資源簡介

2.2簡單事件的概率
【知識點1】概率的意義 1
【知識點2】概率公式 1
【題型1】根據概率進行判斷 2
【題型2】用樹狀圖求概率（兩步實驗） 2
【題型3】用列舉法求概率 4
【題型4】判斷游戲公平性 4
【題型5】根據概率公式求幾何中的概率 6
【題型6】根據概率求數量 7
【題型7】概率的意義 8
【題型8】用列表法求概率 9
【題型9】根據概率公式求代數中的概率 10
【題型10】用樹狀圖求概率（三步或四步實驗） 11
【知識點1】概率的意義
（1）一般地，在大量重復實驗中，如果事件A發生的頻率會穩定在某個常數p附近，那么這個常數p就叫做事件A的概率，記為P（A）=p．
（2）概率是頻率（多個）的波動穩定值，是對事件發生可能性大小的量的表現．
（3）概率取值范圍：0≤p≤1．
（4）必然發生的事件的概率P（A）=1；不可能發生事件的概率P（A）=0．
（4）事件發生的可能性越大，概率越接近與1，事件發生的可能性越小，概率越接近于0．
（5）通過設計簡單的概率模型，在不確定的情境中做出合理的決策；概率與實際生活聯系密切，通過理解什么是游戲對雙方公平，用概率的語言說明游戲的公平性，并能按要求設計游戲的概率模型，以及結合具體實際問題，體會概率與統計之間的關系，可以解決一些實際問題．
【知識點2】概率公式
（1）隨機事件A的概率P（A）=．
（2）P（必然事件）=1．
（3）P（不可能事件）=0．
【題型1】根據概率進行判斷
【典型例題】李明用6個球設計了一個摸球游戲，共有四種方案，肯定不能成功的是（ ）
A.摸到黃球、紅球的概率均為
B.摸到黃球的概率是，摸到紅球、白球的概率均為
C.摸到黃球、紅球、白球的概率分別為、、
D.摸到黃球、紅球、白球的概率都是
【舉一反三1】現有足夠多的紅球、白球、黑球，它們除顏色外無其它差別，從中選12個球（三種顏色的球都要選），設計摸球游戲，要求摸到紅球和白球的概率相等，則選紅球的個數的情況有（　?。?br/>A.3種 B.4種 C.5種 D.6種
【舉一反三2】一個箱子裝有除顏色外都相同的2個白球，2個黃球，1個紅球．現添加上述同種型號的1個球，使得從中隨機抽取1個球，白顏色的球被抽到的可能性是，那么添加的球是 ．
【舉一反三3】利用一個口袋和8個除顏色外完全相同的球設計一個摸球游戲，使得摸到紅球的概率為，摸到黃球和白球的概率都是．你能選取7個除顏色外完全相同的球設計滿足以上條件的游戲嗎？
【題型2】用樹狀圖求概率（兩步實驗）
【典型例題】一個不透明的口袋中有四個完全相同的小球，把它們分別標號為2，3，4，5，若隨機摸出一個小球后不放回，再隨機摸出一個小球，則兩次取出小球標號的積是6的倍數的概率為（ ）
A. B. C. D.
【舉一反三1】如圖所示的兩張撲克牌除正面圖案外其他完全相同，將這兩張撲克牌從正中間（沿圖中虛線）剪斷，得到四張形狀大小相同的卡片．將四張卡片洗勻后背面朝上，從中隨機抽取一張，不放回，接著再隨機抽取一張，則抽到的這兩張卡片恰好能拼成一張完整撲克牌的概率是（ ）
A. B. C. D.
【舉一反三2】色光三原色是指紅、綠、藍三色．把這三種色光按一定比例混合可以呈現各種光色．配色規律如圖所示（例如：紅和藍按一定比例混合可以呈現紫色）．現小劉、小李兩位同學分別從色光三原色中隨機選擇一種色光，將兩人所選擇的色光進行混合，則可以呈現青色的概率為 ．

【舉一反三3】設a，b，c是三角形的三邊，．從1，2，3這三個數中任取一個數作為a的值，再從余下的兩個數中任取一個數作為b的值，則以a，b，c為邊能構成三角形的概率是 ．
【舉一反三4】每年4月至5月，昆明的藍花楹陸續盛開．一條條平日里不起眼的街道在披上了藍紫色的輕紗后搖身一變，成了大家紛紛前往打卡的“網紅”路．游客小迅從住宿的A地出發，要先經B地再到“網紅”路C地游覽．如圖，從A地到B地共有三條路線，長度分別為，，，從B地到C地共有兩條路線，長度分別為，．
(1)小迅從A地到B地所走路線長為的概率為______；
(2)請用畫樹狀圖法中的一種方法，求小迅從A地經B地再到C地所走路線總長度為的概率．
【題型3】用列舉法求概率
【典型例題】如圖，在1×3的正方形網格上確定了兩個格點（網格線的交點），從其余的格點中隨機選取第三個格點，與這兩個格點組成的三角形是等腰三角形的概率是（　　）
A. B. C. D.
【舉一反三1】某技工學校從成績優秀的3名男同學和2名女同學中，隨機選取2名同學參加全國實踐操作技能大賽，則選取的2名同學恰好都是男同學的概率為（ ）
A. B. C. D.
【舉一反三2】從這三個數中任選兩個不同的數作為點A的坐標，則點A在第二象限的概率為 ．
【舉一反三3】如果關于x的一元二次方程中，k是投擲骰子所得的數字（1，2，3，4，5，6），則該二次方程有兩個不等實數根的概率是 ．
【舉一反三4】已知：甲、乙、丙、丁4位同學進行一次乒乓球比賽．
(1)若四位選手進行單循環（即每位選手與其他選手打一場比賽）單打比賽，一共要打多少場比賽；
(2)若四位選手進行雙打比賽，求甲、乙兩位同學配對的概率．
【舉一反三5】某校3男2女共5名學生參加黃石市教育局舉辦的“我愛黃石”演講比賽．
（1）若從5名學生中任意抽取3名，共有多少種不同的抽法，列出所有可能情形；
（2）若抽取的3名學生中，某男生抽中，且必有1女生的概率是多少？
【題型4】判斷游戲公平性
【典型例題】桌上放著25粒棋子，小明和小剛兩人輪流拿，一次可以拿走1粒棋子、2粒棋子或者3粒棋子，但不可以不拿，拿到最后一粒棋子的算輸，該游戲（ ）
A.公平 B.不公平 C.對小明有利 D.不確定
【舉一反三1】小晶和小紅玩擲骰子游戲，每人將一個各面分別標有數字、、、、、的正方體骰子擲一次，把兩人擲得的點數相加，并約定：若點數之和等于，則小晶贏；若點數之和等于，則小紅贏；若點數之和是其他數，則兩人不分勝負，那么（ ）
A.小晶贏的機會大
B.小紅贏的機會大
C.小晶、小紅贏的機會一樣大
D.不能確定
【舉一反三2】甲、乙兩人做游戲，他們準備了一個質量分布均勻的正六面體骰子，骰子的正六面分別標有1，2，3，4，5，6．若擲出的骰子的點數是偶數，則甲贏；若擲出的骰子的點數是3的倍數，則乙贏，這個游戲對甲、乙來說是 的．（填“公平”或“不公平”）
【舉一反三3】在一個不透明的紙盒中放入顏色分別為白色、紅色、綠色的小球各 1個，每個小球除顏色不同外其他均相同，三人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一個小球，摸出后放回，摸出白球者贏，則這個游戲中先摸者贏的概率 后摸者贏的概率．（填“>”“<”或“=”）
【舉一反三4】疫情期間，數學課不得不轉移到線上進行，數學老師為了增加課堂氛圍，專門為學生設計了一個數學游戲，有一個可以隨機生成數字1、2、2、3的軟件．
(1)若小紅使用該軟件生成一個隨機數字，求這個數字是2的概率；
(2)若學生先用該軟件生成一個隨機數字，記下數字為x．老師再使用該軟件生成一個隨機數字，記下數字為y，點M的坐標記作．規定：若點在反比例函數的圖像上，則學生勝；若點M在反比例函數的圖象上，則老師勝．請你通過計算，判斷這個游戲是否公平？
【舉一反三5】小影和小剛做摸紙牌游戲．如圖，兩組相同的紙牌，每組兩張，第一組牌面數字分別是2和3，第二組牌面數字分別是5和6；將兩組牌背面朝上洗勻后從每組牌中各摸出一張，稱為一次游戲．當摸到兩張牌的牌面數字之積能被3整除，則小穎勝，否則小剛勝．這是一個對參與雙方公平的游戲嗎？請借助列表或畫樹狀圖的方法說明理由．
【題型5】根據概率公式求幾何中的概率
【典型例題】如圖，小明有一個邊長為4 cm的正方形靶盤，其中點A，分別是靶盤相鄰兩邊的中點．若小明隨意向該靶盤投擲飛鏢，則飛鏢落在陰影區域的概率為（ ）
A. B. C. D.
【舉一反三1】如圖，點M、N、P、Q分別是菱形各邊的中點，連接、交于點O，從圖中任取一個四邊形，恰好是菱形的概率是（　?。?br/>
A. B. C. D.
【舉一反三2】用兩個腰長為a的等腰直角三角板及兩個腰長為b的等腰直角三角板拼成如圖所示的正方形，．現隨機向該正方形內擲一枚小針，則針尖落在陰影區域的概率為 ．
【舉一反三3】一個小球在如圖所示的方格地板上自由滾動，并隨機停留在某塊地板上，每塊地板大小、質地完全相同，求該小球停留在黑色區域的概率．
【舉一反三4】如圖，從一個大正方形中截去面積為3 cm 和12 cm 的兩個小正方形，若隨機向大正方形內投一粒米，求米粒落在圖中陰影部分的概率．
【題型6】根據概率求數量
【典型例題】口袋里有除顏色不同外其他都相同的紅、藍、白三種顏色的小球共30個，摸到紅球的概率是，摸到藍球的概率是，則袋子里有白球（ ）個．
A.15 B.10 C.5 D.6
【舉一反三1】一個袋中裝有紅、黑、黃三種顏色小球共15個，這些球除顏色外均相同，其中紅色球有4個，若從袋中任意取出一個球，取出黃色球的概率為，則黑色球的個數為（　?。?br/>A.3 B.4 C.5 D.6
【舉一反三2】在一個不透明的布袋中裝有4個白球，個黃球，它們除顏色不同外，其余均相同．若從中隨機摸出一個球，它是黃球的概率是，則為（ ）
A.3 B.5 C.6 D.8
【舉一反三3】口袋中有除顏色外無其它差別的黑白兩種小球，黑球與白球的個數比為，放入個同樣的黑球后，摸出黑球的概率為，則口袋中白球的個數是 ．
【舉一反三4】某兒童用品商店在“六一”兒童節設置了一個購物摸球游戲：在一不透明的箱子里裝了50個小球，這些球分別標有50元，8元，2元，0元的金額，其中標有50元的小球有4個，標有8元的小球有14個，標有2元的小球有27個，標有0元的小球有5個，這些小球除數字外都相同，并規定：凡購買指定商品，可以摸球一次，如果摸到標有50元，8元，2元的小球，則可以得到等價值的獎品一個，摸到0元小球則沒有獎品．根據以上信息回答下列問題：
(1)已知小明購買了指定商品，小明獲得獎品的概率是_________，獲得8元獎品的概率是_________．
(2)假設從箱子里拿出3個標有8元的小球，將剩余的小球攪拌均勻，從中任意摸出一個球，摸到標有2元小球的概率是多少？
(3)為吸引顧客，兒童用品商店現將8元獎品的獲獎概率提高到，在保持小球總數不變的情況下，需要把幾個標有2元的小球改為8元的小球．
【舉一反三5】圍棋盒中有x顆白色棋子，y顆黑色棋子，從盒中隨機地取出一個棋子，若它是白色棋子的概率是，
（1）試寫出y與x的函數關系；
（2）第一次取出的棋子放回盒中，再往盒中放入6顆白色棋子，若隨機取出一顆白色棋子的概率為，求x和y的值．
【題型7】概率的意義
【典型例題】如圖，某天氣預報軟件顯示“揚州市邗江區明天的降水概率為”，對這條信息的下列說法中，正確的是（ ）
A.邗江區明天將有的時間下雨
B.邗江區明天將有的地區下雨
C.邗江區明天下雨的可能性較大
D.邗江區明天下雨的可能性較小
【舉一反三1】下列說法正確的是（ ）
A.做拋擲硬幣的試驗，如果沒有硬幣用圖釘代替硬幣，做出的試驗結果是一致的
B.拋擲一枚質地均勻的硬幣，已連續擲出5次正面，則第6次一定擲出背面
C.某種彩票中獎的概率是，因此買100張該彩票一定會中獎
D.天氣預報說明天下雨的概率是，也就是說明天下雨和不下雨的機會是均等的
【舉一反三2】簡潔的說，在隨機現象中，一個事件發生的 叫概率.
【舉一反三3】一般地，如果一個試驗有n種可能的結果，并且它們發生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結果，那么事件A發生的概率為： ．必然事件發生的概率為 ，不可能事件發生的概率為 ，隨機事件A發生的概率是 ．
【舉一反三4】概率為的隨機事件在一次實驗中是否會發生？為什么？
【舉一反三5】有人說“買彩票中獎的可能性是，買1000注彩票最多只能有2注中獎”．這種說法對嗎，為什么？
【題型8】用列表法求概率
【典型例題】從寫有數字1，2，3的3張卡片中任意抽取兩張，擺成一個兩位數，擺出的兩位數是3的倍數的概率為（　?。?br/>A. B. C. D.
【舉一反三1】從分別寫有“大”“美”“河”“北”漢字的四張卡片中，隨機抽出兩張，抽出的卡片上的漢字能組成“河北”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【舉一反三2】為了準備學校藝術節展示活動，需要從3名男生和2名女生中隨機抽取2名學生做主持人，抽取的學生恰好是一名男生和一名女生的概率為 ．
【舉一反三3】已知都是一位數的自然數，則點在直線上的概率為 ．
【舉一反三4】桌上放著4張紙牌，全部正面朝下，背面完全相同，其中有2張是“大王”．
(1)隨機翻開1張紙牌，翻開的牌是“大王”的概率為_________．
(2)隨機翻開2張紙牌，求翻開的2張牌中至少有1張是“大王”的概率．
【舉一反三5】2023年11月19日，中國載人航天工程辦公室發布2024年度“天舟七號飛行任務、天舟八號飛行任務、神舟十八號載人飛行任務、神舟十九號載人飛行任務”四次飛行任務標識．小明是個航天愛好者，他收集了如圖所示的四枚飛行任務標識（除正面內容不同外，其余均相同），現將飛行任務標識的背面朝上，洗勻放好．
(1)小明從中隨機抽取一枚飛行任務標識是“天舟八號飛行任務”的概率是多少？
(2)小明從中隨機抽取一枚飛行任務標識記下后放回，再隨機抽取一枚，請你用列表的方法求抽到的兩枚飛行任務標識恰好是“神舟十九號載人飛行任務”的概率．
【題型9】根據概率公式求代數中的概率
【典型例題】任意投擲一枚質地均勻的骰子，點數大于2的概率是（ ）
A. B. C. D.
【舉一反三1】小明去朋友家做客，在客廳入口處有四個開關按鈕（如圖所示），四個完全相同的開關按鈕從左到右分別是過道、客廳、餐廳、廚房的燈光開關．小明任意按一個開關按鈕恰好是客廳開關的概率為（ ）
A. B. C. D.
【舉一反三2】將9枚黑棋子和6枚白棋子裝入一個不透明的空盒子里，這些棋子除了顏色外無其他差別，從盒子中隨機取出一枚棋子，則取出的棋子是黑子的概率是 ．
【舉一反三3】一個口袋中裝有3個白球和5個紅球，這些球除了顏色外完全相同，充分搖勻后隨機摸出一球，發現是白球．
(1)如果將這個白球放回，再摸出一球是白球的概率是多少？
(2)如果將這個白球不放回，再摸出一球是白球的概率是多少？
【舉一反三4】從一副撲克牌中隨機抽取一張．
（1）它是王牌的概率是多少？
（2）它是Q的概率是多少？
（3）它是梅花的概率是多少？
【題型10】用樹狀圖求概率（三步或四步實驗）
【典型例題】小明邀請小紅玩一個轉盤游戲，準備下圖三個可以自由轉動的轉盤，小明轉動轉盤，小紅記錄轉盤停下時指針所指的數字．當三個數字中有數字相同時，就算小明贏，否則就算小紅贏．請你計算小明贏的概率是（　?。?br/>A. B. C. D.
【舉一反三1】體育課，甲、乙、丙、丁四人在練習踢足球，足球從一人踢向另一人記為踢一次，若第一次由甲踢出足球，則踢三次后足球回到甲處的概率是（ ）
A. B. C. D.
【舉一反三2】新考法與新定義結合，如果一個自然數正著讀和倒著讀都一樣，如121，32123等，則稱該數為“回文數”．從1，1，2，2這四個數字中隨機選取三個數字組成一個三位數，恰好是“回文數”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【舉一反三3】數軸上一動點P開始時在原點，每次運動都是等可能地向右平移1個單位或向左平移2個單位，第三次運動結束后，點P回到原點位置的概率為 ．
【舉一反三4】把兩張形狀、大小相同但畫面不同的風景圖片，都按同樣的方式剪成相同的三段，然后將上、中、下三段分別混合均勻成三堆，從這三堆圖片中隨機各抽出一張，則這三張圖片恰好組成一張完整風景圖片的概率為 ．
【舉一反三5】有兩部不同的電影A、B，甲、乙、丙3人分別從中任意選擇一部觀看．
(1)甲、乙兩人都選擇A電影的概率是______；
(2)用畫樹狀圖的方法求甲、乙、丙3人選擇同一部電影的概率．
【舉一反三6】在三胎獎勵政策的鼓勵下，李明夫婦有了生三胎的打算，請用樹狀圖分析生完第三胎之后，家里有兩男孩一女孩的概率．2.2簡單事件的概率
【知識點1】概率的意義 1
【知識點2】概率公式 1
【題型1】根據概率進行判斷 2
【題型2】用樹狀圖求概率（兩步實驗） 3
【題型3】用列舉法求概率 7
【題型4】判斷游戲公平性 9
【題型5】根據概率公式求幾何中的概率 12
【題型6】根據概率求數量 14
【題型7】概率的意義 17
【題型8】用列表法求概率 18
【題型9】根據概率公式求代數中的概率 23
【題型10】用樹狀圖求概率（三步或四步實驗） 25
【知識點1】概率的意義
（1）一般地，在大量重復實驗中，如果事件A發生的頻率會穩定在某個常數p附近，那么這個常數p就叫做事件A的概率，記為P（A）=p．
（2）概率是頻率（多個）的波動穩定值，是對事件發生可能性大小的量的表現．
（3）概率取值范圍：0≤p≤1．
（4）必然發生的事件的概率P（A）=1；不可能發生事件的概率P（A）=0．
（4）事件發生的可能性越大，概率越接近與1，事件發生的可能性越小，概率越接近于0．
（5）通過設計簡單的概率模型，在不確定的情境中做出合理的決策；概率與實際生活聯系密切，通過理解什么是游戲對雙方公平，用概率的語言說明游戲的公平性，并能按要求設計游戲的概率模型，以及結合具體實際問題，體會概率與統計之間的關系，可以解決一些實際問題．
【知識點2】概率公式
（1）隨機事件A的概率P（A）=．
（2）P（必然事件）=1．
（3）P（不可能事件）=0．
【題型1】根據概率進行判斷
【典型例題】李明用6個球設計了一個摸球游戲，共有四種方案，肯定不能成功的是（ ）
A.摸到黃球、紅球的概率均為
B.摸到黃球的概率是，摸到紅球、白球的概率均為
C.摸到黃球、紅球、白球的概率分別為、、
D.摸到黃球、紅球、白球的概率都是
【答案】B
【解析】A.；
B.，不成立；
C.;
D.;
故選：B．
【舉一反三1】現有足夠多的紅球、白球、黑球，它們除顏色外無其它差別，從中選12個球（三種顏色的球都要選），設計摸球游戲，要求摸到紅球和白球的概率相等，則選紅球的個數的情況有（　　）
A.3種 B.4種 C.5種 D.6種
【答案】C
【解析】當紅球和白球都有1個的時候，摸到紅球和白球的概率相等，當紅球和白球都有2個、3個、4個、5個的時候都可以，所以選紅球的個數的情況有5種，故選C．
【舉一反三2】一個箱子裝有除顏色外都相同的2個白球，2個黃球，1個紅球．現添加上述同種型號的1個球，使得從中隨機抽取1個球，白顏色的球被抽到的可能性是，那么添加的球是 ．
【答案】紅球或黃球
【解析】∵，
∴原來白顏色的球被抽到的可能性是；
∵＞，
∴添加的球是紅球或黃球．
故答案為：紅球或黃球．
【舉一反三3】利用一個口袋和8個除顏色外完全相同的球設計一個摸球游戲，使得摸到紅球的概率為，摸到黃球和白球的概率都是．你能選取7個除顏色外完全相同的球設計滿足以上條件的游戲嗎？
【答案】解：P（摸到紅球），
P（摸到黃球），
P（摸到白球）．
當口袋中裝有7個球時，
∵摸到紅球的概率為，
∴袋中紅球的個數應為：（個），
同理，口袋中黃球個數應為：（個），
白球的個數應為：（個）．
∵小球的個數應為整數，
∴用7個球不能設計出符合條件的游戲．
【題型2】用樹狀圖求概率（兩步實驗）
【典型例題】一個不透明的口袋中有四個完全相同的小球，把它們分別標號為2，3，4，5，若隨機摸出一個小球后不放回，再隨機摸出一個小球，則兩次取出小球標號的積是6的倍數的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】畫樹狀圖為：
由圖可知，共有12種等可能的結果，其中兩次取出小球標號的積是6的倍數的共有4種情況，
∴兩次取出小球標號的積是6的倍數的概率為．
故選：A.
【舉一反三1】如圖所示的兩張撲克牌除正面圖案外其他完全相同，將這兩張撲克牌從正中間（沿圖中虛線）剪斷，得到四張形狀大小相同的卡片．將四張卡片洗勻后背面朝上，從中隨機抽取一張，不放回，接著再隨機抽取一張，則抽到的這兩張卡片恰好能拼成一張完整撲克牌的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】設梅花K剪開的兩張分別為A和B，紅桃K剪開的兩張分別為C和D，根據題意畫圖如下：
共有12種等可能的情況數，其中抽到的這兩張卡片恰好能拼成一張完整撲克牌的有4種，
則抽到的這兩張卡片恰好能拼成一張完整撲克牌的概率是．
故選：B.
【舉一反三2】色光三原色是指紅、綠、藍三色．把這三種色光按一定比例混合可以呈現各種光色．配色規律如圖所示（例如：紅和藍按一定比例混合可以呈現紫色）．現小劉、小李兩位同學分別從色光三原色中隨機選擇一種色光，將兩人所選擇的色光進行混合，則可以呈現青色的概率為 ．

【答案】
【解析】根據題意畫樹狀圖如解圖，

由樹狀圖可得，共有9種等可能的結果，其中可以呈現青色的結果有2種，
∴．
【舉一反三3】設a，b，c是三角形的三邊，．從1，2，3這三個數中任取一個數作為a的值，再從余下的兩個數中任取一個數作為b的值，則以a，b，c為邊能構成三角形的概率是 ．
【答案】
【解析】由題意可畫出樹形圖如下：
由圖可知，共有6種等可能情況，其中以a，b，c為邊能構成三角形的有四種情況，
∴以a，b，c為邊能構成三角形的概率是．
故答案為：．
【舉一反三4】每年4月至5月，昆明的藍花楹陸續盛開．一條條平日里不起眼的街道在披上了藍紫色的輕紗后搖身一變，成了大家紛紛前往打卡的“網紅”路．游客小迅從住宿的A地出發，要先經B地再到“網紅”路C地游覽．如圖，從A地到B地共有三條路線，長度分別為，，，從B地到C地共有兩條路線，長度分別為，．
(1)小迅從A地到B地所走路線長為的概率為______；
(2)請用畫樹狀圖法中的一種方法，求小迅從A地經B地再到C地所走路線總長度為的概率．
【答案】解：（1）由題意得，小迅從地到地所走路線長為的概率為．
故答案為：．
（2）畫樹狀圖如下：
共有6種等可能的結果，其中小訊從A地到地所走路線總長度為的結果有：，，，共3種，
小迅從A地到地所走路線總長度為的概率為．
【題型3】用列舉法求概率
【典型例題】如圖，在1×3的正方形網格上確定了兩個格點（網格線的交點），從其余的格點中隨機選取第三個格點，與這兩個格點組成的三角形是等腰三角形的概率是（　?。?br/>A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵在的正方形網格中共有8個格點，確定了兩個格點，
∴從其余的格點中隨機選取第三個格點，與這兩個格點組成的三角形是等腰三角形的概率為，
故選：B．
【舉一反三1】某技工學校從成績優秀的3名男同學和2名女同學中，隨機選取2名同學參加全國實踐操作技能大賽，則選取的2名同學恰好都是男同學的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】設名男同學分別為A，，，2名女同學分別為，，從成績優秀的名男同學和名女同學中，隨機選取名同學參加全國實踐技能大賽，基本事件有AB,AC,Ad,Ae,BC,Bd,Be,Cd,Ce,de，共種，它們是等可能性的，選取的名同學恰好都是男同學的事件有，，，共種，所以選取的名同學恰好都是男同學的概率為
故選C．
【舉一反三2】從這三個數中任選兩個不同的數作為點A的坐標，則點A在第二象限的概率為 ．
【答案】
【解析】依題意，，共有6種結果,
滿足在第二象限的有，這兩種結果,
∴則點A在第二象限的概率為,
故答案為：.
【舉一反三3】如果關于x的一元二次方程中，k是投擲骰子所得的數字（1，2，3，4，5，6），則該二次方程有兩個不等實數根的概率是 ．
【答案】
【解析】二次方程有兩個不等實數根，由根的判別式可得，
，，不符合題意；
，，不符合題意，
，，符合題意，
，，符合題意；
，，符合題意；
，，符合題意．
共有6種等可能的結果，4種符合題意，所以二次方程有兩個不等實數根的概率是：，
故答案為：．
【舉一反三4】已知：甲、乙、丙、丁4位同學進行一次乒乓球比賽．
(1)若四位選手進行單循環（即每位選手與其他選手打一場比賽）單打比賽，一共要打多少場比賽；
(2)若四位選手進行雙打比賽，求甲、乙兩位同學配對的概率．
【答案】解：（1）四位選手進行單循環比賽的情況為：（甲，乙），（甲，丙），（甲，?。?，（乙，丙），（乙，?。?，（丙，?。┕?種情況；
所以，一共要打6場比賽.
（2）甲、乙、丙、丁4位同學共有6種配對情況：（甲，乙），（甲，丙），（甲，?。?，（乙，丙），（乙，?。?，（丙，丁），其中甲、乙兩位同學配對的有1種，
所以，甲、乙兩位同學配對的概率．
【舉一反三5】某校3男2女共5名學生參加黃石市教育局舉辦的“我愛黃石”演講比賽．
（1）若從5名學生中任意抽取3名，共有多少種不同的抽法，列出所有可能情形；
（2）若抽取的3名學生中，某男生抽中，且必有1女生的概率是多少？
【答案】解：（1）從5名學生中任意抽取3名，共有10種不同的抽法，分別是：男男男，男男女，男男女，男男女，男男女，男女女，男男女，男男女，男女女，男女女；
（2）共有10種不同的抽法，其中必有1女生的有9種，
則必有1女生的概率是．
【題型4】判斷游戲公平性
【典型例題】桌上放著25粒棋子，小明和小剛兩人輪流拿，一次可以拿走1粒棋子、2粒棋子或者3粒棋子，但不可以不拿，拿到最后一粒棋子的算輸，該游戲（ ）
A.公平 B.不公平 C.對小明有利 D.不確定
【答案】B
【解析】因為1、2、3的最小公倍數為6，
所以小明和小剛兩人輪流拿走1粒棋子、2粒棋子或者3粒棋子的總數為6的倍數，
而25=4×6+1，則小明和小剛兩人輪流拿后，最后總是剩下一粒棋子，
所以先拿的那個人必定要拿最后一粒棋子，則它必輸，即先拿的人輸，后拿的人贏，
所以這個游戲不公平．
故選B．
【舉一反三1】小晶和小紅玩擲骰子游戲，每人將一個各面分別標有數字、、、、、的正方體骰子擲一次，把兩人擲得的點數相加，并約定：若點數之和等于，則小晶贏；若點數之和等于，則小紅贏；若點數之和是其他數，則兩人不分勝負，那么（ ）
A.小晶贏的機會大
B.小紅贏的機會大
C.小晶、小紅贏的機會一樣大
D.不能確定
【答案】B
【解析】列表如下：
共有36種等可能的結果，其中點數之和等于6的占5種，點數之和等于7的占6種，∴P（小晶贏）=；P（小紅贏）==，即P（小晶贏）＜P（小紅贏），所以小紅贏的機會大．
故選B．
【舉一反三2】甲、乙兩人做游戲，他們準備了一個質量分布均勻的正六面體骰子，骰子的正六面分別標有1，2，3，4，5，6．若擲出的骰子的點數是偶數，則甲贏；若擲出的骰子的點數是3的倍數，則乙贏，這個游戲對甲、乙來說是 的．（填“公平”或“不公平”）
【答案】不公平
【解析】∵骰子的點數是偶數的有2，4，6，其概率為，
骰子的點數是3的倍數的有3，6，其概率為，
故游戲規則對甲有利．
故答案為：不公平.
【舉一反三3】在一個不透明的紙盒中放入顏色分別為白色、紅色、綠色的小球各 1個，每個小球除顏色不同外其他均相同，三人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一個小球，摸出后放回，摸出白球者贏，則這個游戲中先摸者贏的概率 后摸者贏的概率．（填“>”“<”或“=”）
【答案】
【解析】∵不透明的紙盒中放有白色，紅色，綠色的小球各1個，三個人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一個小球，摸出后放回，
∴三個人摸到每個球的概率均相等，
即這個游戲中先摸者贏的概率等于后摸者贏的概率，
故答案為：．
【舉一反三4】疫情期間，數學課不得不轉移到線上進行，數學老師為了增加課堂氛圍，專門為學生設計了一個數學游戲，有一個可以隨機生成數字1、2、2、3的軟件．
(1)若小紅使用該軟件生成一個隨機數字，求這個數字是2的概率；
(2)若學生先用該軟件生成一個隨機數字，記下數字為x．老師再使用該軟件生成一個隨機數字，記下數字為y，點M的坐標記作．規定：若點在反比例函數的圖像上，則學生勝；若點M在反比例函數的圖象上，則老師勝．請你通過計算，判斷這個游戲是否公平？
【答案】解：（1）小紅使用該軟件生成一個隨機數字，則這個數字是2的概率為；
（2）畫樹狀圖如圖：
共有16個等可能的結果，點在反比例函數圖象上的結果有4個，點在反比例函數圖象上的結果有4個，
學生勝的概率為，老師勝的概率為，
學生勝的概率老師勝的概率，
這個游戲公平．
【舉一反三5】小影和小剛做摸紙牌游戲．如圖，兩組相同的紙牌，每組兩張，第一組牌面數字分別是2和3，第二組牌面數字分別是5和6；將兩組牌背面朝上洗勻后從每組牌中各摸出一張，稱為一次游戲．當摸到兩張牌的牌面數字之積能被3整除，則小穎勝，否則小剛勝．這是一個對參與雙方公平的游戲嗎？請借助列表或畫樹狀圖的方法說明理由．
【答案】解：畫樹狀圖，如下：
一共有4種情況，積是3的倍數的有3種情況，
∴小穎獲勝的概率為，
∴小剛獲勝的概率為，
∵，
∴這是一個對參與雙方不公平的游戲．
【題型5】根據概率公式求幾何中的概率
【典型例題】如圖，小明有一個邊長為4 cm的正方形靶盤，其中點A，分別是靶盤相鄰兩邊的中點．若小明隨意向該靶盤投擲飛鏢，則飛鏢落在陰影區域的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵正方形的面積為，
陰影部分的面積為，
∴飛鏢落在陰影區域的概率為．
故選：D．
【舉一反三1】如圖，點M、N、P、Q分別是菱形各邊的中點，連接、交于點O，從圖中任取一個四邊形，恰好是菱形的概率是（　?。?br/>
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵圖中四邊形的總個數為9個，其中菱形的個數為5個，
∴從圖中任取一個四邊形，恰好是菱形的概率是．
故選：C．
【舉一反三2】用兩個腰長為a的等腰直角三角板及兩個腰長為b的等腰直角三角板拼成如圖所示的正方形，．現隨機向該正方形內擲一枚小針，則針尖落在陰影區域的概率為 ．
【答案】
【解析】,
設,
則,
,
,
故答案為：．
【舉一反三3】一個小球在如圖所示的方格地板上自由滾動，并隨機停留在某塊地板上，每塊地板大小、質地完全相同，求該小球停留在黑色區域的概率．
【答案】解：由圖可知，黑色方磚6塊，總共有方磚16塊，
∴．
【舉一反三4】如圖，從一個大正方形中截去面積為3 cm 和12 cm 的兩個小正方形，若隨機向大正方形內投一粒米，求米粒落在圖中陰影部分的概率．
【答案】解：∵兩個空白正方形的面積分別為12 cm 和3 cm ，
∴邊長分別為 cm和 cm，
∴大正方形的邊長為 cm，
∴大正方形的面積為 cm ，
∴陰影部分的面積為27-12-3=12 cm ，
∴米粒落在圖中陰影部分的概率．
【題型6】根據概率求數量
【典型例題】口袋里有除顏色不同外其他都相同的紅、藍、白三種顏色的小球共30個，摸到紅球的概率是，摸到藍球的概率是，則袋子里有白球（ ）個．
A.15 B.10 C.5 D.6
【答案】C
【解析】因為摸到紅球的概率是，摸到藍球的概率是，
所以紅球的個數為，藍球的個數為，
所以袋子里有白球有30﹣15﹣10=5．
故選C．
【舉一反三1】一個袋中裝有紅、黑、黃三種顏色小球共15個，這些球除顏色外均相同，其中紅色球有4個，若從袋中任意取出一個球，取出黃色球的概率為，則黑色球的個數為（　?。?br/>A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】C
【解析】根據題意可求得黃球個數為：15×=6個，
所以黑球個數為：15-6-4=5個，
故選：C．
【舉一反三2】在一個不透明的布袋中裝有4個白球，個黃球，它們除顏色不同外，其余均相同．若從中隨機摸出一個球，它是黃球的概率是，則為（ ）
A.3 B.5 C.6 D.8
【答案】C
【解析】由題意得，，
解得，
經檢驗是原方程的解，
∴，
故選：C．
【舉一反三3】口袋中有除顏色外無其它差別的黑白兩種小球，黑球與白球的個數比為，放入個同樣的黑球后，摸出黑球的概率為，則口袋中白球的個數是 ．
【答案】30
【解析】設口袋中白球的個數為，則黑球的個數為，
由題意得，，
解得，
經檢驗，是原方程的解，
∴，
∴口袋中白球的個數是30，
故答案為：30．
【舉一反三4】某兒童用品商店在“六一”兒童節設置了一個購物摸球游戲：在一不透明的箱子里裝了50個小球，這些球分別標有50元，8元，2元，0元的金額，其中標有50元的小球有4個，標有8元的小球有14個，標有2元的小球有27個，標有0元的小球有5個，這些小球除數字外都相同，并規定：凡購買指定商品，可以摸球一次，如果摸到標有50元，8元，2元的小球，則可以得到等價值的獎品一個，摸到0元小球則沒有獎品．根據以上信息回答下列問題：
(1)已知小明購買了指定商品，小明獲得獎品的概率是_________，獲得8元獎品的概率是_________．
(2)假設從箱子里拿出3個標有8元的小球，將剩余的小球攪拌均勻，從中任意摸出一個球，摸到標有2元小球的概率是多少？
(3)為吸引顧客，兒童用品商店現將8元獎品的獲獎概率提高到，在保持小球總數不變的情況下，需要把幾個標有2元的小球改為8元的小球．
【答案】解：（1）標有50元的小球有4個，標有8元的小球有14個，標有2元的小球有27個，標有0元的小球有5個，
所以“獲獎”的概率為，
共有50個小球，標有“8元”的有14個，
因此獲得“8元”的概率為，
故答案為：；
（2）從箱子里拿出3個標有8元的小球，將剩余的小球攪拌均勻，從中任意摸出一個球，摸到標有2元小球的概率為：．
（3）設需要把個標有“2元”的小球改為“8元”，由題意得，．
解得，
因為原來有27個標有“2元”的小球，，
所以需要將6個標有“2元”的小球改為“8元”的小球．
【舉一反三5】圍棋盒中有x顆白色棋子，y顆黑色棋子，從盒中隨機地取出一個棋子，若它是白色棋子的概率是，
（1）試寫出y與x的函數關系；
（2）第一次取出的棋子放回盒中，再往盒中放入6顆白色棋子，若隨機取出一顆白色棋子的概率為，求x和y的值．
【答案】解：（1）∵白色棋子的概率是，
∴黑色棋子的概率是，
∴黑色棋子與白色棋子之比為：，
∴y=x；
（2）=，
解得x=30，
經檢驗x=30是原方程的解，
∴x=30，
∴y=×30=18．
【題型7】概率的意義
【典型例題】如圖，某天氣預報軟件顯示“揚州市邗江區明天的降水概率為”，對這條信息的下列說法中，正確的是（ ）
A.邗江區明天將有的時間下雨
B.邗江區明天將有的地區下雨
C.邗江區明天下雨的可能性較大
D.邗江區明天下雨的可能性較小
【答案】C
【解析】 “揚州市邗江區明天的降水概率為”表示“邗江區明天下雨的可能性較大”，
故選：C．
【舉一反三1】下列說法正確的是（ ）
A.做拋擲硬幣的試驗，如果沒有硬幣用圖釘代替硬幣，做出的試驗結果是一致的
B.拋擲一枚質地均勻的硬幣，已連續擲出5次正面，則第6次一定擲出背面
C.某種彩票中獎的概率是，因此買100張該彩票一定會中獎
D.天氣預報說明天下雨的概率是，也就是說明天下雨和不下雨的機會是均等的
【答案】D
【解析】A．做拋擲硬幣的實驗，如果沒有硬幣用圖釘代替硬幣，做出的實驗結果是不一樣的，原說法錯誤，故本選項不符合題意；
B．拋擲一枚質地均勻的硬幣，已連續擲出5次正面，則第6次不一定擲出背面，原說法錯誤，故本選項不符合題意；
C．某種彩票中獎的概率是，因此買100張該彩票不一定會中獎，原說法錯誤，故本選項不符合題意；
D．天氣預報說明天下雨的概率是，也就是說明天下雨和不下雨的機會是均等的，原說法正確，故本選項符合題意；
故選：D．
【舉一反三2】簡潔的說，在隨機現象中，一個事件發生的 叫概率.
【答案】可能性大小
【解析】概率：表示某件事發生的可能性大小的一個量.
根據概率的定義可知核心是可能性大小.
【舉一反三3】一般地，如果一個試驗有n種可能的結果，并且它們發生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結果，那么事件A發生的概率為： ．必然事件發生的概率為 ，不可能事件發生的概率為 ，隨機事件A發生的概率是 ．
【答案】P（A）＝；1；0；0與1之間的一個常數
【舉一反三4】概率為的隨機事件在一次實驗中是否會發生？為什么？
【答案】解：不一定會發生．因為這一事件是隨機事件，其發生概率是多次重復實驗所得的結果，所以僅一次實驗事件不一定會發生．
【舉一反三5】有人說“買彩票中獎的可能性是，買1000注彩票最多只能有2注中獎”．這種說法對嗎，為什么？
【答案】解：這種說法不對，因為概率是刻畫隨機事件發生可能性大小的數值，所以買彩票中獎的可能性是，買1000注彩票不一定能中獎．
【題型8】用列表法求概率
【典型例題】從寫有數字1，2，3的3張卡片中任意抽取兩張，擺成一個兩位數，擺出的兩位數是3的倍數的概率為（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】列表如下：
一共有6種等可能出現的結果，每種結果出現的可能性相同，其中擺出的兩位數是3的倍數的結果有：12，21，共2種，
擺出的兩位數是3的倍數的概率為．
故選：B．
【舉一反三1】從分別寫有“大”“美”“河”“北”漢字的四張卡片中，隨機抽出兩張，抽出的卡片上的漢字能組成“河北”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】列表如下,
由表知，共有種等可能結果，其中抽出的卡片上的漢字能組成“河北”的有種結果，
所以抽出的卡片上的漢字能組成“河北”的概率為，
故選：B．
【舉一反三2】為了準備學校藝術節展示活動，需要從3名男生和2名女生中隨機抽取2名學生做主持人，抽取的學生恰好是一名男生和一名女生的概率為 ．
【答案】
【解析】列表如下：
共有種等可能結果，其中一名男生和一名女生的結果有種，
抽取的學生恰好是一名男生和一名女生的概率為，
故答案：．
【舉一反三3】已知都是一位數的自然數，則點在直線上的概率為 ．
【答案】
【解析】列表得：
共有100種等可能的結果，其中點在直線上的有9種結果，分別為，，，，，
點在直線上的概率為，
故答案為：.
【舉一反三4】桌上放著4張紙牌，全部正面朝下，背面完全相同，其中有2張是“大王”．
(1)隨機翻開1張紙牌，翻開的牌是“大王”的概率為_________．
(2)隨機翻開2張紙牌，求翻開的2張牌中至少有1張是“大王”的概率．
【答案】解：（1）一共有4張牌，“大王”有2張，所以翻開的牌是“大王”的概率是.
故答案為：；
（2）記這4張紙片為A，a，B，b（設B，b為大王）．列表如下：
隨機翻開2張紙牌，共有12種可能出現的結果，即(A,a)、、(A,b)、、、、、(B,a)、(B,b)、、、,這些結果出現的可能性相同．所有的結果中，滿足抽到的2張牌中至少有1張是大王的結果有10種，所以P（至少1張是大王）．
【舉一反三5】2023年11月19日，中國載人航天工程辦公室發布2024年度“天舟七號飛行任務、天舟八號飛行任務、神舟十八號載人飛行任務、神舟十九號載人飛行任務”四次飛行任務標識．小明是個航天愛好者，他收集了如圖所示的四枚飛行任務標識（除正面內容不同外，其余均相同），現將飛行任務標識的背面朝上，洗勻放好．
(1)小明從中隨機抽取一枚飛行任務標識是“天舟八號飛行任務”的概率是多少？
(2)小明從中隨機抽取一枚飛行任務標識記下后放回，再隨機抽取一枚，請你用列表的方法求抽到的兩枚飛行任務標識恰好是“神舟十九號載人飛行任務”的概率．
【答案】解：（1）依題意，小明從中隨機抽取一枚飛行任務標識是“天舟八號飛行任務”的概率為．
（2）設“天舟七號飛行任務、天舟八號飛行任務、神舟十八號載人飛行任務、神舟十九號載人飛行任務”標識分別為A、B、C、D．根據題意，列表如下：
由列表可知，共有16種等可能的結果，其中抽到的兩枚飛行任務標識恰好是“神舟十九號載人飛行任務”的結果有1種，
∴P（抽到的兩枚飛行任務標識恰好是“神舟十九號載人飛行任務”）．
【題型9】根據概率公式求代數中的概率
【典型例題】任意投擲一枚質地均勻的骰子，點數大于2的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵任意擲一枚質地均勻的骰子，共有6種等可能的結果，且擲出的點數大于2的有4種情況，
∴任意擲一枚質地均勻的骰子，擲出的點數大于2的概率是：．
故選：C．
【舉一反三1】小明去朋友家做客，在客廳入口處有四個開關按鈕（如圖所示），四個完全相同的開關按鈕從左到右分別是過道、客廳、餐廳、廚房的燈光開關．小明任意按一個開關按鈕恰好是客廳開關的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】四個開關按鈕，小明任意按一個開關按鈕恰好是客廳開關的概率為，
故選：B．
【舉一反三2】將9枚黑棋子和6枚白棋子裝入一個不透明的空盒子里，這些棋子除了顏色外無其他差別，從盒子中隨機取出一枚棋子，則取出的棋子是黑子的概率是 ．
【答案】
【解析】盒子里總的棋子數為：（枚）,
取出的棋子是黑子的概率是：，
故答案為：．
【舉一反三3】一個口袋中裝有3個白球和5個紅球，這些球除了顏色外完全相同，充分搖勻后隨機摸出一球，發現是白球．
(1)如果將這個白球放回，再摸出一球是白球的概率是多少？
(2)如果將這個白球不放回，再摸出一球是白球的概率是多少？
【答案】解：（1）根據題意得：再摸出一球是白球的概率是．
（2）根據題意得：再摸出一球是白球的概率是．
【舉一反三4】從一副撲克牌中隨機抽取一張．
（1）它是王牌的概率是多少？
（2）它是Q的概率是多少？
（3）它是梅花的概率是多少？
【答案】解：(1)一副撲克牌中共有54張牌，王牌有兩張，
所以，P(任意抽取一張是王牌) ＝＝．
(2)一副撲克牌中共有54張牌，Q牌有4張，所以，P(任意抽取一張是Q)＝＝．
(3)一副撲克牌中共有54張牌，梅花牌有13張，所以，P(任意抽取一張是梅花) ＝．
【題型10】用樹狀圖求概率（三步或四步實驗）
【典型例題】小明邀請小紅玩一個轉盤游戲，準備下圖三個可以自由轉動的轉盤，小明轉動轉盤，小紅記錄轉盤停下時指針所指的數字．當三個數字中有數字相同時，就算小明贏，否則就算小紅贏．請你計算小明贏的概率是（　?。?br/>A. B. C. D.
【答案】D
【解析】畫樹狀圖如下：
由圖可知：共有8種結果，且是等可能的，其中含有相同數字的結果有6種．
則小明獲勝的概率，
故選：D．
【舉一反三1】體育課，甲、乙、丙、丁四人在練習踢足球，足球從一人踢向另一人記為踢一次，若第一次由甲踢出足球，則踢三次后足球回到甲處的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】畫樹狀圖如下：
共有27種等可能的情況，其中踢三次后足球回到甲處的共有6次，故踢三次后足球回到甲處的概率是．
故選：C.
【舉一反三2】新考法與新定義結合，如果一個自然數正著讀和倒著讀都一樣，如121，32123等，則稱該數為“回文數”．從1，1，2，2這四個數字中隨機選取三個數字組成一個三位數，恰好是“回文數”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】畫樹狀圖，
由圖可知，所有可能組成的數有共有24種，其中恰好是“回文數”的共有8種，
∴從1，1，2，2這四個數字中隨機選取三個數字組成一個三位數，恰好是“回文數”的概率是，
故選：B．
【舉一反三3】數軸上一動點P開始時在原點，每次運動都是等可能地向右平移1個單位或向左平移2個單位，第三次運動結束后，點P回到原點位置的概率為 ．
【答案】
【解析】根據題意畫出樹狀圖如下：
由樹狀圖可知共有8種等可能結果，點P回到原點位置的結果數為3，則點P回到原點位置的概率為．
故答案為．
【舉一反三4】把兩張形狀、大小相同但畫面不同的風景圖片，都按同樣的方式剪成相同的三段，然后將上、中、下三段分別混合均勻成三堆，從這三堆圖片中隨機各抽出一張，則這三張圖片恰好組成一張完整風景圖片的概率為 ．
【答案】
【解析】將第一張圖片的上、中、下三段分別記為，第二張圖片的上、中、下三段分別記為，則有；；三堆，
則畫樹狀圖如下：

由圖可知，從這三堆圖片中隨機各抽出一張共有8種等可能的結果，其中，這三張圖片恰好組成一張完整風景圖片的結果有2種，
則這三張圖片恰好組成一張完整風景圖片的概率為，
故答案為：．
【舉一反三5】有兩部不同的電影A、B，甲、乙、丙3人分別從中任意選擇一部觀看．
(1)甲、乙兩人都選擇A電影的概率是______；
(2)用畫樹狀圖的方法求甲、乙、丙3人選擇同一部電影的概率．
【答案】解：（1）畫樹狀圖如下：
由樹狀圖可知共有4種可能結果，
其中甲、乙兩人都選擇A電影的有1種結果，
∴甲、乙兩人都選擇A電影的概率為，
故答案為：；
（2）畫樹狀圖如下：
由樹狀圖可知共有8種可能結果，
其中三人選擇同一部電影的有2種結果，
∴三人選擇同一部電影的概率為．
【舉一反三6】在三胎獎勵政策的鼓勵下，李明夫婦有了生三胎的打算，請用樹狀圖分析生完第三胎之后，家里有兩男孩一女孩的概率．
【答案】解：用樹狀圖表示三胎后所有等可能出現的結果如下：
共有種等可能出現的結果，其中男女的有種，
∴三胎之后，家里有兩男孩一女孩的概率為，
答：生完第三胎之后，家里有兩男孩一女孩的概率為．

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