資源簡介

4.5相似三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用
【知識點1】相似三角形的應(yīng)用 1
【知識點2】作圖-相似變換 1
【題型1】三角形的重心 2
【題型2】相似三角形的周長之比等于相似比 3
【題型3】相似三角形對應(yīng)角的角平分線、中線之比等于相似比 3
【題型4】相似三角形的對應(yīng)高線長之比等于相似比 4
【題型5】相似三角形中的動點問題 5
【題型6】相似三角形判定與性質(zhì)的綜合 7
【題型7】相似三角形的面積之比等于相似比的平方 8
【題型8】相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用 9
【知識點1】相似三角形的應(yīng)用
（1）利用影長測量物體的高度．①測量原理：測量不能到達頂部的物體的高度，通常利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對應(yīng)邊的比相等和“在同一時刻物高與影長的比相等”的原理解決．②測量方法：在同一時刻測量出參照物和被測量物體的影長來，再計算出被測量物的長度．
（2）利用相似測量河的寬度（測量距離）．①測量原理：測量不能直接到達的兩點間的距離，常常構(gòu)造“A”型或“X”型相似圖，三點應(yīng)在一條直線上．必須保證在一條直線上，為了使問題簡便，盡量構(gòu)造直角三角形．②測量方法：通過測量便于測量的線段，利用三角形相似，對應(yīng)邊成比例可求出河的寬度．
（3）借助標桿或直尺測量物體的高度．利用桿或直尺測量物體的高度就是利用桿或直尺的高（長）作為三角形的邊，利用視點和盲區(qū)的知識構(gòu)建相似三角形，用相似三角形對應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求物體的高度．
【知識點2】作圖-相似變換
（1）兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到．
（2）相似圖形的作圖在沒有明確規(guī)定的情況下，我們可以利用相似的基本圖形“A”型和“X”型進行簡單的相似變換作圖．如圖所示：
（3）如果題目有條件限制，可根據(jù)相似三角形的判定條件作為作圖的依據(jù)．比較簡單的是把原三角形的三邊對應(yīng)的縮小或放大一定的比例即可得到對應(yīng)的相似圖形．
【題型1】三角形的重心
【典型例題】三角形的重心是（　　）
A.三角形三邊上高線的交點
B.三角形三邊上垂直平分線的交點
C.三角形三邊上角平分線的交點
D.三角形三邊上中線的交點
【舉一反三1】用鉛筆可以支起一張均勻的三角形卡片，而支起三角形卡片的點就是三角形的重心，那么重心是三角形（　　）
A.三條中線的交點 B.三條角平分線的交點 C.三條高線的交點 D.三邊垂直平分線的交點
【舉一反三2】三角形的重心是（　　）
A.三角形三邊上高線的交點
B.三角形三邊上垂直平分線的交點
C.三角形三邊上角平分線的交點
D.三角形三邊上中線的交點
【舉一反三3】一塊均勻的不等邊三角形的鐵板，它的重心在（　　）
A.三角形的三條角平分線的交點
B.三角形的三條高線的交點
C.三角形的三條中線的交點
D.三角形的三條邊的垂直平分線的交點
【題型2】相似三角形的周長之比等于相似比
【典型例題】△ABC與△DEF的相似比為1∶4，則△ABC與△DEF的周長比為(　　)
A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D. 1∶16
【舉一反三1】如果一個直角三角形的兩條邊分別是6和8，另一個與它相似的直角三角形邊長分別是3，4及x，那么x的值(　　)
A. 只有一個 B. 可以有2個 C. 可以有3個 D. 無數(shù)個
【舉一反三2】兩個相似三角形的對應(yīng)邊分別是15 cm和23 cm，它們的周長相差40 cm，則這兩個三角形的周長分別是(　　)
A. 75 cm，115 cm B. 60 cm，100 cm C. 85 cm，125 cm D. 45 cm，85 cm
【舉一反三3】已知△ABC的三邊之比為2∶3∶4，若△DEF與△ABC相似，且△DEF的最大邊長為20，則△DEF的周長為__________．
【舉一反三4】△ABC∽△A′B′C′，，AB邊上的中線CD＝4cm，△ABC的周長為20cm，△A′B′C′的面積是64cm2，求：△A′B′C′的周長.
【題型3】相似三角形對應(yīng)角的角平分線、中線之比等于相似比
【典型例題】如果兩個相似三角形對應(yīng)邊的比是3∶4，那么它們的一組對應(yīng)邊上的中線之比是(　　)
A. 9∶16 B. 3∶7 C. 3∶4 D. 4∶3
【舉一反三1】如果兩個相似三角形相似比是1∶4，那么它們的對應(yīng)角平分線之比是(　　)
A. 1∶4 B. 1∶8 C. 1∶16 D. 1∶2
【舉一反三2】已知△ABC∽△DEF，若△ABC與△DEF的相似比為，則△ABC與△DEF對應(yīng)中線的比為（　　）
A. B. C. D.
【舉一反三3】已知△ABC∽△DEF，若△ABC與△DEF的相似比為2∶3，則△ABC與△DEF對應(yīng)邊上中線的比為__________．
【舉一反三4】如果兩個相似三角形的周長的比為1∶4，那么周長較小的三角形與周長較大的三角形對應(yīng)角平分線的比為____________．
【舉一反三5】如圖所示，Rt△ABC∽Rt△DFE，CM、EN分別是斜邊AB、DF上的中線，已知AC＝9 cm，CB＝12 cm，DE＝3 cm．
（1）求CM和EN的長；
（2）你發(fā)現(xiàn)的值與相似比有什么關(guān)系？得到什么結(jié)論？
【題型4】相似三角形的對應(yīng)高線長之比等于相似比
【典型例題】已知△ABC∽△DEF，且周長之比為1∶9，則△ABC與△DEF的高的比為(　　)
A. 1∶3 B. 1∶9 C. 1∶18 D. 1∶81
【舉一反三1】已知△ABC∽△DEF，且相似比為2∶3，則△ABC與△DEF的對應(yīng)高之比為(　　)
A. 2∶3 B. 3∶2 C. 4∶9 D. 9∶4
【舉一反三2】若△ABC～△DEF，相似比為3∶2，則對應(yīng)高的比為(　　)
A. 3∶2 B. 3∶5 C. 9∶4 D. 4∶9
【舉一反三3】已知兩個三角形相似，它們的一組對應(yīng)邊分別是3和4，那么它們對應(yīng)高的比等于__________．
【舉一反三4】已知△ABC∽△DEF，△ABC與△DEF的相似比為4∶1，則△ABC與△DEF對應(yīng)邊上的高之比為__________．
【舉一反三5】如圖，△ABC∽△A′BC′，AD、A′D′分別是這兩個三角形的高，EF、E′F′分別是這兩個三角形的中位線，與相等嗎？為什么？
【舉一反三6】等腰Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，相似比為3∶1，已知斜邊AB＝12 cm.
（1）求△A′B′C′斜邊A′B′的長；
（2）求△A′B′C′斜邊A′B′上的高．
【題型5】相似三角形中的動點問題
【典型例題】如圖，在矩形ABCD中，點E為AD上一點，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，點P為AB邊上一動點，連接PC、PE，若△PAE與△PBC是相似三角形，則滿足條件的點P的個數(shù)為（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
【舉一反三1】如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D為線段BC上一動點（不與點B，C重合），連接AD，作∠ADE＝∠B＝40°，DE交線段AC于點E．
下面是某學習小組根據(jù)題意得到的結(jié)論：
甲同學：△ABD∽△DCE；
乙同學：若AD＝DE，則BD＝CE；
丙同學：當DE⊥AC時，D為BC的中點．
則下列說法正確的是（　　）
A.只有甲同學正確 B.乙和丙同學都正確 C.甲和丙同學正確 D.三個同學都正確
【舉一反三2】如圖，在10×6的方格紙中，每個小方格都是邊長為1的正方形，我們稱每個小正方形的頂點為格點，以格點為頂點的圖形稱為格點圖形．點E是格點四邊形ABCD的AB邊上一動點，連接ED，EC，若格點△DAE與△EBC相似，則DE+EC的長為（　　）
A. B. C.3或5 D.或
【舉一反三3】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分別是邊BC、AC上的兩個動點，且DE＝4，P是DE的中點，連接PA，PB，則PAPB的最小值為 　　．
【舉一反三4】如圖，AB⊥DB于點B，CD⊥DB于點D，AB＝6，CD＝4，BD＝14，點P在DB上移動．若以點C，D，P為頂點的三角形與點A，B，P為頂點的三角形相似，則DP＝　　．
【舉一反三5】如圖，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，點P從點A出發(fā)沿AB邊向點B以2cm/s的速度移動，點Q從點B出發(fā)沿BC邊向點C以4cm/s的速度移動，如果P、Q同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒后△PBQ和△ABC相似？
【舉一反三6】如圖，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，動點M從點A出發(fā)，以1cm∕秒的速度向點B運動，動點N從點C出發(fā)，以2cm∕秒的速度向點A運動，若兩點同時運動，是否存在某一時刻t，使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似，若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
【題型6】相似三角形判定與性質(zhì)的綜合
【典型例題】如圖，在正三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別是BC，AC，AB上的點，DE⊥AC，EF⊥AB，F(xiàn)D⊥BC，則△DEF的面積與△ABC的面積之比等于（　　）
A. 1：3 B. 2：3 C. ：2 D. ：3
【舉一反三1】如圖，矩形ABCD中，AB＝，BC＝，點E在對角線BD上，且BE＝1.8，連接AE并延長交DC于F，則等于（　　）
A. B. C. D.
【舉一反三2】如圖，在正方形ABCD中，△BPC是等邊三角形，BP、CP的延長線分別交AD于點E、F，連接BD、DP，BD與CF相交于點H，給出下列結(jié)論：
①BE＝2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2＝PH PC.
其中正確的是（　　）
A. ①②③④ B. ②③ C. ①②④ D. ①③④
【舉一反三3】如圖，正方形ABCD中，BC＝2，點M是邊AB的中點，連接DM，DM與AC交于點P，點E在DC上，點F在DP上，且∠DFE＝45°．若PF＝ ，則CE＝　　．
【舉一反三4】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，D是BC邊的中點．
（1）尺規(guī)作圖：在AB上找一點E，使得△BDE∽△BAC（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）求DE的長．
【舉一反三5】如圖，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝90°，AB＝7，AD＝9，BC＝12，在線段BC上任取一點E，連接DE，作EF⊥DE，交直線AB于點F．
（1）若點F與B重合，求CE的長；
（2）若點F在線段AB上，且AF＝CE，求CE的長．
【題型7】相似三角形的面積之比等于相似比的平方
【典型例題】已知△ABC∽△DEF，AB＝4，DE＝8，若△ABC面積是6，則△DEF面積是(　　)
A. 12 B. 16 C. 24 D. 32
【舉一反三1】若兩個相似三角形的面積之比為2∶3，則它們對應(yīng)角的平分線之比為(　　)
A. 2：3 B. 3：2 C. 6：3 D. 6：2
【舉一反三2】已知△ABC∽△DEF，且△ABC的面積與△DEF的面積之比為4∶9，則AB∶DE等于(　　)
A. 4∶9 B. 2∶3 C. 16∶81 D. 9∶4
【舉一反三3】已知△ABC∽△DEF，且S△ABC＝4，S△DEF＝25，則＝________.
【舉一反三4】已知△ABC的三邊長之比是3∶4∶5，與其相似的△DEF的周長為18，則△DEF的面積為____________．
【舉一反三5】已知：△ABC∽△A′B′C′，它們的周長之差為20，面積比為4：1，求△ABC和△A′B′C′的周長．
【題型8】相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用
【典型例題】如圖，平行于地面的圓桌正上方有一個燈泡（看作一個點），它發(fā)出的光線照射桌面后，在地面上形成圓形陰影，經(jīng)測量得地面上陰影部分的邊緣超出桌面0.5米，桌面的直徑為2米，桌面距離地面的高度為1.5米，則燈泡距離桌面（　　）
A.1米 B.2.25米 C.2米 D.3米
【舉一反三1】如圖，這是一把折疊椅子及其側(cè)面的示意圖，線段AE和BD相交于點C，點F在AE的延長線上，測得AC＝30cm，BC＝40cm，CD＝24cm，EC＝18cm，若∠BAC＝60°，則∠DEF的度數(shù)為（　　）
A.120° B.125° C.130° D.135°
【舉一反三2】如圖是凸透鏡成像示意圖，CD是蠟燭AB通過凸透鏡MN所成的虛像．已知蠟燭的高AB為5.4cm，蠟燭AB離凸透鏡MN的水平距離OB為6cm，該凸透鏡的焦距OF為10cm，AE∥OF，則像CD的高為（　　）
A.15cm B.14.4cm C.13.5cm D.9cm
【舉一反三3】在生活中我們常用杠桿原理撬動較重的物體，如圖，有一圓形石塊，要使其滾動，杠桿的端點C必須向上翹起5cm，若杠桿AC的長度為120cm，其中BC段的長度為20cm，則要使該石塊滾動，杠桿的另一端點A必須向下壓 　　cm．
【舉一反三4】如圖1是裝了液體的長方體容器的主視圖（數(shù)據(jù)如圖），將該容器繞地面一棱進行旋轉(zhuǎn)傾斜后，水面恰好接觸到容器口邊緣，如圖2所示，此時液面寬度AB＝　　．
【舉一反三5】小聰和他的同學利用影長測量旗桿高度（如圖），當1m長的直立竹竿的影長為1.5m時，測量旗桿落在地上的影長為21m，落在墻上的影長為2m，求旗桿的高度．4.5相似三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用
【知識點1】相似三角形的應(yīng)用 1
【知識點2】作圖-相似變換 1
【題型1】三角形的重心 2
【題型2】相似三角形的周長之比等于相似比 3
【題型3】相似三角形對應(yīng)角的角平分線、中線之比等于相似比 4
【題型4】相似三角形的對應(yīng)高線長之比等于相似比 6
【題型5】相似三角形中的動點問題 7
【題型6】相似三角形判定與性質(zhì)的綜合 12
【題型7】相似三角形的面積之比等于相似比的平方 16
【題型8】相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用 17
【知識點1】相似三角形的應(yīng)用
（1）利用影長測量物體的高度．①測量原理：測量不能到達頂部的物體的高度，通常利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對應(yīng)邊的比相等和“在同一時刻物高與影長的比相等”的原理解決．②測量方法：在同一時刻測量出參照物和被測量物體的影長來，再計算出被測量物的長度．
（2）利用相似測量河的寬度（測量距離）．①測量原理：測量不能直接到達的兩點間的距離，常常構(gòu)造“A”型或“X”型相似圖，三點應(yīng)在一條直線上．必須保證在一條直線上，為了使問題簡便，盡量構(gòu)造直角三角形．②測量方法：通過測量便于測量的線段，利用三角形相似，對應(yīng)邊成比例可求出河的寬度．
（3）借助標桿或直尺測量物體的高度．利用桿或直尺測量物體的高度就是利用桿或直尺的高（長）作為三角形的邊，利用視點和盲區(qū)的知識構(gòu)建相似三角形，用相似三角形對應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求物體的高度．
【知識點2】作圖-相似變換
（1）兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到．
（2）相似圖形的作圖在沒有明確規(guī)定的情況下，我們可以利用相似的基本圖形“A”型和“X”型進行簡單的相似變換作圖．如圖所示：
（3）如果題目有條件限制，可根據(jù)相似三角形的判定條件作為作圖的依據(jù)．比較簡單的是把原三角形的三邊對應(yīng)的縮小或放大一定的比例即可得到對應(yīng)的相似圖形．
【題型1】三角形的重心
【典型例題】三角形的重心是（　　）
A.三角形三邊上高線的交點
B.三角形三邊上垂直平分線的交點
C.三角形三邊上角平分線的交點
D.三角形三邊上中線的交點
【答案】D
【解析】三角形的重心是三角形三邊中線的交點．
故選：D．
【舉一反三1】用鉛筆可以支起一張均勻的三角形卡片，而支起三角形卡片的點就是三角形的重心，那么重心是三角形（　　）
A.三條中線的交點 B.三條角平分線的交點 C.三條高線的交點 D.三邊垂直平分線的交點
【答案】A
【解析】重心是三角形三條中線的交點．
故選：A．
【舉一反三2】三角形的重心是（　　）
A.三角形三邊上高線的交點
B.三角形三邊上垂直平分線的交點
C.三角形三邊上角平分線的交點
D.三角形三邊上中線的交點
【答案】D
【解析】三角形的重心是三角形三邊中線的交點．
故選：D．
【舉一反三3】一塊均勻的不等邊三角形的鐵板，它的重心在（　　）
A.三角形的三條角平分線的交點
B.三角形的三條高線的交點
C.三角形的三條中線的交點
D.三角形的三條邊的垂直平分線的交點
【答案】C
【解析】一塊均勻的不等邊三角形的鐵板，它的重心在三角形的三條中線的交點處．
故選：C．
【題型2】相似三角形的周長之比等于相似比
【典型例題】△ABC與△DEF的相似比為1∶4，則△ABC與△DEF的周長比為(　　)
A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D. 1∶16
【答案】C
【解析】∵△ABC與△DEF的相似比為1∶4，∴△ABC與△DEF的周長比為1∶4.
故選：C.
【舉一反三1】如果一個直角三角形的兩條邊分別是6和8，另一個與它相似的直角三角形邊長分別是3，4及x，那么x的值(　　)
A. 只有一個 B. 可以有2個 C. 可以有3個 D. 無數(shù)個
【答案】B
【解析】∵一個直角三角形的兩條邊長分別是6和8，另一個與它相似的直角三角形的邊長分別是3和4及x，
∴x可能是斜邊或4是斜邊，∴x＝5或7，∴x的值可以有2個．
故選：B.
【舉一反三2】兩個相似三角形的對應(yīng)邊分別是15 cm和23 cm，它們的周長相差40 cm，則這兩個三角形的周長分別是(　　)
A. 75 cm，115 cm B. 60 cm，100 cm C. 85 cm，125 cm D. 45 cm，85 cm
【答案】A
【解析】根據(jù)題意，兩個三角形的相似比是15∶23，周長比就是15∶23，大小周長相差8份，
所以每份的周長是40÷8＝5cm，所以兩個三角形的周長分別為5×15＝75cm，5×23＝115cm.
故選：A.
【舉一反三3】已知△ABC的三邊之比為2∶3∶4，若△DEF與△ABC相似，且△DEF的最大邊長為20，則△DEF的周長為__________．
【答案】45
【解析】∵△DEF∽△ABC，△ABC的三邊之比為2∶3∶4，∴△DEF的三邊之比為2∶3∶4，
又∵△DEF的最大邊長為20，∴△DEF的另外兩邊分別為10，15，∴△DEF的周長為10＋15＋20＝45.
【舉一反三4】△ABC∽△A′B′C′，，AB邊上的中線CD＝4cm，△ABC的周長為20cm，△A′B′C′的面積是64cm2，求：△A′B′C′的周長.
【答案】解：∵△ABC∽△A′B′C′，=，△ABC的周長為20cm，
∴＝，∴C△A′B′C′＝20×2＝40(cm)，∴△A′B′C′的周長為40cm.
【題型3】相似三角形對應(yīng)角的角平分線、中線之比等于相似比
【典型例題】如果兩個相似三角形對應(yīng)邊的比是3∶4，那么它們的一組對應(yīng)邊上的中線之比是(　　)
A. 9∶16 B. 3∶7 C. 3∶4 D. 4∶3
【答案】C
【解析】∵兩個相似三角形對應(yīng)邊的比為3∶4，∴它們的對應(yīng)中線的比是3∶4.
故選：C.
【舉一反三1】如果兩個相似三角形相似比是1∶4，那么它們的對應(yīng)角平分線之比是(　　)
A. 1∶4 B. 1∶8 C. 1∶16 D. 1∶2
【答案】A
【解析】∵兩個相似三角形的相似比是1∶4，∴它們對應(yīng)的角平分線之比是1∶4.
故選：A.
【舉一反三2】已知△ABC∽△DEF，若△ABC與△DEF的相似比為，則△ABC與△DEF對應(yīng)中線的比為（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC與△DEF的相似比為，∴△ABC與△DEF對應(yīng)中線的比為.
故選：A．
【舉一反三3】已知△ABC∽△DEF，若△ABC與△DEF的相似比為2∶3，則△ABC與△DEF對應(yīng)邊上中線的比為__________．
【答案】2∶3
【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC與△DEF的相似比為2∶3，∴△ABC與△DEF對應(yīng)邊上中線的比是2∶3.
【舉一反三4】如果兩個相似三角形的周長的比為1∶4，那么周長較小的三角形與周長較大的三角形對應(yīng)角平分線的比為____________．
【答案】1∶4
【解析】∵兩個相似三角形的周長的比為1∶4，∴兩個相似三角形的相似比為1∶4，∴周長較小的三角形與周長較大的三角形對應(yīng)角平分線的比為1∶4.
【舉一反三5】如圖所示，Rt△ABC∽Rt△DFE，CM、EN分別是斜邊AB、DF上的中線，已知AC＝9 cm，CB＝12 cm，DE＝3 cm．
（1）求CM和EN的長；
（2）你發(fā)現(xiàn)的值與相似比有什么關(guān)系？得到什么結(jié)論？
【答案】解：（1）在Rt△ABC中，AB＝，
∵CM是斜邊AB的中線，∴CM＝，
∵Rt△ABC∽Rt△DFE，∴，即，∴DF＝5，
∵EN為斜邊DF上的中線，∴EN＝.
（2）∵，相似比為，
∴相似三角形對應(yīng)中線的比等于相似比．
【題型4】相似三角形的對應(yīng)高線長之比等于相似比
【典型例題】已知△ABC∽△DEF，且周長之比為1∶9，則△ABC與△DEF的高的比為(　　)
A. 1∶3 B. 1∶9 C. 1∶18 D. 1∶81
【答案】B
【解析】∵△ABC與△DEF的周長之比為1∶9，∴兩三角形的相似比為1∶9，
∴△ABC與△DEF對應(yīng)的高的比1∶9.
故選：B.
【舉一反三1】已知△ABC∽△DEF，且相似比為2∶3，則△ABC與△DEF的對應(yīng)高之比為(　　)
A. 2∶3 B. 3∶2 C. 4∶9 D. 9∶4
【答案】A
【解析】∵△ABC∽△DEF，且相似比為2∶3，∴△ABC與△DEF的對應(yīng)高之比為2∶3.
故選：A.
【舉一反三2】若△ABC～△DEF，相似比為3∶2，則對應(yīng)高的比為(　　)
A. 3∶2 B. 3∶5 C. 9∶4 D. 4∶9
【答案】A
【解析】∵△ABC～△DEF，相似比為3∶2，∴對應(yīng)高的比為3∶2.
故選：A.
【舉一反三3】已知兩個三角形相似，它們的一組對應(yīng)邊分別是3和4，那么它們對應(yīng)高的比等于__________．
【答案】3∶4
【解析】∵兩個三角形相似，它們的一組對應(yīng)邊分別是3和4，∴它們相似比為3∶4，∴它們對應(yīng)高的比等于3∶4.
【舉一反三4】已知△ABC∽△DEF，△ABC與△DEF的相似比為4∶1，則△ABC與△DEF對應(yīng)邊上的高之比為__________．
【答案】4∶1
【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC與△DEF的相似比為4∶1，∴△ABC與△DEF對應(yīng)邊上的高之比是4∶1.
【舉一反三5】如圖，△ABC∽△A′BC′，AD、A′D′分別是這兩個三角形的高，EF、E′F′分別是這兩個三角形的中位線，與相等嗎？為什么？
【答案】解：與相等．理由如下：
∵△ABC∽△A′B′C′，∴=，
∵EF、E′F′分別是這兩個三角形的中位線，∴＝'＝，∴＝，∴＝，
∵AD、A′D′分別是這兩個三角形的高，∴＝，∴＝.
【舉一反三6】等腰Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，相似比為3∶1，已知斜邊AB＝12 cm.
（1）求△A′B′C′斜邊A′B′的長；
（2）求△A′B′C′斜邊A′B′上的高．
【答案】解：（1）∵等腰Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，相似比為3∶1，∴AB∶A′B′＝3∶1，
∵Rt△ABC的斜邊AB＝12 cm，∴△A′B′C′斜邊A′B′＝4cm.
（2）∵△A′B′C′是等腰直角三角形，∴△A′B′C′斜邊A′B′上的高＝△A′B′C′斜邊A′B′上的中線，
∴△A′B′C′斜邊A′B′上的高＝2cm.
【題型5】相似三角形中的動點問題
【典型例題】如圖，在矩形ABCD中，點E為AD上一點，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，點P為AB邊上一動點，連接PC、PE，若△PAE與△PBC是相似三角形，則滿足條件的點P的個數(shù)為（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】設(shè)AP＝x，則BP＝8﹣x，
當△PAE∽△PBC時，，即，解得，x，
當△PAE∽△CBP時，，即，解得，x＝2或6，
可得：滿足條件的點P的個數(shù)有3個．
故選：C．
【舉一反三1】如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D為線段BC上一動點（不與點B，C重合），連接AD，作∠ADE＝∠B＝40°，DE交線段AC于點E．
下面是某學習小組根據(jù)題意得到的結(jié)論：
甲同學：△ABD∽△DCE；
乙同學：若AD＝DE，則BD＝CE；
丙同學：當DE⊥AC時，D為BC的中點．
則下列說法正確的是（　　）
A.只有甲同學正確 B.乙和丙同學都正確 C.甲和丙同學正確 D.三個同學都正確
【答案】D
【解析】在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝40°，
∵∠B+∠BAD＝∠CDE+∠ADE，∠ADE＝∠B＝40°，∴∠BAD＝∠CDE，∴△ABD∽△DCE，甲同學正確；
∵∠C＝∠B，∠BAD＝∠CDE，AD＝DE，∴△ABD≌△DCE，∴BD＝CE，乙同學正確；
當DE⊥AC時，∴∠DEC＝90°，∴∠EDC＝90°﹣∠C＝50°，∴∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，∴BD＝CD，D為BC的中點，丙同學正確；
綜上所述：三個同學都正確．
故選：D．
【舉一反三2】如圖，在10×6的方格紙中，每個小方格都是邊長為1的正方形，我們稱每個小正方形的頂點為格點，以格點為頂點的圖形稱為格點圖形．點E是格點四邊形ABCD的AB邊上一動點，連接ED，EC，若格點△DAE與△EBC相似，則DE+EC的長為（　　）
A. B. C.3或5 D.或
【答案】C
【解析】設(shè)AE＝x，則EB＝8﹣x，
根據(jù)勾股定理可得，DE，
EC．
若格點△DAE與△EBC相似，分兩種情況：
①如果△DAE∽△EBC，那么，即，解得x1＝2，x2＝6．
當x＝2時，DE，EC2，∴DE+EC23；
當x＝6時，DE3，EC2，∴DE+EC＝325；
②如果△DAE∽△CBE，那么，即，解得x．
當x時，DE，EC，
∴DE+EC（不合題意舍去）．
綜上所述，DE+EC的長為3或5．
故選：C．
【舉一反三3】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分別是邊BC、AC上的兩個動點，且DE＝4，P是DE的中點，連接PA，PB，則PAPB的最小值為 　　．
【答案】
【解析】如圖，在CB上取一點F，使得CF，連接PF，AF．
∵∠DCE＝90°，DE＝4，DP＝PE，∴PCDE＝2，
∵，，∴，
∵∠PCF＝∠BCP，∴△PCF∽△BCP，∴，∴PFPB，∴PAPB＝PA+PF，
∵PA+PF≥AF，AF，∴PAPB，
∴PAPB的最小值為.
【舉一反三4】如圖，AB⊥DB于點B，CD⊥DB于點D，AB＝6，CD＝4，BD＝14，點P在DB上移動．若以點C，D，P為頂點的三角形與點A，B，P為頂點的三角形相似，則DP＝　　．
【答案】2或12或5.6
【解析】∵①若△PCD∽△APB，則，即，解得DP＝2或12；
②若△PCD∽△PAB，則，即，解得DP＝5.6．
∴DP＝2或12或5.6．
【舉一反三5】如圖，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，點P從點A出發(fā)沿AB邊向點B以2cm/s的速度移動，點Q從點B出發(fā)沿BC邊向點C以4cm/s的速度移動，如果P、Q同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒后△PBQ和△ABC相似？
【答案】解：設(shè)經(jīng)過x秒后△PBQ和△ABC相似．則AP＝2x cm，BQ＝4x cm，
∵AB＝8cm，BC＝16cm，∴BP＝（8﹣2x）cm，
①BP與BC邊是對應(yīng)邊，則，即，解得x＝0.8，
②BP與AB邊是對應(yīng)邊，則，即，解得x＝2．
綜上所述，經(jīng)過0.8秒或2秒后△PBQ和△ABC相似．
【舉一反三6】如圖，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，動點M從點A出發(fā)，以1cm∕秒的速度向點B運動，動點N從點C出發(fā)，以2cm∕秒的速度向點A運動，若兩點同時運動，是否存在某一時刻t，使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似，若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
【答案】解：存在t＝3秒或4.8秒，使以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似（無此過程不扣分），
設(shè)經(jīng)過t秒時，△AMN與△ABC相似，此時，AM＝t，CN＝2t，AN＝12﹣2t（0≤t≤6），
（1）當MN∥BC時，△AMN∽△ABC，則，即，解得t＝3；
（2）當∠AMN＝∠C時，△ANM∽△ABC，則，即，解得t＝4.8；
故所求t的值為3秒或4.8秒．
【題型6】相似三角形判定與性質(zhì)的綜合
【典型例題】如圖，在正三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別是BC，AC，AB上的點，DE⊥AC，EF⊥AB，F(xiàn)D⊥BC，則△DEF的面積與△ABC的面積之比等于（　　）
A. 1：3 B. 2：3 C. ：2 D. ：3
【答案】A
【解析】∵△ABC是正三角形，∴∠B＝∠C＝∠A＝60°，
∵DE⊥AC，EF⊥AB，F(xiàn)D⊥BC，∴∠AFE＝∠CED＝∠BDF＝90°，
∴∠BFD＝∠CDE＝∠AEF＝30°，∴∠DFE＝∠FED＝∠EDF＝60°，＝，
∴△DEF是正三角形，∴BD：DF＝1：①，BD：AB＝1：3②，△DEF∽△ABC，
①÷②，＝，∴DF：AB＝1：，∴△DEF的面積與△ABC的面積之比等于1：3．
故選：A．
【舉一反三1】如圖，矩形ABCD中，AB＝，BC＝，點E在對角線BD上，且BE＝1.8，連接AE并延長交DC于F，則等于（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，
又AB＝，BC＝，∴BD＝＝3，
∵BE＝1.8，∴DE＝3﹣1.8＝1.2，
∵AB∥CD，∴＝，即＝，解得DF＝，
則CF＝CD﹣DF＝，∴＝＝.
故選：A．
【舉一反三2】如圖，在正方形ABCD中，△BPC是等邊三角形，BP、CP的延長線分別交AD于點E、F，連接BD、DP，BD與CF相交于點H，給出下列結(jié)論：
①BE＝2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2＝PH PC.
其中正確的是（　　）
A. ①②③④ B. ②③ C. ①②④ D. ①③④
【答案】C
【解析】∵△BPC是等邊三角形，∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
在正方形ABCD中，∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠ABE＝∠DCF＝30°，
∴BE＝2AE，故①正確；
∵PC＝CD，∠PCD＝30°，∴∠PDC＝75°，∴∠FDP＝15°，
∵∠DBA＝45°，∴∠PBD＝15°，∴∠FDP＝∠PBD，
∵∠DFP＝∠BPC＝60°，∴△DFP∽△BPH，故②正確；
∵∠FDP＝∠PBD＝15°，∠ADB＝45°，∴∠PDB＝30°，而∠DFP＝60°，∴∠PFD≠∠PDB，
∴△PFD與△PDB不相似，故③錯誤；
∵∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠DPC，∴△DPH∽△CPD，∴，∴DP2＝PH PC，故④正確.
故選：C．
【舉一反三3】如圖，正方形ABCD中，BC＝2，點M是邊AB的中點，連接DM，DM與AC交于點P，點E在DC上，點F在DP上，且∠DFE＝45°．若PF＝ ，則CE＝　　．
【答案】
【解析】如圖，連接EF．
∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，∠DAB＝90°，∠DCP＝45°，
∴AM＝BM＝1，
在Rt△ADM中，DM＝＝＝，
∵AM∥CD，∴＝，∴DP＝，
∵PF＝，∴DF＝DP﹣PF＝，
∵∠EDF＝∠PDC，∠DFE＝∠DCP，∴△DEF∽△DPC，∴，∴＝，∴DE＝，
∴CE＝CD﹣DE＝2﹣＝．
【舉一反三4】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，D是BC邊的中點．
（1）尺規(guī)作圖：在AB上找一點E，使得△BDE∽△BAC（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）求DE的長．
【答案】解：（1）如圖所示，過D作DE⊥AB于E，
則點E即為所求，且△BDE∽△BAC.
（2）∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝＝13，
∵D是BC邊的中點，∴BD＝BC＝6，
∵△BDE∽△BAC，∴＝，∴＝，∴DE＝．
【舉一反三5】如圖，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝90°，AB＝7，AD＝9，BC＝12，在線段BC上任取一點E，連接DE，作EF⊥DE，交直線AB于點F．
（1）若點F與B重合，求CE的長；
（2）若點F在線段AB上，且AF＝CE，求CE的長．
【答案】解：（1）當F和B重合時，∵EF⊥DE，DE⊥BC，∠B＝90°，∴AB⊥BC，∴AB∥DE，
∵AD∥BC，∴四邊形ABED是平行四邊形，∴AD＝EF＝9，∴CE＝BC﹣EF＝12﹣9＝3.
（2）過D作DM⊥BC于M，
∵∠B＝90°，∴AB⊥BC，∴DM∥AB，
∵AD∥BC，∴四邊形ABMD是矩形，∴AD＝BM＝9，AB＝DM＝7，CM＝12﹣9＝3，
設(shè)AF＝CE＝a，則BF＝7﹣a，EM＝a﹣3，BE＝12﹣a，
∵∠FEC＝∠B＝∠DMB＝90°，∴∠FEB+∠DEM＝90°，∠BFE+∠FEB＝90°，
∴∠BFE＝∠DEM，
∵∠B＝∠DME，∴△FBE∽△EMD，∴，∴，解得a＝5或a＝17，
∵點F在線段AB上，AB＝7，∴AF＝CE＝17（舍去），即CE＝5．
【題型7】相似三角形的面積之比等于相似比的平方
【典型例題】已知△ABC∽△DEF，AB＝4，DE＝8，若△ABC面積是6，則△DEF面積是(　　)
A. 12 B. 16 C. 24 D. 32
【答案】C
【解析】∵△ABC∽△DEF，AB＝4，DE＝8，∴＝＝.
∵△ABC面積是6，∴＝＝，解得S△DEF＝24.
故選：C.
【舉一反三1】若兩個相似三角形的面積之比為2∶3，則它們對應(yīng)角的平分線之比為(　　)
A. 2：3 B. 3：2 C. 6：3 D. 6：2
【答案】A
【解析】∵兩個相似三角形的相似比為2∶3，∴它們的對應(yīng)角平分線之比為2∶3.
故選：A.
【舉一反三2】已知△ABC∽△DEF，且△ABC的面積與△DEF的面積之比為4∶9，則AB∶DE等于(　　)
A. 4∶9 B. 2∶3 C. 16∶81 D. 9∶4
【答案】B
【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC的面積與△DEF的面積之比為4∶9，∴△ABC與△DEF的相似比為2∶3，
∴AB∶DE＝2∶3.
故選：B.
【舉一反三3】已知△ABC∽△DEF，且S△ABC＝4，S△DEF＝25，則＝________.
【答案】
【解析】∵△ABC∽△DEF，且S△ABC＝4，S△DEF＝25，∴＝＝.
【舉一反三4】已知△ABC的三邊長之比是3∶4∶5，與其相似的△DEF的周長為18，則△DEF的面積為____________．
【答案】13.5
【解析】根據(jù)勾股定理逆定理，△DEF與△ABC均為直角三角形，設(shè)△DEF三邊分別為3x，4x，5x，
則3x＋4x＋5x＝18，x＝32三邊長分別為92，6，152，所以S△DEF＝12×6×92＝13.5.
【舉一反三5】已知：△ABC∽△A′B′C′，它們的周長之差為20，面積比為4：1，求△ABC和△A′B′C′的周長．
【答案】解：∵△ABC∽△A′B′C′，面積比為4：1，∴相似比為2：1，周長比為2：1．
∵周長比相差1，而周長之差為20，∴每份周長為20，
∴△ABC的周長是2×20＝40，△A′B′C′的周長是1×20＝20．
【題型8】相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用
【典型例題】如圖，平行于地面的圓桌正上方有一個燈泡（看作一個點），它發(fā)出的光線照射桌面后，在地面上形成圓形陰影，經(jīng)測量得地面上陰影部分的邊緣超出桌面0.5米，桌面的直徑為2米，桌面距離地面的高度為1.5米，則燈泡距離桌面（　　）
A.1米 B.2.25米 C.2米 D.3米
【答案】D
【解析】構(gòu)造幾何模型如圖：
依題意知DE＝2米，BC＝2+1＝3（米），F(xiàn)G＝1.5米，
由△DAE∽△BAC得，即，解得AF＝3，
則燈泡距離桌面3米．
故選：D．
【舉一反三1】如圖，這是一把折疊椅子及其側(cè)面的示意圖，線段AE和BD相交于點C，點F在AE的延長線上，測得AC＝30cm，BC＝40cm，CD＝24cm，EC＝18cm，若∠BAC＝60°，則∠DEF的度數(shù)為（　　）
A.120° B.125° C.130° D.135°
【答案】A
【解析】∵AC＝30cm，BC＝40cm，CD＝24cm，EC＝18cm，∴，，
∴，
∵∠ACB＝∠DCE，∴△ACB∽△ECD，∴∠BAC＝∠DEC＝60°，
∴∠DEF＝180°﹣∠DEC＝120°.
故選：A．
【舉一反三2】如圖是凸透鏡成像示意圖，CD是蠟燭AB通過凸透鏡MN所成的虛像．已知蠟燭的高AB為5.4cm，蠟燭AB離凸透鏡MN的水平距離OB為6cm，該凸透鏡的焦距OF為10cm，AE∥OF，則像CD的高為（　　）
A.15cm B.14.4cm C.13.5cm D.9cm
【答案】C
【解析】由題意得，AB∥MN，AE∥OF，AB∥CD，∴四邊形ABOE是平行四邊形，∴AE＝OB＝6cm，
∵AE∥OF，∴△CAE∽△COF，∴，∴，∴，
∵AB∥CD，∴△OAB∽△OCD，∴，∴，∴CD＝13.5cm.
故選：C．
【舉一反三3】在生活中我們常用杠桿原理撬動較重的物體，如圖，有一圓形石塊，要使其滾動，杠桿的端點C必須向上翹起5cm，若杠桿AC的長度為120cm，其中BC段的長度為20cm，則要使該石塊滾動，杠桿的另一端點A必須向下壓 　　cm．
【答案】25
【解析】如圖，過點B作水平線MN，過點A作AM⊥MN于點M，過點C作CN⊥MN于點N，
∵AM⊥MN，CN⊥MN，∴∠AMB＝∠CNB＝90°，
∵∠ABM＝∠CBN，∴△ABM∽△CBN，∴，
∵AC：BC＝120：20＝6：1，AB：BC＝5：1，∴AM：CN＝5，
∵CN＝5cm，∴AM＝25cm，∴要使這塊石頭滾動，至少要將杠桿的A端向下壓25cm.
【舉一反三4】如圖1是裝了液體的長方體容器的主視圖（數(shù)據(jù)如圖），將該容器繞地面一棱進行旋轉(zhuǎn)傾斜后，水面恰好接觸到容器口邊緣，如圖2所示，此時液面寬度AB＝　　．
【答案】cm
【解析】如圖，作BE⊥DE于E，則∠BED＝90°，
由題意知，BD＝17cm，BC＝6cm，BE＝8cm，∠C＝90°，AB∥DE，AC∥BD，
∴∠CAB＝∠DBA＝∠BDE，
又∵∠C＝∠BED＝90°，∴△CAB∽△EDB，∴，即，解得cm.
【舉一反三5】小聰和他的同學利用影長測量旗桿高度（如圖），當1m長的直立竹竿的影長為1.5m時，測量旗桿落在地上的影長為21m，落在墻上的影長為2m，求旗桿的高度．
【答案】解：如圖，CD＝2m，BD＝21m，
∵，∴DE＝1.5CD＝3，
∵，∴AB16（m）．
答：旗桿的高度為16m．

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