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參考答案
一、選擇題
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B C A C D B A
題號 9 10 11
答案 AC BCD ACD
填空題
12. 13. 14.；
解答題
15.解：（1）因為，所以............................................. 2分
所以是的必要條件，所以，....................................................................4分
所以，
所以，
所以，實數的取值范圍為．....................................................................................7分
（2）因為，
所以， ......................................................................................................11分
解得：．
又因為，
所以，實數的取值范圍為..................................................................13分
16.解（1）因為為増函數
所以在上恒成立..................................................... 2分
所以.......................................................................................4分
所以
所以. ..............................................................................................................6分
所以 ................................................................8分
當時，則的増區間為,無減區間............10分
當時，令,則或
令.則
所以増區間為,減區間為.....................................12分
當時，令,則或
令,則
所以的増區間為和，減區間 ...............................14分
綜上：當時，増區間為,減區間為；
當時，的増區間為,無減區間；
當時，増區間為,減區間為.........15分
解：（1）（方法一）由題知，即，且，
因為，
所以，
又由是所在棱的中點，得，所以； ............................................2分
易知四邊形是正方形，可知，所以； .....................................3分
又由，且，所以，
因為，所以； ............................................6分
（方法二）由知，可以分別以
作為軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標系，
不妨記，設，可得
，記平面的法向量為，可得
，取得，即； ...........................................2分
同理可得平面的法向量為； .....................................3分
因為，所以，所以； ...................................6分
（2）由知，可以分別以
作為軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標系，不妨記，
設，可得
，因為，，所以，
故，解得，即； ...........................................8分
，記平面的法向量為，可得
，取得，即； ..........................................10分
假設棱上是否存在一點，使得直線與平面AEF所成角的正弦值為，
設，則，，
由題知， .......................................................................................12分
解得，即，所以. ..........................................15分
18.解：（1）提出假設：體育鍛煉頻率的高低與年齡無關，......................................1分
由題得列聯表如下：
青年 中年 合計
體育鍛煉頻率低
體育鍛煉頻率高
合計
.....................................................................................................................................................3分
，.................................................5分
根據小概率值的獨立性檢驗推斷不成立，
即認為體育鍛煉頻率的高低與年齡有關．.............................................................................6分
（2）由數表知，利用分層抽樣的方法抽取的7人中，
年齡在與內的人數分別為1，2，
依題意，的所有可能取值分別為為0，1，2，...................................................................7分
....................................................................10分
所以的分布列為：
.....................................................................................................................................................11分
所以的數學期望為．...................................................12分
（3）記小明在某一周星期六選擇跑步、籃球、羽毛球，分別為事件A，B，C，
星期天選擇跑步為事件D，
則，，，
，，，
..................14分
.................................................................16分
答：若小明星期天選擇跑步，則他星期六也選擇跑步的概率為．.................................17分
19.解：（1）函數的定義域為， ..........................................1分
令得，所以函數在區間上單調遞增；
同理可得函數在區間上單調遞減； ..........................................3分
所以函數在處取得最大值； .........................................4分
（2）函數的定義域為，；
①當時，恒成立，在單調增，
因為不可能恒成立； .........................................6分
②當時，令得，所以函數在區間上單調遞增；
同理可得函數在區間上單調遞減；
所以函數在處取得最小值，
因為恒成立，所以，即， ...........................8分
由（1）知，所以，解得；...........................10分
（3）（方法一）由（1）知，即（*），
用替換（*）式中的，得（**），
再用替換（**）式中的，得，即；.................12分
（方法二）記，令，
所以在單調遞增，同理得在單調遞減，
所以，即； ................12分
所以，即， ...........................13分
所以，
故，得證. ........................17分

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