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專題01 與平方根與立方根有關的題型
題型一、平方根與立方根的概念理解
1．在數，0，，2006，20.80中，有平方根的數有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】D
【分析】本題考查平方根的性質．根據非負數有平方根即可求得答案．
【詳解】解：0，，2006，20.80有平方根，沒有平方根，
則有平方根的數有4個，
故選：D．
2．關于平方根的說法：①是的平方根；②的平方根是；③的平方根是；④是的平方根：⑤的平方根是．若正確的打“√”，錯誤的打“×”，下列判斷正確的是（ ）
A．①√②×③×④√⑤× B．①√②√③×④×⑤×
C．①×②×③×④√⑤× D．①×②×③√④×⑤√
【答案】A
【分析】本題考查了對平方根的定義的理解，正數的平方根有兩個，且互為相反數；負數沒有平方根．根據平方根的意義與性質逐個進行判斷即可．
【詳解】解：①的平方根是，故是的平方根正確，即①；
②的平方根是，故的平方根是錯誤，即②；
③負數沒有平方根，故的平方根是錯誤，即③；
④的平方根，故是的平方根正確，即④；
⑤的平方根是，所以的平方根是錯誤，即⑤；
故選：A ．
3．若代數式沒有平方根，則x的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查平方根的定義；根據負數沒有平方根得到，計算即可求出．
【詳解】解：∵代數式沒有平方根，
∴，
解得：；
故選：A．
4．下列式子中表示“9的平方根是”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查平方根的定義及表示方法，解題的關鍵是注意一個正數有兩個平方根，它們互為相反數；0的平方根是0；負數沒有平方根．
即一個非負數的平方根為，據此即可判斷．
【詳解】解：“9的平方根是”可表示為：，
故選：B．
5．“13的立方根”用數學符號表示為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查立方根的定義，根據立方根的定義解答即可．
【詳解】解：13的立方根是，
故選：D．
6．已知，則下列說法正確的是（ ）
A．是的立方根 B．是的立方根
C．是的立方根 D．是的立方根
【答案】B
【分析】本題考查了立方根的定義，由題意可得，由此即可得解，熟練掌握立方根的定義是解此題的關鍵．
【詳解】解：∵，
∴，
∴是的立方根，
故選：B．
7．要使成立，那么a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．任意數
【答案】D
【分析】本題考查了立方根，熟練掌握立方根的定義是解題的關鍵．
根據立方根的定義解答即可．
【詳解】解：要使成立，則為任意數，即a為任意數，
故選：D．
8．立方根等于它本身的有（　　）
A．，0，1 B．0，1 C．0， D．1
【答案】A
【分析】本題考查了立方根，注意正數的立方根是正數，0的立方根是0，負數的立方根是負數．根據開立方的意義，可得答案．
【詳解】解：立方根等于它本身的有，0，1．
故選：A．
9．若的平方根只有一個，則x的值是 ．
【答案】3
【分析】本題考查平方根的性質，根據0的平方根是0，只有一個，得到，進行求解即可．
【詳解】解：∵的平方根只有一個，
∴，
∴；
故答案為：3．
10．若一個正數的兩個平方根分別是和，則a的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了根據平方根求參數．
根據平方根求出a的值即可．
【詳解】解：∵一個正數的兩個平方根分別是和，
∴，
解得：，
故答案為：．
題型二、已知平方根和立方根反求這個數
11．若是的一個平方根，的平方根是，則的值為（ ）
A． B．5 C．5或 D．或
【答案】D
【分析】本題考查了平方根和算術平方根的定義，熟練掌握平方根的定義是解題的關鍵．本題先依據平方根的性質求得的值，然后再進行計算即可．
【詳解】解: ∵是的一個平方根，
∴，
∵的平方根是，
∴，
∴ 當，時，，
當，時，．
故選：D．
12．若一個正數的平方根是與，則這個正數是
【答案】4
【分析】本題考查了已知一個數的平方根，求這個數．先由一個正數的兩個平方根分別是與，得出，解得，再代入得，即可作答．
【詳解】解：∵一個正數的兩個平方根分別是與，
，
，
，
則，
故答案為：4．
13．如果一個自然數的平方根為，那么與這個自然數相鄰的下一個自然數的平方根是 ．
【答案】
【分析】本題考查了平方根的定義；先根據平方根的定義求出這個自然數，再根據平方根的定義得出答案．
【詳解】解：∵一個自然數的平方根為，
∴這個自然數為9，
∴與這個自然數相鄰的下一個自然數為10，
∴與這個自然數相鄰的下一個自然數的平方根是，
故答案為：．
14．已知和是數的平方根，求的值．
【答案】25
【分析】本題考查了平方根，熟練掌握平方根的性質（一個正數有兩個平方根，它們互為相反數；的平方根是；負數沒有平方根）是解題關鍵．分兩種情況：①當數時，②當數時，根據平方根的性質建立方程，解方程求出的值，由此即可得．
【詳解】解：①當數時，
則，解得，此時，
所以此時不存在符合條件的的值；
②當數時，
則，解得，
所以，
所以；
綜上，的值為25．
15．已知正數x的平方根是a和．
(1)當時，求a的值；
(2)若，求x的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了平方根的定義，根據求平方根的方法解方程，正確理解平方根的定義是解題的關鍵．
（1）根據一個正實數的兩個平方根互為相反數，得到，由此即可得到答案；
（2）根據平方根的定義得到，再由已知條件得到，據此求解即可．
【詳解】（1）解：正數x的平方根是a和，
，
當時，，
；
（2）解：正數x的平方根是a和，
，
，
，
即，
，
，
．
16．已知的算術平方根是的立方根是．
(1)求的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本題主要考查算術平方根，立方根，平方根；
（1）根據題意得到，，計算求解即可；
（2）把，代入中，再求平方根即可．
【詳解】（1）解：∵的算術平方根是2，
∴，
解得：，
∵的立方根是，
∴，
∴，
解得．
（2）解：∵，
∴，
∴的平方根為．
17．已知，求的算術平方根．
【答案】3或或
【分析】本題考查了平方根、立方根的定義．如果一個數的平方等于，這個數就叫做的平方根，也叫做的二次方根．如果一個數的立方等于，那么這個數就叫做的立方根．先根據平方根、立方根的定義得到關于的一元一次方程，解方程組即可求出的值，進而得到的平方根．
【詳解】解：∵，
∴，解得，
，解得，
或，解得，
或，解得，
故或8或7，
則的算術平方根為3或或．
18．已知，b是9的算術平方根，的立方根是．
(1)求a，b，c的值；
(2)若，求的平方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了平方根、算術平方根、立方根：
（1）根據絕對值、算術平方根、立方根的定義即可求解；
（2）先根據確定a的值，進而求出的值，再求平方根即可．
【詳解】（1）解：因為，b是9的算術平方根，的立方根是，
所以，
所以．
（2）解：因為，，
所以，
所以．
因為25的平方根是，
所以的平方根是．
19．已知的兩個平方根分別是和，的立方根是2．
(1)求，，的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】此題考查平方根，立方根，熟練掌握相關知識是解題的關鍵；
（1）根據平方根定義，立方根定義列得，，即可求出，，的值；
（2）先求出的值，再利用平方根定義求出答案即可．
【詳解】（1）解：依題意得，
解得
故
∴，
解得
由題意，
解得；
（2）∵，
，6的平方根為 ，
所以的平方根為．
20．已知一個正數的兩個平方根分別是和，且的立方根是．求的算術平方根．
【答案】3
【分析】本題考查平方根和立方根，熟練掌握平方根和立方根的定義是解答本題的關鍵．先根據平方根的定義求出a，立方根的定義求出b，再代入計算即可．
【詳解】解：一個正數的兩個平方根分別是和，
，解得：，
的立方根是
，
解得：，
，
的算術平方根為3．
題型三、利用算術平方根的非負性求解
21．已知則的值是（ ）
A． B． C．9 D．
【答案】B
【分析】本題考查了非負數的性質，解題的關鍵是掌握絕對值與算術平方根的非負性，以及利用二元一次方程組求解未知數．
根據非負數的性質，絕對值與平方根均為非負數，它們的和為零時，各自必須為零，從而建立方程組求解，即可解題．
【詳解】由題意可得，，
解方程組：
由可得：③，
③代入：，解得，
代入③得：，
因此，，則．
故選：B．
22．已知，則的值為 ．
【答案】11
【分析】本題考查算術平方根和平方的非負性，1、幾個非負數的和為0，則這幾個非負數都為0；2、任何數的算術平方根都大于或等于0，任何數的平方都大于或等于0．根據非負性求出，再代入求值即可解答．
【詳解】解：∵，,
∴，
∴，，
解得：，
∴，
故答案為：11．
23．若，則 ．
【答案】
【分析】本題考查的是二次根式的非負性及二元一次方程組的應用，先根據二次根式的非負性求出x、y值，再代入計算即可．
【詳解】解：，
，
解得：，
把代入，，
故答案為：．
24．若、為實數，且，則的值為 ．
【答案】1
【分析】此題考查了絕對值和算術平方根的非負性，代數式求值，解題的關鍵是掌握以上知識點．
根據非負數的性質列出方程求出、的值，代入所求代數式計算即可．
【詳解】解：，
∴，，
∴，，
．
故答案為：1．
25．已知長方形的長和寬分別為a，b且a，b滿足，求這個長方形的面積．
【答案】6
【分析】本題考查了算術平方根和平方的非負性，以及列二元一次方程組，解二元一次方程組，熟練掌握非負性是解題的關鍵．
根據非負性得到，解方程組即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
解得：，
∴長方形的面積為．
26．已知與互為相反數，求代數式的值．
【答案】
【分析】本題考查算術平方根和絕對值的非負性，1、幾個非負數的和為0，則這幾個非負數都為0；2、任何數的算術平方根都大于或等于0，任何數的絕對值都大于或等于0．先求出，再代入求解即可．
【詳解】解：∵與互為相反數，
∴，
∴且，
∴，
∴．
27．已知．
(1)求x、y的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查的是非負數的性質、平方根，熟記絕對值、算術平方根的非負性是解題的關鍵．
（1）根據絕對值、算術平方根的非負性列出二元一次方程組，解方程組求出x、y；
（2）把x、y的值代入，根據平方根的概念計算即可．
【詳解】（1）解：∵，，
∴由題意得：，
解得：；
（2）解：當時，，
∵2的平方根是，
∴的平方根是．
28．已知a，b為實數，且，求的值．
【答案】
【分析】本題考查已知式子的值求代數式的值，非負數的性質，先根據算術平方根的非負性計算出a和b的值，代入計算即可．
【詳解】解：由題意，得且，
因為兩個非負式，之和為0，
所以且
所以，
所以．
題型四、利用平方根和立方根求解方程
29．已知一個正實數x的兩個平方根分別是m和，且，則x的值為（　　）
A．5 B．10 C．25 D．50
【答案】A
【分析】一個正實數x的兩個平方根分別是m和，得到，代入得到，解答即可．
本題考查了平方根，熟練掌握平方根的定義是解題的關鍵．
【詳解】解：由一個正實數x的兩個平方根分別是m和，
得到，
代入得到，
故，
解得，（舍去）．
故選：A．
30．若，則 ．
【答案】5或1/1或5
【分析】本題考查利用平方根的概念解方程，方程兩邊同時除以5，再根據平方根的概念即可轉化為兩個一元一次方程，求解即可得到答案．
【詳解】
，
∴或，
故答案為：5或1．
31．計算：
(1)．
(2)．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】本題考查利用平方根解方程，熟練掌握平方根的定義，是解題的關鍵：
（1）根據平方根的定義，解方程即可；
（2）根據平方根的定義，解方程即可．
【詳解】（1）解：由題意，得，
所以，
解得或．
（2）由題意，得，
所以，
所以，
解得或．
32．求滿足下列各式的未知數x：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）（2）將方程轉化為兩邊均是平方的形式，根據平方根的概念即可求解；本題考查利用平方根的概念求解方程的方法，熟練掌握平方根概念是解題的關鍵．
【詳解】（1）由，
得，
∴．
（2）由，
得，
∴，
∴或．
33．解下列方程．
(1)；
(2)．
【答案】(1)或
(2)
【分析】本題考查利用平方根及立方根解方程，掌握平方根及立方根定義，利用開平方與開立方運算求解是解題的關鍵．
（1）根據開平方運算得到一元一次方程，解方程即可得到答案；
（2）根據開立方運算得到一元一次方程，解方程即可得到答案．
【詳解】（1）解：，
，
，
解得或；
（2）解：，
，
，
解得．
34．解方程
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本題考查了利用平方根和立方根解方程，熟練掌握平方根和立方根的性質是解題關鍵．
（1）利用立方根解方程即可得；
（2）方程變形為，利用平方根解方程即可得．
【詳解】（1）解：，
．
（2）解：，
，
或，
或．
35．求出下列等式中的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了利用平方根和立方根解方程，熟練掌握平方根和立方根的性質是解題關鍵．
（1）直接利用平方根解方程即可得；
（2）直接利用立方根解方程即可得．
【詳解】（1）解：，
，
．
（2）解：，
，
．
36．解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（）把移到右邊，再根據平方根的定義解答即可；
（）把移到右邊，再根據立方根的定義解答即可；
本題考查了利用平方根和立方根解答方程，掌握平方根和立方根的定義是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴或；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
題型五、與算術平方根和立方根有關的規律題
37．以下是一組按規律排列的單項式：其中第n個單項式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查單項式規律探索、算術平方根，通過已知式子分析得出單項式系數及次數的變化規律，即可求解．
【詳解】解：該組單項式可變形為：
因此第n個單項式的系數為，次數為n，
故第n個單項式是，
故選：B．
38．利用計算器計算出的下表中各數的算術平方根如下：
… …
… 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 …
根據以上規律，若 ，，則 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了算術平方根和被開方數間關系．先根據表格得到規律，再根據規律確定結果．
【詳解】解：由表格可以發現：被開方數的小數點（向左或者右）每移動兩位，其算術平方根的小數點相應的向相同方向移動一位．
∴，
故答案為：．
39．若 ， 則 ．
【答案】
【分析】本題考查了算術平方根的移動規律的應用，能根據移動規律填空是解此題的關鍵．
根據算術平方根的移動規律，把被開方數的小數點每移動兩位，結果移動一位，進行填空即可．
【詳解】解：∵，
∴，
即，
故答案為：．
40．觀察下列等式：，，依此類推，第n個等式為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了數字類的規律探索，觀察可知，根式里面的整數為序號，分數的分子為1，分母為序號加2，開方的結果外面的整數為序號加1，根式里面的分數的分子為1，分母為序號加2，據此規律求解即可．
【詳解】解：，
，
……，
依此類推可知，第n個等式為：，
故答案為：．
41．已知，，則 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了立方根，正確掌握相關的定義與性質是解題的關鍵．
利用立方根的性質結合已知數據得出答案即可．
【詳解】解：，
．
故答案為：．
42．（1）填表：
a 1 1000 1000000
（2）根據你發現的規律填空：
①，則______，______；
②已知，則______．
【答案】（1），，1 ，10 ，100（2）①，， ②
【分析】本題主要考查了立方根的性質，依據被開方數小數點向左或向右移動3位對應的立方根的小數點向左或向右移動1位求解即可，熟練掌握被開方數小數點與對應的立方根小數點移動規律是解題的關鍵．
（1）利用立方根的性質求解即可；
（2）①利用立方根的性質求解即可；
②利用立方根的性質求解即可．
【詳解】解：（1）；
；
；
；
；
故答案為：，，1 ，10 ，100；
（2）①；
；
故答案為：，；
②
故答案為：．
43．我國著名數學家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：求54872的立方根．華羅庚脫口說出答案，眾人十分驚奇，忙問計算的奧妙，你知道他是怎樣迅速準確地計算出結果的嗎？下面是王老師的探究過程，請補充完整：
(1)口算并填空：個位數字為______．
(2)求．
①由，，可以確定是______位數；
②由54872的個位上的數是2，可以確定的個位上的數是______；
③如果劃去54872后面的三位872得到數54，而，，可以確定的十位上的數是______，由此求得______．
(3)已知17576是整數的立方，請用類似的方法求出的值．［過程可按題中的步驟寫］
【答案】(1)5
(2)①兩；②8；③，
(3)
【分析】本題考查求一個數的立方根，根據已知內容進行類比探究是解答問題的關鍵．
（）根據的個位數字即可判斷；
（）根據題干提供的思路和方法，進行推理驗證得出答案；
（）根據（）的方法、步驟，類推出相應的結果即可．
【詳解】（1）解：∵，個位數字為，
∴個位數字為，
故答案為：；
（2）解：①∵，，
∴，
∴可以確定是兩位數，
故答案為：兩；
②由的個位上的數是，，個位數字為，
∴的個位上的數是，
故答案為：；
③∵，，，
∴，
∴可以確定的十位上的數是，
∴
故答案為：．
（3）解：，，
的個位上的數是6，只有個位數字是6的數的立方的個位數字是6，
的個位數字是6．
如果劃去17576后面的三位576得到數17，而，，，
，
，即的十位數字是2．
．
44．求一個正數的算術平方根時，可以通過一組數的內在聯系運用規律求得．請同學們觀察下表：
n 0.0016 0.16 16 1600 160000 …
0.04 0.4 4 40 400 …
(1)根據表中所給的信息，你能發現什么規律？請將你發現的規律用文字表達出來．
(2)已知，運用你發現的規律，求下列各式的值：
①_______；
②_______．
【答案】(1)規律：被開方數的小數點向左（或向右）移動位，算術平方根的小數點就向左（或向右）移動位（為正整數）
(2)①0.1435 ②1435
【分析】此題考查的是探索規律題，掌握被開方數小數點的變化和開方后小數點的變化關系總結規律是解決此題的關鍵．
（1）根據表格中被開方數小數點的變化和開方后小數點的變化關系總結規律即可；
（2）①根據（1）總結的規律，計算即可；
②根據（1）總結的規律，計算即可；
【詳解】（1）解：由表可知：被開方數的小數點向左（或向右）移動位，算術平方根的小數點就向左（或向右）移動位（為正整數）；
（2）解：①根據（1）總結規律，；
②根據（1）總結規律，，
故答案為：①0.1435 ②1435．
45．先觀察下列等式，再回答問題：
第一個等式：；
第二個等式：；
第三個等式：．
(1)根據上述三個等式提供的信息填空， = ；
(2)請按照上面各等式反映的規律，試寫出第n個等式（n為正整數）；
(3)對于任何實數a，表示不超過a的最大整數，如，，計算：的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題考查了與算術平方根有關的規律探索，正確找到題中的規律是解題關鍵．
（1）根據題中所給信息可判結果；
（2）根據第一問的結果用字母代替數字即可；
（3）根據規律將原式進行正確變形求解；
【詳解】（1）∵第一個等式；
第二個等式；
第三個等式；
故根據規律可猜測第五個等式為；
故答案為：．
（2）根據（1）總結規律可得：第n個等式為；
（3）根據規律可化簡
．
46．探索與應用，先填寫下表，通過觀察后再回答問題：
1 100 10000
1 100
(1)表格中__________；__________；
(2)從表格中探究與數值變化的規律，并利用這個規律解決下面兩個問題：
①已知，則__________；
②已知，若，則__________；
(3)拓展：
①已知，若，用含的代數式表示．則__________；
②已知，則__________；
③已知，若，則__________．
【答案】(1)，
(2)①；②32400
(3)①；②；③
【分析】本題考查了算術平方根和立方根，注意被開方數擴大100（1000）倍，算術平方根（立方根）擴大10倍．掌握算術平方根和立方根的概念是解本題的關鍵．
（1）由表格得出規律，求出x與y的值即可；
（2）①根據算術平方根的被開方數擴大100倍，算術平方根擴大10倍，可得答案；
②根據算術平方根的被開方數擴大10000倍，算術平方根擴大100倍，可得答案；
（3）①根據立方根的被開方數縮小1000倍，立方根縮小10倍，可得答案；
②根據算術平方根的被開方數擴大1000倍，立方根擴大10倍，可得答案；
③根據立方根的被開方數縮小1000倍，立方根縮小10倍，可得答案．
【詳解】（1）解：，
，
，
．
故答案為：，．
（2）①解：，
，
故答案為：．
②解：，
，
，
故答案為：．
（3）①解：，
，
，
，
，
故答案為：．
②解：，
，
故答案為：．
③，
，
，
故答案為：．
題型六、與立方根有關的實際應用題
47．如圖，某港口有一個體積為的正方體集裝箱，為存放更多的貨 物，現準備將其改造為一個體積為的正方體集裝箱，改造后正方體的棱長是原來正方體棱長的（ ）
A．2 倍 B．3 倍 C．6 倍 D．9 倍
【答案】A
【分析】本題考查立方根的應用，掌握立方根的意義是解題的關鍵．先根據立方根分別求出體積為的正方體的棱長和體積為的正方體的棱長，然后作除法即可得出結論．
【詳解】解：∵體積為的正方體的棱長為：，
體積為的正方體的棱長為：，
又 ∵，
∴棱長應變為原來的2倍．
故選：A．
48．蓄水池（如圖）是用人工材料修建、具有防滲作用的蓄水設施．某地準備修建一個容積為的正方體蓄水池，則該正方體蓄水池的棱長為 ．
【答案】5
【分析】本題主要考查了立方根的應用，根據正方體的體積公式結合立方根定義，求出正方體蓄水池的棱長即可．
【詳解】解：∵正方體蓄水池容積為，
∴正方體蓄水池的棱長為．
故答案為：5．
49．某甜品店的李師傅制作的長方體月餅禮盒的體積為，而康師傅制作的正方體月餅禮盒的體積是李師傅制作的1.5倍，則康師傅制作的正方體月餅禮盒的棱長為 ．
【答案】6
【分析】本題考查了立方根，根據正方體的體積公式列等式，求體積的立方根即可．
【詳解】解：設康師傅制作的正方體月餅禮盒的棱長為，
由題意得：，
解得：，
∴康師傅制作的正方體月餅禮盒的棱長為．
故答案為：6．
50．根據下圖所示的對話內容回答下列問題：
(1)求魔方的棱長．
(2)求長方體紙盒的長．
【答案】(1)魔方的棱長為
(2)
【分析】本題考查立方根的應用，解決本題的關鍵是熟記立方根的定義．
（1）設魔方的棱長為．根據題意列出方程，由立方根的性質即可解答；
（2）設長方體紙盒的長、寬、高分別為，根據題意列出方程，由立方根的性質即可解答．
【詳解】（1）設魔方的棱長為．
由題意，得，
解得，
所以魔方的棱長為．
（2）設長方體紙盒的長、寬、高分別為，
由題意，得，
解得，
所以長方體紙盒的長為．
51．（1）一個正方體形狀的木箱容積是，求這個木箱的棱長．（結果精確到）．
（2）一個籃球的體積是，求這個籃球的半徑．（球體積公式為取3.14，結果精確到）
【答案】（1）這個木箱的棱長約；（2）這個籃球的半徑約
【分析】本題考查了立方根的應用，解題的關鍵是能根據題意得出方程．
（1）設這個正方體木箱的棱長為，由題意得出方程，求出即可．
（2）設這個籃球的半徑為，由題意得出方程，求出即可．
【詳解】解：（1）設這個木箱的棱長為，
則，
解得．
答：這個木箱的棱長約．
（2）設這個籃球的半徑為，
根據題意，得，
解得．
答：這個籃球的半徑約．
52．這幾年，垃圾變廢為寶的推進力度在持續加強．某廢鐵加工廠決定將回收的如圖①所示的一個長為，寬為，高為的廢棄長方體鐵坯，加工成如圖②所示的正方體鐵塊（假設加工過程中無損失），求加工后正方體鐵塊的棱長．
【答案】
【分析】本題考查的是立方根的應用，設加工后正方體鐵塊的棱長為，根據題意列方程并解方程即可解決．
【詳解】解：設加工后正方體鐵塊的棱長為，
∵長方體鐵坯的長為，寬為，高為，
∴，
∴，
解得，
∴加工后正方體鐵塊的棱長為．
53．如圖1，這是由8個同樣大小的立方體組成的魔方，總體積為．

(1)這個魔方的棱長為______．
(2)圖1的側面有一個正方形，求這個正方形的面積和邊長．
(3)將正方形放置在數軸上，如圖2所示，點A與數3表示的點重合，則D在數軸上表示的數為______．
【答案】(1)6
(2)，邊長
(3)
【分析】本題考查了正方體的體積、實數與數軸之間的關系，正方體的體積＝棱長的立方．實數與數軸上的點是一一對應的關系，數軸上的點的左右移動后對應的數的表示．
（1）根據正方體的體積，求的立方根，即可作答．
（2）根據正方形的面積，求的平方根，即可作答．
（3）根據數軸上表示實數，在左邊的點用減法表示，即可作答．
【詳解】（1）解：設魔方的棱長為，
則，
∴，
故答案為：6；
（2）解：，
∵邊長乘邊長，
∴邊長；
（3）解：∵，點A為3，
∴點D代表的數為，
故答案為：．
54．如圖是一種圓柱形升降阻車樁，它的體積為，高h等于底面半徑r的5.48倍，底面半徑r是多少厘米？（取3.14，結果保留小數點后兩位．）
【答案】10.95厘米
【分析】本題考查了立方根的應用，解題的關鍵是根據圓柱體積公式，結合已知條件列出關于底面半徑r的方程并求解．
根據圓柱體積公式，代入數據計算即可．由題意得
【詳解】
（厘米）
答：底面半徑約是10.95厘米．中小學教育資源及組卷應用平臺
專題01 與平方根與立方根有關的題型
題型一、平方根與立方根的概念理解
1．在數，0，，2006，20.80中，有平方根的數有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
2．關于平方根的說法：①是的平方根；②的平方根是；③的平方根是；④是的平方根：⑤的平方根是．若正確的打“√”，錯誤的打“×”，下列判斷正確的是（ ）
A．①√②×③×④√⑤× B．①√②√③×④×⑤×
C．①×②×③×④√⑤× D．①×②×③√④×⑤√
3．若代數式沒有平方根，則x的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4．下列式子中表示“9的平方根是”的是（ ）
A． B．
C． D．
5．“13的立方根”用數學符號表示為（ ）
A． B． C． D．
6．已知，則下列說法正確的是（ ）
A．是的立方根 B．是的立方根
C．是的立方根 D．是的立方根
7．要使成立，那么a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．任意數
8．立方根等于它本身的有（　　）
A．，0，1 B．0，1 C．0， D．1
9．若的平方根只有一個，則x的值是 ．
10．若一個正數的兩個平方根分別是和，則a的值為 ．
題型二、已知平方根和立方根反求這個數
11．若是的一個平方根，的平方根是，則的值為（ ）
A． B．5 C．5或 D．或
12．若一個正數的平方根是與，則這個正數是
13．如果一個自然數的平方根為，那么與這個自然數相鄰的下一個自然數的平方根是 ．
14．已知和是數的平方根，求的值．
15．已知正數x的平方根是a和．
(1)當時，求a的值；
(2)若，求x的值．
16．已知的算術平方根是的立方根是．
(1)求的值；
(2)求的平方根．
已知，求的算術平方根．
18．已知，b是9的算術平方根，的立方根是．
(1)求a，b，c的值；
(2)若，求的平方根．
19．已知的兩個平方根分別是和，的立方根是2．
(1)求，，的值；
(2)求的平方根．
20．已知一個正數的兩個平方根分別是和，且的立方根是．求的算術平方根．
題型三、利用算術平方根的非負性求解
21．已知則的值是（ ）
A． B． C．9 D．
22．已知，則的值為 ．
23．若，則 ．
24．若、為實數，且，則的值為 ．
25．已知長方形的長和寬分別為a，b且a，b滿足，求這個長方形的面積．
26．已知與互為相反數，求代數式的值．
27．已知．
(1)求x、y的值；
(2)求的平方根．
28．已知a，b為實數，且，求的值．
題型四、利用平方根和立方根求解方程
29．已知一個正實數x的兩個平方根分別是m和，且，則x的值為（　　）
A．5 B．10 C．25 D．50
30．若，則 ．
31．計算：
(1)．
(2)．
32．求滿足下列各式的未知數x：
(1)；
(2)．
33．解下列方程．
(1)；
(2)．
34．解方程
(1)；
(2)．
35．求出下列等式中的值：
(1)；
(2)．
36．解下列方程：
(1)；
(2)．
題型五、與算術平方根和立方根有關的規律題
37．以下是一組按規律排列的單項式：其中第n個單項式是（ ）
A． B． C． D．
38．利用計算器計算出的下表中各數的算術平方根如下：
… …
… 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 …
根據以上規律，若 ，，則 ．
39．若 ， 則 ．
40．觀察下列等式：，，依此類推，第n個等式為 ．
41．已知，，則 ．
42．（1）填表：
a 1 1000 1000000
（2）根據你發現的規律填空：
①，則______，______；
②已知，則______．
43．我國著名數學家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：求54872的立方根．華羅庚脫口說出答案，眾人十分驚奇，忙問計算的奧妙，你知道他是怎樣迅速準確地計算出結果的嗎？下面是王老師的探究過程，請補充完整：
(1)口算并填空：個位數字為______．
(2)求．
①由，，可以確定是______位數；
②由54872的個位上的數是2，可以確定的個位上的數是______；
③如果劃去54872后面的三位872得到數54，而，，可以確定的十位上的數是______，由此求得______．
(3)已知17576是整數的立方，請用類似的方法求出的值．［過程可按題中的步驟寫］
44．求一個正數的算術平方根時，可以通過一組數的內在聯系運用規律求得．請同學們觀察下表：
n 0.0016 0.16 16 1600 160000 …
0.04 0.4 4 40 400 …
(1)根據表中所給的信息，你能發現什么規律？請將你發現的規律用文字表達出來．
(2)已知，運用你發現的規律，求下列各式的值：
①_______；
②_______．
45．先觀察下列等式，再回答問題：
第一個等式：；
第二個等式：；
第三個等式：．
(1)根據上述三個等式提供的信息填空， = ；
(2)請按照上面各等式反映的規律，試寫出第n個等式（n為正整數）；
(3)對于任何實數a，表示不超過a的最大整數，如，，計算：的值．
46．探索與應用，先填寫下表，通過觀察后再回答問題：
1 100 10000
1 100
(1)表格中__________；__________；
(2)從表格中探究與數值變化的規律，并利用這個規律解決下面兩個問題：
①已知，則__________；
②已知，若，則__________；
(3)拓展：
①已知，若，用含的代數式表示．則__________；
②已知，則__________；
③已知，若，則__________．
題型六、與立方根有關的實際應用題
47．如圖，某港口有一個體積為的正方體集裝箱，為存放更多的貨 物，現準備將其改造為一個體積為的正方體集裝箱，改造后正方體的棱長是原來正方體棱長的（ ）
A．2 倍 B．3 倍 C．6 倍 D．9 倍
48．蓄水池（如圖）是用人工材料修建、具有防滲作用的蓄水設施．某地準備修建一個容積為的正方體蓄水池，則該正方體蓄水池的棱長為 ．
49．某甜品店的李師傅制作的長方體月餅禮盒的體積為，而康師傅制作的正方體月餅禮盒的體積是李師傅制作的1.5倍，則康師傅制作的正方體月餅禮盒的棱長為 ．
50．根據下圖所示的對話內容回答下列問題：
(1)求魔方的棱長．
(2)求長方體紙盒的長．
51．（1）一個正方體形狀的木箱容積是，求這個木箱的棱長．（結果精確到）．
（2）一個籃球的體積是，求這個籃球的半徑．（球體積公式為取3.14，結果精確到）
52．這幾年，垃圾變廢為寶的推進力度在持續加強．某廢鐵加工廠決定將回收的如圖①所示的一個長為，寬為，高為的廢棄長方體鐵坯，加工成如圖②所示的正方體鐵塊（假設加工過程中無損失），求加工后正方體鐵塊的棱長．
53．如圖1，這是由8個同樣大小的立方體組成的魔方，總體積為．

(1)這個魔方的棱長為______．
(2)圖1的側面有一個正方形，求這個正方形的面積和邊長．
(3)將正方形放置在數軸上，如圖2所示，點A與數3表示的點重合，則D在數軸上表示的數為______．
54．如圖是一種圓柱形升降阻車樁，它的體積為，高h等于底面半徑r的5.48倍，底面半徑r是多少厘米？（取3.14，結果保留小數點后兩位．）

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