資源簡介

2025-2026學年九年級第一次月考
【九上第1-2章】·數學
詳解詳析
一．選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.)
1.B
【解析】A．不是方程，不符合題意；B．符合一元二次方程的定義，符合題意；C．原式可化為x4+6x2＝0，是一元四次方程，不符合題意；D．是分式方程，不符合題意．
2.B
【解析】∵∠ABC＝90°，D為AC中點，AC＝4，∴ ．
3.B
【解析】由表可以看出，當x取1與2之間的某個數時，x2+3x﹣5＝0，即這個數是x2+3x﹣5＝0的一個根．x2+3x﹣5＝0的一個解x的取值范圍為1和2之間.
4.B
【解析】A．對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，說法錯誤，不符合題意；B．四邊相等的四邊形是菱形，說法正確，符合題意；C．對角線相等且垂直的平行四邊形是正方形，說法錯誤，不符合題意；D．對角線相等的平行四邊形是矩形，說法錯誤，不符合題意．
5.A
【解析】方程移項得x2－8x＝－9，配方得x2－8x+16＝7，即(x－4)2＝7．
6.D
【解析】根據題意可列方程為100(1＋x)2＝169.
7.A
【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，∵OE⊥AC，∴AE＝CE，∴△BEC的周長為CE+CB+BE＝AE+CB+CE＝AB+CB，∵矩形ABCD的周長為20cm，∴AB+CB＝10（cm）.
8.A
【解析】∵關于x的一元二次方程x2+2x+m＝0無實數根，∴Δ＝b2－4ac＝22－4m＝4－4m＜0，解得m＞1．
9.B
【解析】∵E，F，N，M分別是AD，BC，BD，AC的中點，∴AE＝DE，BN＝DN，AM＝CM，BF＝CF，∴EN，NF，FM，EM分別為△ABD，△BCD，△ABC，△ACD的中位線，∴EN＝FM AB，FN＝EM CD，∴四邊形EMFN為平行四邊形，當EN＝FN，即AB＝CD，則此時平行四邊形EMFN是菱形．
10.D
【解析】∵方程x2－2(m－2)x＋m2－2m＝0有兩個實數根，∴b2－4ac＝[－2(m－2)]2－4×1×(m2－2m)＝－8m＋16≥0，∴m≤2．設關于x的方程x2－2(m－2)x＋m2－2m＝0的兩個實數根為x1，x2，∴x1＋x2＝2(m－2)，∵兩根之和不小于－6，∴2(m－2)≥－6，解得m≥－1，∴－1≤m≤2,∴ |m 1| |m＋1|＝|m－2|－|m＋1|＝2－m－m－1＝－2m＋1．
二．填空題(本大題5小題，每小題3分，共15分.)
11.x＝2或x＝－1
【解析】(x－2)(x+1)＝0，x－2＝0或x+1＝0，解得x＝2或x＝－1．
12.﹣1
【解析】把x＝3代入方程x2﹣kx﹣12＝0得：9﹣3k﹣12＝0，解得：k＝﹣1.
13.OA＝OB（答案不唯一）　
14.12
【解析】設小紅將這條宣傳語轉發給了x人，依題意得1＋x＋x2＝157，解得x＝12或x＝－13(舍去)．
15.
【解析】如答案圖，∵四邊形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝3，∴AD＝BC＝3，DC＝AB＝2，AD//BC，∠DCB＝90°，∴∠ODE＝∠OBF，∠OED＝∠OFB，∵AE＝CF，∴AD－AE＝BC－CF，∴DE＝BF，∴△ODE≌△OBF(ASA)，∴OB＝OD，∵BD ，∴OB BD ，∵BH≤OB，∴線段BH長的最大值為 ．
答案圖
三．解答題(一)(本大題3小題，每小題8分，共24分.)
16.解：∵x2－4x＝5
∴x2－4x－5＝0
∴(x－5)(x+1)＝0
∴x－5＝0，x+1＝0
∴ ＝5， ＝－1
∴原方程的解為 ＝5， ＝－1．
17.解：設雞場的寬為xm，則長為(33－3x)m，
由題意可知x (33－3x)＝90，
解得 ＝5， ＝6，
∵當x＝5時，33－3x＝18，18＞15，不合題意，舍去，
當x＝6時，33－3x＝15，符合題意．
答：雞場的長(AB)為15m，寬(BC)為6m．
18.證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠CDA＝90°，
∵AE，DE分別平分∠BAD，∠CDA，
∴ ， ，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴AE＝DE，
∵∠EAD+∠EDA+∠AED＝180°，
∴∠AED＝180°﹣∠EAD﹣∠EDA＝90°，
∴四邊形AEDF是正方形．
四、解答題(二)(本大題3小題，每小題9分，共27分.)
19.解：(1)如解圖，菱形AEDF即為所求(作法不唯一，合理即可)；
解圖
(2)如解圖，設AD與EF交于點O，∵AD是∠BAC的平分線，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝ BC＝4.
在Rt△ABD中，AD＝ ＝ ＝2 ，
∵EF⊥AD，∴EF∥BC.
∵AO＝OD，∴E，F分別為AB和AC的中點，∴EF＝ BC＝4.
∴S菱形AEDF＝ AD·EF＝4 ，∴菱形AEDF的面積為4 .
20.解：(1)令x2－2＝y，則y2－13y+42＝0，
即(y－6)(y－7)＝0，
解得 ＝6， ＝7．
當y＝6時，x2－2＝6，解得 ， ，
當y＝7時，x2－2＝7，解得 ＝－3， ＝3，
∴原方程的解為 ， ， ＝－3， ＝3；
(2)13．
【解法提示】令x2－x＝y，則y2－5y＝6，解得 ＝6， ＝－1．當y＝6時，x2－x＝6，即x2－x－6＝0，Δ＝25＞0，該方程有解，符合題意，此時2x2－2x+1＝2(x2－x)+1＝2×6+1＝13；當y＝－1時，x2－x＝－1，即x2－x+1＝0，Δ＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0，該方程無實數解，不合題意；綜上可知，2x2－2x+1的值是13．
21.解：(1)設蘋果的單價為x元，桃李的單價為y元，
∵銷售10千克蘋果和5千克桃李收入130元，銷售6千克蘋果和10千克桃李收入148元．
∴ ，
∴ ，
∴蘋果的單價為8元，桃李的單價為10元；
(2)依題意， ，
整理得5a2－36a+31＝0，
即(5a－31)(a－1)＝0，
則 (舍去)，
∴當a定為1時，才能使該村每天銷售蘋果、桃李兩種水果共收入2930元．
五、解答題(三)(本大題2小題，每小題12分，共24分.)
22.解：(1)－10x2+3x+1＝0；
(2) ，互為倒數；
【解法提示】－10x2+3x+1＝0，(2x－1)(5x+1)＝0，解得 ， ，根據以上結論，猜想ax2+bx+c＝0的兩根 、 與其“友好方程”cx2+bx+a＝0的兩根 、 之間存在的一種特殊關系為互為倒數.∵一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩根為 ， ．“友好方程”cx2+bx+a＝0的兩根為 ， ，∴ 1， 1，即原方程的兩根與“友好方程”的兩根互為倒數．
(3)∵方程2021x2+bx－c＝0的兩根是 ＝－1， ．
∴該方程的“友好方程”－cx2+bx+2021＝0的兩根為 ＝－1， ＝2021，
則方程－c(x－1)2+b(x－1)+2021＝0的兩根 －1＝－1， －1＝2021，
即 ＝0， ＝2022，
整理方程－c(x－1)2+b(x－1)+2021＝0得c(x－1)2－2021＝b(x－1)，
∴關于x的方程c(x－1)2－2021＝b(x－1)的兩根為 ＝0， ＝2022．
23.解：(1)AE＝AF；
【解法提示】如解圖①，連接AC，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC.∵∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠ACD＝∠BAC＝60°.∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＋∠EAC＝∠EAC＋∠CAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，∴△ABE≌△ACF，∴AE＝AF.

解圖①
(2)BE－DF＝EF；
證明：如解圖②，在BC上取點F′，使得BF′＝DF，連接AF′，
∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABF′＝∠ADF＝90°，
在△ABF′和△ADF中， ，
∴△ABF′≌△ADF(SAS)，∴AF′＝AF，∠BAF′＝∠DAF.
∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠DAE＋∠DAF＝∠DAE＋∠BAF′＝45°，∴∠EAF′＝∠EAF＝45°.
在△AEF′和△AEF中， ，∴△AEF′≌△AEF(SAS)，∴EF′＝EF，
∴BE－DF＝BE－BF′＝EF′＝EF；

解圖②
(3) 或10.
【解法提示】分兩種情況：①如解圖③，當點E在線段BC上時，同理(2)易得EF＝BE＋DF，∵AB＝4，∴BE＝ BC＝2.設EF＝x，則DF＝x－2，CF＝4－(x－2)＝6－x，在Rt△CEF中，由勾股定理得CE2＋CF2＝EF2，即22＋(6－x)2＝x2，解得x＝ ，即EF＝ ；②如解圖④，當點E在CB延長線上時，同理可得DF－BE＝EF.設EF＝x，則DF＝x＋2，CF＝x＋2－4＝x－2，在Rt△CEF中，由勾股定理得CE2＋CF2＝EF2，即62＋(x－2)2＝x2，解得x＝10，即EF＝10.綜上所述，EF的長為 或10.
解圖
數學試卷 第2頁（共2頁）2025-2026學年九年級第一次月考
【九上第1-2章】·數學
學校：______________ 班級：______________ 姓名：______________
全卷總分：120分 考試時間：120分鐘
一．選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.)
1.下列方程是一元二次方程的是（ ）　
A．x2+2x－3 B．x2+3＝0
C．(x2+3)2＝9 D.
1.B
【解析】A．不是方程，不符合題意；B．符合一元二次方程的定義，符合題意；C．原式可化為x4+6x2＝0，是一元四次方程，不符合題意；D．是分式方程，不符合題意．
2.如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，D為AC中點，若AC＝4，則BD的長為（ ）　
A．1 B．2 C．3 D．4
2.B
【解析】∵∠ABC＝90°，D為AC中點，AC＝4，∴ ．
3.觀察下列表格，估計一元二次方程x2+3x﹣5＝0的正數解在（　　）
x ﹣1 0 1 2 3 4
x2+3x﹣5 ﹣7 ﹣5 ﹣1 5 13 23
A．﹣1和0之間 B．1和2之間 C．0和1之間 D．2和3之間
3.B
【解析】由表可以看出，當x取1與2之間的某個數時，x2+3x﹣5＝0，即這個數是x2+3x﹣5＝0的一個根．x2+3x﹣5＝0的一個解x的取值范圍為1和2之間.
4.下列說法正確的是（ ）　
A．對角線互相垂直的四邊形是菱形
B．四邊相等的四邊形是菱形
C．對角線相等且垂直的四邊形是正方形
D．對角線相等的四邊形是矩形
4.B
【解析】A．對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，說法錯誤，不符合題意；B．四邊相等的四邊形是菱形，說法正確，符合題意；C．對角線相等且垂直的平行四邊形是正方形，說法錯誤，不符合題意；D．對角線相等的平行四邊形是矩形，說法錯誤，不符合題意．
5.用配方法解方程x2－8x+9＝0，變形后的結果正確的是（ ）　
A．(x－4)2＝7 B．(x－4)2＝－7
C．(x－4)2＝25 D．(x－4)2＝－25
5.A
【解析】方程移項得x2－8x＝－9，配方得x2－8x+16＝7，即(x－4)2＝7．
6.為了讓學生在自然中觀察、學習并體驗勞動的樂趣．某校積極組織學生參加義務植樹活動，八年級學生在第一天種植了100棵樹苗，第三天種植了169棵樹苗．若每天的植樹增長率相同，設每天植樹的平均增長率為x，則可列方程為(　　)
A.100(1－x)＝169
B.100(1－x)2＝169
C.100(1＋x)＝169
D.100(1＋x)2＝169
6.D
【解析】根據題意可列方程為100(1＋x)2＝169.
7.如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O，過點O作OE⊥AC，交AB于點E，連接CE，若矩形ABCD的周長是20cm，則△BCE的周長是（　　）
A．10cm B．15cm C．20cm D．40cm
7.A
【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，∵OE⊥AC，∴AE＝CE，∴△BEC的周長為CE+CB+BE＝AE+CB+CE＝AB+CB，∵矩形ABCD的周長為20cm，∴AB+CB＝10（cm）.
8.若關于x的一元二次方程x2+2x+m＝0無實數根，則m的取值范圍是（ ）
A．m＞1 B．m≥1
C．m＜1 D．m≤1
8.A
【解析】∵關于x的一元二次方程x2+2x+m＝0無實數根，∴Δ＝b2－4ac＝22－4m＝4－4m＜0，解得m＞1．
9.如圖，AC、BD是四邊形ABCD的對角線，點E，F分別是AD，BC的中點，點M，N分別是AC，BD的中點．若四邊形EMFN是菱形，則原四邊形ABCD應滿足的條件是（ ）　
A．AC＝BD B．AB＝CD
C．AC⊥BD D．∠ABC+∠DCB＝90°
9.B
【解析】∵E，F，N，M分別是AD，BC，BD，AC的中點，∴AE＝DE，BN＝DN，AM＝CM，BF＝CF，∴EN，NF，FM，EM分別為△ABD，△BCD，△ABC，△ACD的中位線，∴EN＝FM AB，FN＝EM CD，∴四邊形EMFN為平行四邊形，當EN＝FN，即AB＝CD，則此時平行四邊形EMFN是菱形．
10.若關于x的方程x2－2(m－2)x＋m2－2m＝0有兩個實數根，且兩根之和不小于－6，則代數式 化簡的結果是(　　)
A．－1 B．1
C．－2m－1 D．－2m＋1
10.D
【解析】∵方程x2－2(m－2)x＋m2－2m＝0有兩個實數根，∴b2－4ac＝[－2(m－2)]2－4×1×(m2－2m)＝－8m＋16≥0，∴m≤2．設關于x的方程x2－2(m－2)x＋m2－2m＝0的兩個實數根為x1，x2，∴x1＋x2＝2(m－2)，∵兩根之和不小于－6，∴2(m－2)≥－6，解得m≥－1，∴－1≤m≤2,∴ |m 1| |m＋1|＝|m－2|－|m＋1|＝2－m－m－1＝－2m＋1．
二．填空題(本大題5小題，每小題3分，共15分.)
11.方程(x－2)(x+1)＝0的根是 ．
11.x＝2或x＝－1
【解析】(x－2)(x+1)＝0，x－2＝0或x+1＝0，解得x＝2或x＝－1．
12.若關于x的方程x2﹣kx﹣12＝0的一個根為3，則k的值為　 　．
12.﹣1
【解析】把x＝3代入方程x2﹣kx﹣12＝0得：9﹣3k﹣12＝0，解得：k＝﹣1.
13.如圖，已知在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，且OA＝OC，OB＝OD，要使四邊形ABCD是矩形，可添加一個條件是______.
13.OA＝OB（答案不唯一）　
14.“水是生命之源，樹是水的衛士．”為了更好地讓大家珍惜樹木，小紅將宣傳語轉發給若干人，收到的人再把這條轉發給相同的人數，若在這個過程中一共有 157 人收到了這條宣傳語，則小紅將這條宣傳語轉發給了______人．
14.12
【解析】設小紅將這條宣傳語轉發給了x人，依題意得1＋x＋x2＝157，解得x＝12或x＝－13(舍去)．
15.如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，點E，F分別是邊AD，BC上的動點，EF與BD相交于點O，且AE＝CF，過點B作直線EF的垂線，垂足為H，則線段BH長的最大值為 ．
15.
【解析】如答案圖，∵四邊形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝3，∴AD＝BC＝3，DC＝AB＝2，AD//BC，∠DCB＝90°，∴∠ODE＝∠OBF，∠OED＝∠OFB，∵AE＝CF，∴AD－AE＝BC－CF，∴DE＝BF，∴△ODE≌△OBF(ASA)，∴OB＝OD，∵BD ，∴OB BD ，∵BH≤OB，∴線段BH長的最大值為 ．
答案圖
三．解答題(一)(本大題3小題，每小題8分，共24分.)
16.解方程：x2－4x＝5．
16.解：∵x2－4x＝5
∴x2－4x－5＝0
∴(x－5)(x+1)＝0
∴x－5＝0，x+1＝0
∴ ＝5， ＝－1
∴原方程的解為 ＝5， ＝－1．
17.某扶貧單位為了提高貧困戶的經濟收入，購買了33m的鐵柵欄，準備用這些鐵柵欄為貧困戶靠墻(墻長15m)圍建一個中間帶有鐵柵欄的矩形養雞場(如圖所示)．若要建的矩形養雞場面積為90m2，求雞場的長(AB)和寬(BC)．
17.解：設雞場的寬為xm，則長為(33－3x)m，
由題意可知x (33－3x)＝90，
解得 ＝5， ＝6，
∵當x＝5時，33－3x＝18，18＞15，不合題意，舍去，
當x＝6時，33－3x＝15，符合題意．
答：雞場的長(AB)為15m，寬(BC)為6m．
18.如圖，已知矩形ABCD中，∠BAD 和∠ADC的平分線交于BC邊上一點E．點F為矩形外一點，四邊形AEDF為平行四邊形．求證：四邊形AEDF是正方形．
18.證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠CDA＝90°，
∵AE，DE分別平分∠BAD，∠CDA，
∴ ， ，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴AE＝DE，
∵∠EAD+∠EDA+∠AED＝180°，
∴∠AED＝180°﹣∠EAD﹣∠EDA＝90°，
∴四邊形AEDF是正方形．
四、解答題(二)(本大題3小題，每小題9分，共27分.)
19.已知：如圖，△ABC為等腰三角形．
(1)求作菱形AEDF，使得∠A為菱形的一個內角，點D，E，F分別在邊BC，AB，AC上；(要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)
(2)在(1)的條件下，若AB＝AC＝10，BC＝8，求菱形AEDF的面積．
19.解：(1)如解圖，菱形AEDF即為所求(作法不唯一，合理即可)；
解圖
(2)如解圖，設AD與EF交于點O，∵AD是∠BAC的平分線，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝ BC＝4.
在Rt△ABD中，AD＝ ＝ ＝2 ，
∵EF⊥AD，∴EF∥BC.
∵AO＝OD，∴E，F分別為AB和AC的中點，∴EF＝ BC＝4.
∴S菱形AEDF＝ AD·EF＝4 ，∴菱形AEDF的面積為4 .
20.提出問題：為解方程x4－3x2－4＝0，我們可以令x2＝y，于是原方程可轉化為y2－3y－4＝0，解此方程得 ＝4， ＝－1(不符合要求，舍去)．當 ＝4時，x2＝4，x＝±2．
∴原方程的解為 ＝2， ＝－2．
以上方法就是換元法解方程，從而達到了降次的目的，體現了轉化的思想．
解決問題：
(1)運用上述換元法解方程：(x2－2)2－13(x2－2)+42＝0；
(2)若實數x滿足方程(x2－x)2－5(x2－x)＝6，則2x2－2x+1的值是 ．
20.解：(1)令x2－2＝y，則y2－13y+42＝0，
即(y－6)(y－7)＝0，
解得 ＝6， ＝7．
當y＝6時，x2－2＝6，解得 ， ，
當y＝7時，x2－2＝7，解得 ＝－3， ＝3，
∴原方程的解為 ， ， ＝－3， ＝3；
(2)13．
【解法提示】令x2－x＝y，則y2－5y＝6，解得 ＝6， ＝－1．當y＝6時，x2－x＝6，即x2－x－6＝0，Δ＝25＞0，該方程有解，符合題意，此時2x2－2x+1＝2(x2－x)+1＝2×6+1＝13；當y＝－1時，x2－x＝－1，即x2－x+1＝0，Δ＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0，該方程無實數解，不合題意；綜上可知，2x2－2x+1的值是13．
21.2025年為大力響應廣饒縣鄉村振興政策，梨果村大力發展經濟作物，在蘋果、桃李樹種植已初具規模時，銷售10千克蘋果和5千克桃李收入130元，銷售6千克蘋果和10千克桃李收入148元．
(1)請確定蘋果、桃李的單價；
(2)該村平均每天賣出蘋果100千克和桃李120千克．經調查發現，蘋果零售單價每降0.1元，蘋果每天可多銷售10千克．桃李零售單價每降0.1元，桃李每天可多銷售5千克，為了使每天獲取更大的利潤，該村決定把蘋果和桃李的零售單價同時下降a(0＜a＜4)元．在不考慮其他因素的條件下，當a定為多少時，才能使該村每天銷售蘋果、桃李兩種水果共收入2930元？
21.解：(1)設蘋果的單價為x元，桃李的單價為y元，
∵銷售10千克蘋果和5千克桃李收入130元，銷售6千克蘋果和10千克桃李收入148元．
∴ ，
∴ ，
∴蘋果的單價為8元，桃李的單價為10元；
(2)依題意， ，
整理得5a2－36a+31＝0，
即(5a－31)(a－1)＝0，
則 (舍去)，
∴當a定為1時，才能使該村每天銷售蘋果、桃李兩種水果共收入2930元．
五、解答題(三)(本大題2小題，每小題12分，共24分.)
22.定義：我們把關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0與cx2+bx+a＝0(ac≠0，a≠c)稱為一對“友好方程”．如2x2－7x+3＝0的“友好方程”是3x2－7x+2＝0．
(1)寫出一元二次方程x2+3x－10＝0的“友好方程” ；
(2)已知一元二次方程x2+3x－10＝0的兩根為 ＝2， ＝－5，它的“友好方程”的兩根 ， ＝ ．根據以上結論，猜想ax2+bx+c＝0的兩根 、 與其“友好方程”cx2+bx+a＝0的兩根 ， 之間存在的一種特殊關系為 ；
(3)已知關于x的方程2021x2+bx－c＝0的兩根為 ＝－1， ，請利用(2)中的結論，求出關于x的方程c(x－1)2－2021＝b(x－1)的兩根．
22.解：(1)－10x2+3x+1＝0；
(2) ，互為倒數；
【解法提示】－10x2+3x+1＝0，(2x－1)(5x+1)＝0，解得 ， ，根據以上結論，猜想ax2+bx+c＝0的兩根 、 與其“友好方程”cx2+bx+a＝0的兩根 、 之間存在的一種特殊關系為互為倒數.∵一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩根為 ， ．“友好方程”cx2+bx+a＝0的兩根為 ， ，∴ 1， 1，即原方程的兩根與“友好方程”的兩根互為倒數．
(3)∵方程2021x2+bx－c＝0的兩根是 ＝－1， ．
∴該方程的“友好方程”－cx2+bx+2021＝0的兩根為 ＝－1， ＝2021，
則方程－c(x－1)2+b(x－1)+2021＝0的兩根 －1＝－1， －1＝2021，
即 ＝0， ＝2022，
整理方程－c(x－1)2+b(x－1)+2021＝0得c(x－1)2－2021＝b(x－1)，
∴關于x的方程c(x－1)2－2021＝b(x－1)的兩根為 ＝0， ＝2022．
23.如圖，在四邊形ABCD中，點E是直線BC上一點，將射線AE繞點A逆時針旋轉α交直線CD于點F.
(1)如圖①，若四邊形ABCD為菱形，∠B＝60°，α＝60°，則AE與AF之間的數量關系是 ；
(2)如圖②，若四邊形ABCD為正方形，α＝45°，連接EF，當點E在BC的延長線上時，試猜想線段BE、DF與EF之間的數量關系，并加以證明；
(3)若四邊形ABCD為正方形，α＝45°，連接EF，當AB＝4，BE＝ BC時，請直接寫出EF的長．
23.解：(1)AE＝AF；
【解法提示】如解圖①，連接AC，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC.∵∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠ACD＝∠BAC＝60°.∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＋∠EAC＝∠EAC＋∠CAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，∴△ABE≌△ACF，∴AE＝AF.

解圖①
(2)BE－DF＝EF；
證明：如解圖②，在BC上取點F′，使得BF′＝DF，連接AF′，
∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABF′＝∠ADF＝90°，
在△ABF′和△ADF中， ，
∴△ABF′≌△ADF(SAS)，∴AF′＝AF，∠BAF′＝∠DAF.
∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠DAE＋∠DAF＝∠DAE＋∠BAF′＝45°，∴∠EAF′＝∠EAF＝45°.
在△AEF′和△AEF中， ，∴△AEF′≌△AEF(SAS)，∴EF′＝EF，
∴BE－DF＝BE－BF′＝EF′＝EF；

解圖②
(3) 或10.
【解法提示】分兩種情況：①如解圖③，當點E在線段BC上時，同理(2)易得EF＝BE＋DF，∵AB＝4，∴BE＝ BC＝2.設EF＝x，則DF＝x－2，CF＝4－(x－2)＝6－x，在Rt△CEF中，由勾股定理得CE2＋CF2＝EF2，即22＋(6－x)2＝x2，解得x＝ ，即EF＝ ；②如解圖④，當點E在CB延長線上時，同理可得DF－BE＝EF.設EF＝x，則DF＝x＋2，CF＝x＋2－4＝x－2，在Rt△CEF中，由勾股定理得CE2＋CF2＝EF2，即62＋(x－2)2＝x2，解得x＝10，即EF＝10.綜上所述，EF的長為 或10.
解圖
數學試卷 第2頁（共2頁）2025-2026學年九年級第一次月考
【九上第1-2章】·數學
學校：______________ 班級：______________ 姓名：______________
全卷總分：120分 考試時間：120分鐘
一．選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.)
1.下列方程是一元二次方程的是（ ）　
A．x2+2x－3 B．x2+3＝0
C．(x2+3)2＝9 D.
2.如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，D為AC中點，若AC＝4，則BD的長為（ ）　
A．1 B．2 C．3 D．4
3.觀察下列表格，估計一元二次方程x2+3x﹣5＝0的正數解在（　?。?br/>x ﹣1 0 1 2 3 4
x2+3x﹣5 ﹣7 ﹣5 ﹣1 5 13 23
A．﹣1和0之間 B．1和2之間 C．0和1之間 D．2和3之間
4.下列說法正確的是（ ）　
A．對角線互相垂直的四邊形是菱形
B．四邊相等的四邊形是菱形
C．對角線相等且垂直的四邊形是正方形
D．對角線相等的四邊形是矩形
5.用配方法解方程x2－8x+9＝0，變形后的結果正確的是（ ）　
A．(x－4)2＝7 B．(x－4)2＝－7
C．(x－4)2＝25 D．(x－4)2＝－25
6.為了讓學生在自然中觀察、學習并體驗勞動的樂趣．某校積極組織學生參加義務植樹活動，八年級學生在第一天種植了100棵樹苗，第三天種植了169棵樹苗．若每天的植樹增長率相同，設每天植樹的平均增長率為x，則可列方程為(　　)
A.100(1－x)＝169
B.100(1－x)2＝169
C.100(1＋x)＝169
D.100(1＋x)2＝169
7.如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O，過點O作OE⊥AC，交AB于點E，連接CE，若矩形ABCD的周長是20cm，則△BCE的周長是（　　）
A．10cm B．15cm C．20cm D．40cm
8.若關于x的一元二次方程x2+2x+m＝0無實數根，則m的取值范圍是（ ）
A．m＞1 B．m≥1
C．m＜1 D．m≤1
9.如圖，AC、BD是四邊形ABCD的對角線，點E，F分別是AD，BC的中點，點M，N分別是AC，BD的中點．若四邊形EMFN是菱形，則原四邊形ABCD應滿足的條件是（ ）　
A．AC＝BD B．AB＝CD
C．AC⊥BD D．∠ABC+∠DCB＝90°
10.若關于x的方程x2－2(m－2)x＋m2－2m＝0有兩個實數根，且兩根之和不小于－6，則代數式 化簡的結果是(　　)
A．－1 B．1
C．－2m－1 D．－2m＋1
二．填空題(本大題5小題，每小題3分，共15分.)
11.方程(x－2)(x+1)＝0的根是 ．
12.若關于x的方程x2﹣kx﹣12＝0的一個根為3，則k的值為　 　．
13.如圖，已知在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，且OA＝OC，OB＝OD，要使四邊形ABCD是矩形，可添加一個條件是______.
14.“水是生命之源，樹是水的衛士．”為了更好地讓大家珍惜樹木，小紅將宣傳語轉發給若干人，收到的人再把這條轉發給相同的人數，若在這個過程中一共有 157 人收到了這條宣傳語，則小紅將這條宣傳語轉發給了______人．
15.如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，點E，F分別是邊AD，BC上的動點，EF與BD相交于點O，且AE＝CF，過點B作直線EF的垂線，垂足為H，則線段BH長的最大值為 ．
三．解答題(一)(本大題3小題，每小題8分，共24分.)
16.解方程：x2－4x＝5．
17.某扶貧單位為了提高貧困戶的經濟收入，購買了33m的鐵柵欄，準備用這些鐵柵欄為貧困戶靠墻(墻長15m)圍建一個中間帶有鐵柵欄的矩形養雞場(如圖所示)．若要建的矩形養雞場面積為90m2，求雞場的長(AB)和寬(BC)．
18.如圖，已知矩形ABCD中，∠BAD 和∠ADC的平分線交于BC邊上一點E．點F為矩形外一點，四邊形AEDF為平行四邊形．求證：四邊形AEDF是正方形．
四、解答題(二)(本大題3小題，每小題9分，共27分.)
19.已知：如圖，△ABC為等腰三角形．
(1)求作菱形AEDF，使得∠A為菱形的一個內角，點D，E，F分別在邊BC，AB，AC上；(要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)
(2)在(1)的條件下，若AB＝AC＝10，BC＝8，求菱形AEDF的面積．
20.提出問題：為解方程x4－3x2－4＝0，我們可以令x2＝y，于是原方程可轉化為y2－3y－4＝0，解此方程得 ＝4， ＝－1(不符合要求，舍去)．當 ＝4時，x2＝4，x＝±2．
∴原方程的解為 ＝2， ＝－2．
以上方法就是換元法解方程，從而達到了降次的目的，體現了轉化的思想．
解決問題：
(1)運用上述換元法解方程：(x2－2)2－13(x2－2)+42＝0；
(2)若實數x滿足方程(x2－x)2－5(x2－x)＝6，則2x2－2x+1的值是 ．
21.2025年為大力響應廣饒縣鄉村振興政策，梨果村大力發展經濟作物，在蘋果、桃李樹種植已初具規模時，銷售10千克蘋果和5千克桃李收入130元，銷售6千克蘋果和10千克桃李收入148元．
(1)請確定蘋果、桃李的單價；
(2)該村平均每天賣出蘋果100千克和桃李120千克．經調查發現，蘋果零售單價每降0.1元，蘋果每天可多銷售10千克．桃李零售單價每降0.1元，桃李每天可多銷售5千克，為了使每天獲取更大的利潤，該村決定把蘋果和桃李的零售單價同時下降a(0＜a＜4)元．在不考慮其他因素的條件下，當a定為多少時，才能使該村每天銷售蘋果、桃李兩種水果共收入2930元？
五、解答題(三)(本大題2小題，每小題12分，共24分.)
22.定義：我們把關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0與cx2+bx+a＝0(ac≠0，a≠c)稱為一對“友好方程”．如2x2－7x+3＝0的“友好方程”是3x2－7x+2＝0．
(1)寫出一元二次方程x2+3x－10＝0的“友好方程” ；
(2)已知一元二次方程x2+3x－10＝0的兩根為 ＝2， ＝－5，它的“友好方程”的兩根 ， ＝ ．根據以上結論，猜想ax2+bx+c＝0的兩根 、 與其“友好方程”cx2+bx+a＝0的兩根 ， 之間存在的一種特殊關系為 ；
(3)已知關于x的方程2021x2+bx－c＝0的兩根為 ＝－1， ，請利用(2)中的結論，求出關于x的方程c(x－1)2－2021＝b(x－1)的兩根．
23.如圖，在四邊形ABCD中，點E是直線BC上一點，將射線AE繞點A逆時針旋轉α交直線CD于點F.
(1)如圖①，若四邊形ABCD為菱形，∠B＝60°，α＝60°，則AE與AF之間的數量關系是 ；
(2)如圖②，若四邊形ABCD為正方形，α＝45°，連接EF，當點E在BC的延長線上時，試猜想線段BE、DF與EF之間的數量關系，并加以證明；
(3)若四邊形ABCD為正方形，α＝45°，連接EF，當AB＝4，BE＝ BC時，請直接寫出EF的長．
數學試卷 第2頁（共2頁）

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