資源簡介

2025年下期道縣敦頤高級中學高三開學考試
數學
選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．設復數，則復數（其中表示的共軛復數）表示的點在（ ）上
A. x軸 B. y軸 C. D.
2，函數f(x)=的定義域為 (　　)
A.(-∞,0]　　　　B.(-∞,1)
C.[0,1)　　　　D.[0,+∞)
　
3．折扇是我國古老文化的延續，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字畫的形式體現我國的傳統文化，也是運籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征（如圖1）.圖2是一個圓臺的側面展開圖（扇形的一部分），若兩個圓弧DE，AC所在圓的半徑分別是3和6，且，則該圓臺的體積為（ ）
A. B. C. D.
4．可化為（ ）
A． B． C． D．
5.在等差數列{an}中,S3=3,S6=10,則S9= (　　)
A.13　　　　B.17　　　　
C.21　　　　D.23
6，的展開式中的常數項是 (　　)
A.第673項　　　　B.第674項
C.第675項　　　　D.第676項
7，已知函數f(x)=在R上單調遞增,則a的取值范圍是 (　　)
A.[1,3)　　　　B.(1,3]　　　　
C.[1,3]　　　　D.(1,3)
8．已知雙曲線的左、右焦點分別為，點P在C的左支上，，的周長為，則C的離心率為（ ）
A. 2 B. C. D.
選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9．定義在R上的函數滿足，當時，，則滿足（ ）
A． B．是偶函數
C．在上有最大值 D．的解集為
10．函數s=f（t）的圖像如圖所示（圖像與t正半軸無限接近，但永遠不相交），則下列說法正確的是（ ）
A．函數s=f（t）的定義城為[-3，+∞）
B．函數s=f（t）的值域為（0，5]
C．當s∈[1，2]時，有兩個不同的t值與之對應
D．當時，
11．已知函數，則下列說法不正確的是（ ）
A．是非奇非偶函數 B．是增函數
C．是周期函數 D．的值域是
三，填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.已知正項等比數列的前項和為，且，則的最小值為__________.
13.如圖，在等腰梯形中，，，，，點是線段上一點，且滿足，動點在以為圓心半徑為的圓上運動，則的最大值為__________.
14.已知雙曲線，設是的左焦點，，連接交雙曲線于.若，則的離心率的值為______．
解答題：本題共5個小題，共77分。
15，如圖，在圓內接中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足.
（1）求B；
（2）若點D是劣弧AC上一點，AB=2，BC=3，AD=1，求四邊形ABCD的面積
16，如圖，已知平面．
（Ⅰ）求證：平面平面；
（Ⅱ）若，求二面角的大小．
17．如圖，已知點F為拋物線C：（）的焦點，過點F的動直線l與拋物線C交于M，N兩點，且當直線l的傾斜角為45°時，.
（1）求拋物線C的方程.
（2）試確定在x軸上是否存在點P，使得直線PM，PN關于x軸對稱？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.
18，某工廠生產某種零件，檢驗員每天從該零件的生產線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：cm)．根據長期生產經驗，可以認為這條生產線在正常狀態下生產的零件服從正態分布N(μ，σ2)．
（1）假設生產狀態正常，記X表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件數，求P(X≥1)及X的數學期望；
（2）下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸：
10.12　9.97　10.01　9.95　10.02　9.98　9.21　10.03
10.04　9.99　9.98　9.97　10.01　9.97　10.03　10.11
經計算得，，其中xi為抽取的第i個零件的尺寸，i＝1,2，…，16.用樣本平均數作為μ的估計值，用樣本標準差s作為σ的估計值，利用估計值判斷是否對當天的生產過程進行檢查？剔除(μ－3σ，μ＋3σ)之外的數據，用剩下的數據估計μ和σ(精確到0.01)．
參考數據：若隨機變量X服從正態分布N(μ，σ2)，則P(μ－3σ＜x＜μ＋3σ)＝0.997 4，0．997416≈0.9592，
19，設函數（）.
（1）討論函數的極值；
（2）若函數在區間上的最小值是4，求a的值.
答案
一，選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．設復數，則復數（其中表示的共軛復數）表示的點在（ ）上
A. x軸 B. y軸 C. D.
【答案】C
【解析】復數，
所以對應的點在直線上.
故選：C
2，函數f(x)=的定義域為 (　　)
A.(-∞,0]　　　　B.(-∞,1)
C.[0,1)　　　　D.[0,+∞)
答案　A　
3．折扇是我國古老文化的延續，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字畫的形式體現我國的傳統文化，也是運籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征（如圖1）.圖2是一個圓臺的側面展開圖（扇形的一部分），若兩個圓弧DE，AC所在圓的半徑分別是3和6，且，則該圓臺的體積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】設圓臺上下底面的半徑分別為，由題意可知，解得，
，解得：，作出圓臺的軸截面，如圖所示：
圖中，，
過點向作垂線，垂足為，則，
所以圓臺的高，
則上底面面積，，由圓臺的體積計算公式可得：
，
故選：D.
4．可化為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
原式.
故選：C
5.在等差數列{an}中,S3=3,S6=10,則S9= (　　)
A.13　　　　B.17　　　　
C.21　　　　D.23
答案　C　
6，的展開式中的常數項是 (　　)
A.第673項　　　　B.第674項
C.第675項　　　　D.第676項
答案　D　
7，已知函數f(x)=在R上單調遞增,則a的取值范圍是 (　　)
A.[1,3)　　　　B.(1,3]　　　　
C.[1,3]　　　　D.(1,3)
答案　C　
8．已知雙曲線的左、右焦點分別為，點P在C的左支上，，的周長為，則C的離心率為（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】C
【解析】令雙曲線的焦距為，依題意，，解得，
在中，，由余弦定理得，
整理得，所以雙曲線C的離心率為.
故選：C
二，選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9．定義在R上的函數滿足，當時，，則滿足（ ）
A． B．是偶函數
C．在上有最大值 D．的解集為
【答案】AD
【解析】
定義在R上的函數滿足，令得：，解得：，A正確；
令得：，因為，所以，
故是奇函數，B錯誤；
任取，，且，則令，，代入得：，
因為當時，，而，所以，
故，即，從而在R上單調遞減，
在上有最大值為，C錯誤；
由A選項得到，而在R上單調遞減，故，解得，解集為，D正確.
故選：AD
10．函數s=f（t）的圖像如圖所示（圖像與t正半軸無限接近，但永遠不相交），則下列說法正確的是（ ）
A．函數s=f（t）的定義城為[-3，+∞）
B．函數s=f（t）的值域為（0，5]
C．當s∈[1，2]時，有兩個不同的t值與之對應
D．當時，
【答案】BD
【解析】
對于A：由圖象可知：函數s=f（t）在沒有圖象，故定義城不是[-3，+∞），故A錯誤；
對于B：由圖象可知函數s=f（t）的值域為（0，5]，故B正確；
對于C：由圖象可知，當時，有3個不同的t值與之對應，故C錯誤；
對于D：由圖象可知函數s=f（t）在上單調遞增，
又當時，，則在上單調遞增，故D正確；
故選：BD
11．已知函數，則下列說法不正確的是（ ）
A．是非奇非偶函數 B．是增函數
C．是周期函數 D．的值域是
【答案】BC
【解析】
畫出分段函數的圖象，如圖所示.
由圖可知：
可知函數為非奇非偶函數，故A正確；
函數在的部分有增有減，不是單調函數，故B錯誤；
函數在部分最小正周期為，但是,∴函數在定義域內不是周期函數，故C錯誤；
函數的最小值為，函數沒有最大值，部分值域為部分值域為,∴函數的值域是，故D正確.
∴錯誤的是，
故選：BC.
三，填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.已知正項等比數列的前項和為，且，則的最小值為__________.
【答案】
【解析】設正項等比數列的公比為，則，
所以，
，
則，則，可得，則，
所以，
，
當且僅當時，即當時，等號成立，
故的最小值為.
故答案為：24
13.如圖，在等腰梯形中，，，，，點是線段上一點，且滿足，動點在以為圓心半徑為的圓上運動，則的最大值為__________.
【答案】
【解析】
如圖，以為原點，建立直角坐標系.
由題意，梯形的高長為，則.
因為以為圓心的半徑為的圓的方程為：，可設點，.
則
其中，，
故當時，.
故答案為：
14.已知雙曲線，設是的左焦點，，連接交雙曲線于.若，則的離心率的值為______．
【答案】
【解析】如下圖所示：
設，由題意可得，，
則，且，所以，，
因為，則，
由余弦定理可得，
所以，，由雙曲線的定義可得，
即，故該雙曲線的離心率為.
故答案為：
四，解答題：本題共5個小題，共77分。
15，如圖，在圓內接中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足.
（1）求B；
（2）若點D是劣弧AC上一點，AB=2，BC=3，AD=1，求四邊形ABCD的面積
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由正弦定理得，
得.
因為，
所以，即.
（2）在中AB=2，BC=3，，，
解得.
在中，，A，B，C，D在圓上，
因為，所以，
所以，
解得或（舍去），
所以四邊形ABCD的面積.
16，如圖，已知平面．
（Ⅰ）求證：平面平面；
（Ⅱ）若，求二面角的大小．
【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）平面，平面，，
，，
平面，
平面，平面平面；
（Ⅱ）由（1）得平面，
平面，，
，即為二面角的平面角，
在直角三角形中，，則，
，即二面角的大小為.
17．如圖，已知點F為拋物線C：（）的焦點，過點F的動直線l與拋物線C交于M，N兩點，且當直線l的傾斜角為45°時，.
（1）求拋物線C的方程.
（2）試確定在x軸上是否存在點P，使得直線PM，PN關于x軸對稱？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）（2）存在唯一的點，使直線PM，PN關于x軸對稱
【解析】（1）當直線l的傾斜角為45°，則的斜率為1，
，的方程為.
由得.
設，，則，
∴，，
∴拋物線C的方程為.
（2）假設滿足條件的點P存在，設，由（1）知，
①當直線l不與x軸垂直時，設l的方程為（），
由得，
，
，.
∵直線PM，PN關于x軸對稱，
∴，，.
∴，
∴時，此時.
②當直線l與x軸垂直時，由拋物線的對稱性，
易知PM，PN關于x軸對稱，此時只需P與焦點F不重合即可.
綜上，存在唯一的點，使直線PM，PN關于x軸對稱.
18，某工廠生產某種零件，檢驗員每天從該零件的生產線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：cm)．根據長期生產經驗，可以認為這條生產線在正常狀態下生產的零件服從正態分布N(μ，σ2)．
（1）假設生產狀態正常，記X表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件數，求P(X≥1)及X的數學期望；
（2）下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸：
10.12　9.97　10.01　9.95　10.02　9.98　9.21　10.03
10.04　9.99　9.98　9.97　10.01　9.97　10.03　10.11
經計算得，，其中xi為抽取的第i個零件的尺寸，i＝1,2，…，16.用樣本平均數作為μ的估計值，用樣本標準差s作為σ的估計值，利用估計值判斷是否對當天的生產過程進行檢查？剔除(μ－3σ，μ＋3σ)之外的數據，用剩下的數據估計μ和σ(精確到0.01)．
參考數據：若隨機變量X服從正態分布N(μ，σ2)，則P(μ－3σ＜x＜μ＋3σ)＝0.997 4，0．997416≈0.9592，
【答案】（1）0.0408；0.0416；（2）需要對當天的生產過程進行檢查；10.01；0.05.
【解析】(1)∵抽取的一個零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)內的概率為0.997 4，
∴零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率為0.002 6，
故X～B(16,0.0026)．
P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997416≈0.0408；
X的數學期望為E(X)＝16×0.0026＝0.0416.
(2)，s≈0.20，得，.
∵樣本數據可以看到有一個零件的尺寸在之外，
∴需要對當天的生產過程進行檢查．
剔除(μ－3σ，μ＋3σ)之外的數據9.21之后，
剩下數據的平均數，可得μ的估計值為10.01.
∵，
剔除之外的數據9.21之后，
剩下數據的方差為，
∴σ的估計值為.
19，設函數（）.
（1）討論函數的極值；
（2）若函數在區間上的最小值是4，求a的值.
【答案】（1）當時，函數在R上無極值；當時，的極小值為，無極大值.（2）
【解析】（1）.
當時，，在R上單調遞增；無極值
當時，，解得，
由，解得.
函數在上單調遞減，函數在上單調遞增，
的極小值為，無極大值
綜上所述：當時，函數在R上無極值；
當時，的極小值為，無極大值.
（2）由（1）知，當時，函數在R上單調遞增，
∴函數在上的最小值為，即，矛盾.
當時，由（1）得是函數在R上的極小值點.
①當即時，函數在上單調遞增，
則函數的最小值為，即，符合條件.
②當即時，函數在上單調遞減，
則函數的最小值為即，矛盾.
③當即時，函數在上單調遞減，函數在上單調遞增，
則函數的最小值為，即.
令（），則，
∴在上單調遞減，
而，∴在上沒有零點，
即當時，方程無解.
綜上，實數a的值為.

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