資源簡介

1.1二次函數
【知識點1】二次函數的定義 1
【題型1】二次函數的識別 2
【題型2】二次函數的二次項，一次項，常數項 3
【題型3】利用自變量與函數值建立二次函數解析式 3
【題型4】利用幾何圖形建立二次函數解析式 4
【題型5】利用二次函數的定義求待定字母的值 5
【知識點1】二次函數的定義
（1）二次函數的定義：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數，a≠0）的函數，叫做二次函數．其中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項系數，b是一次項系數，c是常數項．y═ax2+bx+c（a、b、c是常數，a≠0）也叫做二次函數的一般形式．
判斷函數是否是二次函數，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡的要先將其化簡，然后再根據二次函數的定義作出判斷，要抓住二次項系數不為0這個關鍵條件．
（2）二次函數的取值范圍：一般情況下，二次函數中自變量的取值范圍是全體實數，對實際問題，自變量的取值范圍還需使實際問題有意義．
1.（2024秋 沭陽縣期末）下列函數解析式中，一定為二次函數的是（　　）
A． B．s=2t2-2t+1
C．y=ax2+bx+c D．y=（x-1）2-x2
2.（2024秋 濉溪縣期末）若函數y=a是二次函數且圖象開口向上，則a=（　　）
A．-2 B．4 C．4或-2 D．4或3
【題型1】二次函數的識別
【典型例題】下列函數中是二次函數的是（ ）
A. B. C. D.
【舉一反三1】如果是一個有理數，那么在下列關于的代數式中，一定是二次函數的是（ ）
A. B. C. D.
【舉一反三2】下列函數不屬于二次函數的是（ ）
A. B. C. D.
【舉一反三3】下列函數①；②；③；④；⑤．其中是二次函數的是 ．
【舉一反三4】下列函數中，哪些是二次函數？
（1）y＝3x-1；
（2）；
（3） ；
（4）；
（5）；
（6）.
【舉一反三5】判斷下列函數是否是二次函數．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【題型2】二次函數的二次項，一次項，常數項
【典型例題】函數的一次項系數是（　　）
A. B.1 C.3 D.6
【舉一反三1】二次函數的二次項系數、一次項系數和常數項分別是（　　）
A.1，， B.1，6，1 C.0，，1 D.0，6，
【舉一反三2】關于函數，下列說法中正確的是（ ）
A.二次項系數是1
B.一次項系數是9
C.常數項是
D.是關于的一次函數
【舉一反三3】已知二次函數y＝1﹣5x＋3x2，則二次項系數a＝ ，一次項系數b＝ ，常數項c＝ ．
【舉一反三4】二次函數的一次項系數是 ．
【舉一反三5】下列函數中（x，t為自變量），哪些是二次函數？如果是二次函數，請指出二次項、一次項系數及常數項．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【舉一反三6】把下列二次函數化成一般形式，并指出二次項系數、一次項系數及常數項.
（1）y＝x2＋（x＋1）2；
（2）y＝（2x＋3）（x－1）＋5；
（3）y＝4x2－12x（1＋x）；
（4）y＝（x＋1）（x－1）.
【題型3】利用自變量與函數值建立二次函數解析式
【典型例題】已知二次函數的與的部分對應值如下表：
當時，的值是（ ）
A. B. C.2 D.6
【舉一反三1】已知二次函數y＝ax2+bx+1，若當x＝1時，y＝0；當x＝﹣1時，y＝4，則a、b的值分別為（ ）
A.a＝1，b＝2 B.a＝1，b＝﹣2 C.a＝﹣1，b＝2 D.a＝﹣1，b＝﹣2
【舉一反三2】一個二次函數，當x＝0時，y＝﹣5；當x＝﹣1時，y＝﹣4；當x＝﹣2時，y＝5，則這個二次函數的關系式是（ ）
A.y＝4x2+3x﹣5 B.y＝2x2+x+5 C.y＝2x2﹣x+5 D.y＝2x2+x﹣5
【舉一反三3】已知二次函數y＝ax2＋4x＋c，當x等于﹣2時，函數值是﹣1；當x＝1時，函數值是5．則此二次函數的表達式為（ ）
A.y＝2x2＋4x﹣1 B.y＝x2＋4x﹣2 C.y＝-2x2＋4x+1 D.y＝2x2＋4x+1
【舉一反三4】如表所示，則與的關系式為（　　）
A. B. C. D.非以上結論
【題型4】利用幾何圖形建立二次函數解析式
【典型例題】用一段20米長的鐵絲在平地上圍成一個矩形，該矩形的一邊長為x米，面積為y平方米，則y關于x的函數關系式為（ ）
A. B. C. D.
【舉一反三1】如圖，一個正方體的邊長為，它的表面積為，則y與x的函數關系式為（ ）

A. B. C. D.
【舉一反三2】正方體的棱長為x，表面積為y，則y與x之間的函數關系式為（　　）
A. B. C. D.
【舉一反三3】長方形的周長為，其中一邊為，面積為．那么與的關系是（ ）
A. B. C. D.
【舉一反三4】用一段20米長的鐵絲在平地上圍成一個矩形，該矩形的一邊長為x米，面積為y平方米，則y關于x的函數關系式為（ ）
A. B. C. D.
【舉一反三5】正方形的邊長是1，若邊長增加x，則面積增加y，y與x之間的關系式是 ．
【舉一反三6】用長為30米的柵欄圍成一個矩形花圃，其中一邊長為x米，面積為y平方米，則y與x的函數關系為 ．
【舉一反三7】長方形的周長為，其中一邊，面積為，那么與的關系是 ．
【舉一反三8】如下圖所示，在一幅長、寬的矩形風景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛畫，設整個掛畫總面積為，金色紙邊的寬為，則y與x之間的函數關系式是 ．
【題型5】利用二次函數的定義求待定字母的值
【典型例題】關于x的函數是二次函數的條件是（　　）
A. B. C. D.
【舉一反三1】函數是關于的二次函數，則的值為（ ）
A. B.或 C. D.不存在
【舉一反三2】若表示是的二次函數，則的取值范圍為（　　）
A. B. C. D.
【舉一反三3】若是二次函數，則 ．
【舉一反三4】若函數是二次函數，則 ．
【舉一反三5】如果函數y=（m﹣3）+mx+1是二次函數，求m的值．
【舉一反三6】已知函數是二次函數，求m的值．1.1二次函數
【知識點1】二次函數的定義 1
【題型1】二次函數的識別 2
【題型2】二次函數的二次項，一次項，常數項 4
【題型3】利用自變量與函數值建立二次函數解析式 6
【題型4】利用幾何圖形建立二次函數解析式 9
【題型5】利用二次函數的定義求待定字母的值 11
【知識點1】二次函數的定義
（1）二次函數的定義：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數，a≠0）的函數，叫做二次函數．其中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項系數，b是一次項系數，c是常數項．y═ax2+bx+c（a、b、c是常數，a≠0）也叫做二次函數的一般形式．
判斷函數是否是二次函數，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡的要先將其化簡，然后再根據二次函數的定義作出判斷，要抓住二次項系數不為0這個關鍵條件．
（2）二次函數的取值范圍：一般情況下，二次函數中自變量的取值范圍是全體實數，對實際問題，自變量的取值范圍還需使實際問題有意義．
1.（2024秋 沭陽縣期末）下列函數解析式中，一定為二次函數的是（　　）
A． B．s=2t2-2t+1
C．y=ax2+bx+c D．y=（x-1）2-x2
【答案】B
【分析】根據二次函數的定義：形如y=ax2+bx+c（a,b,c為常數且a≠0），逐一判斷即可解答．
【解答】解：A、分母含有自變量，不是二次函數，故此選項不符合題意；
B、s=2t2-2t+1，是二次函數，故此選項符合題意；
C、y=ax2+bx+c,當a=0時，不是二次函數，故此選項不符合題意；
D、化簡后為y=-2x+1，是一次函數，故此選項不符合題意．
故選：B．
2.（2024秋 濉溪縣期末）若函數y=a是二次函數且圖象開口向上，則a=（　　）
A．-2 B．4 C．4或-2 D．4或3
【答案】B
【分析】根據二次函數的定義得到a2-2a-6=2，由拋物線的開口方向得到a＞0，由此可以求得a的值．
【解答】解：∵函數y=a是二次函數且圖象開口向上，
∴a2-2a-6=2，且a＞0，
解得 a=4．
故選：B．
【題型1】二次函數的識別
【典型例題】下列函數中是二次函數的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A.是一次函數，不是二次函數，故選項A不符合題意；
B.是正比例函數，不是二次函數，故選項B不符合題意；
C.的自變量次數是3，不是二次函數，故選項C不符合題意；
D.是二次函數，故選項D符合題意；
故選：D.
【舉一反三1】如果是一個有理數，那么在下列關于的代數式中，一定是二次函數的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A．y=x2+k是二次函數，故A正確；
B．當k=0時，y=kx2不是二次函數，故B錯誤；
C．y=，未知數的次數為﹣2，不是二次函數，故C錯誤；
D．y=k2x中，未知數的次數為1，不是二次函數，故D錯誤．
故選A．
【舉一反三2】下列函數不屬于二次函數的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A．，是二次函數，不符合題意；
B．，是二次函數，不符合題意；
C．，是二次函數，不符合題意；
D．，不是二次函數，符合題意；
故選D．
【舉一反三3】下列函數①；②；③；④；⑤．其中是二次函數的是 ．
【答案】②④
【解析】①為一次函數；
②為二次函數；
③自變量次數為3，不是二次函數；
④為二次函數；
⑤函數式為分式，不是二次函數．
故答案為②④．
【舉一反三4】下列函數中，哪些是二次函數？
（1）y＝3x-1；
（2）；
（3） ；
（4）；
（5）；
（6）.
【答案】解：（1）不是二次函數，因為自變量的最高次數是1．
（2）是二次函數，因為符合二次函數的概念．
（3）不是二次函數，因為自變量的最高次數是3．
（4）是二次函數，因為符合二次函數的概念．
（5）不是二次函數，因為原式整理后為y=－x．
（6）不是二次函數，因為x－2為分式，不是整式．
故（2）（4）是二次函數．
【舉一反三5】判斷下列函數是否是二次函數．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】解：（1），沒有二次項，故不是二次函數；
（2），符合，故是二次函數；
（3），右邊不是整式，故不是二次函數；
（4），符合，故是二次函數；
（5），符合，故是二次函數；
（6），沒有二次項，故不是二次函數．
【題型2】二次函數的二次項，一次項，常數項
【典型例題】函數的一次項系數是（　　）
A. B.1 C.3 D.6
【答案】A
【解析】函數的一次項系數是．
故選：A．
【舉一反三1】二次函數的二次項系數、一次項系數和常數項分別是（　　）
A.1，， B.1，6，1 C.0，，1 D.0，6，
【答案】A
【解析】二次函數，
∴二次項系數、一次項系數、常數項分別是1，，．
故選：A．
【舉一反三2】關于函數，下列說法中正確的是（ ）
A.二次項系數是1
B.一次項系數是9
C.常數項是
D.是關于的一次函數
【答案】B
【解析】，
∴該函數是二次函數，其二次項系數是，一次項系數是9，常數項是10，
則A、C、D說法錯誤，B說法正確，
故選：B．
【舉一反三3】已知二次函數y＝1﹣5x＋3x2，則二次項系數a＝ ，一次項系數b＝ ，常數項c＝ ．
【答案】3；﹣5；1
【解析】二次函數y＝1﹣5x+3x2，則二次項系數a＝3，一次項系數b＝﹣5，常數項c＝1，
故答案為：3，﹣5，1．
【舉一反三4】二次函數的一次項系數是 ．
【答案】
【解析】∵二次函數的一次項為，
∴二次函數的一次項系數是．
故答案為：．
【舉一反三5】下列函數中（x，t為自變量），哪些是二次函數？如果是二次函數，請指出二次項、一次項系數及常數項．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】解：(1)是二次函數，二次項是、一次項系數是、常數項是；
(2)不是二次函數；
(3)是二次函數，二次項是、一次項系數是、常數項是；
(4)不是二次函數.
【舉一反三6】把下列二次函數化成一般形式，并指出二次項系數、一次項系數及常數項.
（1）y＝x2＋（x＋1）2；
（2）y＝（2x＋3）（x－1）＋5；
（3）y＝4x2－12x（1＋x）；
（4）y＝（x＋1）（x－1）.
【答案】解：（1）∵y＝x2＋（x＋1）2＝x2＋x2＋2x＋1＝2x2＋2x＋1，
∴一般形式為y＝2x2＋2x＋1，二次項系數為2，一次項系數為2，常數項為1.
（2）∵y＝（2x＋3）（x－1）＋5＝2x2－2x＋3x－3＋5＝2x2＋x＋2，
∴一般形式為y＝2x2＋x＋2，二次項系數為2，一次項系數為1，常數項為2.
（3）∵y＝4x2－12x（1＋x）＝4x2－12x－12x2＝－8x2－12x，
∴一般形式為y＝－8x2－12x，二次項系數為－8，一次項系數為－12，常數項為0.
（4）∵y＝（x＋1）（x－1）＝x2－1，
∴一般形式為y＝x2－1，二次項系數為1，一次項系數為0，常數項為－1.
【題型3】利用自變量與函數值建立二次函數解析式
【典型例題】已知二次函數的與的部分對應值如下表：
當時，的值是（ ）
A. B. C.2 D.6
【答案】A
【解析】把（-2，-6），（0，2），（2，6）三點坐標代入，得
,
解得，,
∴二次函數解析式為,
∴當時，,
故選：A.
【舉一反三1】已知二次函數y＝ax2+bx+1，若當x＝1時，y＝0；當x＝﹣1時，y＝4，則a、b的值分別為（ ）
A.a＝1，b＝2 B.a＝1，b＝﹣2 C.a＝﹣1，b＝2 D.a＝﹣1，b＝﹣2
【答案】B
【解析】根據題意得，
解得a＝1，b＝﹣2．
故選：B．
【舉一反三2】一個二次函數，當x＝0時，y＝﹣5；當x＝﹣1時，y＝﹣4；當x＝﹣2時，y＝5，則這個二次函數的關系式是（ ）
A.y＝4x2+3x﹣5 B.y＝2x2+x+5 C.y＝2x2﹣x+5 D.y＝2x2+x﹣5
【答案】A
【解析】設二次函數的關系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵當x＝0時，y＝﹣5；當x＝﹣1時，y＝﹣4；當x＝﹣2時，y＝5，
∴c＝﹣5①，
a﹣b+c＝﹣4②，
4a﹣2b+c＝5③，
解由①②③組成的方程組得，a＝4，b＝3，c＝﹣5，
所以二次函數的關系式為：y＝4x2+3x﹣5．
故選：A．
【舉一反三3】已知二次函數y＝ax2＋4x＋c，當x等于﹣2時，函數值是﹣1；當x＝1時，函數值是5．則此二次函數的表達式為（ ）
A.y＝2x2＋4x﹣1 B.y＝x2＋4x﹣2 C.y＝-2x2＋4x+1 D.y＝2x2＋4x+1
【答案】A
【解析】根據題意得，
解得：，
∴二次函數的表達式為y＝2x2＋4x﹣1．
故選：A．
【舉一反三4】如表所示，則與的關系式為（　　）
A. B. C. D.非以上結論
【答案】B
【解析】設二次函數的解析式為，
∵點滿足關系式，
∴，
解得：，
∴二次函數的解析式為，
當時，，
當時，，
∴與的關系式為．
故選B．
【題型4】利用幾何圖形建立二次函數解析式
【典型例題】用一段20米長的鐵絲在平地上圍成一個矩形，該矩形的一邊長為x米，面積為y平方米，則y關于x的函數關系式為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵用一段20米長的鐵絲在平地上圍成一個矩形，該矩形的一邊長為x米，
∴矩形另一邊長為米，
∴矩形的面積，
故選：B.
【舉一反三1】如圖，一個正方體的邊長為，它的表面積為，則y與x的函數關系式為（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵正方體有6個面，每一個面都是邊長為x的正方形，
∴表面積．
故選：C．
【舉一反三2】正方體的棱長為x，表面積為y，則y與x之間的函數關系式為（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由題意得，，
故選：C．
【舉一反三3】長方形的周長為，其中一邊為，面積為．那么與的關系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根據題意可得：
∵長方形的周長為，其中一邊為，
∴長方形的另一邊長為，
∴，
故選：D．
【舉一反三4】用一段20米長的鐵絲在平地上圍成一個矩形，該矩形的一邊長為x米，面積為y平方米，則y關于x的函數關系式為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵用一段20米長的鐵絲在平地上圍成一個矩形，該矩形的一邊長為x米，
∴矩形另一邊長為米，
∴矩形的面積，
故選：B.
【舉一反三5】正方形的邊長是1，若邊長增加x，則面積增加y，y與x之間的關系式是 ．
【答案】
【解析】由題意得：．
故答案為：．
【舉一反三6】用長為30米的柵欄圍成一個矩形花圃，其中一邊長為x米，面積為y平方米，則y與x的函數關系為 ．
【答案】
【解析】籬笆的總長為30米，花圃一邊長為米，
花圃另一邊長為米．
根據題意得：．
故答案為：．
【舉一反三7】長方形的周長為，其中一邊，面積為，那么與的關系是 ．
【答案】
【解析】長方形的周長為，其中一邊，
另一邊長為，
，
故答案為：．
【舉一反三8】如下圖所示，在一幅長、寬的矩形風景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛畫，設整個掛畫總面積為，金色紙邊的寬為，則y與x之間的函數關系式是 ．
【答案】
【解析】由題意可得：．
故答案為：．
【題型5】利用二次函數的定義求待定字母的值
【典型例題】關于x的函數是二次函數的條件是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】當，即，則是二次函數．
故選：B．
【舉一反三1】函數是關于的二次函數，則的值為（ ）
A. B.或 C. D.不存在
【答案】C
【解析】由題意得，解得：，
故選：．
【舉一反三2】若表示是的二次函數，則的取值范圍為（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】表示是的二次函數，
，
解得．
故選：D．
【舉一反三3】若是二次函數，則 ．
【答案】4
【解析】∵函數是二次函數，
∴，
∴．
故答案為4．
【舉一反三4】若函數是二次函數，則 ．
【答案】
【解析】∵是二次函數，
∴，，
解得：，，
∴．
故答案為：.
【舉一反三5】如果函數y=（m﹣3）+mx+1是二次函數，求m的值．
【答案】解：根據二次函數的定義：m2﹣3m+2=2，且m﹣3≠0，
解得：m=0．
【舉一反三6】已知函數是二次函數，求m的值．
【答案】解：由是二次函數，得，
解得：．

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