資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題01 六大重要的倒角模型
類型一、三角形同一個角的平分線與高線形成的夾角（高分線模型）
1．（24-25·浙江·八年級專題練習）如圖，中，，平分，若，，則（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：∵中，，∴設，那么，∴，
∵平分，∴，
∵，，∴，
∴，∴，∴．故選：B．
2．（24-25八年級上·山東臨沂·階段練習）如圖，，分別是的角平分線和高線，且，，則 ．
【答案】
【詳解】解：，，，
是的角平分線，，
是的高線，，
．故答案為：．
3.（24-25八年級上·重慶·期中）已知：如圖①所示，在中，為的高，為平分線交于點E，．(1)求的度數；(2)與之間有何數量關系？(3)若將題中的條件“”改為“”（如圖②），其他條件不變，則與之間又有何數量關系？請說明理由．
【答案】(1)(2)(3)，理由見解析
【詳解】（1）解：∵，，∴
又∵為的平分線，∴
∵為的高，∴，，∴；
（2）解：由圖知；
（3）解： 理由如下：由三角形內角和知，
∵為的平分線，∴
∵為的高，∴
又∵，∴
∴．
4．（24-25八年級上·廣東·校考期中）已知：在中，，平分交于點．
(1)如圖①，于點，若，求的度數；
(2)如圖①，于點，若，求的度數（用含的式子表示）；
(3)如圖②，在中，于點，是上的任意一點（不與點，重合），過點作于點，且，請你運用（2）中的結論求出的度數；(4)在（3）的條件下，若點在的延長線上（如圖③），其他條件不變，則的度數會發生改變嗎？說明理由．

【答案】(1)(2)(3)(4)的度數不會發生改變，理由見解析
【詳解】（1）解：∵在中，，∴，
∵平分，∴，
∵，∴，∴，
∴，
當時，；
（2）由（1）可知，，∴當時，∴；
（3）∵，而，∴，
∵，，∴，∴；
（4）的度數大小不發生改變．理由如下：
∵，，∴，∴．
5．（24-25·河南新鄉·七年級期中）綜合與實踐課上，老師讓同學們以“三角形的角與三角形的特殊線段”為主題開展數學活動．(1)【操作判斷】在中，，，作的平分線交于點．
①操作一：在下圖中，用三角尺作邊上的高，垂足為點，求的度數；
②操作二：如圖1，在上任取點，作，垂足為點，直接寫出的度數；

(2)【遷移探究】操作三：如圖2，將（1）中“在上任取點”改為“在的延長線上任取點”其他條件不變，判斷的度數是否會發生變化，并說明理由；
(3)【拓展應用】如圖3、圖4在中，，，是的平分線，在直線上任取點，過點作與直線交于點，請直接寫出與，之間的數量關系．

【答案】(1)①；②(2)不變，理由見解析
(3)對于圖3；對于圖4
【詳解】（1）解：①如圖所示：

在中，，，，
是的平分線，，
是的一個外角，，
用三角尺作邊上的高，垂足為點，；
②如圖所示:是的一個外角，，
，；
（2）解：不變，理由如下：

由（1）可知，，是的一個外角，
，，；
（3）解：如圖所示：在中，，，，
是的平分線，，
是的一個外角，，
，；如圖所示：

在中，，，，
是的平分線，，
，
，；
綜上所述，對于圖3；對于圖4．
題型二：雙垂直模型（同一個三角形的兩條高線）
6．（2025·陜西·統考一模）如圖，在中，分別是邊上的高，并且交于點P，若，則的度數為（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：∵是邊上的高，∴，∵，∴，
∵是邊上的高，∴，∴，故選：A．
7．（24-25八年級上·湖北武漢·階段練習）在中，，是它的兩條高，直線交于點F， ．
【答案】或
【詳解】解：當為銳角三角形時，如圖，

∵，是它的兩條高，∴；
當為鈍角三角形時，如圖，∵，是它的高，∴，
∵是的高，∴，綜上所述：或，故答案為：或．
8．（24-25·安徽宿州·八年級校考期中）如圖，在中，和分別是邊上的高，若，，則的值為（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】∵，∴，∴．故選B．
9．（2024·重慶·三模）如圖，中，于點，于點，與相交于點，已知，，則的面積為 ．
【答案】
【詳解】解：∵，，∴，
∴，，∴，
在與中，， ∴，∴，
∵，∴的面積，故答案為：．
10．（24-25八年級上·安徽六安·期中）如圖，在中，，兩條高交于點O，連接，則 ．
【答案】/42度
【詳解】解：如圖，延長交于，
∵兩條高交于點O，∴為邊上的高，即，
∴，故答案為：．
題型三：子母型雙垂直模型（射影模型）
11．（24-25·江蘇宿遷·七年級統考期末）如圖，在中，，、分別是的高和角平分線，點E為邊上一點，當為直角三角形時，則 ．

【答案】50或25/25或50
【詳解】解：∵，∴
∵平分 ∴；當為直角三角形時，有以下兩種情況：
①當時，如圖1，∵，∴；

②當時，如圖2，∴，
∵，∴，
綜上，的度數為或．故答案為：50或25．
12．（24-25·廣東廣州·七年級校考階段練習）如圖，在中，，于D，求證：．
【答案】見解析
【詳解】證：∵，∴
又∵，∴
又∵，∴∴
13．（24-25·浙江·八年級專題練習）如圖，在中，，于，平分交于，交于F．(1)如果，求的度數；(2)試說明：．

【答案】(1)(2)見解析
【詳解】（1）解：，，，
平分交于，，；
（2）證明：，，
，，，
平分交于，，，，．
14．（24-25·江蘇泰州·七年級統考期末）已知：如圖，在中，，、分別在邊、上，、相交于點．(1)給出下列信息：①；②是的角平分線；③是的高．請你用其中的兩個事項作為條件，余下的事項作為結論，構造一個真命題，并給出證明；
條件：______，結論：______．（填序號） 證明：
(2)在（1）的條件下，若，求的度數．（用含的代數式表示）

【答案】(1)①②；③；見解答(2)
【詳解】（1）條件：①②，結論：③，
證明：∵是的角平分線，∴，
∵，∴，
∵，
∴，∴是的高．
條件：①③，結論：②，
證明：∵是的高，∴，∴，
∵，，，
∴， ∴是的角平分線；
條件：②③，結論：①，
證明：∵是的角平分線，∴，
∵是的高，∴，
∴，
∵，，
∴； 故答案為：①②；③；
證明：見解答；
（2）∵，∴，∵是的角平分線，∴，
∵，∴．
15．（24-25七年級下·江蘇南京·階段練習）如圖，在中，，D是AB上一點，且．

(1)求證：
證明：∵在中，（已知）
∴（___________），又∵（已知），∴（等量代換），
∵（___________），∴，∴．
(2)如圖②，若的平分線分別交，于點E，F，求證：；
(3)如圖③．若E為上一點，交于點F，，，．
①___________；（用含m的代數式表示）
②四邊形的面積是___________．（用含m的代數式表示）
【答案】(1)直角三角形兩銳角互余；三角形內角和定理；(2)見解析；(3)①；②．
【詳解】（1）證明：∵在中，（已知），
∴（直角三角形兩銳角互余），
又∵（已知），∴（等量代換），
∵（三角形內角和定理），∴，∴．
故答案為：直角三角形兩銳角互余；三角形內角和定理；
（2）證明：∵平分，∴，
∵，∴，，∴，
又∵，∴；
（3）解：①∵，∴，
∵，∴，∴，故答案為：；

②連接，設，則，∵，∴，
∵，∴，
∵，∴解得：，
∴四邊形的面積，故答案為：．
題型四：三角形的兩條內角平分線形成的夾角
16．（24-25·江蘇·八年級統考期末）如圖，在中，，的平分線相交于點I．若，，則的度數是 ．
【答案】
【詳解】解：∵，的平分線相交于點I，，，
∴，，
∴．故答案為：
17．（24-25·河南鄭州·七年級校考期末）如圖，已知在中，．
(1)分別作，的平分線，它們交于點（尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；
(2)當時，的度數為　　．(3)當時，的度數為 ．
【答案】(1)見解析(2)(3)
【詳解】（1）解：圖形如圖所示：
（2），平分，平分，
，
．故答案為：；
（3），平分，平分，
，
．故答案為：．
18．（24-25·河南濮陽·八年級校考期末）模型認識：我們學過三角形的內角和等于，又知道角平分線可以把一個角分成大小相等的兩部分，接下來我們就利用上述知識進行下面的探究活動．
如圖①，在中，、分別是和的角平分線．
解決問題：(1)若，，則______；（直接寫出答案）
(2)若，求出的度數；
拓展延伸：(3)如圖②，在四邊形中，、分別是和的角平分線，直接寫出與的數量關系．
【詳解】（1）解：∵BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，∠ABC=40°，∠ACB=80°，
∴∠PBC=∠ABC=×40°=20°，∠PCB=∠ACB=×80°=40°．
∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-20°-40°=120°； 故答案為：120°；
（2）∵BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線， ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB．
∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-（180°-∠BAC）=90°+ ∠BAC，
∵∠BAC=100°， ∴∠BPC=90°+∠BAC=90°+×100°=140°；
（3）∵BP、CP分別是∠ABC和∠DCB的角平分線， ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠DCB．
∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°- （360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）．
19．（24-25八年級·山東青島·期末）【基礎探究1】（1）如圖1，中，平分，平分，探例3．（24-25八年級上·廣東韶關·期中）小亮學習了“多邊形及其內角和”后，對幾何學習產生了濃厚的興趣，三角形的一個內角與另兩個內角的平分線所夾的鈍角之間有何種關系．
【探究發現】(1)如圖①，在中，、分別平分和，試探究與的數量關系．并說明理由．
【拓展延伸】(2)如圖②，在四邊形中，分別平分和，請你探究與之間的數量關系，并說明理由．
【類比遷移】(3)若將（2）中的四邊形改為六邊形，如圖③，請你探究與之間的數量關系，并說明理由．
【答案】(1)．理由見解析 (2)．理由見解析
(3)．理由見解析
【詳解】（1）解：．理由如下：
、分別平分和，，
，
即；
（2）解：．理由如下：
、分別平分和，
，，，
，，即；
（3）解：．理由如下：六邊形的內角和為：，
、分別平分和，，
，，，
，
即．
20．（24-25八年級·山東青島·期末）【基礎探究1】（1）如圖1，中，平分，平分，探求與之間的數量關系；
【基礎探究2】（2）如圖2，中，、是的三等分線，、是的三等分線，則與之間的數量關系是______；
【基礎探究3】（3）如圖3，中，、、是的四等分線，、、是的四等分線，則與之間的數量關系是______；
【拓展與探究】（4）如圖4，中，、、……、、是的等分線，、、……、、是的等分線，請用一個等式表示、、三者之間的數量關系是______；
【探究與應用】（5）中，、、……、是的2024等分線，、、……、是的2024等分線，若與的和是的7倍，則______．
【答案】（1）（2）（3）（4）（5）105
【詳解】解：（1）∵，∴，
∵平分，平分，∴，，
∴
．
（2）∵、是的三等分線，、是的三等分線，
∴，，
∴
．故答案為：
（3）∵、、是的四等分線，、、是的四等分線，
∴，，
∴
．故答案為：
（4）∵、、……、、是的等分線，、、……、、是的等分線，∴，，，，
∴
，
，
∴．
故答案為：
（5）∵、、……、是的2024等分線，、、……、是的2024等分線，
∴，，，，
∴
，
，
∴，
∵∴，∴，
同理可得．故答案為：105
題型五：三角形的一條內角平分線與一條外角平分線形成的夾角
21．（24-25·浙江·八年級期中）如圖，平分，點是射線，上的點，連接．按以下步驟作圖：

①以點為圓心，任意長為半徑作弧，交于點，交于點；
②分別以點和點為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧相交于點；
③作射線，交于點．若，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由作法得平分，∴，
∵平分，∴，
∵，∴．故選B．
22．（24-25七年級下·江蘇鹽城·期中）如圖，是一個缺角的三角板模型，現要知道的大小.數學活動課上，小李沒有采用先直接量得和的度數，再求得的度數，而是分別畫出的角平分線與的外角平分線相交于點，測得，請告知 °.
【答案】
【詳解】解：∵的角平分線與的外角平分線相交于點，
∴，，
∴，
∵，∴，
∴，∴，故答案為：；
23．（24-25八年級上·山東德州·期中）如圖．在中，，分別平分，，且交于點，為外角的平分線，的延長線交于點，則以下結論：①；②；③點在的角平分線上；④；⑤若點到的距離是2，的周長是12，則的面積是24．一定成立的是 ．
【答案】①②③
【詳解】解：為外角的角平分線，平分，，，
又是的外角，，故①正確；
，分別平分，，∴，
則，∴，故②是正確的．
連接，如圖所示：
，分別平分，，且三角形的三條角平分線會交于一點，
∴點在的角平分線上，故③是正確的．
∵，平分， ∴
平分， ∴∴故④是錯誤的，
∵，分別平分，，∴點到的距離點到的距離點到的距離，
∴，
故⑤是錯誤的，故答案為：①②③．
24．（24-25·河北·八年級專題練習）問題情境：如圖1，點D是△ABC外的一點，點E在BC邊的延長線上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．試探究∠D與∠A的數量關系．
(1)特例探究：如圖2，若△ABC是等邊三角形，其余條件不變，則∠D＝ ；
如圖3，若△ABC是等腰三角形，頂角∠A＝100°，其余條件不變，則∠D＝ ；這兩個圖中，與∠A度數的比是 ；(2)猜想證明：如圖1，△ABC為一般三角形，在（1）中獲得的∠D與∠A的關系是否還成立？若成立，利用圖1證明你的結論；若不成立，說明理由．
【答案】(1)30°；50°；1:2(2)成立，見解析
【詳解】（1）解：如圖2，是等邊三角形，，，
平分，平分．，，
，；
如圖3，是等腰三角形，，，，
平分，平分．，，
，；故答案為，，；
（2）解：成立，如圖1，在中，，
在中，，（1）
平分，平分，，，
又，，（2）
由（1）（2），，．
25．（24-25·浙江·七年級專題練習）∠ACD是△的外角，的平分線與的平分線交于點，的平分線與的平分線交于點，…，的平分線與的平分線交于點An． 設∠A＝．則＝ ，∠A2021＝ ．
【答案】
【詳解】解：∵A1B是∠ABC的平分線，A1C是∠ACD的平分線，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A1，∴∠A1=∠A，
∵∠A=，∴∠A1=，同理可得：∠An=，∴∠A2021=，故答案為：，．
題型六：三角形的兩條外角平分線形成的夾角
26．（24-25七年級下·江蘇淮安·期末）如圖，的兩個外角的平分線交于點P．若，則 ．
【答案】/52度
【詳解】解：根據題意得：，
，，
，即，
,故答案為：．
26．（24-25七年級下·江蘇蘇州·期中）如圖，，分別平分的內角、外角、外角．以下結論：①；②；③；④；⑤．其中正確的結論有 ．（填序號）
【答案】①②③④
【詳解】解：①平分，，，，
，，，故①正確，
②，，平分，，
，故②正確；
③，，，
，，，
，，，故③正確；
④平分，，，，，
平分，，，，
，，
，，故④正確；
⑤由④得，，，，
，故⑤不正確．故答案為：①②③④．
27．（24-25八年級上·重慶江北·開學考試）如圖，在中，，，的平分線與的外角平分線交于點D，連接，則的度數為 ．
【答案】/52度
【詳解】解：作，垂足分別為點，
平分，，，
平分，，，，平分，
，，，，
，，
，故答案為：
28．（24-25·貴州遵義·八年級校考階段練習）如圖（1），，是的外角，的平分線所在直線與的平分線交于點D，與的平分線交于點E．(1)若，則 度；(2)若，求∠E的度數；(3)在圖（1）的條件下，沿作射線，連接，如圖（2）．求證：平分．
【答案】(1)(2)(3)見解析
【詳解】（1）解：∵平分，平分，∴，，
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴；故答案為：
（2）∵平分，平分，∴，，
∴，∴，
∵，∵，∴，∴；
（3） 如圖2，過點D作于點H，于點K，于點I，
∵平分，平分，∴，，∴，
∵于點K，于點I，∴平分．
29．（24-25七年級下·福建泉州·期末）小明完成了下面的探究過程，請你也探究一下，看看你的結論是否跟他一樣．
(1)探究1：如圖1，是的內角與的平分線和的交點，若，則____________度：
(2)探究2：如圖2，是的外角與外角的平分線和的交點，求與的數量關系？并說明理由．
(3)拓展：如圖3，是四邊形的外角與的平分線和的交點，設．
①直接寫出與的數量關系；②根據的值的情況，判斷的形狀（按角分類）．
【答案】(1)(2)，理由見解析(3)①；②當時，則是鈍角三角形；當時，則是直角三角形；當時，則是銳角三角形.
【詳解】（1）∵，∴.
∵是的內角與的平分線和的交點，
∴，∴
∵，∴.故答案為：
（2）.理由：∵是的外角與外角的平分線和的交點，
∴在中，.
（3）如圖，①，延長交于點Q，
由（2）可知，，∴，
∴.∴.
②當時，則，則是鈍角三角形;
當時，則，則是直角三角形;
當時，則，
∵是四邊形的外角與的平分線和的交點，
∴∴是銳角三角形.
30．（24-25·江蘇·八年級統考期末）已知在△ABC中，圖1，圖2，圖3中的△ABC的內角平分線或外角平分線交于點O，（1）如圖1，點O是△ABC的兩個內角平分線的交點，猜想∠O與∠A之間的數量關系，并加以證明．（2）請直接寫出結果．如圖2，若，△ABC的內角平分線與外角平分線交于點O，則∠O＝________；如圖3，若，△ABC的兩個外角平分線交于點O，則∠O＝_________．
【答案】（1），證明見解析；（2）；．
【詳解】解：（1）．
證明：∵平分，平分，∴，，
∴
．即．
（2）；．如圖2所示：
∵平分，平分，∴，，
∴．
∵∴．即．
如圖3所示：∵平分，平分，∴，，
∴
．
∵∴．即．故答案為：；．中小學教育資源及組卷應用平臺
專題01 六大重要的倒角模型
類型一、三角形同一個角的平分線與高線形成的夾角（高分線模型）
1．（24-25·浙江·八年級專題練習）如圖，中，，平分，若，，則（　　）
A． B． C． D．
2．（24-25八年級上·山東臨沂·階段練習）如圖，，分別是的角平分線和高線，且，，則 ．
3.（24-25八年級上·重慶·期中）已知：如圖①所示，在中，為的高，為平分線交于點E，．(1)求的度數；(2)與之間有何數量關系？(3)若將題中的條件“”改為“”（如圖②），其他條件不變，則與之間又有何數量關系？請說明理由．
．
4．（24-25八年級上·廣東·校考期中）已知：在中，，平分交于點．
(1)如圖①，于點，若，求的度數；
(2)如圖①，于點，若，求的度數（用含的式子表示）；
(3)如圖②，在中，于點，是上的任意一點（不與點，重合），過點作于點，且，請你運用（2）中的結論求出的度數；(4)在（3）的條件下，若點在的延長線上（如圖③），其他條件不變，則的度數會發生改變嗎？說明理由．

5．（24-25·河南新鄉·七年級期中）綜合與實踐課上，老師讓同學們以“三角形的角與三角形的特殊線段”為主題開展數學活動．(1)【操作判斷】在中，，，作的平分線交于點．
①操作一：在下圖中，用三角尺作邊上的高，垂足為點，求的度數；
②操作二：如圖1，在上任取點，作，垂足為點，直接寫出的度數；

(2)【遷移探究】操作三：如圖2，將（1）中“在上任取點”改為“在的延長線上任取點”其他條件不變，判斷的度數是否會發生變化，并說明理由；
(3)【拓展應用】如圖3、圖4在中，，，是的平分線，在直線上任取點，過點作與直線交于點，請直接寫出與，之間的數量關系．

題型二：雙垂直模型（同一個三角形的兩條高線）
6．（2025·陜西·統考一模）如圖，在中，分別是邊上的高，并且交于點P，若，則的度數為（　　）

A． B． C． D．
7．（24-25八年級上·湖北武漢·階段練習）在中，，是它的兩條高，直線交于點F， ．
8．（24-25·安徽宿州·八年級校考期中）如圖，在中，和分別是邊上的高，若，，則的值為（　　）．
A． B． C． D．
9．（2024·重慶·三模）如圖，中，于點，于點，與相交于點，已知，，則的面積為 ．
10．（24-25八年級上·安徽六安·期中）如圖，在中，，兩條高交于點O，連接，則 ．
題型三：子母型雙垂直模型（射影模型）
11．（24-25·江蘇宿遷·七年級統考期末）如圖，在中，，、分別是的高和角平分線，點E為邊上一點，當為直角三角形時，則 ．

12．（24-25·廣東廣州·七年級校考階段練習）如圖，在中，，于D，求證：．
13．（24-25·浙江·八年級專題練習）如圖，在中，，于，平分交于，交于F．(1)如果，求的度數；(2)試說明：．

14．（24-25·江蘇泰州·七年級統考期末）已知：如圖，在中，，、分別在邊、上，、相交于點．(1)給出下列信息：①；②是的角平分線；③是的高．請你用其中的兩個事項作為條件，余下的事項作為結論，構造一個真命題，并給出證明；
條件：______，結論：______．（填序號） 證明：
(2)在（1）的條件下，若，求的度數．（用含的代數式表示）

15．（24-25七年級下·江蘇南京·階段練習）如圖，在中，，D是AB上一點，且．

(1)求證：
證明：∵在中，（已知）
∴（___________），又∵（已知），∴（等量代換），
∵（___________），∴，∴．
(2)如圖②，若的平分線分別交，于點E，F，求證：；
(3)如圖③．若E為上一點，交于點F，，，．
①___________；（用含m的代數式表示）
②四邊形的面積是___________．（用含m的代數式表示）
題型四：三角形的兩條內角平分線形成的夾角
16．（24-25·江蘇·八年級統考期末）如圖，在中，，的平分線相交于點I．若，，則的度數是 ．
17．（24-25·河南鄭州·七年級校考期末）如圖，已知在中，．
(1)分別作，的平分線，它們交于點（尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；
(2)當時，的度數為　　．(3)當時，的度數為 ．
18．（24-25·河南濮陽·八年級校考期末）模型認識：我們學過三角形的內角和等于，又知道角平分線可以把一個角分成大小相等的兩部分，接下來我們就利用上述知識進行下面的探究活動．
如圖①，在中，、分別是和的角平分線．
解決問題：(1)若，，則______；（直接寫出答案）
(2)若，求出的度數；
拓展延伸：(3)如圖②，在四邊形中，、分別是和的角平分線，直接寫出與的數量關系．
19．（24-25八年級·山東青島·期末）【基礎探究1】（1）如圖1，中，平分，平分，探例3．（24-25八年級上·廣東韶關·期中）小亮學習了“多邊形及其內角和”后，對幾何學習產生了濃厚的興趣，三角形的一個內角與另兩個內角的平分線所夾的鈍角之間有何種關系．
【探究發現】(1)如圖①，在中，、分別平分和，試探究與的數量關系．并說明理由．
【拓展延伸】(2)如圖②，在四邊形中，分別平分和，請你探究與之間的數量關系，并說明理由．
【類比遷移】(3)若將（2）中的四邊形改為六邊形，如圖③，請你探究與之間的數量關系，并說明理由．
20．（24-25八年級·山東青島·期末）【基礎探究1】（1）如圖1，中，平分，平分，探求與之間的數量關系；
【基礎探究2】（2）如圖2，中，、是的三等分線，、是的三等分線，則與之間的數量關系是______；
【基礎探究3】（3）如圖3，中，、、是的四等分線，、、是的四等分線，則與之間的數量關系是______；
【拓展與探究】（4）如圖4，中，、、……、、是的等分線，、、……、、是的等分線，請用一個等式表示、、三者之間的數量關系是______；
【探究與應用】（5）中，、、……、是的2024等分線，、、……、是的2024等分線，若與的和是的7倍，則______．
題型五：三角形的一條內角平分線與一條外角平分線形成的夾角
21．（24-25·浙江·八年級期中）如圖，平分，點是射線，上的點，連接．按以下步驟作圖：

①以點為圓心，任意長為半徑作弧，交于點，交于點；
②分別以點和點為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧相交于點；
③作射線，交于點．若，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
22．（24-25七年級下·江蘇鹽城·期中）如圖，是一個缺角的三角板模型，現要知道的大小.數學活動課上，小李沒有采用先直接量得和的度數，再求得的度數，而是分別畫出的角平分線與的外角平分線相交于點，測得，請告知 °.
23．（24-25八年級上·山東德州·期中）如圖．在中，，分別平分，，且交于點，為外角的平分線，的延長線交于點，則以下結論：①；②；③點在的角平分線上；④；⑤若點到的距離是2，的周長是12，則的面積是24．一定成立的是 ．
24．（24-25·河北·八年級專題練習）問題情境：如圖1，點D是△ABC外的一點，點E在BC邊的延長線上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．試探究∠D與∠A的數量關系．
(1)特例探究：如圖2，若△ABC是等邊三角形，其余條件不變，則∠D＝ ；
如圖3，若△ABC是等腰三角形，頂角∠A＝100°，其余條件不變，則∠D＝ ；這兩個圖中，與∠A度數的比是 ；(2)猜想證明：如圖1，△ABC為一般三角形，在（1）中獲得的∠D與∠A的關系是否還成立？若成立，利用圖1證明你的結論；若不成立，說明理由．
25．（24-25·浙江·七年級專題練習）∠ACD是△的外角，的平分線與的平分線交于點，的平分線與的平分線交于點，…，的平分線與的平分線交于點An． 設∠A＝．則＝ ，∠A2021＝ ．
題型六：三角形的兩條外角平分線形成的夾角
26．（24-25七年級下·江蘇淮安·期末）如圖，的兩個外角的平分線交于點P．若，則 ．
26．（24-25七年級下·江蘇蘇州·期中）如圖，，分別平分的內角、外角、外角．以下結論：①；②；③；④；⑤．其中正確的結論有 ．（填序號）
27．（24-25八年級上·重慶江北·開學考試）如圖，在中，，，的平分線與的外角平分線交于點D，連接，則的度數為 ．
28．（24-25·貴州遵義·八年級校考階段練習）如圖（1），，是的外角，的平分線所在直線與的平分線交于點D，與的平分線交于點E．(1)若，則 度；(2)若，求∠E的度數；(3)在圖（1）的條件下，沿作射線，連接，如圖（2）．求證：平分．
29．（24-25七年級下·福建泉州·期末）小明完成了下面的探究過程，請你也探究一下，看看你的結論是否跟他一樣．
(1)探究1：如圖1，是的內角與的平分線和的交點，若，則____________度：
(2)探究2：如圖2，是的外角與外角的平分線和的交點，求與的數量關系？并說明理由．
(3)拓展：如圖3，是四邊形的外角與的平分線和的交點，設．
①直接寫出與的數量關系；②根據的值的情況，判斷的形狀（按角分類）．
30．（24-25·江蘇·八年級統考期末）已知在△ABC中，圖1，圖2，圖3中的△ABC的內角平分線或外角平分線交于點O，（1）如圖1，點O是△ABC的兩個內角平分線的交點，猜想∠O與∠A之間的數量關系，并加以證明．（2）請直接寫出結果．如圖2，若，△ABC的內角平分線與外角平分線交于點O，則∠O＝________；如圖3，若，△ABC的兩個外角平分線交于點O，則∠O＝_________．

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