資源簡介

1.4二次函數的應用
【知識點1】二次函數的應用 1
【知識點2】根據實際問題列二次函數關系式 2
【知識點3】圖象法求一元二次方程的近似根 4
【知識點4】二次函數綜合題 5
【知識點6】二次函數與不等式（組） 8
【題型1】用二次函數解決增長率問題 10
【題型2】用二次函數解決面積問題 12
【題型3】用二次函數解決固定型拋物線問題 16
【題型4】用二次函數解決商品利潤問題 20
【題型5】用二次函數解決運動型拋物線問題 24
【知識點1】二次函數的應用
（1）利用二次函數解決利潤問題
在商品經營活動中，經常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題．解此類題的關鍵是通過題意，確定出二次函數的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量x的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍．
（2）幾何圖形中的最值問題
幾何圖形中的二次函數問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動態幾何中的最值的討論．
（3）構建二次函數模型解決實際問題
利用二次函數解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當地把這些實際問題中的數據落實到平面直角坐標系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題．
1.（2023秋 蒼梧縣期末）在一次炮彈發射演習中，記錄到一門迫擊炮發射的炮彈的飛行高度y米與飛行時間x秒的關系式為，當炮彈落到地面時，經過的時間為（　　）
A．40秒 B．45秒 C．50秒 D．55秒
【答案】C
【分析】在y=-x2+10x中，令y=0解出x的值即可得到答案．
【解答】解：在y=-x2+10x中，令y=0得：
0=-x2+10x,
解得x=0（舍去）或x=50，
∴當炮彈落到地面時，經過的時間為50秒；
故選：C．
2.（2024 寶安區模擬）古代拱橋的建筑形狀類似于拋物線，某拱橋的形狀可以看作是一個二次函數y=ax2-4x+3，若關于x的一元二次方程ax2-4x+2=0有兩個不相等的實數根，那么a的取值范圍是（　　）
A．a＜2 B．a＞2 C．a＜2且a≠0 D．a≤2且a≠0
【答案】C
【分析】由兩個不相等的實數根，即可得判別式Δ＞0，繼而可求得a的范圍．
【解答】解：由題意得：Δ=（-4）2-4a×2＞0且a≠0，
解得：a＜2且a≠0，
故選：C．
【知識點2】根據實際問題列二次函數關系式
根據實際問題確定二次函數關系式關鍵是讀懂題意，建立二次函數的數學模型來解決問題．需要注意的是實例中的函數圖象要根據自變量的取值范圍來確定．
①描點猜想問題需要動手操作，這類問題需要真正的去描點，觀察圖象后再判斷是二次函數還是其他函數，再利用待定系數法求解相關的問題．
②函數與幾何知識的綜合問題，有些是以函數知識為背景考查幾何相關知識，關鍵是掌握數與形的轉化；有些題目是以幾何知識為背景，從幾何圖形中建立函數關系，關鍵是運用幾何知識建立量與量的等式．
1.（2023 大埔縣開學）若正方形的邊長為6，邊長增加x,面積增加y,則y關于x的函數解析式為（　　）
A．y=（x+6）2 B．y=x2+62 C．y=x2+6x D．y=x2+12x
【答案】D
【分析】首先表示出原邊長為6的正方形面積，再表示出邊長增加x后正方形的面積，再根據面積隨之增加y可列出方程．
【解答】解：原邊長為6的正方形面積為：6×6=36，
邊長增加x后邊長變為：x+6，
則面積為：（x+6）2，
∴y=（x+6）2-36=x2+12x.
故選：D．
2.（2024秋 東川區期中）公安部門提醒市民，騎車出行必須嚴格遵守“一盔一帶”的規定．某頭盔經銷商統計了某品牌頭盔7月份到9月份的銷量，該品牌頭盔7月份銷售1500個，9月份銷售y個，設7月份到9月份銷售量的月增長率為x,那么y與x的函數關系是（　　）
A．y=1500（1+x）2 B．y=1500（1-x）2
C．y=（1+x）2+1500 D．y=x2+1500
【答案】A
【分析】利用該品牌頭盔9月份的銷售量=該品牌頭盔7月份的銷售量×（1+7月份到9月份銷售量的月增長率）2，即可列出y與x的函數關系．
【解答】解：根據題意得：y=1500（1+x）2．
故選：A．
3.（2024秋 瑞安市校級期中）已知某種產品的成本價為30元/千克，經市場調查發現，該產品每天的銷售量y（千克）與銷售價x（元/千克）有如下關系：y=-2x+80．設這種產品每天的銷售利潤為w（元），則w與x之間的函數表達式為（　　）
A．w=（x-30）（-2x+80） B．w=x（-2x+80）
C．w=30（-2x+80） D．w=x（-2x+50）
【答案】A
【分析】利用這種產品每天的銷售利潤=每千克的銷售利潤×每天的銷售量，即可找出w與x之間的函數表達式．
【解答】解：根據題意得：w=（x-30）y,
即w=（x-30）（-2x+80）．
故選：A．
【知識點3】圖象法求一元二次方程的近似根
利用二次函數圖象求一元二次方程的近似根的步驟是：
（1）作出函數的圖象，并由圖象確定方程的解的個數；
（2）由圖象與y=h的交點位置確定交點橫坐標的范圍；
（3）觀察圖象求得方程的根（由于作圖或觀察存在誤差，由圖象求得的根一般是近似的）．
1.（2024 蘭州）下表是一組二次函數y=x2+3x-5的自變量x與函數值y的對應值：
x 1 1.1 1.2 1.3 1.4
y -1 -0.49 0.04 0.59 1.16
那么方程x2+3x-5=0的一個近似根是（　　）
A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3
【答案】C
【分析】觀察表格可得0.04更接近于0，得到所求方程的近似根即可．
【解答】解：觀察表格得：方程x2+3x-5=0的一個近似根為1.2，
故選：C．
2.（2015 吳興區一模）已知二次函數y=ax2+bx+c的y與x的部分對應值如下表：則下列判斷中正確的是（　　）
x … -1 0 1 2 …
y … -5 1 3 1 …
A．拋物線開口向上
B．拋物線與y軸交于負半軸
C．當x=3時，y＞0
D．方程ax2+bx+c=0的正根在2與3之間
【答案】D
【分析】結合圖表可以得出當x=0或2時，y=1，可以求出此函數的對稱軸是直線x=1，頂點坐標為（1，3），借助（0，1）兩點可求出二次函數解析式，從而得出拋物線的性質．
【解答】解：∵由圖表可以得出當x=0或2時，y=1，可以求出此函數的對稱軸是直線x=1，頂點坐標為（1，3），
∴二次函數解析式為：y=a（x-1）2+3，
再將（0，1）點代入得：1=a（-1）2+3，
解得：a=-2，
∴y=-2（x-1）2+3，
∵a＜0
∴A，拋物線開口向上錯誤，故A錯誤；
∵y=-2（x-1）2+3=-2x2+4x+1，
與y軸交點坐標為（0，1），故與y軸交于正半軸，
故B錯誤；
∵當x=3時，y=-5＜0，
故C錯誤；
∵方程ax2+bx+c=0，△=16+4×2×1=22＞0，
此方程有兩個不相等的實數根，
由表正根在2和3之間；
故選：D．
3.（2024秋 長春期末）二次函數y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數）的圖象如圖所示，則方程ax2+bx+c=m有實數根的條件是（　　）
A．m≥-4 B．m≥0 C．m≥5 D．m≥6
【答案】A
【分析】利用函數圖象，當m≥-4時，直線y=m與二次函數y=ax2+bx+c有公共點，從而可判斷方程ax2+bx+c=m有實數根的條件．
【解答】解：∵拋物線的頂點坐標為（6，-4），
即x=6時，二次函數有最小值為-4，
∴當m≥-4時，直線y=m與二次函數y=ax2+bx+c有公共點，
∴方程ax2+bx+c=m有實數根的條件是m≥-4．
故選：A．
【知識點4】二次函數綜合題
（1）二次函數圖象與其他函數圖象相結合問題
解決此類問題時，先根據給定的函數或函數圖象判斷出系數的符號，然后判斷新的函數關系式中系數的符號，再根據系數與圖象的位置關系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即為正確選項．
（2）二次函數與方程、幾何知識的綜合應用
將函數知識與方程、幾何知識有機地結合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關鍵是善于將函數問題轉化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關性質、定理和二次函數的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．
（3）二次函數在實際生活中的應用題
從實際問題中分析變量之間的關系，建立二次函數模型．關鍵在于觀察、分析、創建，建立直角坐標系下的二次函數圖象，然后數形結合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數的取值范圍要使實際問題有意義．
【知識點5】拋物線與x軸的交點
求二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）與x軸的交點坐標，令y=0，即ax2+bx+c=0，解關于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標．
（1）二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）的交點與一元二次方程ax2+bx+c=0根之間的關系．
△=b2-4ac決定拋物線與x軸的交點個數．
△=b2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；
△=b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；
△=b2-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．
（2）二次函數的交點式：y=a（x-x1）（x-x2）（a，b，c是常數，a≠0），可直接得到拋物線與x軸的交點坐標（x1，0），（x2，0）．
1.（2024秋 清遠校級期末）如表中列出的是一個二次函數的自變量x與函數y的幾組對應值，則下列關于這個二次函數的結論中，正確的是（　　）
x .... -1 0 3 4 ....
y .... 0 -5 -8 -5 ....
A．圖象的開口向下
B．有最小值-8
C．圖象與x軸的一個交點是（5，0）
D．圖象的對稱軸是
【答案】C
【分析】由表格中的幾組數求得二次函數的解析式，然后通過函數的性質即可得出結果．
【解答】解：設y=ax2+bx+c（a、b、c為常數，a≠0），
，
∴，
∴y=x2-4x-5，
=（x-5）（x+1）
=（x-2）2-9，
∴函數的圖象開口向上，頂點為（2，-9），圖象與x軸的交點分別為（-1，0）和（5，0），
∴對稱軸是x=2，函數有最小值-9，
∴選項A、B、D不符合題意，選項C符合題意．
故選：C．
2.（2025 南京模擬）如圖，是二次函數y=ax2+bx+c的圖象，若關于x的方程ax2+bx+c=m總有一正一負兩個實數根，則m的取值范圍是（　　）
A．m＞3 B．m＜3 C．m≥3 D．m≤3
【答案】A
【分析】將問題轉化為：求直線y=m與拋物線有兩個交點且這兩個交點橫坐標一正一負時，m的取值范圍．
【解答】解：如圖所示：當m＞3時，拋物線y=ax2+bx+c與直線y=m有兩個交點，且一個交點的橫坐標為正，另一交點的橫坐標為負．所以當關于x的方程ax2+bx+c=m總有一正一負兩個實數根時，m的取值范圍是m＞3．
故選：A．
3.（2025 河東區一模）已知拋物線y=ax2-2ax+a-2（a是常數，且a≠0）與y軸正半軸交于點A，當時，y＞0；當時，y＜0．則a的值為（　　）
A．-3 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】首先把二次函數的解析式整理成頂點坐標式，可得：y=a（x-1）2-2，所以可知拋物線的對稱軸是直線x=1，根據二次函數的對稱性可得：當時，y＞0，又因為當時，y＜0，可知當時，y=0，從而可得關于a的方程，解方程即可求出a的值．
【解答】解：整理可得：y=a（x-1）2-2，
∴拋物線的對稱軸是直線x=1，
∵當時，y＞0；
根據拋物線的對稱性可得：當時，y＞0，
又∵當時，y＜0，
∴當時，y=0，
∴，
∴a=8．
故選：D．
【知識點6】二次函數與不等式（組）
二次函數y=ax2+bx+c（a、b、c是常數，a≠0）與不等式的關系
①函數值y與某個數值m之間的不等關系，一般要轉化成關于x的不等式，解不等式求得自變量x的取值范圍．
②利用兩個函數圖象在直角坐標系中的上下位置關系求自變量的取值范圍，可作圖利用交點直觀求解，也可把兩個函數解析式列成不等式求解．
1.（2024 市中區校級一模）如圖是二次函數y=ax2+bx+c的部分圖象，由圖象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是（　　）
A．-1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜-1且x＞5 D．x＜-1或x＞5
【答案】A
【分析】先利用拋物線的對稱性求出與x軸的另一個交點坐標，然后寫出拋物線在x軸上方部分的x的取值范圍即可．
【解答】解：由圖可知，拋物線的對稱軸為直線x=2，與x軸的一個交點為（5，0），
所以，拋物線與x軸的另一個交點坐標為（-1，0），
所以，不等式ax2+bx+c＞0的解集是-1＜x＜5．
故選：A．
2.（2024秋 海淀區校級期末）已知一次函數y1=kx+m（k≠0）和二次函數y2=ax2+bx+c（a≠0）部分自變量與對應的函數值如下表
x … -1 0 2 4 5 …
y1 … 0 1 3 5 6 …
y2 … 0 -1 0 5 9 …
當y2＞y1時，自變量x的取值范圍是（　　）
A．-1＜x＜2 B．4＜x＜5 C．x＜-1或x＞5 D．x＜-1或x＞4
【答案】D
【分析】利用表中數據得到直線與拋物線的交點為（-1，0）和（4，5），-1＜x＜4時，y1＞y2，從而得到當y2＞y1時，自變量x的取值范圍．
【解答】解：∵當x=-1時，y1=y2=0；當x=4時，y1=y2=5；
∴直線與拋物線的交點為（-1，0）和（4，5），
而-1＜x＜4時，y1＞y2，
∴當y2＞y1時，自變量x的取值范圍是x＜-1或x＞4．
故選：D．
【題型1】用二次函數解決增長率問題
【典型例題】由于長期受新型冠狀病毒的影響，核酸檢測試劑需求量劇增，某醫院去年一月份用量是8000枚，二、三兩個月用量連續增長，若月平均增長率為x，則該醫院三月份用核酸檢測試劑的數量y（枚）與x的函數關系式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】設月平均增長率為x，
根據題意得，．
故選：B．
【舉一反三1】一件商品的原價是240元，經過兩次降價后的價格為y元，若設兩次的平均降價率為x，則y與x的函數關系式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】設兩次的平均降價率為x，根據題意得，，
故選：C．
【舉一反三2】據省統計局公布的數據，某省2019年第二個月總值約為7.9億元人民幣，若該省第四個月總值為y億元人民幣，平均每個月增長的百分率為x，則y關于x的函數表達式是 （　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】設平均每個月增長的百分率為，
∵第二個月總值約為億元人民幣，
∴第三月的總值為，
∴第四月的總值為，
∴y關于x的函數表達式是：，
故選：C．
【舉一反三3】某玩具廠7月份生產玩具200萬只，9月份生產該玩具y（萬只）．設該玩具的月平均增長率為x，則y與x之間的函數表達式是 ．
【答案】
【解析】由題意知，8月份生產玩具萬只，9月份生產該玩具萬只，
依題意得，，
故答案為：．
【舉一反三4】某商店一月份銷售額為萬元，月平均增長率（），一季度的銷售額為萬元，那么關于月平均增長率的函數解析式是 ．
【答案】
【解析】根據題意可得，，
故答案為：．
【舉一反三5】芯片行業是制約我國工業發展的主要技術之一．經過大量科研、技術人員艱苦攻關，我國芯片有了新突破．某芯片實現國產化后，芯片價格大幅下降．原來每片芯片的單價為元，準備進行兩次降價，如果每次降價的百分率都為，經過兩次降價后的價格為（元）．
(1)求與之間的函數關系式；
(2)如果該芯片經過兩次降價后每片芯片單價為元，求每次降價的百分率．
【答案】解：（1）∵每次降價的百分率都為，經過兩次降價后的價格為（元）,
∴依題意得：，
∴與之間的函數關系式為；
（2）依題意得：，
解得：，（不符合題意，舍去），
∴每次降價的百分率為20%．
【題型2】用二次函數解決面積問題
【典型例題】九年級某班計劃在勞動實踐基地內種植蔬菜，班長買回來8米長的圍欄，準備圍成一邊靠墻（墻足夠長）的菜園，為了讓菜園面積盡可能大，同學們提出了圍成矩形、等腰直角三角形（底邊靠墻）、半圓形這三種方案，如圖所示，最佳方案是（ ）

A.方案1 B.方案2 C.方案3 D.面積都一樣
【答案】C
【解析】方案1：設米，則米，

則菜園面積，
當時，此時菜園最大面積為8平方米；
方案2：如圖，，

∵，
∴菜園面積為8平方米；
方案3：半圓的半徑為米，
∴此時菜園最大面積（平方米）,
∵，
∴方案3的菜園面積最大，
∴在三種方案中，最佳方案是方案3．
故選：C．
【舉一反三1】如圖，在邊長為10的正方形中，E，F，C，H分別是邊，，，上的點，且．設A，E兩點間的距離為x，四邊形的面積為y，則y與x的函數圖象可能為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】設正方形的邊長為，則，
∴與的函數圖象是A．
故選：A．
【舉一反三2】用總長為米的材料做成如圖1的矩形窗框，設窗框的寬為米，窗框的面積為米2，關于的函數圖象如圖2，則的值是（　　）
A.6 B.7 C.8 D.不能確定
【答案】A
【解析】設窗框的長為，
，
根據函數圖象，可知當時，窗框的面積最大，最大值為，
即，
；
故選A．
【舉一反三3】如圖，有長為的籬笆，一邊利用墻（墻長不限），則圍成的花圃的面積最大為 ．
【答案】48
【解析】設籬笆的寬為x米，長為米，
，
∵墻長不限，
當時，，S值最大，此時．
故答案為：48．
【舉一反三4】用長度為8 m的鋁合金條制成如圖所示的矩形窗框，那么這個窗戶的最大透光面積為 ．

【答案】 m2
【解析】設寬為x m，則長為 m，
可得面積S＝x ＝﹣x2+4x，
當x＝時，S有最大值，最大值為（m2）．
故答案為： m2．
【舉一反三5】某居民小區要在一塊一邊靠墻（墻長15米）的空地上修建一個矩形花園，花園的一邊靠墻，另三邊用總長40米的柵欄圍成（如圖所示）．若設花園的邊長為x米，花園的面積為y平方米．
(1)求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
(2)滿足條件的花園面積能否達到150平方米？若能，請求出x的值；若不能，請說明理由；
(3)當x是多少時，矩形場地面積y最大？最大面積是多少？
【答案】解：（1）根據題意得：由題意可知為米，
則，
∴，
墻長15米，
，
，
，
自變量的取值范圍是；
（2）此花園面積能達到150平方米，理由如下：
當時，即，
，
解得：，，
，
∴.
此花園面積能達到150平方米，此時；
（3），
∵，
∴當時，y隨x的增大而減小，當時，y隨x的增大而增大，
∵，
∴當時，矩形場地面積y最大，最大面積是平方米．
【題型3】用二次函數解決固定型拋物線問題
【典型例題】 “盧溝曉月”是著名的北京八景之一，古時乾隆皇帝曾在秋日路過盧溝橋，賦詩“半鉤留照三秋淡，一練分波平鏡明”于此，并題“盧溝曉月”，立碑于橋頭．盧溝橋主橋拱可以近似看作拋物線，橋拱在水面的跨度約為22米，若按如圖所示方式建立平面直角坐標系，則主橋拱所在拋物線可以表示為則主橋拱最高點P與其在水中倒影之間的距離為（ ）米．
A.11 B.13 C.22 D.26
【答案】D
【解析】由題意知，拋物線經過點，代入解析式中：
得到：，
解得，
∴拋物線的頂點坐標為，
∴，
∴主橋拱最高點與其在水中倒影之間的距離為米，
故選：D．
【舉一反三1】某水利工程公司開挖的溝渠，蓄水之后截面呈拋物線形，在圖中建立平面直角坐標系，并標出相關數據（單位：m）．某學習小組探究之后得出如下結論，其中正確的為( )
A.
B.池底所在拋物線的解析式為
C.池塘最深處到水面的距離為3.2 m
D.若池塘中水面的寬度減少為原來的一半，則最深處到水面的距離減少為原來的
【答案】C
【解析】設解析式為，拋物線上點，，，帶入拋物線解析式中得，解得，解析式為．
選項A中，，故選項A錯誤；
選項B中，解析式為，故選項B錯誤；
選項C中，池塘水深最深處為點，水面，，所以水深最深處為點P到水面的距離為3.2米，故選項C正確；
選項D中，若池塘中水面的寬度減少為原來的一半，由拋物線關于軸對稱可知，拋物線上點橫坐標，帶入解析式算得，即到水面距離為米，而最深處到水面的距離為3.2米，減少為原來的．故選項D錯誤．
故選C．
【舉一反三2】隨著國民經濟和城市化建設的不斷發展，城市道路的功能得到不斷完善，復雜的城市道路網要求設置越來越多的下沉式立交橋.下沉式立交橋將相交道路設置在地面層或地上半層，主路設置在地下層或地下半層，下沉武立交橋也因此具有比高架立交景觀條件好、比隧道立交造價低的特點．某下沉式立交橋的主路橋截面是拋物線形，如圖以主路橋面最低點O為原點，以原點所在的水平直線為x軸建立平面直角坐標系．已知主路橋面跨徑，主路橋面的最低點O到的距離為．由于下沉式立交橋的主路橋面低于周邊地面且縱坡較大，所以容易出現橋面積水現象，在一次暴雨后，橋面有積水且積水跨徑為，已知普通轎車的安全涉水深度大于，若一位普通轎車駕駛員能駕車從這個下沉式立交橋安全通過，則積水跨徑的長度不能超過 米．
【答案】
【解析】∵，主路橋面的最低點到的距離為，
∴點A的坐標為，
設拋物線的表達式為，把點代入，得，
解得．
∴拋物線的表達式為．
令，則，
解得：，，
即：當普通轎車的安全涉水深度等于時，，，此時，
∴要想普通轎車駕駛員能駕車從這個下沉式立交橋安全通過，則積水跨徑的長度不能超過米，
故答案為：．
【舉一反三3】如圖，隧道的截面是拋物線，可以用表示，該隧道內設雙行道，一輛貨運汽車載一長方體集裝箱后高為米，寬為米，如果要安全通過隧道，應滿足 ．

【答案】
【解析】∵，汽車寬為米，
∴當時，，
∴．
∵，
∴,
故答案為：．
【舉一反三4】懸索橋又名吊橋，其纜索幾何形狀由力的平衡條件決定，一般接近拋物線．如圖1是某段懸索橋的圖片，主索近似符合拋物線，從主索上設置豎直的吊索，與橋面垂直，并連接橋面承接橋面的重量，兩橋塔，間距為，橋面水平，主索最低點為點P，點P距離橋面為，如圖2，以的中點為原點O，所在直線為x軸，過點O且垂直于的直線為y軸，建立平面直角坐標系．
(1)求主索拋物線的函數表達式；
(2)距離點P水平距離為和處的吊索共四條需要更換，求四根吊索總長度為多少米？
【答案】解：（1）由圖可知，點C的坐標為．
設該拋物線的函數表達式為．
又點P坐標為，
，
，
∴主索拋物線的函數表達式為；
（2）由題意，當時，，
此時吊索的長度為．
由拋物線的對稱性得，當時，此時吊索的長度也為．
當時，，此時吊索的長度為．
由拋物線的對稱性得，當時，此時吊索的長度也為．
，
∴四根吊索的總長度為.
【題型4】用二次函數解決商品利潤問題
【典型例題】某海濱浴場有100把遮陽傘，每把每天收費10元時，可全部租出，若每把每天收費提高1元，則減少5把傘租出，若每把每天收費再提高1元，則再減少5把傘租出，……，為了投資少而獲利大，每把傘每天應提高收費（ ）
A.7元 B.6元 C.5元 D.4元
【答案】C
【解析】設每個遮陽傘每天應提高x元，每天獲得利潤為S，由此可得，
S=（10+x）（100-5x），
整理得S=-5x2+50x+1000，=-5（x-5）2+1125，
∵-5＜0,
∴當x=5時,S最小,
即為了投資少而獲利大，每把傘每天應提高收費5元,
故選C．
【舉一反三1】某商店購進一批單價為20元的商品，若以單價30元銷售，則每月可售出400件，如果銷售單價每提高1元，月銷售量相應減少20件，設每件商品單價漲元，月銷售利潤為元，可列函數為：，對所列函數下列說法錯誤的是（ ）
A.表示漲價后商品的單價
B.表示漲價后少售出商品的數量
C.表示漲價后商品的月銷售量
D.當時月利潤達到最大
【答案】A
【解析】設每件商品單價漲元，則單件價格為元，利潤為元，月銷量減少量為元，月銷售量為元，則月銷售利潤是：元，
故，
∵，
∴時，月利潤達到最大值，
據此選項B，C，D正確，不符合題意，選項A錯誤符合題意，
故選：A.
【舉一反三2】某超市對進貨價為10元/千克的某種蘋果的銷售情況進行統計，發現每天銷售量y（千克）與銷售價x（元/千克）存在一次函數關系，如圖所示．則最大利潤是（　　）

A.180 B.220 C.190 D.200
【答案】D
【解析】設y=kx+b，由圖象可知，，
解得：，
∴y=﹣2x+60；
設銷售利潤為p，
根據題意得，p=（x﹣10）y=（x﹣10）（﹣2x+60）=﹣2x2+80x﹣600，
∵a=﹣2＜0，
∴p有最大值，
當x=﹣=20時，p最大值=200．
即當銷售單價為20元/千克時，每天可獲得最大利潤200元，
故選：D．
【舉一反三3】某商廈將進貨單價為70元的某種商品，按銷售單價100元出售時，每天能賣出20個，通過市場調查發現，這種商品的銷售單價每降價1元，日銷量就增加1個，為了獲取最大利潤，該種商品的銷售單價應降 元．
【答案】5
【解析】設利潤為W元，銷售單價降價x元，
由題意得，
，
∵，
∴當時，W最大，
∴為了獲取最大利潤，該種商品的銷售單價應降5元，
故答案為：5．
【舉一反三4】某商品的銷售利潤y與銷售單價x的關系為y＝+2650，則當x=________元時，y有最 值，這個值為 元．
【答案】50；大；2650
【解析】∵<0，
∴拋物線開口向下，
∵銷售利潤y與銷售單價x的關系為y＝﹣+2650，
∴當單價定價為每件50元時，可獲得最大利潤2650元．
故答案為：50，大，2650．
【舉一反三5】某特產專賣店銷售一種核桃，其進價為每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后經市場調查發現，單價每降低1元，平均每天的銷售量可增加10千克．
(1)若該特產專賣店希望這批核桃每天獲利2240元，則銷售單價應定為多少元？
(2)當定價多少元時，銷售單價為多少元時該店銷售核桃每天獲得利潤最大，最大利潤是多少？
【答案】解：（1）設每千克核桃應降價x元，則平均每天的銷售利潤是千克，
由題意可得，
解得，
經檢驗這兩個解都符合題意，
此時銷售單價為元或元，
所以銷售單價應定為54元或56元時，該特產專賣店這批核桃每天獲利2240元；
（2）設每千克核桃應降價x元，每天的總利潤為y元，
則
，
，
當時， y最大，此時定價（元），且（元），
所以當定價55元時，該店銷售核桃獲得利潤最大，最大利潤是2250元.
【題型5】用二次函數解決運動型拋物線問題
【典型例題】一位籃球運動員在距離籃圈中心水平距離處起跳投籃，球沿一條拋物線運動，當球運動的水平距離為時，達到最大高度，然后準確落入籃筐內，已知籃圈中心距離地面高度為，下列說法正確的是（　　）

A.籃球出手時離地面的高度是
B.籃圈中心的坐標是
C.此拋物線的頂點坐標是
D.此拋物線的解析式是
【答案】D
【解析】由圖和題意可得，拋物線的頂點坐標為， 故錯誤；
設拋物線的函數解析式為，
∵籃圈中心在拋物線上，將它的坐標代入上式，
得，
∴，
∴，故正確；
當時，，
∴球出手處離地面，故錯誤；
由圖示知，籃圈中心的坐標是，故錯誤；
∴說法正確的是，
故選：．
【舉一反三1】小明周末外出游玩時看到某公園有一圓形噴水池，如圖1，簡單測量得到如下數據：圓形噴水池直徑為，水池中心處立著一個圓柱形實心石柱，在圓形噴水池的四周安裝了一圈噴頭，噴射出的水柱呈拋物線型，水柱在距水池中心處到達最大高度為，從各方向噴出的水柱在石柱頂部的中心點處匯合，小明根據圖示建立了平面直角坐標系，如圖2，則的高度是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】選擇圖2中第一象限內的拋物線求其對應的函數關系式，
由題意，得拋物線的頂點坐標為，
設拋物線對應的函數關系式為6，
將點代入，得，解得，
∴拋物線對應的函數關系式為，
當時，，
∴點的縱坐標為；
則的高度是，
故選：B．
【舉一反三2】如圖，同學們在操場上玩跳大繩游戲，繩甩到最高處時的形狀是拋物線型，搖繩的甲、乙兩名同學拿繩的手的間距為6米，到地面的距離與均為米，繩子甩到最高點C處時，最高點距地面的垂直距離為米．身高為米的小吉站在距點О水平距離為m米處，若他能夠正常跳大繩（繩子甩到最高時超過他的頭頂），則m的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】以O為坐標原點，所在直線為y軸所在直線為x軸，由題意可得，
，，，
設拋物線解析式為,
將點代入可得，
，
解得：，
∴，
∵身高為米的小吉站在距點О水平距離為m米處能夠正常跳大繩，
即跳繩高度要高于米，
∴，
當時，
整理得，
解得，，
即身高為米的小吉站在距點О水平距離1米處和5米處時，繩子恰好在頭頂上，
∵繩子甩到最高時要超過他的頭頂，
∴，
故答案為．
【舉一反三3】圖1所示是一個簡易桶裝水的取水裝置，圖2是其示意圖．從出水口A處噴出的水流可抽象為拋物線，點C是水流與杯子底部的接觸點．水流運動的高度與運動的水平距離近似滿足函數關系式：．
(1)求拋物線的解析式；（不必寫x的取值范圍）
(2)為了取水便捷舒適，要將取水裝置墊高，若墊高后點C離出水口的水平距離不得小于，求取水裝置至少要墊高多少厘米？
【答案】解：（1）由已知，把點、代入，
得，
解得．
∴拋物線的解析式為；
（2）設墊高，則墊高后的函數解析式為，
把代入，得，
解得，
∴為了取水便捷舒適，取水裝置至少要墊高．
【舉一反三4】如圖1，一個可調節高度的噴灌架射出的水流可以近似地看成拋物線．圖2是噴射出的水流在平面直角坐標系中的示意圖，其中噴灌架置于點處，噴水頭的高度（噴水頭距噴灌架底部的距離）設置的是1米，當噴射出水流距離噴水頭水平距離為8米時，達到最大高度5米．
(1)求水流運行軌跡的函數解析式；
(2)若在距噴灌架12米處有一棵米高的果樹，問：水流是否會碰到這棵果樹？請通過計算說明．
【答案】解：（1）由題可知：拋物線的頂點為，
設函數解析式為，
將點代入可得，
故解析式為；
（2）當時，，
故水流不會碰到這棵果樹．1.4二次函數的應用
【知識點1】二次函數的應用 1
【知識點2】根據實際問題列二次函數關系式 2
【知識點3】圖象法求一元二次方程的近似根 2
【知識點4】二次函數綜合題 3
【知識點5】拋物線與x軸的交點 4
【知識點6】二次函數與不等式（組） 5
【題型1】用二次函數解決增長率問題 6
【題型2】用二次函數解決面積問題 7
【題型3】用二次函數解決固定型拋物線問題 9
【題型4】用二次函數解決商品利潤問題 10
【題型5】用二次函數解決運動型拋物線問題 12
【知識點1】二次函數的應用
（1）利用二次函數解決利潤問題
在商品經營活動中，經常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題．解此類題的關鍵是通過題意，確定出二次函數的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量x的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍．
（2）幾何圖形中的最值問題
幾何圖形中的二次函數問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動態幾何中的最值的討論．
（3）構建二次函數模型解決實際問題
利用二次函數解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當地把這些實際問題中的數據落實到平面直角坐標系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題．
1.（2023秋 蒼梧縣期末）在一次炮彈發射演習中，記錄到一門迫擊炮發射的炮彈的飛行高度y米與飛行時間x秒的關系式為，當炮彈落到地面時，經過的時間為（　　）
A．40秒 B．45秒 C．50秒 D．55秒
2.（2024 寶安區模擬）古代拱橋的建筑形狀類似于拋物線，某拱橋的形狀可以看作是一個二次函數y=ax2-4x+3，若關于x的一元二次方程ax2-4x+2=0有兩個不相等的實數根，那么a的取值范圍是（　　）
A．a＜2 B．a＞2 C．a＜2且a≠0 D．a≤2且a≠0
【知識點2】根據實際問題列二次函數關系式
根據實際問題確定二次函數關系式關鍵是讀懂題意，建立二次函數的數學模型來解決問題．需要注意的是實例中的函數圖象要根據自變量的取值范圍來確定．
①描點猜想問題需要動手操作，這類問題需要真正的去描點，觀察圖象后再判斷是二次函數還是其他函數，再利用待定系數法求解相關的問題．
②函數與幾何知識的綜合問題，有些是以函數知識為背景考查幾何相關知識，關鍵是掌握數與形的轉化；有些題目是以幾何知識為背景，從幾何圖形中建立函數關系，關鍵是運用幾何知識建立量與量的等式．
1.（2023 大埔縣開學）若正方形的邊長為6，邊長增加x,面積增加y,則y關于x的函數解析式為（　　）
A．y=（x+6）2 B．y=x2+62 C．y=x2+6x D．y=x2+12x
2.（2024秋 東川區期中）公安部門提醒市民，騎車出行必須嚴格遵守“一盔一帶”的規定．某頭盔經銷商統計了某品牌頭盔7月份到9月份的銷量，該品牌頭盔7月份銷售1500個，9月份銷售y個，設7月份到9月份銷售量的月增長率為x,那么y與x的函數關系是（　　）
A．y=1500（1+x）2 B．y=1500（1-x）2
C．y=（1+x）2+1500 D．y=x2+1500
3.（2024秋 瑞安市校級期中）已知某種產品的成本價為30元/千克，經市場調查發現，該產品每天的銷售量y（千克）與銷售價x（元/千克）有如下關系：y=-2x+80．設這種產品每天的銷售利潤為w（元），則w與x之間的函數表達式為（　　）
A．w=（x-30）（-2x+80） B．w=x（-2x+80）
C．w=30（-2x+80） D．w=x（-2x+50）
【知識點3】圖象法求一元二次方程的近似根
利用二次函數圖象求一元二次方程的近似根的步驟是：
（1）作出函數的圖象，并由圖象確定方程的解的個數；
（2）由圖象與y=h的交點位置確定交點橫坐標的范圍；
（3）觀察圖象求得方程的根（由于作圖或觀察存在誤差，由圖象求得的根一般是近似的）．
1.（2024 蘭州）下表是一組二次函數y=x2+3x-5的自變量x與函數值y的對應值：
x 1 1.1 1.2 1.3 1.4
y -1 -0.49 0.04 0.59 1.16
那么方程x2+3x-5=0的一個近似根是（　　）
A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3
2.（吳興區一模）已知二次函數y=ax2+bx+c的y與x的部分對應值如下表：則下列判斷中正確的是（　　）
x … -1 0 1 2 …
y … -5 1 3 1 …
A．拋物線開口向上
B．拋物線與y軸交于負半軸
C．當x=3時，y＞0
D．方程ax2+bx+c=0的正根在2與3之間
3.（2024秋 長春期末）二次函數y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數）的圖象如圖所示，則方程ax2+bx+c=m有實數根的條件是（　　）
A．m≥-4 B．m≥0 C．m≥5 D．m≥6
【知識點4】二次函數綜合題
（1）二次函數圖象與其他函數圖象相結合問題
解決此類問題時，先根據給定的函數或函數圖象判斷出系數的符號，然后判斷新的函數關系式中系數的符號，再根據系數與圖象的位置關系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即為正確選項．
（2）二次函數與方程、幾何知識的綜合應用
將函數知識與方程、幾何知識有機地結合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關鍵是善于將函數問題轉化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關性質、定理和二次函數的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．
（3）二次函數在實際生活中的應用題
從實際問題中分析變量之間的關系，建立二次函數模型．關鍵在于觀察、分析、創建，建立直角坐標系下的二次函數圖象，然后數形結合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數的取值范圍要使實際問題有意義．
【知識點5】拋物線與x軸的交點
求二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）與x軸的交點坐標，令y=0，即ax2+bx+c=0，解關于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標．
（1）二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）的交點與一元二次方程ax2+bx+c=0根之間的關系．
△=b2-4ac決定拋物線與x軸的交點個數．
△=b2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；
△=b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；
△=b2-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．
（2）二次函數的交點式：y=a（x-x1）（x-x2）（a，b，c是常數，a≠0），可直接得到拋物線與x軸的交點坐標（x1，0），（x2，0）．
1.（2024秋 清遠校級期末）如表中列出的是一個二次函數的自變量x與函數y的幾組對應值，則下列關于這個二次函數的結論中，正確的是（　　）
x .... -1 0 3 4 ....
y .... 0 -5 -8 -5 ....
A．圖象的開口向下
B．有最小值-8
C．圖象與x軸的一個交點是（5，0）
D．圖象的對稱軸是
2.（2025 南京模擬）如圖，是二次函數y=ax2+bx+c的圖象，若關于x的方程ax2+bx+c=m總有一正一負兩個實數根，則m的取值范圍是（　　）
A．m＞3 B．m＜3 C．m≥3 D．m≤3
3.（2025 河東區一模）已知拋物線y=ax2-2ax+a-2（a是常數，且a≠0）與y軸正半軸交于點A，當時，y＞0；當時，y＜0．則a的值為（　　）
A．-3 B．4 C．6 D．8
【知識點6】二次函數與不等式（組）
二次函數y=ax2+bx+c（a、b、c是常數，a≠0）與不等式的關系
①函數值y與某個數值m之間的不等關系，一般要轉化成關于x的不等式，解不等式求得自變量x的取值范圍．
②利用兩個函數圖象在直角坐標系中的上下位置關系求自變量的取值范圍，可作圖利用交點直觀求解，也可把兩個函數解析式列成不等式求解．
1.（2024 市中區校級一模）如圖是二次函數y=ax2+bx+c的部分圖象，由圖象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是（　　）
A．-1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜-1且x＞5 D．x＜-1或x＞5
2.（2024秋 海淀區校級期末）已知一次函數y1=kx+m（k≠0）和二次函數y2=ax2+bx+c（a≠0）部分自變量與對應的函數值如下表
x … -1 0 2 4 5 …
y1 … 0 1 3 5 6 …
y2 … 0 -1 0 5 9 …
當y2＞y1時，自變量x的取值范圍是（　　）
A．-1＜x＜2 B．4＜x＜5 C．x＜-1或x＞5 D．x＜-1或x＞4
【題型1】用二次函數解決增長率問題
【典型例題】由于長期受新型冠狀病毒的影響，核酸檢測試劑需求量劇增，某醫院去年一月份用量是8000枚，二、三兩個月用量連續增長，若月平均增長率為x，則該醫院三月份用核酸檢測試劑的數量y（枚）與x的函數關系式是（ ）
A. B. C. D.
【舉一反三1】一件商品的原價是240元，經過兩次降價后的價格為y元，若設兩次的平均降價率為x，則y與x的函數關系式是（ ）
A. B. C. D.
【舉一反三2】據省統計局公布的數據，某省2019年第二個月總值約為7.9億元人民幣，若該省第四個月總值為y億元人民幣，平均每個月增長的百分率為x，則y關于x的函數表達式是 （　　）
A.
B.
C.
D.
【舉一反三3】某玩具廠7月份生產玩具200萬只，9月份生產該玩具y（萬只）．設該玩具的月平均增長率為x，則y與x之間的函數表達式是 ．
【舉一反三4】某商店一月份銷售額為萬元，月平均增長率（），一季度的銷售額為萬元，那么關于月平均增長率的函數解析式是 ．
【舉一反三5】芯片行業是制約我國工業發展的主要技術之一．經過大量科研、技術人員艱苦攻關，我國芯片有了新突破．某芯片實現國產化后，芯片價格大幅下降．原來每片芯片的單價為元，準備進行兩次降價，如果每次降價的百分率都為，經過兩次降價后的價格為（元）．
(1)求與之間的函數關系式；
(2)如果該芯片經過兩次降價后每片芯片單價為元，求每次降價的百分率．
【題型2】用二次函數解決面積問題
【典型例題】九年級某班計劃在勞動實踐基地內種植蔬菜，班長買回來8米長的圍欄，準備圍成一邊靠墻（墻足夠長）的菜園，為了讓菜園面積盡可能大，同學們提出了圍成矩形、等腰直角三角形（底邊靠墻）、半圓形這三種方案，如圖所示，最佳方案是（ ）

A.方案1 B.方案2 C.方案3 D.面積都一樣
【舉一反三1】如圖，在邊長為10的正方形中，E，F，C，H分別是邊，，，上的點，且．設A，E兩點間的距離為x，四邊形的面積為y，則y與x的函數圖象可能為（ ）
A. B. C. D.
【舉一反三2】用總長為米的材料做成如圖1的矩形窗框，設窗框的寬為米，窗框的面積為米2，關于的函數圖象如圖2，則的值是（　　）
A.6 B.7 C.8 D.不能確定
【舉一反三3】如圖，有長為的籬笆，一邊利用墻（墻長不限），則圍成的花圃的面積最大為 ．
【舉一反三4】用長度為8 m的鋁合金條制成如圖所示的矩形窗框，那么這個窗戶的最大透光面積為 ．

【舉一反三5】某居民小區要在一塊一邊靠墻（墻長15米）的空地上修建一個矩形花園，花園的一邊靠墻，另三邊用總長40米的柵欄圍成（如圖所示）．若設花園的邊長為x米，花園的面積為y平方米．
(1)求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
(2)滿足條件的花園面積能否達到150平方米？若能，請求出x的值；若不能，請說明理由；
(3)當x是多少時，矩形場地面積y最大？最大面積是多少？
【題型3】用二次函數解決固定型拋物線問題
【典型例題】 “盧溝曉月”是著名的北京八景之一，古時乾隆皇帝曾在秋日路過盧溝橋，賦詩“半鉤留照三秋淡，一練分波平鏡明”于此，并題“盧溝曉月”，立碑于橋頭．盧溝橋主橋拱可以近似看作拋物線，橋拱在水面的跨度約為22米，若按如圖所示方式建立平面直角坐標系，則主橋拱所在拋物線可以表示為則主橋拱最高點P與其在水中倒影之間的距離為（ ）米．
A.11 B.13 C.22 D.26
【舉一反三1】某水利工程公司開挖的溝渠，蓄水之后截面呈拋物線形，在圖中建立平面直角坐標系，并標出相關數據（單位：m）．某學習小組探究之后得出如下結論，其中正確的為( )
A.
B.池底所在拋物線的解析式為
C.池塘最深處到水面的距離為3.2 m
D.若池塘中水面的寬度減少為原來的一半，則最深處到水面的距離減少為原來的
【舉一反三2】隨著國民經濟和城市化建設的不斷發展，城市道路的功能得到不斷完善，復雜的城市道路網要求設置越來越多的下沉式立交橋.下沉式立交橋將相交道路設置在地面層或地上半層，主路設置在地下層或地下半層，下沉武立交橋也因此具有比高架立交景觀條件好、比隧道立交造價低的特點．某下沉式立交橋的主路橋截面是拋物線形，如圖以主路橋面最低點O為原點，以原點所在的水平直線為x軸建立平面直角坐標系．已知主路橋面跨徑，主路橋面的最低點O到的距離為．由于下沉式立交橋的主路橋面低于周邊地面且縱坡較大，所以容易出現橋面積水現象，在一次暴雨后，橋面有積水且積水跨徑為，已知普通轎車的安全涉水深度大于，若一位普通轎車駕駛員能駕車從這個下沉式立交橋安全通過，則積水跨徑的長度不能超過 米．
【舉一反三3】如圖，隧道的截面是拋物線，可以用表示，該隧道內設雙行道，一輛貨運汽車載一長方體集裝箱后高為米，寬為米，如果要安全通過隧道，應滿足 ．

【舉一反三4】懸索橋又名吊橋，其纜索幾何形狀由力的平衡條件決定，一般接近拋物線．如圖1是某段懸索橋的圖片，主索近似符合拋物線，從主索上設置豎直的吊索，與橋面垂直，并連接橋面承接橋面的重量，兩橋塔，間距為，橋面水平，主索最低點為點P，點P距離橋面為，如圖2，以的中點為原點O，所在直線為x軸，過點O且垂直于的直線為y軸，建立平面直角坐標系．
(1)求主索拋物線的函數表達式；
(2)距離點P水平距離為和處的吊索共四條需要更換，求四根吊索總長度為多少米？
【題型4】用二次函數解決商品利潤問題
【典型例題】某海濱浴場有100把遮陽傘，每把每天收費10元時，可全部租出，若每把每天收費提高1元，則減少5把傘租出，若每把每天收費再提高1元，則再減少5把傘租出，……，為了投資少而獲利大，每把傘每天應提高收費（ ）
A.7元 B.6元 C.5元 D.4元
【舉一反三1】某商店購進一批單價為20元的商品，若以單價30元銷售，則每月可售出400件，如果銷售單價每提高1元，月銷售量相應減少20件，設每件商品單價漲元，月銷售利潤為元，可列函數為：，對所列函數下列說法錯誤的是（ ）
A.表示漲價后商品的單價
B.表示漲價后少售出商品的數量
C.表示漲價后商品的月銷售量
D.當時月利潤達到最大
【舉一反三2】某超市對進貨價為10元/千克的某種蘋果的銷售情況進行統計，發現每天銷售量y（千克）與銷售價x（元/千克）存在一次函數關系，如圖所示．則最大利潤是（　　）

A.180 B.220 C.190 D.200
【舉一反三3】某商廈將進貨單價為70元的某種商品，按銷售單價100元出售時，每天能賣出20個，通過市場調查發現，這種商品的銷售單價每降價1元，日銷量就增加1個，為了獲取最大利潤，該種商品的銷售單價應降 元．
【舉一反三4】某商品的銷售利潤y與銷售單價x的關系為y＝+2650，則當x=________元時，y有最 值，這個值為 元．
【舉一反三5】某特產專賣店銷售一種核桃，其進價為每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后經市場調查發現，單價每降低1元，平均每天的銷售量可增加10千克．
(1)若該特產專賣店希望這批核桃每天獲利2240元，則銷售單價應定為多少元？
(2)當定價多少元時，銷售單價為多少元時該店銷售核桃每天獲得利潤最大，最大利潤是多少？
【題型5】用二次函數解決運動型拋物線問題
【典型例題】一位籃球運動員在距離籃圈中心水平距離處起跳投籃，球沿一條拋物線運動，當球運動的水平距離為時，達到最大高度，然后準確落入籃筐內，已知籃圈中心距離地面高度為，下列說法正確的是（　　）

A.籃球出手時離地面的高度是
B.籃圈中心的坐標是
C.此拋物線的頂點坐標是
D.此拋物線的解析式是
【舉一反三1】小明周末外出游玩時看到某公園有一圓形噴水池，如圖1，簡單測量得到如下數據：圓形噴水池直徑為，水池中心處立著一個圓柱形實心石柱，在圓形噴水池的四周安裝了一圈噴頭，噴射出的水柱呈拋物線型，水柱在距水池中心處到達最大高度為，從各方向噴出的水柱在石柱頂部的中心點處匯合，小明根據圖示建立了平面直角坐標系，如圖2，則的高度是（ ）

A. B. C. D.
【舉一反三2】如圖，同學們在操場上玩跳大繩游戲，繩甩到最高處時的形狀是拋物線型，搖繩的甲、乙兩名同學拿繩的手的間距為6米，到地面的距離與均為米，繩子甩到最高點C處時，最高點距地面的垂直距離為米．身高為米的小吉站在距點О水平距離為m米處，若他能夠正常跳大繩（繩子甩到最高時超過他的頭頂），則m的取值范圍是 ．
【舉一反三3】圖1所示是一個簡易桶裝水的取水裝置，圖2是其示意圖．從出水口A處噴出的水流可抽象為拋物線，點C是水流與杯子底部的接觸點．水流運動的高度與運動的水平距離近似滿足函數關系式：．
(1)求拋物線的解析式；（不必寫x的取值范圍）
(2)為了取水便捷舒適，要將取水裝置墊高，若墊高后點C離出水口的水平距離不得小于，求取水裝置至少要墊高多少厘米？
【舉一反三4】如圖1，一個可調節高度的噴灌架射出的水流可以近似地看成拋物線．圖2是噴射出的水流在平面直角坐標系中的示意圖，其中噴灌架置于點處，噴水頭的高度（噴水頭距噴灌架底部的距離）設置的是1米，當噴射出水流距離噴水頭水平距離為8米時，達到最大高度5米．
(1)求水流運行軌跡的函數解析式；
(2)若在距噴灌架12米處有一棵米高的果樹，問：水流是否會碰到這棵果樹？請通過計算說明．

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