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第十章 數的開方
專題10.2 實數
基礎知識夯實
知識點01 無理數
1．定義 無限不循環小數叫做無理數．
判斷標準：小數位數無限，小數形式為不循環。
2．三種常見形式
（1）開方開不盡的數，如 ；
（2）含有 的一類數，如 ；
（3）以無限不循環小數的形式出現的特定結構的數，如 （每相鄰兩個 1 之間依次多一個 0 ）．
3.無理數與有理數的區別
(1)有限小數和無限循環小數是有理數，而無理數是無限不循環小數;
(2)所有的有理數都可以寫成分數的形式(整數可以看成分母為1 的分數)，而無理數不能寫成分數的形式，
注意：
無理數都是無限小數，但無限小數不一定是無理數，只有無限不循環小數才是無理數．例如： 0.3 是無限小數，但不是無理數．
2．某些數的平方根或立方根是無理數，但帶根號的數不一定都是無理數．例如 就不是無理數．
知識點02 實數
1.定義 有理數和無理數統稱為實數特別解讀:(1)在實數范圍內，一個數不是有理數那么它一定是無理數，反之亦成立(2)引入無理數后，數的范圍由原來的有理數擴充到實數，今后我們研究計算問題時，若沒有特殊說明，就應在實數范圍內進行
2.分類
(1)按定義分類:
實數 有理數 整數 正整數
0
負整數
分數 正分數
負分數
無理數 正無理數
負無理數
（2）按性質分類:
實數 正實數 正有理數
正無理數
0
負實數 負有理數
負無理數
注意：
1.實數的分類有不同的方法，但不論用哪一種分類方法都要按同一標準，做到不重復不遺漏
2.0既不是正實數也不是負實數
3.對實數進行分類時，某些數應先進行計算或化簡，然后根據最后結果進行分類，不能看到帶根號的數，就認為是無理數，也不能看到有分數線的數，就認為是有理數
知識點03 實數與數軸
1.實數與數軸上的點的對應關系
實數與數軸上的點是一一對應的
（1）“一一對應”包含著兩層含義:
①每一個實數都可以用數軸上的一個點來表示②數軸上的每一個點都表示一個實數,
（2）數軸上兩點間的距離可用兩點所表示的實數來表示，即點 、點 在數軸上表示的數分別為 ，則 ．
2．利用數軸比較實數的大小 對于數軸上的任意兩個點，右邊的點表示的實數總比左邊的點表示的實數大．
注意：
1.在數軸上表示無理數時，一般只能通過估算標出其大致位置
2.借助數軸上的點可以把實數直觀地表示出來，數軸上的任意一點表示的數，不是有理數就是無理數
知識點04 實數的性質
1．相關概念
（1）相反數：實數 的相反數為 ，若a, b互為相反數，則 ；
（2）倒數：非零實數 的倒數為 ，若a, b互為倒數，則;
絕對值：
2.比較實數的大小
(1)定義法:正數大于0，0大于一切負數。(2)性質法:兩個正數，絕對值大的數大;兩個負數
絕對值大的數反而小
注意：
1.在有理數范圍內的一些基本概念(如相反數、倒數、絕對值)在實數范圍內依然適用.
2.對實數的有關概念進行辨析時，錯誤的說法只需舉一個反例即可
知識點05 實數的運算
1.在實數范圍內，進行加、減、乘、除、乘方和開方運算時，有理數的運算法則和運算律仍然適用;實數混合運算的運算順序與有理數混合運算的運算順序一樣，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，同級運算按照自左向右的順序進行，有括號的先算括號里面的
2．實數的運算律
加法交換律： ；
加法結合律： ；
乘法交換律： ；
乘法結合律： ；
乘法分配律： 。
3.運算種類
運算級別 第一級 第二級 第三級
運算名稱 加 減 乘 除 乘方 開方
運算結果 和 差 積 商 冪 方根
注意：
有理數的運算律在實數范圍內仍然適用，在進行實數運算的過程中，要做到:
一“看”--看算式的結構特點能否運用運算律或公式:
二“用”--運用運算律或公式;
三“查”--檢查過程和結果是否正確
典型案例探究
知識點01 無理數
例1.（24-25八年級上·四川成都·期中）在實數，，（每兩個1之間依次增加一個0），，中，無理數有（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本題考查了無理數的概念，含根號的實數要判斷是否能開得盡方是本題的關鍵．根據無理數的概念，即無限不循環小數，依次判斷即可得出答案．
【詳解】解：是分數，是有理數；是無理數；（每兩個之間依次多一個）是無理數；是有理數，是無理數；
故有個無理數；
故選：D
【變式1】（24-25八年級上·甘肅天水·期中）在實數中，無理數有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】A
【分析】本題考查無理數，無限不循環小數叫做無理數，據此進行判斷即可．
【詳解】解： 是分數，不是無理數；
是整數，不是無理數；
是無限循環小數，不是無理數；
是整數，不是無理數；
是無限不循環小數，它是無理數，
所以，無理數有1個，
故選：A．
【變式2】（23-24八年級上·廣東梅州·期中）下列四個數中，屬于無理數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據無理數的定義，判斷各選項是否為無限不循環小數或不能表示為整數之比．
【詳解】解：由無理數的定義可得，四個數中只有是無理數，
故選：D．
【變式3】（24-25八年級上·四川成都·期中）下列實數中，屬于無理數的是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了無理數的定義，根據無理數的定義，判斷各選項是否為無限不循環小數或無法表示為整數比的數．
【詳解】A、，是整數，屬于有理數．
B、 是整數，屬于有理數．
C、，是整數，屬于有理數．
D、因為7不是完全平方數，屬于無限不循環小數，故為無理數．
故選：D
知識點02 實數的分類
例1．下列說法：①在實數范圍內，一個數如果不是有理數，則一定是無理數；②無限小數都是無理數；③無理數都是無限小數；④最小的實數是0；⑤帶根號的數都是無理數．其中錯誤的共有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】本題主要考查實數，熟練掌握無理數的定義是解題的關鍵．
根據無理數和實數的定義來判斷正誤即可．
【詳解】解：①在實數范圍內，一個數如果不是有理數，則一定是無理數，該選項說法正確，不符合題意；
②無限不循環小數是無理數，該選項說法錯誤，符合題意；
③無理數都是無限小數，該選項說法正確，不符合題意；
④沒有最小的實數，該選項說法錯誤，符合題意；
⑤帶根號的數不一定是無理數，比如，該選項說法錯誤，符合題意；
錯誤選項有：②④⑤，
故選：C．
【變式1】把下列各數填入相應的集合內：，，，，，，．
有理數集合：{ }
無理數集合：{ }
整數集合：{ }
分數集合：{ }
【答案】，，，；，，；；，，
【分析】本題主要考查了實數的分類，先計算絕對值和算術平方根，再根據有理數，無理數，整數和分數的定義求解即可．
【詳解】解：，，
是無理數，
是無理數，
是有理數，是整數，
是無理數，
是有理數，是分數，
是有理數，是分數，
是有理數，是分數，
∴有理數集合：{，，，}，
無理數集合：{，，}，
整數集合：{}，
分數集合：{，，}．
【變式2】下面是王老師在數學課堂上給同學們出的一道數學題，要求對以下實數進行分類填空：，0，0.3（3無限循環），，18，，，1.21（21無限循環），3.14159，1.21，，，0.8080080008…，
（1）有理數集合：_____；
（2）無理數集合：_____；
（3）非負整數集合：_____；
王老師評講的時候說，每一個無限循環的小數都屬于有理數，而且都可以化為分數．
比如：0.3（3無限循環）=，那么將1.21（21無限循環）化為分數，則1.21（21無限循環）=_____（填分數）
【答案】（1）0，0.3（3無限循環），，18，，1.21（21無限循環），3.14159，1.21，；（2），，，0.8080080008…，；（3）0，18，；
【分析】本題主要考查了實數，解決本題的關鍵是熟記實數的分類；
（1）根據有理數的定義，即可解答；
（2）根據無理數的定義，即可解答；
（3）非負整數集合包括0和正整數，即可解答．
【詳解】解：有理數集合：，無限循環，，，，無限循環，，，；
無理數集合：，，，，；
非負整數集合：，，；
設（21無限循環），則（21無限循環），
（21無限循環）（21無限循環），
，
S；
故1.21（21無限循環）
知識點03 實數與數軸
例1.如圖，數軸上表示2，的點分別為點C，點B，點C是線段的中點，則點A表示的數（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了實數與數軸，以及兩點之間的距離公式．數軸上的點與實數一一對應，根據C是線段的中點，可得，用C點表示的數減去的距離，可得A點表示的數．
【詳解】解：∵點C是線段的中點，
∴，
∴點A表示的數是：，
故選：D．
【變式1】如圖，數軸上表示實數的點可能是（ ）
A．點 B．點 C．點 D．點
【答案】A
【分析】本題考查的是實數與數軸，先判斷出的取值范圍，進而可得出結論．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴點符合題意．
故選：A．
【變式2】如圖，點B，C在數軸上表示的數分別是4，，若，則數軸上點A表示的數是 ．
【答案】/
【分析】本題考查了實數與數軸．根據題意得出，即可得出答案．
【詳解】解：∵點B，C在數軸上表示的數分別是4，，
∴，
∴點A對應的數是：，
故答案為：．
【變式3】直徑為1個單位長度的圓從原點沿數軸向右滾動一周，圓上的一點由原點到達點，那么點所對應的數是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了實數與數軸之間的對應關系，解題需注意：確定點的符號后，點所表示的數是距離原點的距離．直徑為 1 個單位長度的圓從原點沿數軸向右滾動一周，說明之間的距離為圓的周長，由此即可確定點對應的數．
【詳解】解：因為圓的周長為，
所以圓從原點沿數軸向右滾動一周，．
故答案為：．
【變式4】如圖，一只螞蟻從點沿數軸向右爬行2個單位長度到達點，點表示，設點所表示的數為．
(1)的值為　　　　　?。?br/>(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了實數與數軸，差的絕對值是大數減小數，注意數軸上的點向右移動加，向左移動減．
（1）根據數軸上的點向右移動加，可得答案；
（2）根據差的絕對值是大數減小數，可得答案．
【詳解】（1）解：，
故答案為：；
（2）解：根據題意可知，
．
知識點04 實數的性質
例1．實數的倒數是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了學生對“求倒數的方法”知識點的掌握情況，解答本題的關鍵是熟練掌握倒數的概念，然后通過求整數的倒數的方法得到答案，
【詳解】解：的倒數是
故選：D.
【變式1】化簡的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了實數的性質，化簡絕對值；先判斷與1的大小，再化簡絕對值，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∴
故選：B．
【變式2】下列說法錯誤的是（ ）
A．9的平方根是 B．1的立方根是1 C．的相反數是 D．π的絕對值是π
【答案】A
【分析】本題主要考查了平方根與立方根，一個數的立方根只有一個，一個正數有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數，零的平方根是零，負數沒有平方根．
根據平方根以及立方根的概念進行判斷即可．
【詳解】解：A、9的平方根是，該選項說法錯誤；
B、1的立方根是1，該選項說法正確；
C．的相反數是，該選項說法正確；
D、π的絕對值是π，該選項說法正確；
故選：A．
【變式3】已知，且，求的值．
【答案】2或
【分析】本題主要考查了根據算術平方根求原數，實數的性質，根據題意可得或，據此分情況討論求解即可．
【詳解】解：∵，且，
∴或，
當時，；
當時，．
綜上所述，的值為2或．
知識點05 實數的運算
例1．化簡： ．
【答案】11
【分析】本題主要考查了實數混合運算，熟練掌握運算法則，是解題的關鍵．根據算術平方根定義，立方根定義，進行計算即可．
【詳解】解：
．
故答案為：11．
【變式1】已知，則 ．
【答案】4
【分析】本題考查二次根式的運算，非負數的性質．根據非負性先分別求出，，再將a，b的值代入化簡二次根式即可得出答案．
【詳解】解：，
，，
，，
，
故答案為：4．
【變式2】1）計算：；
（2）解方程：；
（3）已知，且與互為相反數，求的平方根．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本題考查了非負數的性質，實數的運算等知識，掌握相關知識是解題的關鍵．
（1）根據算術平方根的定義，立方根的定義，絕對值的意義等計算即可；
（2）根據平方根的定義解方程即可；
（3）根據非負數的性質可求出x、y的值，根據相反數的定義和立方根的性質可求z的值，然后根據平方根的定義求解即可．
【詳解】解：（1）原式
；
（2）∵，
∴，
∴，
∴
（3）∵，
∴，，
∴，，
∵與互為相反數，
∴，
∴，
∴，
∵9的平方根是，
∴的平方根是．
【變式3】如圖，小正方形的邊長為1個單位長度，以數軸的原點為圓心，正方形的對角線的長為半徑畫圓，交數軸于兩點．
(1)寫出點表示的數；
(2)將點沿數軸向右移動兩個單位長度得到點，求的長；
(3)在（2）的情況下，若點是線段的中點，求點表示的數以及線段的長．
【答案】(1)點表示的數為和
(2)
(3)點表示的數為，線段的長為
【分析】本題考查了實數的運算，實數與數軸，平方根的概念理解，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
（1）先求出，再由表示出點表示的數；
（2）先求出點表示的數，再由數軸上兩點距離公式求解；
（3）根據點是線段的中點，得到，則，即可求出，再由數軸上兩點距離公式求解．
【詳解】（1）解：如圖，，那么4個一樣的等腰直角三角形拼成一個面積為的正方形，如圖：
∴，
∴（舍負），
∴，
∴點表示的數為和；
（2）解：由題意得點表示的數為，
∴；
（3）解：設點表示的數為
∵點是線段的中點，
∴，
∴，
解得，
∴．
∴點表示的數為，線段的長為．
課后作業
A
一、單選題
1．在實數中，最小的數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查實數大小比較的概念，正數大于，大于負數，兩個負數比較大小，絕對值大的反而小；根據這個規則來找出給定實數中的最小值．
【詳解】解：∵，，，
又∵，即，
∴，
∵負數小于 ，
∴ ，
∴在實數中，最小的數是，
故選：B．
2．數學著作《九章算術》中用“面”來表示開方開不盡的數，這是中國傳統數學對無理數的最早記載．下列四個數中，為無理數的是（　?。?br/>A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】本題考查了實數，根據有理數、無理數的定義分別判斷即可．
【詳解】解：，，2是有理數，無理數是，
故選：C．
3．下列實數：，，，，，0，，，…（每相鄰兩個1之間0的個數依次增加1），其中無理數有（ ）個
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】本題考查了乘方運算，算術平方根，無理數的定義，根據無限不循環小數即為無理數進行分析，即可作答．
【詳解】解：，，
則，，…（每相鄰兩個1之間0的個數依次增加1）都是無限不循環小數，
故無理數有3個,
故選：A
4．相傳，古希臘有一個叫希帕索斯的門徒發現：邊長為1的正方形的對角線長的平方等于2，這個對角線的長度是以前從來沒有見到過的數，它既不循環，又無窮盡，這個數就是今天我們所說的無理數．下列各數中是無理數的是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】A
【分析】根據無理數和有理數的定義，判斷每個選項屬于有理數還是無理數．本題主要考查了無理數的定義，熟練掌握無限不循環小數是無理數，整數和分數是有理數是解題的關鍵．
【詳解】解：是無限不循環小數，屬于無理數；
是整數，屬于有理數；
是分數，屬于有理數；
是整數，屬于有理數．
故選：A．
二、填空題
5．比較大小： 2．(填“”“”或“<”)
【答案】
【分析】本題考查了實數的大小比較，解題的關鍵是將整數2轉化為算術平方根形式，再根據被開方數大小比較算術平方根的大?。?br/>把2轉化為，然后比較和的大小，根據算術平方根的性質，被開方數大的算術平方根大．
【詳解】解：因為，而，
根據算術平方根的性質，當時，，所以，即，
故答案為：．
6．定義新運算 “※”：，則 ．
【答案】
【分析】本題主要考查含乘方的有理數的混合運算、新定義運算法則等知識點，掌握新定義運算法則成為解題的關鍵．
先根據定義新運算的法則得到含乘方的算式，然后利用含乘方的有理數的混合運算法則運算即可．
【詳解】解：．
故答案為：．
7．設表示小于a的最大整數，則的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了新運算的定義，有理數加法，理解新運算的定義是解題的關鍵．
根據新運算的定義，將轉化成，再根據有理數加法法則，計算即可．
【詳解】解：根據題意得，
故答案為：．
8．如圖，M、N、P、Q是數軸上的四個點，這四個點中最適合表示的點是

【答案】點/點
【分析】此題主要考查了估算無理數的大小以及實數與數軸，正確得出的取值范圍是解題關鍵．先求出的范圍，再求出的范圍，即可得出答案．
【詳解】解：∵，
∴，
∴表示的點是Q點．
故答案為：點．
9．如圖，在數軸上的a，b，c三個實數，且，化簡 ．
【答案】/
【分析】本題考查了絕對值的化簡、實數與數軸，根據數軸正確判斷相關式子的符號是解題的關鍵．根據數軸可得，，，再利用絕對值的性質即可化簡．
【詳解】解：根據數軸上點的位置得：，且，
，，，
．
故答案為：．
三、解答題
10．計算：．
【答案】
【分析】本題考查了實數的混合運算，涉及立方根、絕對值、乘方、算術平方根．先計算立方根、絕對值、乘方、算術平方根，再去括號計算加減法即可．
【詳解】解：
．
11．設是的整數部分，，求的值．
【答案】4
【分析】本題考查的是無理數的整數部分的含義，算術平方根的含義，求解一個數的立方根，掌握“無理數的估算方法，算術平方根與立方根的含義”是解本題的關鍵；由可得m的值，再利用算術平方根的含義求解n，再求解的立方根即可．
【詳解】解：，即，
的整數部分為5，
即，
又，
，
．
12．先觀察下列等式，再回答問題：
①；
②；
③；
(1)根據上面三個等式，請猜想的結果（直接寫出結果）
(2)根據上述規律，解答問題：
設+···+，求不超過m的最大整數是多少？
【答案】(1)
(2)2025
【分析】本題考查了實數的運算，實數大小比較，數字的變化類，掌握實數的運算法則是關鍵．
（1）根據題干列舉的等式，即可得出答案；
（2）先總結規律可得，再利用規律進行計算即可．
【詳解】（1）解：
（2）+···+，
，
，
，
∴不超過m的最大整數是2025．
B
一、單選題
1．在實數 ， 0，， ，中，無理數有（ ）個．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本題考查了無理數的定義，求一個數的算術平方根，根據無理數的三種形式：①開方開不盡的數，②無限不循環小數，③含有的數，結合所給數據進行判斷即可，解題的關鍵是掌握無理數的幾種形式．根據無理數的概念即可判斷．
【詳解】解：是有理數，不符合題意；
是有理數，不符合題意；
是無理數，符合題意；
是無理數，符合題意；
是無理數，符合題意；
則無理數有個，
故選：C．
2．球從空中落到地面所用的時間（秒）和球的起始高度（米）之間有關系式，若球的起始高度為米，則球落地所用時間與下列最接近的是（ ）
A．3秒 B．4秒 C．5秒 D．6秒
【答案】B
【分析】本題考查無理數的估算，掌握估算的方法是解決問題的關鍵．將代入公式計算，然后用平方法估算即可．
【詳解】解：將代入得：，
∵，
∴，
∴所用時間與4秒最接近．
故選：B．
3．若，，這三個實數在數軸上所對應的點從左到右依次排列，則的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查實數與數軸，解一元一次不等式組．數軸上左邊的點表示的數小于右邊的點表示的數，由此列不等式組，解不等式組即可．
【詳解】解：由題意得
解不等式得：，
解不等式得：，
所以該不等式組的解集為，
故選：B．
4．滿足的整數m的值可能是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】本題考查估算無理數的大?。裙浪銦o理數的大小，進而得到的大小即可．
【詳解】解：∵，即，
∴，
而，
∴的整數m的值可以是3，不可能是2，1，0，
故選：A．
二、填空題
5．估算的值 ．
【答案】7.9
【分析】本題考查了無理數的估算，根據“夾逼法”求出，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：7.9．
6．已知m是整數，且，若是無理數，則整數m的值為 ．
【答案】或0或2
【分析】本題考查無理數的定義以及不等式的求解．先根據求出m的取值范圍，再結合m是整數確定m的可能值，最后根據是無理數來確定m的值．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∵m是整數，
∴m的值可能為，，0，1，2，
∴當時，，是有理數，不符合要求；
當時，，是無理數，符合要求；
當時，，是無理數，符合要求；
當時，，是有理數，不符合要求；
當時，，是無理數，符合要求．
所以整數m的值為或0或2，
故答案為：或0或2．
7．用“&”定義新運算：對于任意實數a，b，都有，如果，那么 ．
【答案】9
【分析】根據定義，解答即可．
本題考查了新定義運算，熟練掌握定義是解題的關鍵．
【詳解】解：根據定義，得，
故答案為：9．
三、解答題
8．將下列各數填入相應的大括號內：
，0，8，， (每相鄰兩個2之間依次多一個1)，，．
正數集：{ …}；
有理數集：{ …}；
負數集：{ …}；
無理數集：{ …}．
【答案】8，；，0，8，，；， (每相鄰兩個2之間依次多一個1)，；， (每相鄰兩個2之間依次多一個1)
【分析】本題主要考查了實數的分類，無理數和有理數的識別，解題的關鍵是熟練掌握相關定義．
利用實數的分類，無理數和有理數的定義進行求解即可．
【詳解】解：正數集：{8，，…}；
有理數集：{，0，8，，，…}；
負數集：{， (每相鄰兩個2之間依次多一個1)，，…}；
無理數集：{， (每相鄰兩個2之間依次多一個1)，…}.
9．計算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了實數的混合運算，熟練掌握實數的混合運算是解題的關鍵．
（1）先計算立方根、算術平方根和乘方運算，再求和即可；
（2）先計算乘方運算，立方根，算術平方根和化簡絕對值，再進行加減運算即可．
【詳解】（1）解：原式；
（2）解：原式
．
10．已知的平方根是和，的算術平方根是，是的整數部分．
(1)求，，的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，，；
(2)．
【分析】本題考查了算術平方根、平方根的定義、無理數估算，屬于基礎題型，熟練掌握這三者是關鍵．
（1）根據平方根和算術平方根的定義即可求出、，估算出的范圍即可求出；
（2）將、、的值代入所求式子計算，再根據平方根的定義解答．
【詳解】（1）解：∵的平方根是和，的算術平方根是，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵是的整數部分，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
∴的平方根為．
11．【閱讀】
對于數對，若，則稱為“軒緣數對”．如：因為，，所以，都是“軒緣數對”．
【理解】
（1）下列數對中，是“軒緣數對”的是_____；（填序號）
①；②；③；④．
【運用】
（2）若是“軒緣數對”，求的值；
（3）若是“軒緣數對”，求算式的值．
【答案】（1）①③④
（2）
（3）0
【分析】本題考查了新定義“軒緣數對”的理解與應用，解題的關鍵是緊扣“軒緣數對”的定義，通過代入計算、列方程求解等方式解決問題．
（1）根據“軒緣數對”定義，分別驗證各數對中兩數的和是否等于兩數的積；
（2）利用定義列出關于x的方程，求解得出x的值；
（3）由定義得到，將其代入算式化簡求值．
【詳解】解：①對于，和等于積，是“軒緣數對”；
②對于，，和不等于積，不是；
③對于，，，和等于積，是“軒緣數對”；
④對于，和等于積，是“軒緣數對”．
故答案為：①③④．
（2）解：∵是“軒緣數對”，
∴，
移項得：，
解得．
（3）解：∵是“軒緣數對”，
∴．
則．
C
1．對非負實數x“四舍五入”到個位的值記為．即：當n為非負整數時，如果，則．反之，當n為非負整數時，如果，則，例如：，，．
試解決下列問題：
(1)填空：①___________（π為圓周率）；②如果，則實數x的取值范圍為___________．
(2)①若關于x的不等式組的整數解恰有3個，則a的取值范圍是___________．
②若關于x的方程有正整數解，求m的取值范圍．
(3)求滿足的所有非負整數x的值．
【答案】(1)①3，②
(2)①；②
(3)3
【分析】此題主要考查了一元一次不等式組的應用，新定義，根據題意正確理解的意義是解題關鍵．
（1）①利用對非負實數x“四舍五入”到個位的值記為，進而得出的值；②利用對非負實數x“四舍五入”到個位的值記為，進而得出x的取值范圍；
（2）①首先將看作一個字母，解不等式組進而根據整數解的個數得出a的取值范圍；②先解方程，得出，再根據是整數，x是正整數，得到或2，進而得出或1，則或，即得；
（3）根據，得，解得，3，4，由是正整數即得．
【詳解】（1）解：①由題意可得：；
故答案為：3，
②∵，
∴，
∴；
故答案為：；
（2）解：①解不等式組得：，
由不等式組整數解恰有3個得，，
故；
故答案為：；
②解方程得，
∵是整數，x是正整數，
∴或1，
∴或1，
∴，或，
∴．
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，3，4，
∵x為整數，
∴滿足的所有非負整數x的值為3．
2．我們規定：二元一次方程組的解記為，若存在滿足，，則稱是的“五好點”．
(1)點的“五好點”的坐標為______；
(2)若方程組的解記為，點的“五好點”為，且滿足，求的取值范圍；
(3)已知：是的整數部分，是的算術平方根（其中），當時，的“五好點”是，問：可能取得的最大值是多少？
【答案】(1)
(2)
(3)可能取得的最大值是
【分析】（1）根據新定義，由，利用，，得到其“五好點”的坐標即可；
（2）解二元一次方程組，得到，得到“五好點”的坐標，代入，得到的范圍；
（3）根據題意，得到，通過解方程組得到，從而得到結果．
【詳解】（1）解：根據“五好點”定義，，，
，
“五好點”，，，
“五好點”的坐標為，
故答案為：；
（2）解：
將，得，
解得，
把代入，得，
點的“五好點”為，
，，
又
，
；
（3）解：，
的整數部分，
，是的算術平方根（其中），
，
即為，
當時，的“五好點”是，
，
兩式相減，得，
，
，
可能取得的最大值是．
【點睛】本題考查了新定義，二元一次方程組的應用，讀懂題意，熟練解二元一次方程組是解題的關鍵．
3．現有有序數對和，如果，則稱“關聯”了，或被“關聯”．
例如，，則稱“關聯”了
(1)下列數對中被“關聯”的有______；
①，②，③，④
(2)若同時被和“關聯”，請求出p，q；
(3)對于均不為0的a、b、c，數對“關聯”了、和，且被“關聯”，試求數對．
【答案】(1)①④
(2)
(3)
【分析】本題主要考查了新定義下的實數的運算，二元一次方程組，三元一次方程組等知識點，解題的關鍵是根據題意正確理解被“關聯”關系，并根據關系列出代數式．
（1）根據“關聯”定義逐項進行判斷即可；
（2）根據“關聯”定義列出二元一次方程組并求解即可；
（3）根據“關聯”定義列出三元一次方程組，找出的關系，進而可求出的值．
【詳解】（1）解：①，
∴被“關聯”；
②
∴未被“關聯”；
③
∴未被“關聯”；
④
∴被“關聯”；
故答案為：①④；
（2）解：根據題意得，
解方程組得；
（3）解：根據題意得，
得，即，
將代入①得，
將和代入③得，
，
根據題意可得，
，
整理得，
將代入得，，
∴，
解得，
所以，數對為．中小學教育資源及組卷應用平臺
第十章 數的開方
專題10.2 實數
基礎知識夯實
知識點01 無理數
1．定義 無限不循環小數叫做無理數．
判斷標準：小數位數無限，小數形式為不循環。
2．三種常見形式
（1）開方開不盡的數，如 ；
（2）含有 的一類數，如 ；
（3）以無限不循環小數的形式出現的特定結構的數，如 （每相鄰兩個 1 之間依次多一個 0 ）．
3.無理數與有理數的區別
(1)有限小數和無限循環小數是有理數，而無理數是無限不循環小數;
(2)所有的有理數都可以寫成分數的形式(整數可以看成分母為1 的分數)，而無理數不能寫成分數的形式，
注意：
無理數都是無限小數，但無限小數不一定是無理數，只有無限不循環小數才是無理數．例如： 0.3 是無限小數，但不是無理數．
2．某些數的平方根或立方根是無理數，但帶根號的數不一定都是無理數．例如 就不是無理數．
知識點02 實數
1.定義 有理數和無理數統稱為實數特別解讀:(1)在實數范圍內，一個數不是有理數那么它一定是無理數，反之亦成立(2)引入無理數后，數的范圍由原來的有理數擴充到實數，今后我們研究計算問題時，若沒有特殊說明，就應在實數范圍內進行
2.分類
(1)按定義分類:
實數 有理數 整數 正整數
0
負整數
分數 正分數
負分數
無理數 正無理數
負無理數
（2）按性質分類:
實數 正實數 正有理數
正無理數
0
負實數 負有理數
負無理數
注意：
1.實數的分類有不同的方法，但不論用哪一種分類方法都要按同一標準，做到不重復不遺漏
2.0既不是正實數也不是負實數
3.對實數進行分類時，某些數應先進行計算或化簡，然后根據最后結果進行分類，不能看到帶根號的數，就認為是無理數，也不能看到有分數線的數，就認為是有理數
知識點03 實數與數軸
1.實數與數軸上的點的對應關系
實數與數軸上的點是一一對應的
（1）“一一對應”包含著兩層含義:
①每一個實數都可以用數軸上的一個點來表示②數軸上的每一個點都表示一個實數,
（2）數軸上兩點間的距離可用兩點所表示的實數來表示，即點 、點 在數軸上表示的數分別為 ，則 ．
2．利用數軸比較實數的大小 對于數軸上的任意兩個點，右邊的點表示的實數總比左邊的點表示的實數大．
注意：
1.在數軸上表示無理數時，一般只能通過估算標出其大致位置
2.借助數軸上的點可以把實數直觀地表示出來，數軸上的任意一點表示的數，不是有理數就是無理數
知識點04 實數的性質
1．相關概念
（1）相反數：實數 的相反數為 ，若a, b互為相反數，則 ；
（2）倒數：非零實數 的倒數為 ，若a, b互為倒數，則;
絕對值：
2.比較實數的大小
(1)定義法:正數大于0，0大于一切負數。(2)性質法:兩個正數，絕對值大的數大;兩個負數
絕對值大的數反而小
注意：
1.在有理數范圍內的一些基本概念(如相反數、倒數、絕對值)在實數范圍內依然適用.
2.對實數的有關概念進行辨析時，錯誤的說法只需舉一個反例即可
知識點05 實數的運算
1.在實數范圍內，進行加、減、乘、除、乘方和開方運算時，有理數的運算法則和運算律仍然適用;實數混合運算的運算順序與有理數混合運算的運算順序一樣，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，同級運算按照自左向右的順序進行，有括號的先算括號里面的
2．實數的運算律
加法交換律： ；
加法結合律： ；
乘法交換律： ；
乘法結合律： ；
乘法分配律： 。
3.運算種類
運算級別 第一級 第二級 第三級
運算名稱 加 減 乘 除 乘方 開方
運算結果 和 差 積 商 冪 方根
注意：
有理數的運算律在實數范圍內仍然適用，在進行實數運算的過程中，要做到:
一“看”--看算式的結構特點能否運用運算律或公式:
二“用”--運用運算律或公式;
三“查”--檢查過程和結果是否正確
典型案例探究
知識點01 無理數
例1.（24-25八年級上·四川成都·期中）在實數，，（每兩個1之間依次增加一個0），，中，無理數有（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【變式1】（24-25八年級上·甘肅天水·期中）在實數中，無理數有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式2】（23-24八年級上·廣東梅州·期中）下列四個數中，屬于無理數的是（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（24-25八年級上·四川成都·期中）下列實數中，屬于無理數的是（ ）
A． B．0 C． D．
知識點02 實數的分類
例1．下列說法：①在實數范圍內，一個數如果不是有理數，則一定是無理數；②無限小數都是無理數；③無理數都是無限小數；④最小的實數是0；⑤帶根號的數都是無理數．其中錯誤的共有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式1】把下列各數填入相應的集合內：，，，，，，．
有理數集合：{ }
無理數集合：{ }
整數集合：{ }
分數集合：{ }
【變式2】下面是王老師在數學課堂上給同學們出的一道數學題，要求對以下實數進行分類填空：，0，0.3（3無限循環），，18，，，1.21（21無限循環），3.14159，1.21，，，0.8080080008…，
（1）有理數集合：_____；
（2）無理數集合：_____；
（3）非負整數集合：_____；
王老師評講的時候說，每一個無限循環的小數都屬于有理數，而且都可以化為分數．
比如：0.3（3無限循環）=，那么將1.21（21無限循環）化為分數，則1.21（21無限循環）=_____（填分數）
知識點03 實數與數軸
例1.如圖，數軸上表示2，的點分別為點C，點B，點C是線段的中點，則點A表示的數（ ）
A． B． C． D．
【變式1】如圖，數軸上表示實數的點可能是（ ）
A．點 B．點 C．點 D．點
【變式2】如圖，點B，C在數軸上表示的數分別是4，，若，則數軸上點A表示的數是 ．
【變式3】直徑為1個單位長度的圓從原點沿數軸向右滾動一周，圓上的一點由原點到達點，那么點所對應的數是 ．
【變式4】如圖，一只螞蟻從點沿數軸向右爬行2個單位長度到達點，點表示，設點所表示的數為．
(1)的值為　　　　　?。?br/>(2)求的值．
知識點04 實數的性質
例1．實數的倒數是（ ）
A．2 B． C． D．
【變式1】化簡的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】下列說法錯誤的是（ ）
A．9的平方根是 B．1的立方根是1 C．的相反數是 D．π的絕對值是π
【變式3】已知，且，求的值．
知識點05 實數的運算
例1．化簡： ．
【變式1】已知，則 ．
【變式2】1）計算：；
（2）解方程：；
（3）已知，且與互為相反數，求的平方根．
【變式3】如圖，小正方形的邊長為1個單位長度，以數軸的原點為圓心，正方形的對角線的長為半徑畫圓，交數軸于兩點．
(1)寫出點表示的數；
(2)將點沿數軸向右移動兩個單位長度得到點，求的長；
(3)在（2）的情況下，若點是線段的中點，求點表示的數以及線段的長．
課后作業
A
一、單選題
1．在實數中，最小的數是（ ）
A． B． C． D．
2．數學著作《九章算術》中用“面”來表示開方開不盡的數，這是中國傳統數學對無理數的最早記載．下列四個數中，為無理數的是（　　）
A． B． C． D．2
3．下列實數：，，，，，0，，，…（每相鄰兩個1之間0的個數依次增加1），其中無理數有（ ）個
A．3 B．4 C．5 D．6
4．相傳，古希臘有一個叫希帕索斯的門徒發現：邊長為1的正方形的對角線長的平方等于2，這個對角線的長度是以前從來沒有見到過的數，它既不循環，又無窮盡，這個數就是今天我們所說的無理數．下列各數中是無理數的是（ ）
A． B．0 C． D．
二、填空題
5．比較大?。? 2．(填“”“”或“<”)
6．定義新運算 “※”：，則 ．
7．設表示小于a的最大整數，則的值為 ．
8．如圖，M、N、P、Q是數軸上的四個點，這四個點中最適合表示的點是

9．如圖，在數軸上的a，b，c三個實數，且，化簡 ．
三、解答題
10．計算：．
11．設是的整數部分，，求的值．
12．先觀察下列等式，再回答問題：
①；
②；
③；
(1)根據上面三個等式，請猜想的結果（直接寫出結果）
(2)根據上述規律，解答問題：
設+···+，求不超過m的最大整數是多少？
B
一、單選題
1．在實數 ， 0，， ，中，無理數有（ ）個．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．球從空中落到地面所用的時間（秒）和球的起始高度（米）之間有關系式，若球的起始高度為米，則球落地所用時間與下列最接近的是（ ）
A．3秒 B．4秒 C．5秒 D．6秒
3．若，，這三個實數在數軸上所對應的點從左到右依次排列，則的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
4．滿足的整數m的值可能是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
二、填空題
5．估算的值 ．
6．已知m是整數，且，若是無理數，則整數m的值為 ．
7．用“&”定義新運算：對于任意實數a，b，都有，如果，那么 ．
三、解答題
8．將下列各數填入相應的大括號內：
，0，8，， (每相鄰兩個2之間依次多一個1)，，．
正數集：{ …}；
有理數集：{ …}；
負數集：{ …}；
無理數集：{ …}．
9．計算：
(1)；
(2)．
10．已知的平方根是和，的算術平方根是，是的整數部分．
(1)求，，的值；
(2)求的平方根．
11．【閱讀】
對于數對，若，則稱為“軒緣數對”．如：因為，，所以，都是“軒緣數對”．
【理解】
（1）下列數對中，是“軒緣數對”的是_____；（填序號）
①；②；③；④．
【運用】
（2）若是“軒緣數對”，求的值；
（3）若是“軒緣數對”，求算式的值．
C
1．對非負實數x“四舍五入”到個位的值記為．即：當n為非負整數時，如果，則．反之，當n為非負整數時，如果，則，例如：，，．
試解決下列問題：
(1)填空：①___________（π為圓周率）；②如果，則實數x的取值范圍為___________．
(2)①若關于x的不等式組的整數解恰有3個，則a的取值范圍是___________．
②若關于x的方程有正整數解，求m的取值范圍．
(3)求滿足的所有非負整數x的值．
2．我們規定：二元一次方程組的解記為，若存在滿足，，則稱是的“五好點”．
(1)點的“五好點”的坐標為______；
(2)若方程組的解記為，點的“五好點”為，且滿足，求的取值范圍；
(3)已知：是的整數部分，是的算術平方根（其中），當時，的“五好點”是，問：可能取得的最大值是多少？
3．現有有序數對和，如果，則稱“關聯”了，或被“關聯”．
例如，，則稱“關聯”了
(1)下列數對中被“關聯”的有______；
①，②，③，④
(2)若同時被和“關聯”，請求出p，q；
(3)對于均不為0的a、b、c，數對“關聯”了、和，且被“關聯”，試求數對．

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