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4.6相似多邊形
【知識點1】相似多邊形的性質 1
【題型1】相似多邊形的周長之比等于相似比 1
【題型2】相似多邊形的面積之比等于相似比的平方 3
【題型3】相似多邊形定義 5
【題型4】相似多邊形實際應用 7
【知識點1】相似多邊形的性質
（1）如果兩個多邊形的對應角相等，對應邊的比相等，則這兩個多邊形是相似多邊形．
（2）相似多邊形對應邊的比叫做相似比．
（3）全等多邊形的相似比為1或相似比為1的相似多邊形是全等形．
（4）相似多邊形的性質為：
①對應角相等；
②對應邊的比相等．
【題型1】相似多邊形的周長之比等于相似比
【典型例題】兩個相似六邊形的相似比為3：5，它們周長的差是24cm，那么較大的六邊形周長為（　　）
A.40cm B.50cm C.60cm D.70cm
【答案】C
【解析】由題意，可設較小多邊形的周長為3x，則較大多邊形的周長為5x，
則有：5x﹣3x＝24，解得x＝12，∴5x＝60.
故選：C．
【舉一反三1】已知四邊形ABCD∽四邊形EFGH，且AB＝3，EF＝4，FG＝5．則四邊形EFGH與四邊形ABCD的相似比為（　　）
A.3：4 B.3：5 C.4：3 D.5：3
【答案】C
【解析】∵四邊形EFGH∽四邊形ABCD，∴相似比.
故選：C．
【舉一反三2】已知一個四邊形的各邊長分別是3cm、4cm、5cm、8cm，另一個與它相似的四邊形的最長邊的長是12cm，那么另一個四邊形的周長是　　cm．
【答案】30
【解析】已知四邊形的周長為：3+4+5+8＝20cm，
根據題意，兩相似多邊形的相似比為，
設另一個四邊形的周長為x，則，解得x＝30cm．
【舉一反三3】如圖，把一個矩形剪去一個邊長和它的寬相等的正方形，若剩下的矩形與原矩形相似．
（1）求原矩形的長和寬的比．
（2）若AB＝4，求矩形ABCD的面積．
【答案】解：（1）設原矩形的長邊是a，短邊是b，那么剪去的正方形的邊長是b，剩下的矩形的長邊是b，短邊是a﹣b，
根據題意得：a：b＝b：（a﹣b），∴a2﹣ab﹣b2＝0，
用公式法解關于a的方程得：a1b，a2b（不符合題意，舍去），
∴原矩形的長和寬的比為.
（2）由（1）得：，
∵AB＝4，∴，∴．
【舉一反三4】如圖，有一種復印紙，整張稱為A1紙，對折一分為二裁開成為A2紙，一分為二成為A3紙，…，它們都是相似的矩形．
（1）求的值．
（2）若A1紙的周長為286厘米，求A2紙的周長．
【答案】解：（1）∵A1紙的長為AD，寬為AB，A2紙的長為AB，寬為，它們都是相似的矩形，
∴A1、A2紙的長與寬對應比成比例，得，
∴.
（2）∵A1紙的周長為286厘米，，
∴A2紙的周長＝286143．
【題型2】相似多邊形的面積之比等于相似比的平方
【典型例題】兩個相似多邊形的面積比是9：25，若較小多邊形的周長為6cm，則較大多邊形的周長為（　　）
A.16cm B.cm C.10cm D.25cm
【答案】C
【解析】∵兩相似多邊形的面積比是9：25，∴兩相似多邊形的相似比為3：5，
∴兩相似多邊形的周長比為3：5，
∵較小多邊形的周長為6cm，∴較大多邊形的周長為10cm．
故選：C．
【舉一反三1】一個長8cm，寬6cm的長方形，按1：2縮小得到的長方形的周長和面積分別是（　　）
A.12cm 14cm2 B.14cm 28cm2 C.28cm 48cm2 D.14cm 12cm2
【答案】D
【解析】∵一個長8cm，寬6cm的長方形，∴此長方形的周長為：2×（8+6）＝28（cm），
長方形的面積為：6×8＝48（cm2），
∴按1：2縮小得到的長方形的周長是：2814（cm）；
按1：2縮小得到的長方形的面積是：4812（cm2）．
故選：D．
【舉一反三2】已知五邊形ABCDE∽五邊形A'B'C'D'E'，且五邊形ABCDE的面積是五邊形A'B'C'D'E'面積的4倍，則AB：A'B'＝　　．
【答案】2：1
【解析】∵五邊形ABCDE∽五邊形A'B'C'D'E'，五邊形ABCDE的面積是五邊形A'B'C'D'E'面積的4倍，
∴AB：A′B′＝2：1．
【舉一反三3】如圖，矩形ABCD被分割為3個面積相等的小矩形，已知矩形AFED與原矩形ABCD相似，則原矩形的較長邊與較短邊的比值是 　　．
【答案】
【解析】設AF＝a，AD＝b，
∵矩形ABCD被分割為3個面積相等的小矩形，∴EC＝2a，NCb，∴CD＝3a，
∵矩形AFED∽矩形ABCD，∴，即，∴ba，
∴原矩形的較長邊與較短邊的比值為：．
【舉一反三4】已知一個矩形的長和寬分別為8cm和4cm，與它相似的矩形的一條邊長12cm，求這個矩形的面積．
【答案】解：設與它相似的矩形的另一條邊長x cm，
①當矩形的長為12cm時，，解得：x＝6，此時這個矩形的面積為：12×6＝72（cm2）；
②當矩形的寬為12cm時，，解得：x＝24，此時這個矩形的面積為：12×24＝288（cm2）．
綜上所述：這個矩形的面積為72cm2或288cm2．
【題型3】相似多邊形定義
【典型例題】下列每個選項中的兩個圖形一定相似的是（　　）
A.兩個等腰三角形 B.兩個正五邊形 C.兩個矩形 D.兩個平行四邊形
【答案】B
【解析】A、兩個等邊三角形相似，但是兩個等腰三角形并不一定相似，三個角度沒有確定，故A不正確；
B、兩個正五邊形角度相等，放大縮小后可以完全重合，兩圖形相似，故B正確；
C、兩個正方形相似，兩個矩形雖然角度相等，但是邊不一定對應成比例，故不一定相似，故C不正確；
D、兩個平行四邊形對應角度不一定相等，對應邊不一定成比例，所以不一定相似，故D不正確．
故選：B．
【舉一反三1】在下面的三個矩形中，相似的是（　　）
A.甲和乙 B.甲和丙 C.乙和丙 D.甲、乙和丙
【答案】B
【解析】由于三個圖形都為矩形，所以只看他們的邊長比例即可，
甲圖形兩邊比例為4：3，乙圖形兩邊比例為2：1，丙圖形兩邊比例為4：3.
故選：B．
【舉一反三2】下列每個選項中的兩個圖形一定相似的是（　　）
A.兩個等腰三角形 B.兩個正五邊形 C.兩個矩形 D.兩個平行四邊形
【答案】B
【解析】A、兩個等邊三角形相似，但是兩個等腰三角形并不一定相似，三個角度沒有確定，故A不正確；
B、兩個正五邊形角度相等，放大縮小后可以完全重合，兩圖形相似，故B正確；
C、兩個正方形相似，兩個矩形雖然角度相等，但是邊不一定對應成比例，故不一定相似，故C不正確；
D、兩個平行四邊形對應角度不一定相等，對應邊不一定成比例，所以不一定相似，故D不正確．
故選：B．
【舉一反三3】在如圖所示的三個矩形中，相似的是（　　）
A.甲和乙 B.甲和丙 C.乙和丙 D.甲、乙和丙
【答案】A
【解析】∵都是矩形，∴所有對應角相等；
∵甲與乙：，故相似；甲與丙：，故不相似；∴乙與丙也不相似．
故選：A．
【題型4】相似多邊形實際應用
【典型例題】如圖為羽毛球單打場地按比例縮小的示意圖（由圖中粗實線表示），它的寬度為5.18米，那么它的長大約在（　　）
A.12米至13米之間 B.13米至14米之間 C.14米至15米之間 D.15米至16米之間
【答案】B
【解析】測量得，示意圖長約為61cm，寬約為24cm，于是設羽毛球單打場地的長為l，則．
解得l≈13.17．
故選：B．
【舉一反三1】書畫經裝裱后更便于收藏．如圖，畫心ABCD為長90cm、寬30cm的矩形，裝裱后整幅畫為矩形A′B′C′D′，兩矩形的對應邊互相平行，且AB與A′B'的距離、CD與C′D′的距離都等于4cm．當AD與A′D′的距離、BC與B'C′距離都等于a cm，且矩形ABCD∽矩形A′B′C′D'時，整幅書畫最美觀此時，a的值為（　　）
A.4 B.6 C.12 D.24
【答案】C
【解析】由題意AD＝30cm，AB＝90cm，A′B′＝（90+2a），A′D′＝30+8＝38cm，
∵矩形ABCD∽矩形A′B′C′D'，∴，∴，解得a＝12.
故選：C．
【舉一反三2】如圖，一個矩形廣場的長為90m，寬為60m，廣場內有兩橫，兩縱四條小路，且小路內外邊緣所圍成的兩個矩形相似，如果兩條橫向小路的寬均為1.2m，那么每條縱向小路的寬為　　m．
【答案】1.8
【解析】設每條縱向小路的寬為x m．
∵小路內外邊緣所圍成的兩個矩形相似，∴，解得x＝1.8，
或，解得x＝25.8（不符合實際意義）.
【舉一反三3】為了鋪設一矩形場地，特意選擇某地磚進行密鋪，使每一部分都鋪成如圖所示的形狀，且由8塊地磚組成，問：
（1）每塊地磚的長與寬分別為多少？
（2）這樣的地磚與所鋪成的每一部分矩形地面是否相似？試說明理由．
【答案】解：（1）設每塊地磚的長與寬分別為x cm，y cm．
由題意：，解得．
答：每塊地磚的長與寬分別為45cm，15cm．
（2）矩形地面的長為90，寬為60，∴，
∴地磚與所鋪成的每一部分矩形地面不相似．
【舉一反三4】如圖，矩形草坪的長是30m，寬是10m，現要修建一條平行于草坪邊緣的矩形小路，使得小路的形狀與原來草坪的形狀相似，求小路的寬．
【答案】解：設小路的寬為x m，
則根據相似三角形的性質得：，解得：x，
即小路的寬為m．4.6相似多邊形
【知識點1】相似多邊形的性質 1
【題型1】相似多邊形的周長之比等于相似比 1
【題型2】相似多邊形的面積之比等于相似比的平方 3
【題型3】相似多邊形定義 5
【題型4】相似多邊形實際應用 7
【知識點1】相似多邊形的性質
（1）如果兩個多邊形的對應角相等，對應邊的比相等，則這兩個多邊形是相似多邊形．
（2）相似多邊形對應邊的比叫做相似比．
（3）全等多邊形的相似比為1或相似比為1的相似多邊形是全等形．
（4）相似多邊形的性質為：
①對應角相等；
②對應邊的比相等．
【題型1】相似多邊形的周長之比等于相似比
【典型例題】兩個相似六邊形的相似比為3：5，它們周長的差是24cm，那么較大的六邊形周長為（　　）
A.40cm B.50cm C.60cm D.70cm
【答案】C
【解析】由題意，可設較小多邊形的周長為3x，則較大多邊形的周長為5x，
則有：5x﹣3x＝24，解得x＝12，∴5x＝60.
故選：C．
【舉一反三1】已知四邊形ABCD∽四邊形EFGH，且AB＝3，EF＝4，FG＝5．則四邊形EFGH與四邊形ABCD的相似比為（　　）
A.3：4 B.3：5 C.4：3 D.5：3
【答案】C
【解析】∵四邊形EFGH∽四邊形ABCD，∴相似比.
故選：C．
【舉一反三2】已知一個四邊形的各邊長分別是3cm、4cm、5cm、8cm，另一個與它相似的四邊形的最長邊的長是12cm，那么另一個四邊形的周長是　　cm．
【答案】30
【解析】已知四邊形的周長為：3+4+5+8＝20cm，
根據題意，兩相似多邊形的相似比為，
設另一個四邊形的周長為x，則，解得x＝30cm．
【舉一反三3】如圖，把一個矩形剪去一個邊長和它的寬相等的正方形，若剩下的矩形與原矩形相似．
（1）求原矩形的長和寬的比．
（2）若AB＝4，求矩形ABCD的面積．
【答案】解：（1）設原矩形的長邊是a，短邊是b，那么剪去的正方形的邊長是b，剩下的矩形的長邊是b，短邊是a﹣b，
根據題意得：a：b＝b：（a﹣b），∴a2﹣ab﹣b2＝0，
用公式法解關于a的方程得：a1b，a2b（不符合題意，舍去），
∴原矩形的長和寬的比為.
（2）由（1）得：，
∵AB＝4，∴，∴．
【舉一反三4】如圖，有一種復印紙，整張稱為A1紙，對折一分為二裁開成為A2紙，一分為二成為A3紙，…，它們都是相似的矩形．
（1）求的值．
（2）若A1紙的周長為286厘米，求A2紙的周長．
【答案】解：（1）∵A1紙的長為AD，寬為AB，A2紙的長為AB，寬為，它們都是相似的矩形，
∴A1、A2紙的長與寬對應比成比例，得，
∴.
（2）∵A1紙的周長為286厘米，，
∴A2紙的周長＝286143．
【題型2】相似多邊形的面積之比等于相似比的平方
【典型例題】兩個相似多邊形的面積比是9：25，若較小多邊形的周長為6cm，則較大多邊形的周長為（　　）
A.16cm B.cm C.10cm D.25cm
【答案】C
【解析】∵兩相似多邊形的面積比是9：25，∴兩相似多邊形的相似比為3：5，
∴兩相似多邊形的周長比為3：5，
∵較小多邊形的周長為6cm，∴較大多邊形的周長為10cm．
故選：C．
【舉一反三1】一個長8cm，寬6cm的長方形，按1：2縮小得到的長方形的周長和面積分別是（　　）
A.12cm 14cm2 B.14cm 28cm2 C.28cm 48cm2 D.14cm 12cm2
【答案】D
【解析】∵一個長8cm，寬6cm的長方形，∴此長方形的周長為：2×（8+6）＝28（cm），
長方形的面積為：6×8＝48（cm2），
∴按1：2縮小得到的長方形的周長是：2814（cm）；
按1：2縮小得到的長方形的面積是：4812（cm2）．
故選：D．
【舉一反三2】已知五邊形ABCDE∽五邊形A'B'C'D'E'，且五邊形ABCDE的面積是五邊形A'B'C'D'E'面積的4倍，則AB：A'B'＝　　．
【答案】2：1
【解析】∵五邊形ABCDE∽五邊形A'B'C'D'E'，五邊形ABCDE的面積是五邊形A'B'C'D'E'面積的4倍，
∴AB：A′B′＝2：1．
【舉一反三3】如圖，矩形ABCD被分割為3個面積相等的小矩形，已知矩形AFED與原矩形ABCD相似，則原矩形的較長邊與較短邊的比值是 　　．
【答案】
【解析】設AF＝a，AD＝b，
∵矩形ABCD被分割為3個面積相等的小矩形，∴EC＝2a，NCb，∴CD＝3a，
∵矩形AFED∽矩形ABCD，∴，即，∴ba，
∴原矩形的較長邊與較短邊的比值為：．
【舉一反三4】已知一個矩形的長和寬分別為8cm和4cm，與它相似的矩形的一條邊長12cm，求這個矩形的面積．
【答案】解：設與它相似的矩形的另一條邊長x cm，
①當矩形的長為12cm時，，解得：x＝6，此時這個矩形的面積為：12×6＝72（cm2）；
②當矩形的寬為12cm時，，解得：x＝24，此時這個矩形的面積為：12×24＝288（cm2）．
綜上所述：這個矩形的面積為72cm2或288cm2．
【題型3】相似多邊形定義
【典型例題】下列每個選項中的兩個圖形一定相似的是（　　）
A.兩個等腰三角形 B.兩個正五邊形 C.兩個矩形 D.兩個平行四邊形
【答案】B
【解析】A、兩個等邊三角形相似，但是兩個等腰三角形并不一定相似，三個角度沒有確定，故A不正確；
B、兩個正五邊形角度相等，放大縮小后可以完全重合，兩圖形相似，故B正確；
C、兩個正方形相似，兩個矩形雖然角度相等，但是邊不一定對應成比例，故不一定相似，故C不正確；
D、兩個平行四邊形對應角度不一定相等，對應邊不一定成比例，所以不一定相似，故D不正確．
故選：B．
【舉一反三1】在下面的三個矩形中，相似的是（　　）
A.甲和乙 B.甲和丙 C.乙和丙 D.甲、乙和丙
【答案】B
【解析】由于三個圖形都為矩形，所以只看他們的邊長比例即可，
甲圖形兩邊比例為4：3，乙圖形兩邊比例為2：1，丙圖形兩邊比例為4：3.
故選：B．
【舉一反三2】下列每個選項中的兩個圖形一定相似的是（　　）
A.兩個等腰三角形 B.兩個正五邊形 C.兩個矩形 D.兩個平行四邊形
【答案】B
【解析】A、兩個等邊三角形相似，但是兩個等腰三角形并不一定相似，三個角度沒有確定，故A不正確；
B、兩個正五邊形角度相等，放大縮小后可以完全重合，兩圖形相似，故B正確；
C、兩個正方形相似，兩個矩形雖然角度相等，但是邊不一定對應成比例，故不一定相似，故C不正確；
D、兩個平行四邊形對應角度不一定相等，對應邊不一定成比例，所以不一定相似，故D不正確．
故選：B．
【舉一反三3】在如圖所示的三個矩形中，相似的是（　　）
A.甲和乙 B.甲和丙 C.乙和丙 D.甲、乙和丙
【答案】A
【解析】∵都是矩形，∴所有對應角相等；
∵甲與乙：，故相似；甲與丙：，故不相似；∴乙與丙也不相似．
故選：A．
【題型4】相似多邊形實際應用
【典型例題】如圖為羽毛球單打場地按比例縮小的示意圖（由圖中粗實線表示），它的寬度為5.18米，那么它的長大約在（　　）
A.12米至13米之間 B.13米至14米之間 C.14米至15米之間 D.15米至16米之間
【答案】B
【解析】測量得，示意圖長約為61cm，寬約為24cm，于是設羽毛球單打場地的長為l，則．
解得l≈13.17．
故選：B．
【舉一反三1】書畫經裝裱后更便于收藏．如圖，畫心ABCD為長90cm、寬30cm的矩形，裝裱后整幅畫為矩形A′B′C′D′，兩矩形的對應邊互相平行，且AB與A′B'的距離、CD與C′D′的距離都等于4cm．當AD與A′D′的距離、BC與B'C′距離都等于a cm，且矩形ABCD∽矩形A′B′C′D'時，整幅書畫最美觀此時，a的值為（　　）
A.4 B.6 C.12 D.24
【答案】C
【解析】由題意AD＝30cm，AB＝90cm，A′B′＝（90+2a），A′D′＝30+8＝38cm，
∵矩形ABCD∽矩形A′B′C′D'，∴，∴，解得a＝12.
故選：C．
【舉一反三2】如圖，一個矩形廣場的長為90m，寬為60m，廣場內有兩橫，兩縱四條小路，且小路內外邊緣所圍成的兩個矩形相似，如果兩條橫向小路的寬均為1.2m，那么每條縱向小路的寬為　　m．
【答案】1.8
【解析】設每條縱向小路的寬為x m．
∵小路內外邊緣所圍成的兩個矩形相似，∴，解得x＝1.8，
或，解得x＝25.8（不符合實際意義）.
【舉一反三3】為了鋪設一矩形場地，特意選擇某地磚進行密鋪，使每一部分都鋪成如圖所示的形狀，且由8塊地磚組成，問：
（1）每塊地磚的長與寬分別為多少？
（2）這樣的地磚與所鋪成的每一部分矩形地面是否相似？試說明理由．
【答案】解：（1）設每塊地磚的長與寬分別為x cm，y cm．
由題意：，解得．
答：每塊地磚的長與寬分別為45cm，15cm．
（2）矩形地面的長為90，寬為60，∴，
∴地磚與所鋪成的每一部分矩形地面不相似．
【舉一反三4】如圖，矩形草坪的長是30m，寬是10m，現要修建一條平行于草坪邊緣的矩形小路，使得小路的形狀與原來草坪的形狀相似，求小路的寬．
【答案】解：設小路的寬為x m，
則根據相似三角形的性質得：，解得：x，
即小路的寬為m．

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