資源簡介

4.4兩個三角形相似的判定
【知識點1】相似三角形的判定與性質(zhì) 1
【知識點2】相似三角形的判定 1
【知識點3】射影定理 2
【題型1】利用兩邊對應成比例，且夾角相等判定兩個三角形相似 2
【題型2】三邊對應成比例的兩個三角形相似 4
【題型3】兩個角對應相等的兩個三角形相似定理的應用 5
【題型4】由平行判定兩個三角形相似定理的應用 6
【題型5】動點中的相似三角形 8
【題型6】由平行判定兩個三角形相似 10
【題型7】相似三角形判定定理的綜合 10
【題型8】利用兩個角對應相等判定兩個三角形相似 12
【知識點1】相似三角形的判定與性質(zhì)
（1）相似三角形是相似多邊形的特殊情形，它沿襲相似多邊形的定義，從對應邊的比相等和對應角相等兩方面下定義；反過來，兩個三角形相似也有對應角相等，對應邊的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的熱點之一，在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對圖形進行分解、組合；或作輔助線構(gòu)造相似三角形，判定三角形相似的方法有時可單獨使用，有時需要綜合運用，無論是單獨使用還是綜合運用，都要具備應有的條件方可．
【知識點2】相似三角形的判定
（1）平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；
這是判定三角形相似的一種基本方法．相似的基本圖形可分別記為“A”型和“X”型，如圖所示在應用時要善于從復雜的圖形中抽象出這些基本圖形．
（2）三邊法：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似；
（3）兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；
（4）兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形相似．
【知識點3】射影定理
（1）射影定理：
①直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項．
②每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項．
（2）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜邊BC上的高，則有射影定理如下：①AD2=BD DC；
②AB2=BD BC；AC2=CD BC．
【題型1】利用兩邊對應成比例，且夾角相等判定兩個三角形相似
【典型例題】下列各組條件中，一定能推得△ABC與△DEF相似的是（　　）
A.且∠B＝∠E
B.且∠A＝∠E
C.且∠A＝∠D
D.且∠A＝∠E
【舉一反三1】如圖，點P在△ABC的邊AC上，若只添加一個條件，就可以判定△ABP∽△ACB，下面四種添加條件的方法，正確的是（　　）
A. B.BP2＝AP PC C.AB2＝AP AC D.
【舉一反三2】如圖，能使△ABC∽△AED成立的條件是（　　）
A.∠A＝∠A B.∠ADE＝∠AED C. D.
【舉一反三3】如圖，∠1＝∠2，為了使△ADE∽△ACB，需要添加一個條件：　　．
【舉一反三4】如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于點D，點E是AB上一點，連接DE，BD2＝BC BE．證明：△BCD∽△BDE．
【舉一反三5】如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD上的點，AE＝ED，DF＝DC，連接EF并延長交BC的延長線于點G．求證：△ABE∽△DEF.
【題型2】三邊對應成比例的兩個三角形相似
【典型例題】有甲、乙兩個三角形木框，甲三角形木框的三邊長分別為1，，，乙三角形木框的三邊長分別為5，，，則甲、乙兩個三角形（　　）
A.一定相似 B.一定不相似 C.不一定相似 D.無法判斷
【舉一反三1】已知△ABC的三邊長分別為2，5，6．△DEF的三邊長如以下四個選項所列．若要使△DEF∽△ABC，則△DEF的三邊長分別為（　　）
A.3，6，7 B.6，15，18 C.3，8，9 D.8，10，12
【舉一反三2】下列4×4的正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，三角形的頂點都在格點上，則在網(wǎng)格圖中的三角形與△ABC相似的是（　　）
A. B. C. D.
【舉一反三3】判斷下列每組三角形是否相似（填“相似”或“不相似”）：
（1）△ABC的三邊長分別為1，，，△DEF的三邊長分別為，，1．則△ABC與△DEF　　；
（2）△ABC中，AB：AC：BC＝4：3：2，△A1B1C1中，A1B1：A1C1：B1C1＝3：2：4，則△ABC與△A1B1C　；
（3）在平面直角坐標系中，A（2，0），B（1，2），A1（0，﹣4），B1（4，﹣2），則△AOB與△A1OB1　　．
【舉一反三4】如圖，D、E、F分別是△ABC的三邊BC，CA，AB的中點．求證：△DEF∽△ABC.
【題型3】兩個角對應相等的兩個三角形相似定理的應用
【典型例題】為了估算河的寬度，我們可以在河對岸的岸邊選定一個目標記為點A，再在河的這一邊選點B和點C，使得AB⊥BC，然后再在河岸上選點E，使得EC⊥BC，設(shè)BC與AE交于點D，如圖所示，測得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，那么這條河的大致寬度是（ ）
A. 75米 B. 25米 C. 100米 D. 120米
【舉一反三1】“今有邑，東西七里，南北九里，各開中門，出東門一十五里有木，問：出南門幾何步而見木？”這段話摘自《九章算術(shù)》．意思是說：如圖，矩形城池ABCD，東邊城墻AB長9里，南邊城墻AD長7里，東門點E、南門點F分別是AB、AD中點，EG⊥AB，F(xiàn)H⊥AD，EG＝15里，HG經(jīng)過A點，則FH＝（ ）
A. 1.2里 B. 1.5里 C. 1.05里 D. 1.02里
【舉一反三2】如圖，矩形臺球桌ABCD的尺寸為2.7 m×1.6 m，位于AB中點處的臺球E沿直線向BC邊上的點F運動，經(jīng)BC邊反彈后恰好落入點D處的袋子中，則BF的長度為 m．
【舉一反三3】小紅用下面的方法來測量學校教學大樓AB的高度：如圖，在水平地面點E處放一面平面鏡，鏡子與教學大樓的距離AE＝20米．當她與鏡子的距離CE＝2.5米時，她剛好能從鏡子中看到教學大樓的頂端B．已知她的眼睛距地面高度DC＝1.6米，請你幫助小紅測量出大樓AB的高度（注：入射角＝反射角）．
【題型4】由平行判定兩個三角形相似定理的應用
【典型例題】“準、繩、規(guī)、矩”是我國古代使用的測量工具．一個簡單結(jié)構(gòu)的“矩”指兩條邊成直角的曲尺（如圖1），它的兩條邊長分別為a、b．中國古老的天文和數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中簡明扼要地闡述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”就是把“矩”仰立放置可以測量物體的高度．如圖2，從“矩”EFG的一端E處望向一根桿子的頂端B處，使視線通過“矩”的另一端G處，測得DE＝1米，AD＝4米，若“矩”的邊EF＝1米，F(xiàn)G＝0.5米，則這根桿子的長AB為（　　）
A.4米 B.3米 C.2米 D.1米
【舉一反三1】如圖，一束平行的陽光從教室窗戶射入，小兵同學量出BC＝1m，NCm，BNm，AC＝4.5m，MC＝6m，則MA的長為（　　）
A.5m B.7.5m C.6m D.5.5m
【舉一反三2】如圖①，是生活中常見的人字梯，也稱折梯，因其使用時，左右的梯桿及地面構(gòu)成一個等腰三角形，因而把它形象的稱為“人字梯”．如圖②，是其工作示意圖，拉桿米，則兩梯桿跨度B、C之間距離為 　　米．
【舉一反三3】如圖，小明把手臂水平向前伸直，手持小尺豎直，瞄準小尺的兩端E、F，不斷調(diào)整站立的位置使在點D處恰好能看到鐵塔的頂部B和底部A，設(shè)小明的手臂長l＝45 cm，小尺長a＝15 cm，點D到鐵塔底部的距離AD＝42 m，則鐵塔的高度是 m．
【舉一反三4】2023年11月23日，第十批在韓中國人民志愿軍烈士遺骸歸國，英烈們前仆后繼的犧牲奉獻，換來了我們國家的富強和人民的幸福，在抗美援朝期間“跳眼法”是炮兵常用的一種簡易測距方法（圖1）．
如圖2，點A為左眼，點B為右眼，點O為右手大拇指，點C為敵人的位置，點D為敵人正左側(cè)方的某一個參照物（CD∥AB），目測CD的長度后，然后利用相似三角形的知識來計算C處敵人距離我方的大致距離．
已知大多數(shù)人的眼距AB長約為6.4厘米左右，手臂長OB約為64厘米左右．若CD的估測長度為40米，那么CO的大致距離為多少米．
【舉一反三5】某校同學參與“項目式學習”綜合實踐活動，小明所在的數(shù)學活動小組利用所學知識測量旗桿EF的高度，他在距離旗桿40米的D處立下一根3米高的豎直標桿CD，然后調(diào)整自己的位置，當他與標桿的距離BD為4米時，他的眼睛、標桿頂端和旗桿頂位于同一直線上，若小明的眼睛離地面高度AB為1.6米，求旗桿EF的高度．
【題型5】動點中的相似三角形
【典型例題】已知△ABC，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，點P從點C出發(fā)以每秒1個單位長度的速度，沿CB﹣BA運動，時間t為（　　）時，以點A、P、C為頂點的三角形與△ABC相似．
A. B. C.或 D.或或4
【舉一反三1】如圖，在△ABC中，AB＝4cm，AC＝3cm，BC＝6cm，D是AC上一點，AD＝2cm，點P從C出發(fā)沿C→B→A方向，以1cm/s的速度運動至點A處，線段DP將△ABC分成兩部分，可以使其中一部分與△ABC相似的點P的個數(shù)為（　　）
A.0個 B.2個 C.3個 D.4個
【舉一反三2】如圖，在鈍角△ABC中，AB＝5 cm，AC＝10 cm，動點D從A點出發(fā)到B點止，動點E從C點出發(fā)到A點止，點D運動的速度為1 cm/s，點E運動的速度為2 cm/s，如果兩點同時運動，那么當以點A、D、E為頂點的三角形與△ABC相似時，運動的時間是（　　）
A. 2.5s B. 4.5s C. 2.5s或4.5s D. 2.5s或4s
【舉一反三3】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16 cm，AC＝12 cm，點P從點B出發(fā)，沿BC以2 cm/s的速度向點C移動，點Q從點C出發(fā)，以1cm/s的速度向點A移動，若點P、Q分別從點B、C同時出發(fā)，設(shè)運動時間為t s，當t＝　 　時，△CPQ與△CBA相似．
【舉一反三4】如圖：在矩形ABCD中，AB＝6m，BC＝8m，動點P以2m/s的速度從A點出發(fā)，沿AC向C點移動，同時動點Q以1m/s的速度從點C出發(fā)，沿CB向點B移動，設(shè)P、Q兩點移動的時間為t s（0＜t＜5）．
（1）t為多少時，以P、Q、C為頂點的三角形與△ABC相似？
（2）在P、Q兩點移動過程中，四邊形ABQP與△CPQ的面積能否相等？若能，求出此時t的值；若不能，請說明理由．
【題型6】由平行判定兩個三角形相似
【典型例題】如圖AB∥CD∥EF，則圖中相似三角形的對數(shù)為（　　）
A.1對 B.2對 C.3對 D.4對
【舉一反三1】如圖，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，則圖中相似三角形的對數(shù)是（　　）
A.1對 B.2對 C.3對 D.4對
【舉一反三2】如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，EF∥BC，則圖中相似三角形共有（　　）
A.1組 B.2組 C.3組 D.4組
【舉一反三3】平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或其延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形 　　．
【舉一反三4】如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC．點D是BC邊上的動點，連接AD，將△ADC繞點A旋轉(zhuǎn)至△AEB，使點C與點B重合，連接DE交AB于點F．作EG∥BC交AB于點G，連接CG，交AD于點H．
（1）求證：∠1＝∠2；
（2）求證：△AGH∽△AFD．
【題型7】相似三角形判定定理的綜合
【典型例題】下列條件中可以判定△ABC∽△A′B′C′的是（　　）
A.
B.，∠B＝∠B′
C.，∠A＝∠A′
D.
【舉一反三1】如圖，點P是△ABC的邊AC上一點，連接BP，以下條件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（　　）
A. B. C.∠ABP＝∠C D.∠APB＝∠ABC
【舉一反三2】點P是△ABC的邊AB上一點，過P點的直線l與△ABC的邊界的另一個交點為D，則使△APD與△ABC相似的直線l可能有　　（把正確的結(jié)論的代號都填上）．
①1條；②2條；③3條；④4條．
【舉一反三3】已知：△ABC，P是邊AB上的一點，連接CP．
（1）當∠ACP＝　　時，△ACP∽△ABC．
（2）當AC：AP＝　　時，△ACP∽△ABC．
【舉一反三4】如圖，△ABC為等邊三角形，點D、E、F分別在AB、BC、CA上，且AD＝BE＝CF.
（1）△ADF、△BED、△CFE相似嗎？為什么？
（2）△DEF與△ABC相似嗎？為什么？
【題型8】利用兩個角對應相等判定兩個三角形相似
【典型例題】下列各種圖形中，有可能不相似的是（　　）
A.有一個角是45°的兩個等腰三角形
B.有一個角是60°的兩個等腰三角形
C.有一個角是110°的兩個等腰三角形
D.兩個等腰直角三角形
【舉一反三1】下列條件中，一定能判斷兩個等腰三角形相似的是（　　）
A.都含有一個40°的內(nèi)角 B.都含有一個50°的內(nèi)角 C.都含有一個60°的內(nèi)角 D.都含有一個70°的內(nèi)角
【舉一反三2】兩個等腰三角形都有一個角為45°，這兩個等腰三角形　　相似；如果都有一個角為95°，這兩個等腰三角形　　相似．（填上“不”、“不一定”或“一定”）
【舉一反三3】如圖，已知∠A＝∠BCD＝∠E＝60°，則圖中相似三角形是 　　．
【舉一反三4】如圖所示，在⊙O中，D是中點，BD，AC相交于點E，求證：△ABD∽△EBC．4.4兩個三角形相似的判定
【知識點1】相似三角形的判定與性質(zhì) 1
【知識點2】相似三角形的判定 1
【知識點3】射影定理 2
【題型1】利用兩邊對應成比例，且夾角相等判定兩個三角形相似 2
【題型2】三邊對應成比例的兩個三角形相似 5
【題型3】兩個角對應相等的兩個三角形相似定理的應用 7
【題型4】由平行判定兩個三角形相似定理的應用 8
【題型5】動點中的相似三角形 12
【題型6】由平行判定兩個三角形相似 16
【題型7】相似三角形判定定理的綜合 18
【題型8】利用兩個角對應相等判定兩個三角形相似 20
【知識點1】相似三角形的判定與性質(zhì)
（1）相似三角形是相似多邊形的特殊情形，它沿襲相似多邊形的定義，從對應邊的比相等和對應角相等兩方面下定義；反過來，兩個三角形相似也有對應角相等，對應邊的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的熱點之一，在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對圖形進行分解、組合；或作輔助線構(gòu)造相似三角形，判定三角形相似的方法有時可單獨使用，有時需要綜合運用，無論是單獨使用還是綜合運用，都要具備應有的條件方可．
【知識點2】相似三角形的判定
（1）平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；
這是判定三角形相似的一種基本方法．相似的基本圖形可分別記為“A”型和“X”型，如圖所示在應用時要善于從復雜的圖形中抽象出這些基本圖形．
（2）三邊法：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似；
（3）兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；
（4）兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形相似．
【知識點3】射影定理
（1）射影定理：
①直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項．
②每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項．
（2）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜邊BC上的高，則有射影定理如下：①AD2=BD DC；
②AB2=BD BC；AC2=CD BC．
【題型1】利用兩邊對應成比例，且夾角相等判定兩個三角形相似
【典型例題】下列各組條件中，一定能推得△ABC與△DEF相似的是（　　）
A.且∠B＝∠E
B.且∠A＝∠E
C.且∠A＝∠D
D.且∠A＝∠E
【答案】A
【解析】選項A，∵，∠B＝∠E，∴△ABC∽△FED，故選項A符合題意；
選項B，C，D不符合題意．
故選：A．
【舉一反三1】如圖，點P在△ABC的邊AC上，若只添加一個條件，就可以判定△ABP∽△ACB，下面四種添加條件的方法，正確的是（　　）
A. B.BP2＝AP PC C.AB2＝AP AC D.
【答案】C
【解析】∵AB2＝AP AC，∴，
又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB.
故選：C．
【舉一反三2】如圖，能使△ABC∽△AED成立的條件是（　　）
A.∠A＝∠A B.∠ADE＝∠AED C. D.
【答案】C
【解析】由題意得，∠A＝∠A，
若添加，利用兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似，可判斷△ABC∽△AED，故C選項符合題意；
A、B、D選項均不能判定△ABC∽△AED，故不符合題意.
故選：C．
【舉一反三3】如圖，∠1＝∠2，為了使△ADE∽△ACB，需要添加一個條件：　　．
【答案】∠D＝∠C或∠E＝∠B或
【解析】∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，即∠DAE＝∠BAC．
當∠D＝∠C或∠E＝∠B或時，△ADE∽△ACB．
【舉一反三4】如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于點D，點E是AB上一點，連接DE，BD2＝BC BE．證明：△BCD∽△BDE．
【答案】證明：∵BD平分∠ABC，∴∠DBE＝∠CBD．
∵BD2＝BC BE，∴，∴△BCD∽△BDE．
【舉一反三5】如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD上的點，AE＝ED，DF＝DC，連接EF并延長交BC的延長線于點G．求證：△ABE∽△DEF.
【答案】證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴AD＝AB＝DC＝BC，∠A＝∠D＝90°，
∵AE＝ED，∴，
∵DF＝DC，∴，∴，∴△ABE∽△DEF.
【題型2】三邊對應成比例的兩個三角形相似
【典型例題】有甲、乙兩個三角形木框，甲三角形木框的三邊長分別為1，，，乙三角形木框的三邊長分別為5，，，則甲、乙兩個三角形（　　）
A.一定相似 B.一定不相似 C.不一定相似 D.無法判斷
【答案】A
【解析】因為，即兩個三角形三邊對應成比例，所以相似．
故選：A．
【舉一反三1】已知△ABC的三邊長分別為2，5，6．△DEF的三邊長如以下四個選項所列．若要使△DEF∽△ABC，則△DEF的三邊長分別為（　　）
A.3，6，7 B.6，15，18 C.3，8，9 D.8，10，12
【答案】B
【解析】∵△ABC的三邊長分別為2，5，6，且，
∴要使△DEF∽△ABC，則△DEF的三邊長分別為6，15，18．
故選：B．
【舉一反三2】下列4×4的正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，三角形的頂點都在格點上，則在網(wǎng)格圖中的三角形與△ABC相似的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根據(jù)勾股定理，BC，AC，AB2．
所以AB2+AC2＝AB2，所以△ABC是直角三角形，
且∠B＝90°，所以夾直角的兩邊的比為2，
觀察各選項，只有C選項中的三角形與所給圖形的三角形相似．
故選：C．
【舉一反三3】判斷下列每組三角形是否相似（填“相似”或“不相似”）：
（1）△ABC的三邊長分別為1，，，△DEF的三邊長分別為，，1．則△ABC與△DEF　　；
（2）△ABC中，AB：AC：BC＝4：3：2，△A1B1C1中，A1B1：A1C1：B1C1＝3：2：4，則△ABC與△A1B1C　；
（3）在平面直角坐標系中，A（2，0），B（1，2），A1（0，﹣4），B1（4，﹣2），則△AOB與△A1OB1　　．
【答案】不相似；相似；相似
【解析】（1）∵△ABC的三邊長分別為1，，，△DEF的三邊長分別為，，1；
∴，∴△ABC與△DEF不相似；
（2）△ABC中，AB：AC：BC＝4：3：2，△A1B1C1中，A1B1：A1C1：B1C1＝3：2：4，
∴，∴△ABC與△A1B1C1相似；
（3）在平面直角坐標系中，A（2，0），B（1，2），A1（0，﹣4），B1（4，﹣2），
∴AO＝2，AB，A1B1＝2，OB，OA1＝4，OB1＝2，A1B1＝2，
∴，∴△AOB與△A1OB1相似．
【舉一反三4】如圖，D、E、F分別是△ABC的三邊BC，CA，AB的中點．求證：△DEF∽△ABC.
【答案】證明：∵D、E、F分別是△ABC的三邊BC，CA，AB的中點，∴DFAC，
同理EFBC，DEAB，則，∴△DEF∽△ABC.
【題型3】兩個角對應相等的兩個三角形相似定理的應用
【典型例題】為了估算河的寬度，我們可以在河對岸的岸邊選定一個目標記為點A，再在河的這一邊選點B和點C，使得AB⊥BC，然后再在河岸上選點E，使得EC⊥BC，設(shè)BC與AE交于點D，如圖所示，測得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，那么這條河的大致寬度是（ ）
A. 75米 B. 25米 C. 100米 D. 120米
【答案】C
【解析】∵AB⊥BC，EC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°．
又∵∠ADB＝∠EDC，∴△ADB∽△EDC．∴，即．
解得：AB＝100米．
故選：C．
【舉一反三1】“今有邑，東西七里，南北九里，各開中門，出東門一十五里有木，問：出南門幾何步而見木？”這段話摘自《九章算術(shù)》．意思是說：如圖，矩形城池ABCD，東邊城墻AB長9里，南邊城墻AD長7里，東門點E、南門點F分別是AB、AD中點，EG⊥AB，F(xiàn)H⊥AD，EG＝15里，HG經(jīng)過A點，則FH＝（ ）
A. 1.2里 B. 1.5里 C. 1.05里 D. 1.02里
【答案】C
【解析】∵EG⊥AB，F(xiàn)H⊥AD，HG經(jīng)過A點，∴FA∥EG，EA∥FH，
∴∠HFA＝∠AEG＝90°，∠FHA＝∠EAG，∴△GEA∽△AFH，∴＝．
∵AB＝9里，DA＝7里，EG＝15里，∴FA＝3.5里，EA＝4.5里，∴＝，
解得FH＝1.05里．
故選：C．
【舉一反三2】如圖，矩形臺球桌ABCD的尺寸為2.7 m×1.6 m，位于AB中點處的臺球E沿直線向BC邊上的點F運動，經(jīng)BC邊反彈后恰好落入點D處的袋子中，則BF的長度為 m．
【答案】0.9
【解析】由題意可得出：∠DFC＝∠EFB，∠EBF＝∠FCD，∴△EBF∽△DCF，∴＝，
∴＝，解得：BF＝0.9．
【舉一反三3】小紅用下面的方法來測量學校教學大樓AB的高度：如圖，在水平地面點E處放一面平面鏡，鏡子與教學大樓的距離AE＝20米．當她與鏡子的距離CE＝2.5米時，她剛好能從鏡子中看到教學大樓的頂端B．已知她的眼睛距地面高度DC＝1.6米，請你幫助小紅測量出大樓AB的高度（注：入射角＝反射角）．
【答案】解：∵根據(jù)反射定律知：∠FEB＝∠FED，∴∠BEA＝∠DEC，
∵∠BAE＝∠DCE＝90°，∴△BAE∽△DCE，∴，
∵CE＝2.5米，DC＝1.6米，∴，∴AB＝12.8，∴大樓AB的高為12.8米．
【題型4】由平行判定兩個三角形相似定理的應用
【典型例題】“準、繩、規(guī)、矩”是我國古代使用的測量工具．一個簡單結(jié)構(gòu)的“矩”指兩條邊成直角的曲尺（如圖1），它的兩條邊長分別為a、b．中國古老的天文和數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中簡明扼要地闡述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”就是把“矩”仰立放置可以測量物體的高度．如圖2，從“矩”EFG的一端E處望向一根桿子的頂端B處，使視線通過“矩”的另一端G處，測得DE＝1米，AD＝4米，若“矩”的邊EF＝1米，F(xiàn)G＝0.5米，則這根桿子的長AB為（　　）
A.4米 B.3米 C.2米 D.1米
【答案】B
【解析】由題意知，AC＝DE＝1米，CE＝AD＝4米，EF∥CH，∴△GFE∽△BCE，∴，
即，解得：CB＝2（米），∴AB＝AC+CB＝1+2＝3（米）.
故選：B．
【舉一反三1】如圖，一束平行的陽光從教室窗戶射入，小兵同學量出BC＝1m，NCm，BNm，AC＝4.5m，MC＝6m，則MA的長為（　　）
A.5m B.7.5m C.6m D.5.5m
【答案】B
【解析】∵BN∥AM，∴△BCN∽△ACM，∴，
∵BC＝1m，BNm，AC＝4.5m，∴，∴MA＝7.5（m）．
故選：B．
【舉一反三2】如圖①，是生活中常見的人字梯，也稱折梯，因其使用時，左右的梯桿及地面構(gòu)成一個等腰三角形，因而把它形象的稱為“人字梯”．如圖②，是其工作示意圖，拉桿米，則兩梯桿跨度B、C之間距離為 　　米．
【答案】1.6
【解析】∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，即，
解得BC＝1.6.
【舉一反三3】如圖，小明把手臂水平向前伸直，手持小尺豎直，瞄準小尺的兩端E、F，不斷調(diào)整站立的位置使在點D處恰好能看到鐵塔的頂部B和底部A，設(shè)小明的手臂長l＝45 cm，小尺長a＝15 cm，點D到鐵塔底部的距離AD＝42 m，則鐵塔的高度是 m．
【答案】14
【解析】作CH⊥AB于H，交EF于P，如圖，則CH＝DA＝42 m，CP＝45 cm＝0.45 m，EF＝15 cm＝0.15 m，
∵EF∥AB，∴△CEF∽△CBA，∴＝，即＝，∴AB＝14（m），
即鐵塔的高度為14 m．
【舉一反三4】2023年11月23日，第十批在韓中國人民志愿軍烈士遺骸歸國，英烈們前仆后繼的犧牲奉獻，換來了我們國家的富強和人民的幸福，在抗美援朝期間“跳眼法”是炮兵常用的一種簡易測距方法（圖1）．
如圖2，點A為左眼，點B為右眼，點O為右手大拇指，點C為敵人的位置，點D為敵人正左側(cè)方的某一個參照物（CD∥AB），目測CD的長度后，然后利用相似三角形的知識來計算C處敵人距離我方的大致距離．
已知大多數(shù)人的眼距AB長約為6.4厘米左右，手臂長OB約為64厘米左右．若CD的估測長度為40米，那么CO的大致距離為多少米．
【答案】解：64厘米＝0.64米，6.4厘米＝0.064米，
∵CD∥AB，∴△OAB∽△ODC，∴，∴，∴OC＝400．
答：CO的大致距離為400米．
【舉一反三5】某校同學參與“項目式學習”綜合實踐活動，小明所在的數(shù)學活動小組利用所學知識測量旗桿EF的高度，他在距離旗桿40米的D處立下一根3米高的豎直標桿CD，然后調(diào)整自己的位置，當他與標桿的距離BD為4米時，他的眼睛、標桿頂端和旗桿頂位于同一直線上，若小明的眼睛離地面高度AB為1.6米，求旗桿EF的高度．
【答案】解：過點A作AN⊥EF于點N，交CD于M，
由題意可得：AM＝BC＝4米，NM＝FD＝40米，CM＝3﹣1.6＝1.4（米），
∵CM∥EN，∴△ACM∽△AEN，∴，∴，解得：EN＝15.4，
則EF＝15.4+1.6＝17（米），
答：旗桿EF的高度為17米．
【題型5】動點中的相似三角形
【典型例題】已知△ABC，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，點P從點C出發(fā)以每秒1個單位長度的速度，沿CB﹣BA運動，時間t為（　　）時，以點A、P、C為頂點的三角形與△ABC相似．
A. B. C.或 D.或或4
【答案】D
【解析】BC，
當△ACB∽△PCA時，則，∴，∴CP，
∵點P從點C出發(fā)以每秒1個單位長度的速度運動，∴t（秒）；
如圖，當△ACB∽△APC時，
則，∴，∴CP，∴BP，
∴BP+BC，
∵點P從點C出發(fā)以每秒1個單位長度的速度，∴t（秒），
當點P與B重合時，t＝4秒，
綜上所述，時間t為秒或秒或4秒時，以點A、P、C為頂點的三角形與△ABC相似．
故選：D．
【舉一反三1】如圖，在△ABC中，AB＝4cm，AC＝3cm，BC＝6cm，D是AC上一點，AD＝2cm，點P從C出發(fā)沿C→B→A方向，以1cm/s的速度運動至點A處，線段DP將△ABC分成兩部分，可以使其中一部分與△ABC相似的點P的個數(shù)為（　　）
A.0個 B.2個 C.3個 D.4個
【答案】D
【解析】①當∠DPC＝∠A時，△ABC∽△PDC，
②當∠PDC＝∠A時，△ABC∽△DPC，
③當∠APD＝∠B時，△ABC∽△APD，
④當∠APD＝∠C時，△ABC∽△ADP，
綜上：一共有4個.
故選：D．
【舉一反三2】如圖，在鈍角△ABC中，AB＝5 cm，AC＝10 cm，動點D從A點出發(fā)到B點止，動點E從C點出發(fā)到A點止，點D運動的速度為1 cm/s，點E運動的速度為2 cm/s，如果兩點同時運動，那么當以點A、D、E為頂點的三角形與△ABC相似時，運動的時間是（　　）
A. 2.5s B. 4.5s C. 2.5s或4.5s D. 2.5s或4s
【答案】D
【解析】如果兩點同時運動，設(shè)運動t s時，以點A、D、E為頂點的三角形與△ABC相似，
則AD＝t，CE＝2t，AE＝AC﹣CE＝10﹣2t．
①當D與B對應時，有△ADE∽△ABC．
∴AD：AB＝AE：AC，∴t：5＝（10﹣2t）：10，∴t＝2.5；
②當D與C對應時，有△ADE∽△ACB．
∴AD：AC＝AE：AB，∴t：10＝（10﹣2t）：5，∴t＝4．
∴當以點A、D、E為頂點的三角形與△ABC相似時，運動的時間是2.5s或4s．
故選：D．
【舉一反三3】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16 cm，AC＝12 cm，點P從點B出發(fā)，沿BC以2 cm/s的速度向點C移動，點Q從點C出發(fā)，以1cm/s的速度向點A移動，若點P、Q分別從點B、C同時出發(fā)，設(shè)運動時間為t s，當t＝　 　時，△CPQ與△CBA相似．
【答案】4.8或
【解析】CP和CB是對應邊時，△CPQ∽△CBA，所以＝，即＝，
解得t＝4.8；
CP和CA是對應邊時，△CPQ∽△CAB，所以＝，即＝，
解得t＝．
綜上所述，當t＝4.8或時，△CPQ與△CBA相似．
【舉一反三4】如圖：在矩形ABCD中，AB＝6m，BC＝8m，動點P以2m/s的速度從A點出發(fā)，沿AC向C點移動，同時動點Q以1m/s的速度從點C出發(fā)，沿CB向點B移動，設(shè)P、Q兩點移動的時間為t s（0＜t＜5）．
（1）t為多少時，以P、Q、C為頂點的三角形與△ABC相似？
（2）在P、Q兩點移動過程中，四邊形ABQP與△CPQ的面積能否相等？若能，求出此時t的值；若不能，請說明理由．
【答案】解：（1）在Rt△ABC中，AC10（cm），
∵∠PCQ＝∠ACB，
∴當∠PQC＝∠B時，△CQP∽△CBA，則，即，解得t；
當∠PQC＝∠BAC時，△CQP∽△CAB，則，即，解得t；
∴t為s或s時，以P、Q、C為頂點的三角形與△ABC相似.
（2）四邊形ABQP與△CPQ的面積不能相等．理由如下：
作PH⊥BC于H，如圖，
∵PH∥AB，∴△CPH∽△CAB，∴，即，
∴PH（cm），
當四邊形ABQP與△CPQ的面積相等時，
S△ABC﹣S△CPQ＝S△CPQ，即S△ABC＝2S△CPQ，∴2 t 6 8，
整理得t2﹣5t+20＝0，此時方程無實數(shù)解，
∴四邊形ABQP與△CPQ的面積不能相等．
【題型6】由平行判定兩個三角形相似
【典型例題】如圖AB∥CD∥EF，則圖中相似三角形的對數(shù)為（　　）
A.1對 B.2對 C.3對 D.4對
【答案】C
【解析】∵AB∥CD∥EF，∴△ACD∽△AEF，△ECD∽△EAB，△ADB∽△FDE．
∴圖中共有3對相似三角形．
故選：C．
【舉一反三1】如圖，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，則圖中相似三角形的對數(shù)是（　　）
A.1對 B.2對 C.3對 D.4對
【答案】C
【解析】∵DE∥BC，EF∥AB，∴△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，∴△ADE∽△EFC．
∴圖中相似三角形的對數(shù)是：3對．
故選：C．
【舉一反三2】如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，EF∥BC，則圖中相似三角形共有（　　）
A.1組 B.2組 C.3組 D.4組
【答案】C
【解析】∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，
∵AB＝CD，BC＝DA，∠B＝∠D，∴△ABC≌△ADC（SAS），∴△AEF∽△ADC，
∵全等是特殊的相似，∴圖中相似的三角形共有3組.
故選：C．
【舉一反三3】平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或其延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形 　　．
【答案】相似
【解析】∵DE∥BC．∴△ADE∽△ABC（平行于三角形一邊的直線，和其他兩邊相交所構(gòu)成的三角形與原三角形相似）.
【舉一反三4】如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC．點D是BC邊上的動點，連接AD，將△ADC繞點A旋轉(zhuǎn)至△AEB，使點C與點B重合，連接DE交AB于點F．作EG∥BC交AB于點G，連接CG，交AD于點H．
（1）求證：∠1＝∠2；
（2）求證：△AGH∽△AFD．
【答案】證明：（1）∵EG∥BC，∴∠2＝∠ABC，
∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到：∠1＝∠ACB，∴∠1＝∠2.
（2）∵∠1＝∠2，∴EG＝EB，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到：CD＝BE，∴EG＝CD，
∵GE∥CD，∴四邊形DCGE是平行四邊形，∴GH∥FD，∴△AGH∽△AFD．
【題型7】相似三角形判定定理的綜合
【典型例題】下列條件中可以判定△ABC∽△A′B′C′的是（　　）
A.
B.，∠B＝∠B′
C.，∠A＝∠A′
D.
【答案】C
【解析】A，D中只有對應邊成比例，角不確定，A，D錯；
B中∠B不是AB，AC的夾角，所以B錯；
C中對應邊成比例，且夾角相等，所以C可判定其相似，C對.
故選：C．
【舉一反三1】如圖，點P是△ABC的邊AC上一點，連接BP，以下條件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（　　）
A. B. C.∠ABP＝∠C D.∠APB＝∠ABC
【答案】B
【解析】A、∵∠A＝∠A，，∴△ABP∽△ACB，故本選項不符合題意；
B、根據(jù)和∠A＝∠A不能判斷△ABP∽△ACB，故本選項符合題意；
C、∵∠A＝∠A，∠ABP＝∠C，∴△ABP∽△ACB，故本選項不符合題意；
D、∵∠A＝∠A，∠APB＝∠ABC，∴△ABP∽△ACB，故本選項不符合題意．
故選：B．
【舉一反三2】點P是△ABC的邊AB上一點，過P點的直線l與△ABC的邊界的另一個交點為D，則使△APD與△ABC相似的直線l可能有　　（把正確的結(jié)論的代號都填上）．
①1條；②2條；③3條；④4條．
【答案】④
【解析】如圖所示，
①過點P作PD∥BC，則△APD∽△ABC；
②作∠APE＝∠C，則△APE∽△ACB；
③過點P作PF∥AC，則△PBF∽△ABC；
④在∠BPG＝∠C，則△PBG∽△CBA．
【舉一反三3】已知：△ABC，P是邊AB上的一點，連接CP．
（1）當∠ACP＝　　時，△ACP∽△ABC．
（2）當AC：AP＝　　時，△ACP∽△ABC．
【答案】（1）∠B，（2）AB：AC
【解析】∵∠A是公共角，
（1）當∠ACP＝∠B時，△ACP∽△ABC；
（2）當AC：AP＝AB：AC時，△ACP∽△ABC．
【舉一反三4】如圖，△ABC為等邊三角形，點D、E、F分別在AB、BC、CA上，且AD＝BE＝CF.
（1）△ADF、△BED、△CFE相似嗎？為什么？
（2）△DEF與△ABC相似嗎？為什么？
【答案】解：（1）△ADF、△BED、△CFE相似．
理由：∵△ABC為等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC，
∵AD＝BE＝CF，∴BD＝CE＝AF，
在△ADF和△BED和△CFE中，，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴△ADF、△BED、△CFE相似.
（2）相似．
理由：∵△ADF≌△BED≌△CFE，∴DE＝EF＝DF，
即△DEF是等邊三角形，
∵△ABC是等邊三角形，∴△DEF∽△ABC．
【題型8】利用兩個角對應相等判定兩個三角形相似
【典型例題】下列各種圖形中，有可能不相似的是（　　）
A.有一個角是45°的兩個等腰三角形
B.有一個角是60°的兩個等腰三角形
C.有一個角是110°的兩個等腰三角形
D.兩個等腰直角三角形
【答案】A
【解析】A、各有一個角是45°的兩個等腰三角形，有可能是一個為頂角，另一個為底角，此時不相似，故此選項符合題意；
B、各有一個角是60°的兩個等腰三角形是等邊三角形，兩個等邊三角形相似，故此選項不合題意；
C、各有一個角是110°的兩個等腰三角形，此角必為頂角，則底角都為35°，則這兩個三角形必相似，故此選項不合題意；
D、兩個等腰直角三角形，兩角對應相等，此三角形必相似，故此選項不合題意.
故選：A．
【舉一反三1】下列條件中，一定能判斷兩個等腰三角形相似的是（　　）
A.都含有一個40°的內(nèi)角 B.都含有一個50°的內(nèi)角 C.都含有一個60°的內(nèi)角 D.都含有一個70°的內(nèi)角
【答案】C
【解析】因為A，B，D給出的角40°，50°，70°可能是頂角也可能是底角，所以不對應，則不能判定兩個等腰三角形相似，故A，B，D錯誤；
C、有一個60°的內(nèi)角的等腰三角形是等邊三角形，所有的等邊三角形相似，故C正確．
故選：C．
【舉一反三2】兩個等腰三角形都有一個角為45°，這兩個等腰三角形　　相似；如果都有一個角為95°，這兩個等腰三角形　　相似．（填上“不”、“不一定”或“一定”）
【答案】不一定；一定
【解析】由于45°是銳角，可以作等腰三角形的頂角或底角，故不一定相似；
根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理：等于95°的角只能是頂角，即△ABC和△DEF的頂角∠A＝∠D＝95°，
∵AB＝AC，DE＝DF，
∴∠B＝∠C（180°﹣∠A）＝42.5°，∠E＝∠F（180°﹣∠D）＝42.5°，∴∠B＝∠E，
∵∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEF．
【舉一反三3】如圖，已知∠A＝∠BCD＝∠E＝60°，則圖中相似三角形是 　　．
【答案】△ABC∽△ECD
【解析】∵∠ACB+∠BCD+∠DCE＝180°，∠BCD＝60°，∴∠ACB+∠DCE＝120°，
∵∠A+∠ACB+∠B＝180°，∠A＝60°，∴∠ACB+∠B＝120°，∴∠DCE＝∠B，
又∵∠A＝∠E，∴△ABC∽△ECD.
【舉一反三4】如圖所示，在⊙O中，D是中點，BD，AC相交于點E，求證：△ABD∽△EBC．
【答案】證明：∵D是中點，∴，∴∠1＝∠2，
∵∠3＝∠4，∴△ABD∽△EBC．

展開更多......

收起↑