資源簡介

1.2二次函數的圖象
【知識點1】二次函數的圖象 1
【知識點2】二次函數圖象與幾何變換 2
【知識點3】二次函數圖象上點的坐標特征 2
【知識點4】二次函數圖象與系數的關系 3
【題型1】二次函數y=a(x-m) ＋k與y=ax ，y=a(x-m) 的圖象之間的平移 4
【題型2】二次函數y=a(x-m) 的圖象的相關特征 5
【題型3】二次函數y=ax ＋bx＋c與y=ax ，y=a(x-m) ，y=a(x-m) ＋k的圖象之間的平移 6
【題型4】二次函數y=a(x-m) 與y=ax 圖象之間的平移 6
【題型5】二次函數y=ax 的圖象的相關特征 7
【題型6】二次函數y=ax ＋bx＋c的圖象的相關特征 8
【題型7】二次函數y=a(x-m) ＋k的圖象的相關特征 9
【知識點1】二次函數的圖象
（1）二次函數y=ax2（a≠0）的圖象的畫法：
①列表：先取原點（0，0），然后以原點為中心對稱地選取x值，求出函數值，列表．
②描點：在平面直角坐標系中描出表中的各點．
③連線：用平滑的曲線按順序連接各點．
④在畫拋物線時，取的點越密集，描出的圖象就越精確，但取點多計算量就大，故一般在頂點的兩側各取三四個點即可．連線成圖象時，要按自變量從小到大（或從大到小）的順序用平滑的曲線連接起來．畫拋物線y=ax2（a≠0）的圖象時，還可以根據它的對稱性，先用描點法描出拋物線的一側，再利用對稱性畫另一側．
（2）二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象
二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象看作由二次函數y=ax2的圖象向右或向左平移||個單位，再向上或向下平移||個單位得到的．
1.（2024秋 蚌山區月考）已知實數a,b,c滿足a+b+2c=-4，2a-b-3c=8，a+b+c＜0，則（　　）
A．a＞0，b2-4ac＞0 B．a＞0，b2-4ac＜0
C．a＜0，b2-4ac＞0 D．a＜0，b2-4ac＜0
2.（2024秋 龍巖期末）二次函數y=x2的圖象與反比例函數的圖象的交點個數為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【知識點2】二次函數圖象與幾何變換
由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式．
1.（2024秋 右江區期末）把拋物線y=2x2向左平移5個單位，所得拋物線的解析式為（　　）
A．y=2x2+5 B．y=2x2-5 C．y=2（x+5）2 D．y=2（x-5）2
2.（2024秋 秦皇島校級期末）將拋物線y=x2+2x向上平移2個單位后，所得新拋物線的解析式為（　　）
A．y=x2+2x+2 B．y=x2+2x-2 C．y=x2-2x D．y=x2+6x+8
3.（2025 武威一模）在同一平面直角坐標系中，若拋物線y=x2-2mx+m2+2m-4向右平移2個單位后得拋物線y=（x-n）2+m-n,則符合條件的m,n的值為（　　）
A．，n=-6 B．m=2，n=-4 C．m=-1，n=6 D．m=1，n=3
【知識點3】二次函數圖象上點的坐標特征
二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象是拋物線，頂點坐標是（-，）．
①拋物線是關于對稱軸x=-成軸對稱，所以拋物線上的點關于對稱軸對稱，且都滿足函數函數關系式．頂點是拋物線的最高點或最低點．
②拋物線與y軸交點的縱坐標是函數解析式中的c值．
③拋物線與x軸的兩個交點關于對稱軸對稱，設兩個交點分別是（x1，0），（x2，0），則其對稱軸為x=．
1.（2024秋 秦皇島期末）下列各點，在拋物線y=3（x-1）2-1的圖象上的是（　　）
A．（1，1） B．（1，-1） C．（-1，1） D．（-1，-1）
2.（2024秋 長寧區期末）已知二次函數y=-x2+2x+2的圖象上有兩點A（x1，y1）、B（x2，y2），如果x1＜x2＜0，那么y1、y2的大小關系是（　　）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1=y2 D．無法確定
【知識點4】二次函數圖象與系數的關系
二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）
①二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小．
當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；|a|還可以決定開口大小，|a|越大開口就越小．
②一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置．
當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左側；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右側．（簡稱：左同右異）
③常數項c決定拋物線與y軸交點．拋物線與y軸交于（0，c）．
④拋物線與x軸交點個數．
△=b2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b2-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．
1.（2024秋 遷安市期末）如圖，二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）在x=1時函數有最大值2，下面的結論不正確的是（　　）
A．a＜0 B．b2-4ac＞0 C．2a+b=0 D．ac＞0
2.（2025 望花區二模）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點，頂點C的縱坐標為-2，現將拋物線向右平移2個單位，得到拋物線y=ax2+b1x+c1，則下列結論正確的是（　　）
A．a＜0 B．c＞0
C．a-b+c＜0 D．陰影部分的面積為4
【題型1】二次函數y=a(x-m) ＋k與y=ax ，y=a(x-m) 的圖象之間的平移
【典型例題】二次函數的圖象平移后，得到二次函數圖象，平移方法是（ ）
A.先向左平移1個單位，再向上平移4個單位
B.先向左平移1個單位，再向下平移4個單位
C.先向右平移1個單位，再向上平移4個單位
D.先向右平移1個單位，再向下平移4個單位
【舉一反三1】將二次函數的圖象向下平移1個單位長度，得到的二次函數表達式為（ ）
A. B. C. D.
【舉一反三2】將二次函數向左平移4個單位，向下平移2個單位，所得到的新函數關系式為 ．
【舉一反三3】將二次函數的圖象向左平移1個單位長度，再向下平移4個單位長度．

(1)寫出平移后的二次函數表達式；
(2)在平面直角坐標系中畫出平移后的二次函數的圖象；
【舉一反三4】把二次函數的圖象先向左平移2個單位，再向上平移4個單位，得到二次函數的圖象．
(1)試確定h，k的值；
(2)指出二次函數的開口方向、對稱軸和頂點坐標．
【題型2】二次函數y=a(x-m) 的圖象的相關特征
【典型例題】在平面直角坐標系中，二次函數的圖象可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
【舉一反三1】對于函數的圖象，下列說法不正確的是（ ）
A.開口向下 B.對稱軸是 C.最高點為 D.交y軸于點
【舉一反三2】與拋物線關于y軸成軸對稱關系的拋物線是（　　）
A. B. C. D.
【舉一反三3】二次函數的圖象的頂點坐標是 ．
【舉一反三4】二次函數的圖象不經過第 象限．
【舉一反三5】寫出下列二次函數圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標．
(1)
(2)
(3)．
【舉一反三6】在同一平面直角坐標系中，畫出函數y=x ，y=(x+2) ，y=(x-2) 的圖象，并寫出對稱軸及頂點坐標.
【題型3】二次函數y=ax ＋bx＋c與y=ax ，y=a(x-m) ，y=a(x-m) ＋k的圖象之間的平移
【典型例題】拋物線可以由拋物線平移得到，則下列平移方法正確的是（ ）
A.先向左平移2個單位，再向上平移1個單位
B.先向左平移2個單位，再向下平移1個單位
C.先向右平移2個單位，再向上平移1個單位
D.先向右平移2個單位，再向下平移1個單位
【舉一反三1】將拋物線向左平移1個單位，再向上平移3個單位，得到拋物線的解析式為（ ）
A. B. C. D.
【舉一反三2】把二次函數y＝x +bx+c的圖象向下平移2個單位長度，再向左平移1個單位長度后，得到的拋物線的頂點坐標為（﹣2，1），則b﹣c的值為 ．
【舉一反三3】已知二次函數圖象的對稱軸為直線．
(1)求a的值；
(2)將該二次函數的圖象沿x軸向右平移2個單位后得到一個新的二次函數，求新二次函數的解析式．
【題型4】二次函數y=a(x-m) 與y=ax 圖象之間的平移
【典型例題】二次函數向右平移1個單位后的表達式是（ ）
A. B. C. D.
【舉一反三1】二次函數的圖象向右平移個單位后的函數為（ ）
A. B. C. D.
【舉一反三2】將二次函數的圖象向右平移1個單位長度，則所得拋物線的解析式是（ ）
A. B. C. D.
【舉一反三3】二次函數向右平移1個單位得到的函數解析式為 ．
【舉一反三4】已知函數，和．
(1)在同一平面直角坐標系中畫出它們的圖象；
(2)分別說出各個函數圖象的開口方向，對稱軸、頂點坐標；
(3)試說明：分別通過怎樣的平移，可以由函數的圖象得到函數和函數的圖象.
【舉一反三5】請在同一坐標系中畫出二次函數①；②的圖象．說出兩條拋物線的位置關系，指出②的開口方向、對稱軸和頂點．

【題型5】二次函數y=ax 的圖象的相關特征
【典型例題】拋物線的開口方向、對稱軸分別是（ ）
A.向上，軸 B.向上，軸 C.向下，軸 D.向下，軸
【舉一反三1】拋物線的頂點坐標是（ ）
A. B. C. D.
【舉一反三2】已知二次函數開口向上，且，則 ．
【舉一反三3】拋物線的開口方向是 ．
【舉一反三4】說出下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【題型6】二次函數y=ax ＋bx＋c的圖象的相關特征
【典型例題】若二次函數的圖象如圖所示，則的圖象大致是（　　）
A. B. C. D.
【舉一反三1】已知二次函數圖象如圖所示，下列結論：

①；②；③；④點都在拋物線上，則有．其中正確的結論有（　　）
A.4個 B.3個 C.2個 D.1個
【舉一反三2】已知拋物線（，）的對稱軸為直線．若當時，，則a的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.或
【舉一反三3】如圖，這是二次函數的圖象，則化簡的結果是（ ）
A. B. C. D.
【舉一反三4】二次函數，經過點，對稱軸l如圖所示，若，，，則M，N，P中，值小于0的數有 ．
【舉一反三5】拋物線經過點，則的值為 ．
【舉一反三6】二次函數的圖象的開口方向為 ．
【題型7】二次函數y=a(x-m) ＋k的圖象的相關特征
【典型例題】根據如圖所示的二次函數的圖象，可以判斷坐標系原點可能是（ ）

A.點A B.點B C.點C D.點D
【舉一反三1】拋物線的頂點坐標是（　　）
A. B. C. D.
【舉一反三2】拋物線的對稱軸是直線 ．
【舉一反三3】二次函數的開口 ，對稱軸 ，頂點坐標是 ．
【舉一反三4】說出下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【舉一反三5】．已知拋物線.
（1）該拋物線開口向 ，對稱軸是 ，頂點坐標是 ，
（2）在直角坐標系中畫出的圖象．
解：①列表：
②描點、連線：1.2二次函數的圖象
【知識點1】二次函數的圖象 1
【知識點2】二次函數圖象與幾何變換 3
【知識點3】二次函數圖象上點的坐標特征 4
【知識點4】二次函數圖象與系數的關系 5
【題型1】二次函數y=a(x-m) ＋k與y=ax ，y=a(x-m) 的圖象之間的平移 8
【題型2】二次函數y=a(x-m) 的圖象的相關特征 10
【題型3】二次函數y=ax ＋bx＋c與y=ax ，y=a(x-m) ，y=a(x-m) ＋k的圖象之間的平移 12
【題型4】二次函數y=a(x-m) 與y=ax 圖象之間的平移 14
【題型5】二次函數y=ax 的圖象的相關特征 16
【題型6】二次函數y=ax ＋bx＋c的圖象的相關特征 18
【題型7】二次函數y=a(x-m) ＋k的圖象的相關特征 23
【知識點1】二次函數的圖象
（1）二次函數y=ax2（a≠0）的圖象的畫法：
①列表：先取原點（0，0），然后以原點為中心對稱地選取x值，求出函數值，列表．
②描點：在平面直角坐標系中描出表中的各點．
③連線：用平滑的曲線按順序連接各點．
④在畫拋物線時，取的點越密集，描出的圖象就越精確，但取點多計算量就大，故一般在頂點的兩側各取三四個點即可．連線成圖象時，要按自變量從小到大（或從大到小）的順序用平滑的曲線連接起來．畫拋物線y=ax2（a≠0）的圖象時，還可以根據它的對稱性，先用描點法描出拋物線的一側，再利用對稱性畫另一側．
（2）二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象
二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象看作由二次函數y=ax2的圖象向右或向左平移||個單位，再向上或向下平移||個單位得到的．
1.（2024秋 蚌山區月考）已知實數a,b,c滿足a+b+2c=-4，2a-b-3c=8，a+b+c＜0，則（　　）
A．a＞0，b2-4ac＞0 B．a＞0，b2-4ac＜0
C．a＜0，b2-4ac＞0 D．a＜0，b2-4ac＜0
【答案】A
【分析】由題意得，可求，則a+b+c=a+4-7a+3a-4=-3a＜0，可求a＞0，設拋物線的表達式為y=ax2+bx+c（a≠0），則圖象開口向上，由a+b+c＜0，可知當x=1時，y=a+b+c＜0，則圖象與x軸有兩個交點，進而可得b2-4ac＞0．
【解答】解：設拋物線的表達式為y=ax2+bx+c（a≠0），
由題意得，
解得，，
∴a+b+c=a+4-7a+3a-4=-3a＜0，
∴a＞0，
∴則圖象開口向上，
∵a+b+c＜0，
∴當x=1時，y=a+b+c＜0，
∴圖象與x軸有兩個交點，
∴b2-4ac＞0，
故選：A．
2.（2024秋 龍巖期末）二次函數y=x2的圖象與反比例函數的圖象的交點個數為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根據二次函數和反比例函數的圖象位置，畫出圖象，直接判斷交點個數．
【解答】解：根據二次函數和反比例函數的圖象位置如圖：
∵二次函數y=x2的圖象在一、二象限，開口向上，頂點在原點，y軸是對稱軸，
反比例函數的圖象在一、三象限，故兩個函數的交點只有一個，在第一象限．
故選：A．
【知識點2】二次函數圖象與幾何變換
由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式．
1.（2024秋 右江區期末）把拋物線y=2x2向左平移5個單位，所得拋物線的解析式為（　　）
A．y=2x2+5 B．y=2x2-5 C．y=2（x+5）2 D．y=2（x-5）2
【答案】C
【分析】先確定拋物線y=2x2的頂點坐標為（0，0），再根據點平移的規律得到點（0，0）向左平移5個單位得到對應點的坐標為（-5，0），然后根據頂點式寫出平移后得拋物線解析式．
【解答】解：拋物線y=2x2的頂點坐標為（0，0），把點（0，0）向左平移5個單位得到對應點的坐標為（-5，0），所以平移后的拋物線的解析式為y=2（x+5）2．
故選：C．
2.（2024秋 秦皇島校級期末）將拋物線y=x2+2x向上平移2個單位后，所得新拋物線的解析式為（　　）
A．y=x2+2x+2 B．y=x2+2x-2 C．y=x2-2x D．y=x2+6x+8
【答案】A
【分析】根據上加下減的原則得出解析式即可．
【解答】解：由“上加下減“平移規律知：將拋物線y=x2+2x向上平移2個單位后，所得新拋物線的頂點式為y=x2+2x+2，
故選：A．
3.（2025 武威一模）在同一平面直角坐標系中，若拋物線y=x2-2mx+m2+2m-4向右平移2個單位后得拋物線y=（x-n）2+m-n,則符合條件的m,n的值為（　　）
A．，n=-6 B．m=2，n=-4 C．m=-1，n=6 D．m=1，n=3
【答案】D
【分析】先把拋物線y=x2-2mx+m2+2m-4化為頂點式的形式，再根據函數圖象平移的法則求出右平移2個單位后所得拋物線的解析式，寫出對應系數的值即可．
【解答】解：∵拋物線y=x2-2mx+m2+2m-4化為y=（x-m）2+2m-4，
∴拋物線y=x2-2mx+m2+2m-4向右平移2個單位后得拋物線，所得拋物線的解析式為：y=（x-m-2）2+2m-4，即y=（x-n）2+m-n,
∴，
解得，
故選：D．
【知識點3】二次函數圖象上點的坐標特征
二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象是拋物線，頂點坐標是（-，）．
①拋物線是關于對稱軸x=-成軸對稱，所以拋物線上的點關于對稱軸對稱，且都滿足函數函數關系式．頂點是拋物線的最高點或最低點．
②拋物線與y軸交點的縱坐標是函數解析式中的c值．
③拋物線與x軸的兩個交點關于對稱軸對稱，設兩個交點分別是（x1，0），（x2，0），則其對稱軸為x=．
1.（2024秋 秦皇島期末）下列各點，在拋物線y=3（x-1）2-1的圖象上的是（　　）
A．（1，1） B．（1，-1） C．（-1，1） D．（-1，-1）
【答案】B
【分析】可將四個選項中的坐標代入拋物線方程中，看兩邊是否相等，即可判斷該點是否在拋物線上．
【解答】解：A、將（1，1）代入y=3（x-1）2-1得，1≠3×02-1=-1，所以（1，1）不在y=3（x-1）2-1上，故本選項錯誤；
B、將（1，-1）代入y=3（x-1）2-1得，-1=3×02-1，所以（1，-1）在y=3（x-1）2-1上，故本選項正確；
C、將（-1，1）代入代入y=3（x-1）2-1得，1≠3×（-2）2-1=11，所以（-1，1）不在y=3（x-1）2-1上，故本選項錯誤；
D、將（-1，-1）代入y=3（x-1）2-1得，-1≠3×（-2）2-1=11，所以（-1，-1）不在y=3（x-1）2-1上，故本選項錯誤．
故選：B．
2.（2024秋 長寧區期末）已知二次函數y=-x2+2x+2的圖象上有兩點A（x1，y1）、B（x2，y2），如果x1＜x2＜0，那么y1、y2的大小關系是（　　）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1=y2 D．無法確定
【答案】A
【分析】根據二次函數圖象上點的坐標特征解答即可．
【解答】解：二次函數y=-x2+2x+2的圖象開口向下，對稱軸為直線x=1，
x＜1時，y隨x的增大而增大，
∵x1＜x2＜0，
∴y1＜y2．
故選：A．
【知識點4】二次函數圖象與系數的關系
二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）
①二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小．
當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；|a|還可以決定開口大小，|a|越大開口就越小．
②一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置．
當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左側；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右側．（簡稱：左同右異）
③常數項c決定拋物線與y軸交點．拋物線與y軸交于（0，c）．
④拋物線與x軸交點個數．
△=b2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b2-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．
1.（2024秋 遷安市期末）如圖，二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）在x=1時函數有最大值2，下面的結論不正確的是（　　）
A．a＜0 B．b2-4ac＞0 C．2a+b=0 D．ac＞0
【答案】D
【分析】由拋物線開口向下，可得a＜0，即可判定A；根據拋物線與x軸有兩個不同的交點，可得Δ=b2-4ac＞0，即可判定B；由對稱軸為直線x=1，可判定C；根據拋物線經過原點，即可判定D，據此即可求解．
【解答】解：A、∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
故該選項正確，不合題意；
B、由函數圖象可知，拋物線與x軸有兩個不同的交點，
∴Δ=b2-4ac＞0，故該選項正確，不合題意；
C、∵拋物線的對稱軸為直線x=1，
∴，
∴b=-2a,
∴2a+b=0，故該選項正確，不符合題意；
D、∵拋物線經過原點，
∴c=0，
∴ac=0，
故該選項錯誤，符合題意；
故選：D．
2.（2025 望花區二模）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點，頂點C的縱坐標為-2，現將拋物線向右平移2個單位，得到拋物線y=ax2+b1x+c1，則下列結論正確的是（　　）
A．a＜0 B．c＞0
C．a-b+c＜0 D．陰影部分的面積為4
【答案】D
【分析】根據拋物線開口向上，可得a＞0，據此判斷A；拋物線y=ax2+bx+c與y軸的交點在x軸的下方，據此判斷B；根據拋物線y=ax2+bx+c的圖象，可得x=-1時，y＞0，即a-b+c＞0，據此判斷C；首先判斷出陰影部分是一個平行四邊形，然后根據平行四邊形的面積=底×高，求出陰影部分的面積是多少即可判斷D．
【解答】解：∵拋物線開口向上，
∴a＞0，故A不正確；
由圖象可知c＜0，故B不正確；
∵x=-1時，y＞0，
∴a-b+c＞0，
故C不正確；
∵拋物線向右平移了2個單位，
∴平行四邊形的底是2，
∵函數y=ax2+bx+c的最小值是y=-2，
∴平行四邊形的高是2，
∴陰影部分的面積是：2×2=4，故D正確．
故選：D．
【題型1】二次函數y=a(x-m) ＋k與y=ax ，y=a(x-m) 的圖象之間的平移
【典型例題】二次函數的圖象平移后，得到二次函數圖象，平移方法是（ ）
A.先向左平移1個單位，再向上平移4個單位
B.先向左平移1個單位，再向下平移4個單位
C.先向右平移1個單位，再向上平移4個單位
D.先向右平移1個單位，再向下平移4個單位
【答案】C
【解析】將拋物線向右平移1個單位，再向上平移4個單位后，
得到拋物線，即，
故選：C．
【舉一反三1】將二次函數的圖象向下平移1個單位長度，得到的二次函數表達式為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】將二次函數的圖象向下平移1個單位長度，得：，
故選：．
【舉一反三2】將二次函數向左平移4個單位，向下平移2個單位，所得到的新函數關系式為 ．
【答案】
【解析】拋物線向左平移4個單位可得，再向下平移2個單位可得，
故答案為：.
【舉一反三3】將二次函數的圖象向左平移1個單位長度，再向下平移4個單位長度．

(1)寫出平移后的二次函數表達式；
(2)在平面直角坐標系中畫出平移后的二次函數的圖象；
【答案】解：（1）將二次函數的圖象向左平移1個單位長度，再向下平移4個單位長度后所得的拋物線解析式為；
（2）列表如下：
函數圖象如下所示：

【舉一反三4】把二次函數的圖象先向左平移2個單位，再向上平移4個單位，得到二次函數的圖象．
(1)試確定h，k的值；
(2)指出二次函數的開口方向、對稱軸和頂點坐標．
【答案】解：（1）∵把二次函數的圖象先向左平移2個單位，再向上平移4個單位，得到的二次函數解析式為，
∴；
（2）二次函數開口向下，對稱軸為直線，頂點坐標為．
【題型2】二次函數y=a(x-m) 的圖象的相關特征
【典型例題】在平面直角坐標系中，二次函數的圖象可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】根據二次函數的頂點坐標為，它的頂點坐標在x軸上，
故選：C．
【舉一反三1】對于函數的圖象，下列說法不正確的是（ ）
A.開口向下 B.對稱軸是 C.最高點為 D.交y軸于點
【答案】B
【解析】對于函數的圖象，
∵，
∴開口向下，對稱軸，最高點的坐標是頂點坐標，
時，，
交y軸于點，
故A、C、D正確，
故選：B．
【舉一反三2】與拋物線關于y軸成軸對稱關系的拋物線是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】拋物線的頂點坐標為，
關于y軸對稱的拋物線的頂點坐標為，
與拋物線關于y軸成軸對稱關系的拋物線是．
故選：C．
【舉一反三3】二次函數的圖象的頂點坐標是 ．
【答案】
【解析】∵二次函數的解析式的頂點式為，
∴二次函數的圖象的頂點坐標是，
故答案為：.
【舉一反三4】二次函數的圖象不經過第 象限．
【答案】三、四
【解析】∵二次函數頂點，開口向上，
∴圖象不經過第三、四象限，
故答案為：三、四．
【舉一反三5】寫出下列二次函數圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標．
(1)
(2)
(3)．
【答案】解：（1）∵拋物線，
∴開口向下，對稱軸是，頂點坐標為；
（2）∵拋物線，
∴開口向上，對稱軸是，頂點坐標為；
（3）∵拋物線，
∴開口向上，對稱軸是，頂點坐標為．
【舉一反三6】在同一平面直角坐標系中，畫出函數y=x ，y=(x+2) ，y=(x-2) 的圖象，并寫出對稱軸及頂點坐標.
【答案】解：函數圖象如圖所示：
拋物線y=x 的對稱軸是直線x=0,頂點坐標為(0,0).
拋物線y=(x+2) 的對稱軸是直線x=-2,頂點坐標為(-2,0).
拋物線y=(x-2) 的對稱軸是直線x=2,頂點坐標為(2,0).
【題型3】二次函數y=ax ＋bx＋c與y=ax ，y=a(x-m) ，y=a(x-m) ＋k的圖象之間的平移
【典型例題】拋物線可以由拋物線平移得到，則下列平移方法正確的是（ ）
A.先向左平移2個單位，再向上平移1個單位
B.先向左平移2個單位，再向下平移1個單位
C.先向右平移2個單位，再向上平移1個單位
D.先向右平移2個單位，再向下平移1個單位
【答案】D
【解析】，
拋物線可以由拋物線先向右平移2個單位，再向下平移1個單位得到，
故選：D．
【舉一反三1】將拋物線向左平移1個單位，再向上平移3個單位，得到拋物線的解析式為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，
將拋物線向左平移1個單位，再向上平移3個單位，得到拋物線的解析式為，
故選：C．
【舉一反三2】把二次函數y＝x +bx+c的圖象向下平移2個單位長度，再向左平移1個單位長度后，得到的拋物線的頂點坐標為（﹣2，1），則b﹣c的值為 ．
【答案】﹣2
【解析】∵拋物線的頂點坐標為（﹣2，1），
∴﹣﹣1＝﹣2，c﹣﹣2＝1，
解得：b＝2，c＝4，
∴b﹣c＝﹣2，
故答案為：﹣2．
【舉一反三3】已知二次函數圖象的對稱軸為直線．
(1)求a的值；
(2)將該二次函數的圖象沿x軸向右平移2個單位后得到一個新的二次函數，求新二次函數的解析式．
【答案】解：（1）∵二次函數圖象的對稱軸為直線,
∴，解得．
（2）∵，
∴，
∴平移后為：．
∴新二次函數的解析式為．
【題型4】二次函數y=a(x-m) 與y=ax 圖象之間的平移
【典型例題】二次函數向右平移1個單位后的表達式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】將二次函數向右平移1個單位后的解析式是，
故選：A．
【舉一反三1】二次函數的圖象向右平移個單位后的函數為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】二次函數的圖象向右平移個單位后的函數為．
故選：A．
【舉一反三2】將二次函數的圖象向右平移1個單位長度，則所得拋物線的解析式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】將二次函數的圖象向右平移1個單位長度，則所得拋物線的解析式是，
故選：B．
【舉一反三3】二次函數向右平移1個單位得到的函數解析式為 ．
【答案】
【解析】∵拋物線頂點坐標為，
∴向右平移1個單位后，頂點坐標為，
∴平移后拋物線解析式為：．
故答案為．
【舉一反三4】已知函數，和．
(1)在同一平面直角坐標系中畫出它們的圖象；
(2)分別說出各個函數圖象的開口方向，對稱軸、頂點坐標；
(3)試說明：分別通過怎樣的平移，可以由函數的圖象得到函數和函數的圖象.
【答案】解：（1）如圖所示：
（2）開口向上，對稱軸為y軸，頂點坐標為，
開口向上，對稱軸為，頂點坐標為，
開口向上，對稱軸為，頂點坐標為；
（3）由拋物線向左平移1個單位，由拋物線向右平移1個單位.
【舉一反三5】請在同一坐標系中畫出二次函數①；②的圖象．說出兩條拋物線的位置關系，指出②的開口方向、對稱軸和頂點．

【答案】解：列表：
描點：
連線，如圖．
由圖象可知，①向左平移兩個單位得到②，
∴②的開口方向向上，對稱軸是，頂點坐標為（2，0）．
【題型5】二次函數y=ax 的圖象的相關特征
【典型例題】拋物線的開口方向、對稱軸分別是（ ）
A.向上，軸 B.向上，軸 C.向下，軸 D.向下，軸
【答案】B
【解析】，
拋物線開口向上，
，
對稱軸為軸．
故選：B．
【舉一反三1】拋物線的頂點坐標是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】二次函數的圖象的頂點坐標為．
故選：C．
【舉一反三2】已知二次函數開口向上，且，則 ．
【答案】5
【解析】∵二次函數開口向上，
∴，
∵,
∴或,
∴或,
又∵,
∴．
故答案為：5．
【舉一反三3】拋物線的開口方向是 ．
【答案】向上
【解析】∵在中，，
∴拋物線的開口方向是向上．
故答案為：向上．
【舉一反三4】說出下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】解：（1）∵拋物線解析式為,
∴a＝3＞0，
∴拋物線y＝3x 的開口向上，對稱軸為y軸，頂點坐標是（0，0）；
（2）∵拋物線解析式為：，
∴a＝-3＜0，
∴拋物線y＝-3x 的開口向下，對稱軸為y軸，頂點坐標是（0，0）；
（3）∵拋物線解析式為：，
∴a＝,
∴拋物線y＝x 的開口向上，對稱軸為y軸，頂點坐標是（0，0）；
（4）∵拋物線解析式為：，
∴a＝，
∴拋物線y＝x 的開口向下，對稱軸為y軸，頂點坐標是（0，0）．
【題型6】二次函數y=ax ＋bx＋c的圖象的相關特征
【典型例題】若二次函數的圖象如圖所示，則的圖象大致是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根據二次函數圖象與軸的交點可得，根據拋物線開口向下可得，由對稱軸在軸左邊可得同號，故，
所以的圖象大致是：拋物線開口向上，圖象與軸的負半軸相交，對稱軸在軸右邊，故選項B符合題意．
故選：B．
【舉一反三1】已知二次函數圖象如圖所示，下列結論：

①；②；③；④點都在拋物線上，則有．其中正確的結論有（　　）
A.4個 B.3個 C.2個 D.1個
【答案】B
【解析】∵拋物線開口向上，
∴，
∵，
∴，
∵拋物線交y軸于負半軸，
∴，
∴，故①正確，
∵，，
∴，
∴，故②正確，
∵時，，
∴，
∵時，，
∴，
∴，
∴，故③正確，
∵點都在拋物線上，
觀察圖象可知，故④錯誤．
綜上，正確的結論是①②③，
故選：B．
【舉一反三2】已知拋物線（，）的對稱軸為直線．若當時，，則a的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.或
【答案】A
【解析】∵（，）的對稱軸為直線，
∴，
∴，
∵當時，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：A．
【舉一反三3】如圖，這是二次函數的圖象，則化簡的結果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵二次函數開口向下，
∴，
∵對稱軸為直線，
∴，
∴，
∴，
∵拋物線與x軸的一個交點坐標在直線和直線之間，
∴拋物線與x軸的另外一個交點坐標在直線和直線之間，
∴當時，，
∴，
∴
，
故選：A．
【舉一反三4】二次函數，經過點，對稱軸l如圖所示，若，，，則M，N，P中，值小于0的數有 ．
【答案】M，N
【解析】∵二次函數，經過點，
∴，
∴，
∵二次函數與y軸交于正半軸，開口向下，
∴，，
∴；
∵對稱軸與x軸的交點的橫坐標在到0之間，
∴，
∴，
∴，，
故答案為：M，N．
【舉一反三5】拋物線經過點，則的值為 ．
【答案】
【解析】把點代入,
得：，
化簡得：，
,
故答案為：．
【舉一反三6】二次函數的圖象的開口方向為 ．
【答案】向上
【解析】在中，
，
二次函數的圖象的開口方向向上，
故答案為：向上．
【題型7】二次函數y=a(x-m) ＋k的圖象的相關特征
【典型例題】根據如圖所示的二次函數的圖象，可以判斷坐標系原點可能是（ ）

A.點A B.點B C.點C D.點D
【答案】A
【解析】由題意得：二次函數的頂點坐標為，
∴在點的左下方位置的點A可能是坐標系原點.
故選：A．
【舉一反三1】拋物線的頂點坐標是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵拋物線，
∴該拋物線的頂點坐標是．
故選：A．
【舉一反三2】拋物線的對稱軸是直線 ．
【答案】7
【解析】拋物線的對稱軸是直線，
故答案為：7．
【舉一反三3】二次函數的開口 ，對稱軸 ，頂點坐標是 ．
【答案】向上；直線；
【解析】，
該函數的開口向上，對稱軸是直線，頂點坐標為，
故答案為：向上，直線，．
【舉一反三4】說出下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】解：（1），開口向上，對稱軸是直線x＝－3，頂點坐標是（－3，5）；
（2），開口向下，對稱軸是直線x＝1，頂點坐標是（1，－2）；
（3），開口向上，對稱軸是直線x＝3，頂點坐標是（3，7）；
（4），開口向下，對稱軸是直線x＝－2，頂點坐標是（－2，－6）．
【舉一反三5】．已知拋物線.
（1）該拋物線開口向 ，對稱軸是 ，頂點坐標是 ，
（2）在直角坐標系中畫出的圖象．
解：①列表：
②描點、連線：

【答案】解：（1）因為拋物線為，所以該拋物線開口向向下，對稱軸是x=2，頂點坐標是(2,3)；
（2）①列表：
② 描點、連線：

展開更多......

收起↑