù)平方根是平方根中正的那個(0除外)
存在條件相同 平方根和算術(shù)平方根都只有非負(fù)數(shù)才有，0 的平方根與算術(shù)平方根都是0
3.開平方
求一個非負(fù)數(shù)的平方根的運(yùn)算，叫做開平方
重點：1.平方與開平方是互逆運(yùn)算，平方的結(jié)果叫做冪，而開平方的結(jié)果叫做平方根.
2.兩個重要公式：
（1） ；
（2）
區(qū)別 運(yùn)算順序不同 先開方再求平方 先求平方再開方
的取值 范圍不同 任意數(shù)
聯(lián)系
典型案例探究
知識點01 平方根
例1.（24-25八年級上·河北唐山·期中）4的平方根是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【知識點】平方根概念理解
【分析】本題考查平方根的定義，解題的關(guān)鍵是正確理解平方根的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型．根據(jù)平方根的定義即可求出答案．
【詳解】解：，
的平方根是；
故選：C．
【變式1】（24-25八年級上·江西吉安·期末）下列各數(shù)中，沒有平方根的是（ ）
A．4 B．－4 C．0 D．2
【答案】B
【知識點】平方根概念理解
【分析】本題考查了平方根的定義的理解和應(yīng)用，根據(jù)平方根的定義可知只有非負(fù)數(shù)才有平方根，由此進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：∵正數(shù)有兩個平方根，0有一個平方根，負(fù)數(shù)沒有平方根，
∴沒有平方根．
故選：B
知識點02 平方根的性質(zhì)
例1．4的平方根是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】該題考查了平方根的定義，根據(jù)平方根的定義解答即可．
【詳解】解：4的平方根是，
故選：A．
【變式1】如果一個正數(shù)的兩個平方根為與，則與的值分別為（ ）
A．－9，1 B．9，3 C．3，1 D．9，1
【答案】D
【分析】本題主要考查了求一個數(shù)的平方根，相反數(shù)，
先根據(jù)正數(shù)的平方根互為相反數(shù)求出a，再根據(jù)平方根的定義求出答案即可.
【詳解】解：∵一個正數(shù)x的兩個平方根是與，
∴，
解得，
∴.
∵9的平方根是，
∴.
故選：D.
【變式2】的平方根是 ．
【答案】
【分析】本題考查了平方根，熟練掌握平方根的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．先計算乘方可得，再根據(jù)平方根的性質(zhì)求解即可得．
【詳解】解：∵，，
∴的平方根是，
故答案為：．
知識點03 算術(shù)平方根
例1.（24-25八年級上·貴州畢節(jié)·期末）49的算術(shù)平方根是 ．
【答案】7
【知識點】求一個數(shù)的算術(shù)平方根
【分析】本題考查了求一個數(shù)的算術(shù)平方根，熟練掌握算術(shù)平方根的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)求解即可得．
【詳解】解：∵，
∴的算術(shù)平方根是7，
故答案為：7．
【變式1】（24-25八年級上·河南南陽·期末）已知，那么的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】絕對值非負(fù)性、利用算術(shù)平方根的非負(fù)性解題、已知字母的值 ，求代數(shù)式的值
【分析】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，代數(shù)式求值，熟練掌握非負(fù)數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出，代入計算即可．
【詳解】解：，
，
，
，
故選：D．
課后作業(yè)
A
一、單選題
1．的平方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了求一個數(shù)的平方根，根據(jù)平方根的定義得出答案即可．
【詳解】解：的平方根是，
故選：B．
2．，則的值為（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】C
【分析】該題考查了平方根的性質(zhì)，根據(jù)平方根的性質(zhì)解方程即可．
【詳解】解：，
∴，
故選：C．
3．已知，那么的值為( )
A． B． C． D．-
【答案】A
【分析】本題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定待定的字母的值是解答的關(guān)鍵，根據(jù)算術(shù)平方根和絕對值的非負(fù)性，確定、的值，再代入代數(shù)式求值即可
【詳解】解：，
，，
，，
．
故選：A．
4．已知是二元一次方程組的解，則的平方根為（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【分析】本題考查二元一次方程組的解的定義，解二元一次方程組的方法，平方根，掌握相關(guān)知識是解決問題的關(guān)鍵．把方程組的解代入后可求出的值，代入所求代數(shù)式求出其平方根即可．
【詳解】解：∵是的解，代入得：

解得，
則，平方根為．
故選：C．
二、填空題
5．的算術(shù)平方根是 ．
【答案】
【分析】本題考查求一個數(shù)的算術(shù)平方根，根據(jù)算術(shù)平方根的定義，先化簡，再計算即可．
【詳解】解：因為，
所以的算術(shù)平方根是；
故答案為：．
6．已知，則 ．
【答案】8
【分析】本題主要考查算術(shù)平方根的非負(fù)性，熟練掌握算術(shù)平方根的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵；由題意易得，則有，進(jìn)而可得答案．
【詳解】解：∵，且，
∴，即，
∴，
∴．
故答案為：8
7．若與是整數(shù)的兩個不相等的平方根，則 ．
【答案】1
【分析】本題主要考查平方根，熟練掌握平方根是解題的關(guān)鍵；由一個正數(shù)有兩個平方根，并且這兩個數(shù)互為相反數(shù)，可得，然后問題可求解．
【詳解】解：由題意得：，
∴，
∴；
故答案為1．
8．已知是的算術(shù)平方根，3是的算術(shù)平方根，則的算術(shù)平方根是 ．
【答案】
【分析】本題考查了算術(shù)平方根的定義；
先根據(jù)算術(shù)平方根的定義求出a，b，然后計算出的值，再根據(jù)算術(shù)平方根的定義得出答案．
【詳解】解：∵是的算術(shù)平方根，3是的算術(shù)平方根，
∴，，
∴，，
∴，
∴的算術(shù)平方根是，
故答案為：．
三、解答題
9．解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本題考查了利用平方根的性質(zhì)解方程，是基礎(chǔ)題，熟記概念是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)平方根的定義解答即可；
（2）先把方程變形為，然后根據(jù)平方根的定義解答即可．
【詳解】（1）解：，
，
所以，．
（2）解：，
，
，
所以，．
10．已知一個正數(shù)的兩個不同的平方根分別是與，求這個正數(shù)．
【答案】49
【分析】本題考查平方根，熟練掌握一個正數(shù)有兩個平方根，且互為相反數(shù)是解答的關(guān)鍵．根據(jù)平方根定義得到，然后解方程求得a值即可解答．
【詳解】解：∵一個正數(shù)的兩個不同的平方根分別是與，
∴，解得，
∴，
故答案為：49．
11．若一個正數(shù)的兩個平方根分別為和，求這個正數(shù)．
【答案】4
【分析】本題考查平方根，一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)．通過互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和為0，列式計算，求出未知字母的值，從而求解．
【詳解】解：∵一個正數(shù)的兩個平方根分別為和，
∴，
解得，
∴，
則這個正數(shù)為．
12．已知：和是某正數(shù)的平方根，的算術(shù)平方根為．
(1)求：、的值；
(2)求的算術(shù)平方根．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本題主要考查了平方根，算術(shù)平方根，求代數(shù)式的值，熟練掌握平方根的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)平方根與算術(shù)平方根的定義，列出方程，進(jìn)行解答即可；
（2）先求出的值，再根據(jù)算術(shù)平方根進(jìn)行計算即可．
【詳解】（1）解：∵和是某正數(shù)的平方根，
∴，
解得：，
∵的算術(shù)平方根為，
∴，
解得：．
（2）解：將，代入，
得，
∵的算術(shù)平方根為，
B
一、單選題
1．“的算術(shù)平方根”用數(shù)學(xué)式子表示正確的是（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】本題考查算術(shù)平方根的知識，掌握以上知識是解答本題的關(guān)鍵；
本題根據(jù)算術(shù)平方根的表示方法進(jìn)行表示，然后即可求解．
【詳解】解：的算術(shù)平方根表示為：，
故選：B
2．下列說法中，錯誤的是（ ）
A．5是25的算術(shù)平方根 B．的平方根是
C．0的平方根與算術(shù)平方根都是0 D．的平方根是
【答案】D
【分析】本題主要考查平方根，算術(shù)平方根的性質(zhì)及計算方法，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)平方根和算術(shù)平方根的性質(zhì)，逐一分析選項．
【詳解】解：A. 25的算術(shù)平方根是5，正確．
B. ，9的平方根是，正確．
C. 0的平方根和算術(shù)平方根均為0，正確．
D. ，16的平方根是，但選項僅指出，錯誤．
故選：D．
3．已知代數(shù)式的值是4，則代數(shù)式的值是（ ）
A．13 B．9 C．1 D．9或1
【答案】D
【分析】本題考查了代數(shù)式的求值以及求平方根，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平方根的性質(zhì)求出的值，再整體代入計算．
先由求出的值，再將變形為，最后整體代入求值．
【詳解】解：因為，
所以，
對進(jìn)行變形可得：，
當(dāng)時，代入上式可得：，
當(dāng)時，代入上式可得：，
所以，代數(shù)式的值是9或1，
故選：D．
4．已知，則的值為（ ）
A．0 B．2025 C． D．1
【答案】D
【分析】本題主要考查了二次根式和絕對值的非負(fù)性，熟練掌握二次根式和絕對值的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)得，，求出、的值，再代入求解即可．
【詳解】解：，，且
，，
，，
，，
．
故選：D．
二、填空題
5．若，則的平方根是 ．
【答案】
【分析】本題考查算術(shù)平方根、平方根，先根據(jù)求出x的值，再求的平方根．
【詳解】解：，
，
，
的平方根是，
故答案為：．
6．已知與互為相反數(shù)，則的值是 ．
【答案】
【分析】本題考查相反數(shù)的定義以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)互為相反數(shù)的兩個數(shù)之和為 0 列出方程，化簡后利用平方項和算術(shù)平方根的非負(fù)性求解即可．
【詳解】解：由題意得：，
∴
∴，，
∴，，
∴，
故答案為：．
7．已知關(guān)于、的二元一次方程組和的解相同，則的算術(shù)平方根的值為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了同解方程組，求解算術(shù)平方根，由題意可得，再解方程組可得，再代入另外兩個方程求出m、n的值即可得到答案．
【詳解】解：由題意可得：，
②①得：，
把代入②得：，
解得：，
∴方程組的解為：，
∵關(guān)于x，y的二元一次方程組和的解相同，
∴，即，
∴，
∴的算術(shù)平方根的值為；
故答案為：．
8．如圖是按一定規(guī)律排成的三角形數(shù)陣，按數(shù)陣中數(shù)的排列規(guī)律，第28行從左至右第22個數(shù)是 ．
1

2
3
… … … … …
【答案】20
【分析】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律類，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出第n行最后一個數(shù)為．圖形可知，第n行最后一個數(shù)為=，據(jù)此可得答案．
【詳解】解：由圖形可知，第n行最后一個數(shù)為=，
∴第27行最后一個數(shù)為，
則第28行從左至右第22個數(shù)是，
故答案為：20．
三、解答題
9．已知，的平方根是，，求的平方根．
【答案】
【分析】本題考查平方根、算術(shù)平方根、代數(shù)式求值，理解平方根的定義，由算術(shù)平方根的非負(fù)性求得c值是解答的關(guān)鍵．根據(jù)平方根和算術(shù)平方根的定義求得a、b、c值，進(jìn)而代值求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，解得；
∵的平方根是，
∴，解得；
∵，
∴，
解得，
∴，
∴的平方根為．
10．已知長方形的長和寬分別為a，b且a，b滿足，求這個長方形的面積．
【答案】6
【分析】本題考查了算術(shù)平方根和平方的非負(fù)性，以及列二元一次方程組，解二元一次方程組，熟練掌握非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)非負(fù)性得到，解方程組即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
解得：，
∴長方形的面積為．
11．對于，定義一種新運(yùn)算，規(guī)定：（其中，均為非零常數(shù)），這里等式右邊是通常的四則運(yùn)算，例如：；
(1)已知，，求，的值；
(2)在（1）的條件下，關(guān)于的不等式組恰好有2個整數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．
(3)若對于任意不相等的實數(shù)，都成立，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題考查的是二元一次方程組的解法、一元一次不等式組的解法和一元一次不等式組的整數(shù)解的確定，掌握二元一次方程組的解法、一元一次不等式組的解法是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)定義的新運(yùn)算，列出二元一次方程組，解方程組求出a，b的值；
（2）據(jù)（1）求出的a，b的值和新運(yùn)算列出方程組求出m的取值范圍，根據(jù)題意列出不等式，解不等式求出實數(shù)k的取值范圍；
（3）根據(jù)新運(yùn)算列出方程組，可求出a，b的值，代入即可求解．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：，，
解得：，；
（2）由（1）可得，，
根據(jù)題意得：，
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式組恰好有2個整數(shù)解，即，
∴，
解得：；
（3）由，得到，
整理得：，
∵對于任意不相等的實數(shù)，都成立，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴．
12．先觀察下列等式，再回答問題：
第一個等式：；
第二個等式：；
第三個等式：．
(1)根據(jù)上述三個等式提供的信息填空， = ；
(2)請按照上面各等式反映的規(guī)律，試寫出第n個等式（n為正整數(shù)）；
(3)對于任何實數(shù)a，表示不超過a的最大整數(shù)，如，，計算：的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題考查了與算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律探索，正確找到題中的規(guī)律是解題關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題中所給信息可判結(jié)果；
（2）根據(jù)第一問的結(jié)果用字母代替數(shù)字即可；
（3）根據(jù)規(guī)律將原式進(jìn)行正確變形求解；
【詳解】（1）∵第一個等式；
第二個等式；
第三個等式；
故根據(jù)規(guī)律可猜測第五個等式為；
故答案為：．
（2）根據(jù)（1）總結(jié)規(guī)律可得：第n個等式為；
（3）根據(jù)規(guī)律可化簡
．
C
1．已知滿足，則代數(shù)式的值是 ．
【答案】
【分析】由二次根式的非負(fù)性得，從而得，結(jié)合條件即可求解．
此題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題突破點是根據(jù)已知求出未知數(shù)的值，另外要注意算術(shù)平方根、絕對值具有非負(fù)性的知識點的運(yùn)用．
【詳解】解：由得，
而，
故，
解得，
故時，
又，
，，，
，
故，
故答案為：．
2．下列說法：①如果直線，直線和直線滿足，，則；②若，且，則；③若關(guān)于的不等式組所有的整數(shù)解的和為，則的取值范圍是或；④若關(guān)于的不等式組有解且每個解都不在的范圍內(nèi)，則．其中正確說法是 ．（填正確結(jié)論的序號）
【答案】②③④
【分析】本題考查算術(shù)平方根、解一元一次不等式組及平行線的判定與性質(zhì)，掌握算術(shù)平方根的意義、一元一次不等式組的解法和平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
①根據(jù)“在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行”判斷即可；②根據(jù)“算術(shù)平方根的平方等于被開方數(shù)”計算即可；③先解不等式組得，再根據(jù)整數(shù)解中有無正數(shù)，分情況討論即可；④根據(jù)題意，得或，求它們的解集即可．
【詳解】解：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行，
∴①不正確，不符合題意；
，，，
∴，
∴，
∴②正確，符合題意；
解得：，
所有的整數(shù)解的和為，
∴當(dāng)x的整數(shù)解無正數(shù)時，整數(shù)解為，
，解得，
當(dāng)x的整數(shù)解有正數(shù)時，整數(shù)解為，
，解得，
∴的取值范圍是或，
∴③正確，符合題意；
④不等式組的解集為：
∵原不等式組有解，且每個解都不在的范圍內(nèi)，
∴或，
解第一個不等式組得，第二個不等式組無解，
∴當(dāng)時，原不等式組有解且每個解都不在的范圍內(nèi)，
∴④正確，符合題意．
綜上，②③④正確．
故答案為：②③④．
3．由無理數(shù)的定義可知無理數(shù)與有理數(shù)不可能相等，若m，n為有理數(shù)，為無理數(shù)，且，則，．
(1)如果，其中a，b為有理數(shù)，求的平方根；
(2)如果，其中a，b為有理數(shù)且是p的平方根，求p的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)已知可得，，從而可得，，然后代入式子中進(jìn)行計算即可解答；
（2）根據(jù)已知易得，從而可得，進(jìn)而可得，然后利用平方根的意義，進(jìn)行計算即可解答．
【詳解】（1）解：，其中，為有理數(shù)，
，，
，，
，
的平方根是；
（2），
，
，
，為有理數(shù)，
，
解得：，
，為有理數(shù)且是的平方根，
，
的值為．
【點睛】本題考查了實數(shù)的運(yùn)算，平方根，解二元一次方程組，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵．中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
第十章 數(shù)的開方
專題10.1 平方根
基礎(chǔ)知識夯實
知識點01 平方根
1.平方根
如果一個數(shù)的平方等于，那么這個數(shù)叫做的平方根.
2．平方根的表示
若 ，則叫做的平方根，記作，其中2為根指數(shù)，通常省略不寫，即記作
讀作＂正負(fù)根號＂，其中稱為被開方數(shù)。
重點：平方根的定義中是非負(fù)數(shù)，即.
知識點02 平方根的性質(zhì)
1.平方根的性質(zhì)
（1）正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)
（2）0的平方根是0
（3）負(fù)數(shù)沒有平方根
重點：判斷一個數(shù)是否有平方根，就是判斷這個數(shù)是正數(shù)、負(fù)數(shù)還是0.如果一個數(shù)有平方根，那么這個數(shù)一定是非負(fù)數(shù)。
知識點03 算術(shù)平方根
1.算術(shù)平方根
正數(shù)的正的平方根，叫做的算術(shù)平方根
規(guī)定：0的算術(shù)平方根是0.
表示方法：正數(shù)的算術(shù)平方根記為，讀作＂根號＂，叫做被開方數(shù)。
重點：（1）算術(shù)平方根 具有雙重非負(fù)性：被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，即；算術(shù)平方根 是非負(fù)數(shù)，即 ．
算術(shù)平方根是它，本身的數(shù)只有0和1．
（3）任何一個數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù)，所以求算術(shù)平方根時，被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，它的算術(shù)平方根也一定是非負(fù)數(shù)。
2.平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系
算術(shù)平方根 平方根
區(qū)別 定義不同 正數(shù)的正的平方根叫做的算術(shù)平方根 如果一個數(shù)的平方等于，那么這個數(shù)叫做的平方根
個數(shù)不同 一個正數(shù)的算術(shù)平方根只有一個 一個正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)
表示方法不同 非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根表示為 非負(fù)數(shù)的平方根表示為
取值范圍不同 正數(shù)的算術(shù)平方根一定是正數(shù) 正數(shù)的平方根是一正一負(fù)
聯(lián)系 具有包含關(guān)系 平方根包含算術(shù)平方根，算術(shù)平方根是平方根中正的那個(0除外)
存在條件相同 平方根和算術(shù)平方根都只有非負(fù)數(shù)才有，0 的平方根與算術(shù)平方根都是0
3.開平方
求一個非負(fù)數(shù)的平方根的運(yùn)算，叫做開平方
重點：1.平方與開平方是互逆運(yùn)算，平方的結(jié)果叫做冪，而開平方的結(jié)果叫做平方根.
2.兩個重要公式：
（1） ；
（2）
區(qū)別 運(yùn)算順序不同 先開方再求平方 先求平方再開方
的取值 范圍不同 任意數(shù)
聯(lián)系
典型案例探究
知識點01 平方根
例1.（24-25八年級上·河北唐山·期中）4的平方根是（ ）
A．2 B． C． D．
【變式1】（24-25八年級上·江西吉安·期末）下列各數(shù)中，沒有平方根的是（ ）
A．4 B．－4 C．0 D．2
知識點02 平方根的性質(zhì)
例1．4的平方根是（ ）
A． B．2 C． D．
【變式1】如果一個正數(shù)的兩個平方根為與，則與的值分別為（ ）
A．－9，1 B．9，3 C．3，1 D．9，1
【變式2】的平方根是 ．
知識點03 算術(shù)平方根
例1.（24-25八年級上·貴州畢節(jié)·期末）49的算術(shù)平方根是 ．
【變式1】（24-25八年級上·河南南陽·期末）已知，那么的值為（ ）
A． B． C． D．
課后作業(yè)
A
一、單選題
1．的平方根是（ ）
A． B． C． D．
2．，則的值為（ ）
A．2 B． C． D．4
3．已知，那么的值為( )
A． B． C． D．-
4．已知是二元一次方程組的解，則的平方根為（ ）
A． B．3 C． D．
二、填空題
5．的算術(shù)平方根是 ．
6．已知，則 ．
7．若與是整數(shù)的兩個不相等的平方根，則 ．
8．已知是的算術(shù)平方根，3是的算術(shù)平方根，則的算術(shù)平方根是 ．
三、解答題
9．解下列方程：
(1)；
(2)．
10．已知一個正數(shù)的兩個不同的平方根分別是與，求這個正數(shù)．
11．若一個正數(shù)的兩個平方根分別為和，求這個正數(shù)．
12．已知：和是某正數(shù)的平方根，的算術(shù)平方根為．
(1)求：、的值；
(2)求的算術(shù)平方根．
B
一、單選題
1．“的算術(shù)平方根”用數(shù)學(xué)式子表示正確的是（ ）
A． B． C． D．4
2．下列說法中，錯誤的是（ ）
A．5是25的算術(shù)平方根 B．的平方根是
C．0的平方根與算術(shù)平方根都是0 D．的平方根是
3．已知代數(shù)式的值是4，則代數(shù)式的值是（ ）
A．13 B．9 C．1 D．9或1
4．已知，則的值為（ ）
A．0 B．2025 C． D．1
二、填空題
5．若，則的平方根是 ．
6．已知與互為相反數(shù)，則的值是 ．
7．已知關(guān)于、的二元一次方程組和的解相同，則的算術(shù)平方根的值為 ．
8．如圖是按一定規(guī)律排成的三角形數(shù)陣，按數(shù)陣中數(shù)的排列規(guī)律，第28行從左至右第22個數(shù)是 ．
1

2
3
… … … … …
三、解答題
9．已知，的平方根是，，求的平方根．
10．已知長方形的長和寬分別為a，b且a，b滿足，求這個長方形的面積．
11．對于，定義一種新運(yùn)算，規(guī)定：（其中，均為非零常數(shù)），這里等式右邊是通常的四則運(yùn)算，例如：；
(1)已知，，求，的值；
(2)在（1）的條件下，關(guān)于的不等式組恰好有2個整數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．
(3)若對于任意不相等的實數(shù)，都成立，且，求的值．
12．先觀察下列等式，再回答問題：
第一個等式：；
第二個等式：；
第三個等式：．
(1)根據(jù)上述三個等式提供的信息填空， = ；
(2)請按照上面各等式反映的規(guī)律，試寫出第n個等式（n為正整數(shù)）；
(3)對于任何實數(shù)a，表示不超過a的最大整數(shù)，如，，計算：的值．
C
1．已知滿足，則代數(shù)式的值是 ．
2．下列說法：①如果直線，直線和直線滿足，，則；②若，且，則；③若關(guān)于的不等式組所有的整數(shù)解的和為，則的取值范圍是或；④若關(guān)于的不等式組有解且每個解都不在的范圍內(nèi)，則．其中正確說法是 ．（填正確結(jié)論的序號）
3．由無理數(shù)的定義可知無理數(shù)與有理數(shù)不可能相等，若m，n為有理數(shù)，為無理數(shù)，且，則，．
(1)如果，其中a，b為有理數(shù)，求的平方根；
(2)如果，其中a，b為有理數(shù)且是p的平方根，求p的值．

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