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中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
專題02 八大重要的特殊三角形模型
題型一：平行+平分現(xiàn)等腰模型
1．（2025·湖北武漢·三模）如圖，在中，以頂點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，再分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在內(nèi)部交于一點(diǎn)，過點(diǎn)作射線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)．若，，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由題意可得為的角平分線，，
，
，，則，
∴，，故選：C．
2．（24-25八年級上·廣東珠海·期中）如圖，在中，和的平分線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)作交于M，交于N，若，，則線段的長為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【詳解】解：∵、的平分線相交于點(diǎn)，∴，，
∵，∴，，
∴，，∴，，
∵，∴．故選B．
3．（24-25八年級上·天津南開·期中）如圖，在中，，和的平分線分別交于點(diǎn)，，若，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：平分，∴，
∵，∴，∴，∴， 同理可得：，
∴， 故選：．
4．（24-25九年級上·山東濱州·期中）已知如圖（），中，，、的平分線相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于．
(1)與間有怎樣的關(guān)系？寫出你的猜想．（不用證明）
(2)若，第①問中與間的關(guān)系還存在嗎？若不存在，請說明理由，若存在，請寫出證明過程．(3)若中，，的平分線與三角形外角的平分線交于，過點(diǎn)作交于，交于．如圖（），與間的關(guān)系如何？為什么？
【答案】(1)(2)仍然成立，理由見解析(3)，理由見解析
【詳解】（1）解：，理由如下：
∵平分，∴，，
∵， ∴，，
∴，，∴，，∵，∴；
（2）解：當(dāng)時，仍然成立，理由如下：
∵平分，∴，，
∵， ∴，，
∴，，∴，，∵，∴；
（3）解：，理由如下：
∵平分，∴，，
∵， ∴，，
∴，，∴，，∵，∴．
5．（24-25八年級上·河北石家莊·階段練習(xí)）（1）如圖1，，平分，則的形狀是 三角形；
（2）如圖2，平分，，，則 ．
（3）如圖3，有中，是角平分線，交于點(diǎn)D．若，則 ．
（4）如圖4，在中，與的平分線交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作，分別交，于點(diǎn)D，E．若，則的周長為 ．
（5）如圖，在中，cm，分別是和的平分線，且，則的周長是 ．
【答案】（1）等腰；（2）3；（3）12；（4）30；（5）5cm
【詳解】解：（1）∵，∴，
∵平分，∴，∴，∴是等腰三角形；故答案為：等腰；
（2）∵平分，，∴，
∴，∴；故答案為：3；
（3）同法（2）可得：，∴；故答案為：12；
（4）同法（2）可得：，
∴的周長；故答案為：30；
（5）同法（2）可得：，
∴的周長；故答案為：5cm．
題型二：平分+射影現(xiàn)等腰模型
6．（24-25八年級·綿陽市·假期作業(yè)）如圖，在中，，于點(diǎn)D，的平分線交于F，交于E，若，，則 ．
【答案】5
【詳解】∵，∴，
∵，∴，∴，
∵平分，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴．故答案為：5.
7.（24-25.江蘇八年級期中）如圖，已知：在中，，于D，的角平分線交AD與F，交AB于E，交AB于G．，，則__________，__________．
【答案】4cm；
【詳解】過E作EH垂直BC交BC于H點(diǎn)，易證；
由角度分析易知，即，則有；
又可證，則，則，．
【點(diǎn)睛】這道題主要講解角平分線加射影模型必出等腰三角形的模型．
8．（24-25·四川達(dá)州·八年級校考階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，AF平分∠CAB，交CD于點(diǎn)E，交CB于點(diǎn)F，則下列結(jié)論成立的是（　　）

A．EC＝EF B．FE＝FC C．CE＝CF D．CE＝CF＝EF
【答案】C
【詳解】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CDB＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD+∠B＝90°，∴∠ACD＝∠B，
∵AF平分∠CAB，∴∠CAE＝∠BAF，∴∠ACD+∠CAE＝∠B+∠BAF，
∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF．故選C．
9.（24-25.成都市青羊區(qū)八年級期中）如圖，在中，，于點(diǎn)D，的平分線BE交AD于F，交AC于E，若，，則_____________．
【答案】5
【詳解】由角度分析易知，即，
∵ ∴ ∵ ∴
【點(diǎn)睛】這道題主要講解角平分線加射影模型必出等腰三角形的模型．
10.（24-25八年級下·山西運(yùn)城·期中）如圖，在中，，點(diǎn)D在邊上，連接，的平分線分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)．(1)尺規(guī)作圖：求作的高線；（要求：保留作圖痕跡，標(biāo)明字母，不寫作法；如果完成有困難，可畫出草圖后解答（2）題）；(2)若，求證：．
【答案】(1)見解析(2)見解析
【詳解】（1）解：如圖，線段即為所求：
；
（2）證明：∵，∴，∴在中，，
∵，∴，∵平分，∴，∴，
∵，∴，∴，由（1）知是的高，即，
∵，∴，∵平分，∴， ∴．
題型三：等腰三角形中的維維尼亞模型
11．（24-25八年級上·廣西貴港·期中）如圖，點(diǎn)P在等邊三角形的內(nèi)部，，，，垂足分別為D，E，F(xiàn)，若，且，則的邊長為 ．
【答案】3
【詳解】解：連接，，，
∵，，，∴．
∵為等邊三角形，，
∴，解得，即的邊長為3．故答案為：3
12．（24-25八年級下·福建泉州·期中）如圖，是三角形內(nèi)一點(diǎn)，，若，且是等邊三角形，則的周長為（　　）

A．12 B．18 C．24 D．30
【答案】B
【詳解】解：延長交于，延長交于，
，
，四邊形，四邊形是平行四邊形，，
是等邊三角形，，，
，是等邊三角形，同理：是等邊三角形，
，，，
的周長為，故選：B．
13．（24-25七年級下·上海·期中）已知等邊△ABC和點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P到△ABC三邊的AB、AC、BC的距離分別是h1，h2，h3，△ABC的高為h，請你探索以下問題：
（1）若點(diǎn)P在一邊BC上（圖（1）），此時h3=0，問h1、h2與h之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系 請說明理由；
（2）若當(dāng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)（圖（2）），此時h1、h2、h3與h之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系 請說明理由；
（3）若點(diǎn)P在△ABC外（圖（3）），此時h1、h2、h3與h之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系___．（請直接寫出你的猜想，不需要說明理由．）
【答案】（1）h=h1+h2，理由見解析；（2）h=h1+h2+h3，理由見解析；（3）h=h1+h2 h3
【詳解】（1）h=h1+h2，理由如下：連接AP，則 S△ABC=S△ABP+S△APC
∴BC AM=AB PD+AC PF即BC h=AB h1+AC h2
又∵△ABC是等邊三角形∴BC=AB=AC，∴h=h1+h2．
（2）h=h1+h2+h3，理由如下：連接AP、BP、CP，則S△ABC=S△ABP+S△BPC+S△ACP
∴BC AM=AB PD+AC PF+BC PE即BC h=AB h1+AC h2+BC h3
又∵△ABC是等邊三角形，∴BC=AB=AC．∴h=h1+h2+h3．
（3）h=h1+h2 h3．
當(dāng)點(diǎn)P在△ABC外時，結(jié)論h1+h2+h3=h不成立．此時，它們的關(guān)系是h1+h2 h3=h．
理由如下：連接PB，PC，PA；由三角形的面積公式得：S△ABC=S△PAB+S△PAC S△PBC，
即BC AM=AB PD+AC PE BC PF，
∵AB=BC=AC，∴h1+h2 h3=h，即h1+h2 h3=h．
14．（24-25山西八年級上期末）已知，在等邊三角形中，為邊上的高.
操作發(fā)現(xiàn):（1）如圖1，過點(diǎn)分別作，，垂足分別為.請直接寫出和的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，若點(diǎn)為上任意一點(diǎn)（不與重合），過點(diǎn)作，，垂足分別為.判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
拓廣探索:（3）如圖3，點(diǎn)為等邊三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作，，，垂足分別為，探究和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.
【答案】（1），理由見解析；（2），理由見解析；（3），理由見解析.
【詳解】（1）. 根據(jù)三角形的面積公式:S△ABC=S△ABD+S△ACD即:
∵△ABC是等邊三角形,即:AB=AC=BC,∴.
（2） 理由如下：∵為等邊三角形∴
∵為邊上的高∴
又∵，，∴∴
（3） 理由如下：如圖，連接，
∵為等邊三角形，∴ ∵為邊上的高，∴
∵，，，垂足分別為，
∴
∴ ∴
15．（24-25浙江八年級期中）數(shù)學(xué)中常常利用面積相等來證明其他的線段相等，這種方法被稱為“面積法”．已知等邊，點(diǎn)是平面上任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到邊、邊的距離分別為、，的邊上的高為．回答以下問題：

(1)如圖（1），若點(diǎn)在三角形的邊上，、、存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請給出證明過程．
(2)如圖（2），當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)，已知，求的值．
(3)如圖（3），當(dāng)點(diǎn)在外，請直接寫出與、、的數(shù)量關(guān)系，不用證明．
【答案】(1)，證明見解析(2)10(3)
【詳解】（1）解：，證明如下：連結(jié)，如圖（1）所示：

設(shè)，是等邊三角形，，
于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，
，，，
，，；
（2）解：連結(jié)、、，如圖（2）所示：
設(shè)，是等邊三角形，，
于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，
，，，，
，，，
，，的值為；
（3）解：，理由如下：連結(jié)、、，如圖（3）所示：
設(shè)，是等邊三角形，，
于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，
，，，，
，，．
題型四：等邊三角形中的維維尼亞模型
16．（23-24八年級上·廣東廣州·期中）如圖，是等腰三角形，點(diǎn)O是底邊上任意一點(diǎn)，、分別與兩邊垂直，等腰三角形的腰長為8，面積為20，則的值為（ ）

A．5 B．7.5 C．9 D．10
【答案】A
【詳解】解：連接，如圖，

∵、分別與兩邊垂直，面積為20，，
，，，故選：A．
17．（2024八年級·廣東·培優(yōu)）如圖，中，，點(diǎn)P是邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q是延長線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，過點(diǎn)Q分別作于點(diǎn)F，于點(diǎn)G，則 ．（填“>”“<”或“=”）
【答案】
【詳解】解：連接、，如圖所示：
∵﹐且，，，，
∴，∵，
∴，∴．故答案為：．
18．（23-24八年級上·廣東·課后作業(yè)）閱讀材料：
文字描述 圖形展示
如圖，在等腰中，，其一腰上的高為h，M是底邊上的任意一點(diǎn)，M到腰，的距離分別為，，可得結(jié)論．
證明；連接，，，， 又，，∵，，
結(jié)論：等腰三角形底邊上的任一點(diǎn)到兩腰的距離和等于一腰的高
【解決問題】如圖，在等腰中，，其一腰上的高為，且在延長線上，到腰，的距離分別為，．，，之間有什么樣的結(jié)論？依據(jù)所畫圖形，證明你的結(jié)論．

【答案】，見解析
【詳解】解：，理由如下：，
又∵，，，．
19．（23-24八年級下·江西吉安·階段練習(xí)）數(shù)學(xué)課上，老師畫出一等腰并標(biāo)注：，，然后讓同學(xué)們提出有效問題并解決請你結(jié)合同學(xué)們提出的問題給予解答．

(1)甲同學(xué)提出：______度；(2)乙同學(xué)提出：的面積為：______；
(3)丙同學(xué)提出：點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，，，垂足為E、F，請求出的值；
(4)丁同學(xué)說受丙同學(xué)啟發(fā)，點(diǎn)D為邊上任一點(diǎn)，，，，垂足為E、F、H，則有．請你為丁同學(xué)說明理由．
【答案】(1)(2)25(3)(4)見解析【詳解】（1）解：，，；
（2）解：過點(diǎn)B作，交AC于點(diǎn)H，則：，

，，，；
（3）解：連接，如圖所示：，點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，平分，
，，（角平分線的性質(zhì)）；
∵，，，
由（2）知，，；
（4）證明：連接，如圖所示：
∵，，，，，，
，，，
即：，．
20．（23-24山西八年級上期中）（1）如圖（1），已知在等腰三角形中，，點(diǎn)是底邊上的一點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)．求證：為定長．
（2）如圖（2），已知在等腰三角形中，，點(diǎn)是底邊的延長線上的一點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)．求證：為定長．（3）如圖（3），已知：點(diǎn)為等邊三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，過分別作三邊的垂線，分別交三邊與、、．求證：為定長．
【答案】證明見解析
【詳解】（1）過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)；連接．
∵，∴．
又∵，∴，為定長．即等腰三角形底邊上的任意一點(diǎn)，到兩腰的距離之和等于定長．
（2）過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)；連接．
∵，∴．
又∵，∴，為定長．
即等腰三角形底邊的延長線上的任意一點(diǎn)，到兩腰的距高之差等于定長．
（3）∵，∴．
又∵為等邊三角形，∴．∴，為定長．
即等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)到三邊距離之和為定長．
題型五：等腰三角形中的重要模型-帽子模型（長短手模型）
21．（2024·貴州銅仁·模擬預(yù)測）如圖，過邊長為6的等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長線上一點(diǎn)，連PQ交AC邊于D，當(dāng)PA＝CQ時，DE的長為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【詳解】解：過P作PM∥BC，交AC于M，
∵△ABC是等邊三角形，且PM∥BC，∴△APM是等邊三角形；
又∵PE⊥AM，∴AE＝EM＝AM；（等邊三角形三線合一）
∵PM∥CQ，∴∠PMD＝∠QCD，∠MPD＝∠Q；
又∵PA＝PM＝CQ，在△PMD和△QCD中，，∴△PMD≌△QCD（AAS）；∴CD＝DM＝CM；
∴DE＝DM+ME＝（AM+MC）＝AC＝3．故選：C．
22．（24-25八年級上·湖北荊門·期中）如圖，中，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿線段移動（點(diǎn)不與，重合），同時，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿線段的延長線移動，已知點(diǎn)、移動的速度相同，與直線相交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，、在移動過程中，線段中是否存在長度保持不變的線段？請說明理由．
【答案】(1)見詳解(2)的長度保持不變，理由見詳解
【詳解】（1）證明：過點(diǎn)作交于，如下圖，
∵點(diǎn)、同時出發(fā)，且移動的速度相同，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，∴，∴，
在和中，，∴，∴；
（2）解：的長度保持不變，理由如下：由（1）可知，，
∵，∴，由（1）可知，，
∴，∴，∴為定值．
23．（24-25八年級上·廣東中山·期末）如圖，中， ， ， 點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿線段移動到點(diǎn)A停止，同時點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿的延長線移動，并與點(diǎn) P同時停止． 已知點(diǎn) P，Q移動的速度相同，連接與線段 相交于點(diǎn)D(不考慮點(diǎn) P與點(diǎn)A，B重合時的情況)．
(1)求證: ；(2)求證: ；(3)如圖，過點(diǎn)P作于點(diǎn)E，在點(diǎn)P，Q移動的過程中，線段的長度是否變化 如果不變，請求出這個長度；如果變化，請說明理由．
【答案】(1)見解析(2)見解析(3)為定值5，理由見解析
【詳解】（1）證明：、的移動速度相同，，
，；
（2）如圖，過點(diǎn)P作，交于點(diǎn)F，
，，
，，，，由（1）得，，
在與中，，，；
（3）解：為定值5，理由如下：如圖，過點(diǎn)P作，交于點(diǎn)F，
由（2）得：，為等腰三角形，
，，由（2）得，，
，為定值5．
24．（24-25九年級上·山西臨汾·階段練習(xí)）綜合與探究
問題情境：在中，，在射線上截取線段，在射線上截取線段，連結(jié)，所在直線交直線于點(diǎn)M．
猜想判斷：（1）當(dāng)點(diǎn)D在邊的延長線上，點(diǎn)E在邊上時，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，如圖①．若，則線段、的大小關(guān)系為_______．
深入探究：（2）當(dāng)點(diǎn)D在邊的延長線上，點(diǎn)E在邊的延長線上時，如圖②．若，判斷線段、的大小關(guān)系，并加以證明．
【答案】（1）；（2），理由見解析；（3）
【詳解】（1）解：，理由如下：過點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，
∵，，∵，，，
，∵，∴，
在和中，，∴，∴；
（2）解：
理由如下：如圖，過點(diǎn)E作交的延長線于點(diǎn)F，
∵，，，
在和中，，∴，；
25．（23-24八年級上·遼寧葫蘆島·期末）【問題初探】（1）數(shù)學(xué)課上，李老師出示了這樣一個問題：如圖1，在中，，點(diǎn)F是上一點(diǎn)，點(diǎn)E是延長線上的一點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)D，若，求證：．
①如圖2，小樂同學(xué)從中點(diǎn)的角度，給出了如下解題思路：在線段上截取，使，連接，利用兩個三角形全等和已知條件，得出結(jié)論；
②如圖3，小亮同學(xué)從平行線的角度給出了另一種解題思路：過點(diǎn)E作交的延長線于點(diǎn)M，利用兩個三角形全等和已知條件，得出了結(jié)論；
請你選擇一位同學(xué)的解題思路，寫出證明過程；
【類比分析】（2）李老師發(fā)現(xiàn)兩位同學(xué)的做法非常巧妙，為了讓同學(xué)們更好的理解這種轉(zhuǎn)化的思想方法，李老師提出了新的問題，請你解答，
如圖4，在中，點(diǎn)E在線段上，D是的中點(diǎn)，連接，，與相交于點(diǎn)N，若，求證：；
【學(xué)以致用】（3）如圖5，在中，，，平分，點(diǎn)E在線段的延長線上運(yùn)動，過點(diǎn)E作，交于點(diǎn)N，交于點(diǎn)D，且，請直接寫出線段，和之間的數(shù)量關(guān)系．
【答案】（1）①選擇小樂同學(xué)的做法：證明見解析；②選擇小亮同學(xué)的做法：證明見解析；（2）證明見解析；（3）
【詳解】（1）證明：∵，，，
∴，∴，，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，∴；
②∵，∴，∵，，∴，∴，
∵，∴，∵，∴，∴，∴；
（2）延長，取，連接，如圖所示：
∵D是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，，
∵，，∴，
∴，∴，∴；
（3）延長，使，連接，如圖所示：
∵，，∴，
∴，，∴，∴，
∵平分，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴，
∵，，∴，
∵，∴．
題型六：等邊截等長模型（定角模型）
26．（2024八年級·重慶·培優(yōu)）如圖，為等邊三角形，且與相交于點(diǎn)，則（ ）．
A．等于 B．等于 C．等于 D．大小不確定
【答案】B
【詳解】∵等邊，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，故選B．
27．（23-24八年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，為等邊三角形，、分別是、上的點(diǎn)，且，與相交于點(diǎn)，于點(diǎn)．若，則的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC．∴∠BAC=∠C．
在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（SAS）．
∴∠ABD=∠CAE．∴∠APD=∠ABP+∠PAB=∠BAC=60°．∴∠BPF=∠APD=60°．
∵∠BFP=90°，∠BPF=60°，∴∠PBF=30°．∴．故選：B．
28．（23-24九年級上·廣東廣州·期中）如圖，點(diǎn)，分別在等邊三角形的邊，上，，連接，交于點(diǎn)，連接，以下結(jié)論：①；②；③的面積是面積的2倍；④；一定正確的有（　　）個．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【詳解】∵ ，∴，
∵，，∴，，
∴，且，，∴(SAS)
∴，故①正確．
∵，∴，故②正確．
∵，∴，，
∴，∴，故③正確．
如圖，延長至，使，連接，，過點(diǎn)作于，
∵∴是等邊三角形，∴，
∴，，
∴，且，，∴(SAS)，
∴，，，設(shè)，則，，
∵，∴，，∴，
∵，∴，∵是等邊三角形，，
∴，∴，
∴，∴四邊形為平行四邊形，且，∴四邊形是矩形，∴，故④正確．故選：A．
29．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，點(diǎn)D、E分別是等邊三角形邊、上的點(diǎn)，且，與交于點(diǎn)F．求證：．
【答案】見解析
【詳解】證明∶∵是等邊三角形，∴，，
又，∴，∴．
30．（23-24八年級·廣東中山·期中）如圖，在等邊中，點(diǎn)分別在邊上，且，與相交于點(diǎn)，于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，求的長．

【答案】(1)見解析(2)8
【詳解】（1）證明：∵為等邊三角形，∴，
在和中，∴，∴．
（2）解：∵，∴，∴，
又∵，∴，∴，∴，又∵，∴．
題型七：等邊內(nèi)接等邊模型
31．（2024七年級下·成都·專題練習(xí)）如圖，過等邊三角形的頂點(diǎn)、、依次作、、的垂線、，三條垂線圍成，若，則的周長為（　　）
A．12 B．18 C．20 D．24
【答案】B
【詳解】解：∵，∴，
∵是等邊三角形，∴，∴，
∴，同理：，∴是等邊三角形．∴．
在中，，∴，∴，∵，∴，
在與中，，∴
∴，∴，∴的周長為．故選：B．
32．（22-23七年級下·四川成都·期末）如圖，和都是等邊三角形，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊上，若的周長為15，，則的長為（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【詳解】解：∵和都是等邊三角形，
∴，，，
∴，，∴，∴，
同理得：，∴，
∵的周長為15，∴，∴，故選：B．
33．（24-25八年級下·廣東云浮·期中）如圖，點(diǎn)P，M，N分別在等邊三角形的各邊上，且于點(diǎn)P，于點(diǎn)M，于點(diǎn)N．(1)求證：是等邊三角形；(2)若，求的長．
【答案】(1)證明見解析(2)
【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形，∴．
∵，∴．
∴．
∴．∴是等邊三角形．
（2）解：∵是等邊三角形，∴．
在和中，，∴．∴．
∵，∴．∴．
∵，∴．∴．
34．（2023·廣西·中考真題）如圖，是邊長為4的等邊三角形，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊，，上運(yùn)動，滿足．求證：.

【答案】見詳解
【詳解】（1）證明：∵是邊長為4的等邊三角形，
∴，，∵，∴，
在和中，，∴；
35．（23-24八年級上·廣東廣州·期中）如圖，點(diǎn)、、分別是等邊各邊上的點(diǎn)，且，．（）求證：是等邊三角形．（）若，求等邊的周長．
【答案】（1）詳見解析；（2）18
【詳解】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，∵BD=CE，∴BD=CE=AF，
在△BDE與△CEF中，，∴△BDE≌△CEF（SAS），∴DE=EF，
同理可得△BDE≌△AFD，∴DE=FD，∴DE=FD=EF，∴△DEF為等邊三角形；
（2）解：∵∠DEC=150°，∠DEF=60°，∴∠FEC=90°，
∴△ADF、△BED、△CFE均為直角三角形，且∠CFE=∠ADF=∠BDE=30°，
∵BD=CE=2，∴CF=AD=BE=2BD=4，∴AB=BC=AC=6，∴等邊△ABC的周長為：6×3=18
題型八：角平分線第二定理模型
36．（24-25八年級下·安徽宿州·期中）如圖，的三邊、、長分別是、、，其三條角平分線將分為三個三角形，則等于（ ）
A．1：1：1 B．7：6：5 C．6：5：7 D．5：6：7
【答案】D
【詳解】解∶過點(diǎn)O作于D，于E，于F，點(diǎn)O是內(nèi)心，．
故選：D．
37．（24-25·河南南陽·八年級校考期末）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過角平分線性質(zhì)定理，即：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．如圖，已知的角平分線BD交邊AC于點(diǎn)D．
(1)求證：=(2)求證：=；(3)如果BC=4，AB=6，AC=5，那么CD=______．
【答案】(1)見解析(2)見解析(3)2
【詳解】（1）作，作DHAB垂足分別為F，H
∵BD是的角平分線． ∴DF=DH 則有：= =
（2）作BECA垂足為E；則有： = = ∴=
（3）由（2）知，= BC=4，AB=6，AC=5，
故答案為：2
38.（24-25·北京·八年級校考期中）在中，D是邊上的點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），連接．
(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)時，_____；
(2)如圖2，當(dāng)平分時，若，，求的值（用含m、n的式子表示）；
(3)如圖3，平分，延長到E．使得，連接，若，求的值．【答案】(1)(2)(3)16
【詳解】（1））過A作于E，∵點(diǎn)D是邊上的中點(diǎn)，∴，
∴故答案為：；
（2）過D作于E，于F，∵為的角平分線，∴，
∵，，∴；
（3）∵，∴由（1）知：，∵，∴，
∵，平分，∴由（2）知：，
∴，∴，故答案為：16．
39．（24-25九年級上·重慶九龍坡·期末）三角形角平分線性質(zhì)定理：三角形的內(nèi)角平分線分對邊所得兩條線段與這個角的兩邊對應(yīng)成比例．
如圖1，中，是角平分線，則．小石同學(xué)學(xué)習(xí)了這個定理以后探究：三角形的外角平分線分對邊所得兩條線段與這個角的兩邊的關(guān)系，下面是他的探究過程，請按要求完成．
已知：如圖2，已知及其外角．的角平分線交的延長線于點(diǎn)F．求證：．

(1)尺規(guī)作圖：在圖2中作的平分線交的延長線于點(diǎn)F，在射線上截取，連接（不寫作法保留作圖痕跡）
(2)證明：
是的角平分線， ______① ， ______② ，______③ 是的角平分線______ ④ ，
結(jié)合以上探究可知：三角形的一個外角的角平分線外分對邊所成兩條線段，這兩條線段和夾相應(yīng)的內(nèi)角的兩邊______ ⑤．
【答案】(1)見解析(2)；；；；成比例
【詳解】（1）解：所作圖形，如圖所示，

（2）證明：是的角平分線，
，，，
，，是的角平分線，，
，，．
∴三角形的一個外角的角平分線外分對邊所成兩條線段，這兩條線段和夾相應(yīng)的內(nèi)角的兩邊成比例．
故答案為：；；；；成比例．
40.（2024·上海浦東新·三模）愛動腦筋的小李同學(xué)在學(xué)習(xí)完角平分線的性質(zhì)后意猶未盡，經(jīng)過思考發(fā)現(xiàn)里面還有一個有趣的結(jié)論：
(1)【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1所示，若是的角平分線，可得到結(jié)論：．
小李的解法如下：過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作于點(diǎn)G，
∵是的角平分線，且，，∴ ．
∵，，∴；
(2)【類比探究】如圖2所示，若是的外角平分線，與的延長線交于點(diǎn)D．求證：；
【答案】(1)(2)見解析
【詳解】（1）解：∵是的角平分線，且，，∴，故答案為：；
（2）證明：過點(diǎn)D作于N，于M．過點(diǎn)A作于點(diǎn)P．
∵是的角平分線，∴．
∴，，∴；中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
專題02 八大重要的特殊三角形模型
題型一：平行+平分現(xiàn)等腰模型
1．（2025·湖北武漢·三模）如圖，在中，以頂點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，再分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在內(nèi)部交于一點(diǎn)，過點(diǎn)作射線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)．若，，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年級上·廣東珠海·期中）如圖，在中，和的平分線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)作交于M，交于N，若，，則線段的長為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．（24-25八年級上·天津南開·期中）如圖，在中，，和的平分線分別交于點(diǎn)，，若，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25九年級上·山東濱州·期中）已知如圖（），中，，、的平分線相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于．
(1)與間有怎樣的關(guān)系？寫出你的猜想．（不用證明）
(2)若，第①問中與間的關(guān)系還存在嗎？若不存在，請說明理由，若存在，請寫出證明過程．(3)若中，，的平分線與三角形外角的平分線交于，過點(diǎn)作交于，交于．如圖（），與間的關(guān)系如何？為什么？
5．（24-25八年級上·河北石家莊·階段練習(xí)）（1）如圖1，，平分，則的形狀是 三角形；
（2）如圖2，平分，，，則 ．
（3）如圖3，有中，是角平分線，交于點(diǎn)D．若，則 ．
（4）如圖4，在中，與的平分線交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作，分別交，于點(diǎn)D，E．若，則的周長為 ．
（5）如圖，在中，cm，分別是和的平分線，且，則的周長是 ．
題型二：平分+射影現(xiàn)等腰模型
6．（24-25八年級·綿陽市·假期作業(yè)）如圖，在中，，于點(diǎn)D，的平分線交于F，交于E，若，，則 ．
7.（24-25.江蘇八年級期中）如圖，已知：在中，，于D，的角平分線交AD與F，交AB于E，交AB于G．，，則__________，__________．
8．（24-25·四川達(dá)州·八年級校考階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，AF平分∠CAB，交CD于點(diǎn)E，交CB于點(diǎn)F，則下列結(jié)論成立的是（　　）

A．EC＝EF B．FE＝FC C．CE＝CF D．CE＝CF＝EF
9.（24-25.成都市青羊區(qū)八年級期中）如圖，在中，，于點(diǎn)D，的平分線BE交AD于F，交AC于E，若，，則_____________．
10.（24-25八年級下·山西運(yùn)城·期中）如圖，在中，，點(diǎn)D在邊上，連接，的平分線分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)．(1)尺規(guī)作圖：求作的高線；（要求：保留作圖痕跡，標(biāo)明字母，不寫作法；如果完成有困難，可畫出草圖后解答（2）題）；(2)若，求證：．
題型三：等腰三角形中的維維尼亞模型
11．（24-25八年級上·廣西貴港·期中）如圖，點(diǎn)P在等邊三角形的內(nèi)部，，，，垂足分別為D，E，F(xiàn)，若，且，則的邊長為 ．
12．（24-25八年級下·福建泉州·期中）如圖，是三角形內(nèi)一點(diǎn)，，若，且是等邊三角形，則的周長為（　　）

A．12 B．18 C．24 D．30
13．（24-25七年級下·上海·期中）已知等邊△ABC和點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P到△ABC三邊的AB、AC、BC的距離分別是h1，h2，h3，△ABC的高為h，請你探索以下問題：
（1）若點(diǎn)P在一邊BC上（圖（1）），此時h3=0，問h1、h2與h之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系 請說明理由；
（2）若當(dāng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)（圖（2）），此時h1、h2、h3與h之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系 請說明理由；
（3）若點(diǎn)P在△ABC外（圖（3）），此時h1、h2、h3與h之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系___．（請直接寫出你的猜想，不需要說明理由．）
14．（24-25山西八年級上期末）已知，在等邊三角形中，為邊上的高.
操作發(fā)現(xiàn):（1）如圖1，過點(diǎn)分別作，，垂足分別為.請直接寫出和的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，若點(diǎn)為上任意一點(diǎn)（不與重合），過點(diǎn)作，，垂足分別為.判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
拓廣探索:（3）如圖3，點(diǎn)為等邊三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作，，，垂足分別為，探究和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.
15．（24-25浙江八年級期中）數(shù)學(xué)中常常利用面積相等來證明其他的線段相等，這種方法被稱為“面積法”．已知等邊，點(diǎn)是平面上任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到邊、邊的距離分別為、，的邊上的高為．回答以下問題：

(1)如圖（1），若點(diǎn)在三角形的邊上，、、存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請給出證明過程．
(2)如圖（2），當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)，已知，求的值．
(3)如圖（3），當(dāng)點(diǎn)在外，請直接寫出與、、的數(shù)量關(guān)系，不用證明．
題型四：等邊三角形中的維維尼亞模型
16．（23-24八年級上·廣東廣州·期中）如圖，是等腰三角形，點(diǎn)O是底邊上任意一點(diǎn)，、分別與兩邊垂直，等腰三角形的腰長為8，面積為20，則的值為（ ）

A．5 B．7.5 C．9 D．10
17．（2024八年級·廣東·培優(yōu)）如圖，中，，點(diǎn)P是邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q是延長線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，過點(diǎn)Q分別作于點(diǎn)F，于點(diǎn)G，則 ．（填“>”“<”或“=”）
18．（23-24八年級上·廣東·課后作業(yè)）閱讀材料：
文字描述 圖形展示
如圖，在等腰中，，其一腰上的高為h，M是底邊上的任意一點(diǎn)，M到腰，的距離分別為，，可得結(jié)論．
證明；連接，，，， 又，，∵，，
結(jié)論：等腰三角形底邊上的任一點(diǎn)到兩腰的距離和等于一腰的高
【解決問題】如圖，在等腰中，，其一腰上的高為，且在延長線上，到腰，的距離分別為，．，，之間有什么樣的結(jié)論？依據(jù)所畫圖形，證明你的結(jié)論．

19．（23-24八年級下·江西吉安·階段練習(xí)）數(shù)學(xué)課上，老師畫出一等腰并標(biāo)注：，，然后讓同學(xué)們提出有效問題并解決請你結(jié)合同學(xué)們提出的問題給予解答．

(1)甲同學(xué)提出：______度；(2)乙同學(xué)提出：的面積為：______；
(3)丙同學(xué)提出：點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，，，垂足為E、F，請求出的值；
(4)丁同學(xué)說受丙同學(xué)啟發(fā)，點(diǎn)D為邊上任一點(diǎn)，，，，垂足為E、F、H，則有．請你為丁同學(xué)說明理由．
20．（23-24山西八年級上期中）（1）如圖（1），已知在等腰三角形中，，點(diǎn)是底邊上的一點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)．求證：為定長．
（2）如圖（2），已知在等腰三角形中，，點(diǎn)是底邊的延長線上的一點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)．求證：為定長．（3）如圖（3），已知：點(diǎn)為等邊三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，過分別作三邊的垂線，分別交三邊與、、．求證：為定長．
題型五：等腰三角形中的重要模型-帽子模型（長短手模型）
21．（2024·貴州銅仁·模擬預(yù)測）如圖，過邊長為6的等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長線上一點(diǎn)，連PQ交AC邊于D，當(dāng)PA＝CQ時，DE的長為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
22．（24-25八年級上·湖北荊門·期中）如圖，中，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿線段移動（點(diǎn)不與，重合），同時，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿線段的延長線移動，已知點(diǎn)、移動的速度相同，與直線相交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，、在移動過程中，線段中是否存在長度保持不變的線段？請說明理由．
23．（24-25八年級上·廣東中山·期末）如圖，中， ， ， 點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿線段移動到點(diǎn)A停止，同時點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿的延長線移動，并與點(diǎn) P同時停止． 已知點(diǎn) P，Q移動的速度相同，連接與線段 相交于點(diǎn)D(不考慮點(diǎn) P與點(diǎn)A，B重合時的情況)．
(1)求證: ；(2)求證: ；(3)如圖，過點(diǎn)P作于點(diǎn)E，在點(diǎn)P，Q移動的過程中，線段的長度是否變化 如果不變，請求出這個長度；如果變化，請說明理由．
24．（24-25九年級上·山西臨汾·階段練習(xí)）綜合與探究
問題情境：在中，，在射線上截取線段，在射線上截取線段，連結(jié)，所在直線交直線于點(diǎn)M．
猜想判斷：（1）當(dāng)點(diǎn)D在邊的延長線上，點(diǎn)E在邊上時，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，如圖①．若，則線段、的大小關(guān)系為_______．
深入探究：（2）當(dāng)點(diǎn)D在邊的延長線上，點(diǎn)E在邊的延長線上時，如圖②．若，判斷線段、的大小關(guān)系，并加以證明．
25．（23-24八年級上·遼寧葫蘆島·期末）【問題初探】（1）數(shù)學(xué)課上，李老師出示了這樣一個問題：如圖1，在中，，點(diǎn)F是上一點(diǎn)，點(diǎn)E是延長線上的一點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)D，若，求證：．
①如圖2，小樂同學(xué)從中點(diǎn)的角度，給出了如下解題思路：在線段上截取，使，連接，利用兩個三角形全等和已知條件，得出結(jié)論；
②如圖3，小亮同學(xué)從平行線的角度給出了另一種解題思路：過點(diǎn)E作交的延長線于點(diǎn)M，利用兩個三角形全等和已知條件，得出了結(jié)論；
請你選擇一位同學(xué)的解題思路，寫出證明過程；
【類比分析】（2）李老師發(fā)現(xiàn)兩位同學(xué)的做法非常巧妙，為了讓同學(xué)們更好的理解這種轉(zhuǎn)化的思想方法，李老師提出了新的問題，請你解答，
如圖4，在中，點(diǎn)E在線段上，D是的中點(diǎn)，連接，，與相交于點(diǎn)N，若，求證：；
【學(xué)以致用】（3）如圖5，在中，，，平分，點(diǎn)E在線段的延長線上運(yùn)動，過點(diǎn)E作，交于點(diǎn)N，交于點(diǎn)D，且，請直接寫出線段，和之間的數(shù)量關(guān)系．
題型六：等邊截等長模型（定角模型）
26．（2024八年級·重慶·培優(yōu)）如圖，為等邊三角形，且與相交于點(diǎn)，則（ ）．
A．等于 B．等于 C．等于 D．大小不確定
27．（23-24八年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，為等邊三角形，、分別是、上的點(diǎn)，且，與相交于點(diǎn)，于點(diǎn)．若，則的長為（ ）
A． B． C． D．
28．（23-24九年級上·廣東廣州·期中）如圖，點(diǎn)，分別在等邊三角形的邊，上，，連接，交于點(diǎn)，連接，以下結(jié)論：①；②；③的面積是面積的2倍；④；一定正確的有（　　）個．
A．4 B．3 C．2 D．1
29．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，點(diǎn)D、E分別是等邊三角形邊、上的點(diǎn)，且，與交于點(diǎn)F．求證：．
30．（23-24八年級·廣東中山·期中）如圖，在等邊中，點(diǎn)分別在邊上，且，與相交于點(diǎn)，于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，求的長．

題型七：等邊內(nèi)接等邊模型
31．（2024七年級下·成都·專題練習(xí)）如圖，過等邊三角形的頂點(diǎn)、、依次作、、的垂線、，三條垂線圍成，若，則的周長為（　　）
A．12 B．18 C．20 D．24
32．（22-23七年級下·四川成都·期末）如圖，和都是等邊三角形，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊上，若的周長為15，，則的長為（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
33．（24-25八年級下·廣東云浮·期中）如圖，點(diǎn)P，M，N分別在等邊三角形的各邊上，且于點(diǎn)P，于點(diǎn)M，于點(diǎn)N．(1)求證：是等邊三角形；(2)若，求的長．
34．（2023·廣西·中考真題）如圖，是邊長為4的等邊三角形，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊，，上運(yùn)動，滿足．求證：.

35．（23-24八年級上·廣東廣州·期中）如圖，點(diǎn)、、分別是等邊各邊上的點(diǎn)，且，．（）求證：是等邊三角形．（）若，求等邊的周長．
題型八：角平分線第二定理模型
36．（24-25八年級下·安徽宿州·期中）如圖，的三邊、、長分別是、、，其三條角平分線將分為三個三角形，則等于（ ）
A．1：1：1 B．7：6：5 C．6：5：7 D．5：6：7
37．（24-25·河南南陽·八年級校考期末）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過角平分線性質(zhì)定理，即：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．如圖，已知的角平分線BD交邊AC于點(diǎn)D．
(1)求證：=(2)求證：=；(3)如果BC=4，AB=6，AC=5，那么CD=______．
38.（24-25·北京·八年級校考期中）在中，D是邊上的點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），連接．
(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)時，_____；
(2)如圖2，當(dāng)平分時，若，，求的值（用含m、n的式子表示）；
(3)如圖3，平分，延長到E．使得，連接，若，求的值．
39．（24-25九年級上·重慶九龍坡·期末）三角形角平分線性質(zhì)定理：三角形的內(nèi)角平分線分對邊所得兩條線段與這個角的兩邊對應(yīng)成比例．
如圖1，中，是角平分線，則．小石同學(xué)學(xué)習(xí)了這個定理以后探究：三角形的外角平分線分對邊所得兩條線段與這個角的兩邊的關(guān)系，下面是他的探究過程，請按要求完成．
已知：如圖2，已知及其外角．的角平分線交的延長線于點(diǎn)F．求證：．

(1)尺規(guī)作圖：在圖2中作的平分線交的延長線于點(diǎn)F，在射線上截取，連接（不寫作法保留作圖痕跡）
(2)證明：
是的角平分線， ______① ， ______② ，______③ 是的角平分線______ ④ ，
結(jié)合以上探究可知：三角形的一個外角的角平分線外分對邊所成兩條線段，這兩條線段和夾相應(yīng)的內(nèi)角的兩邊______ ⑤．
40.（2024·上海浦東新·三模）愛動腦筋的小李同學(xué)在學(xué)習(xí)完角平分線的性質(zhì)后意猶未盡，經(jīng)過思考發(fā)現(xiàn)里面還有一個有趣的結(jié)論：
(1)【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1所示，若是的角平分線，可得到結(jié)論：．
小李的解法如下：過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作于點(diǎn)G，
∵是的角平分線，且，，∴ ．
∵，，∴；
(2)【類比探究】如圖2所示，若是的外角平分線，與的延長線交于點(diǎn)D．求證：；

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