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11.2 正弦定理
第1課時 正弦定理
探究點一 已知兩角及一邊解三角形
探究點二 已知兩邊及一邊的對角解三
角形
探究點三 正弦定理的應用
【學習目標】
1.了解利用向量和三角形邊角關系推導正弦定理的過程.
2.掌握正弦定理及其變形的結構特征和功能，并能用正弦定理解
決三角形中邊、角等問題.
3.能用正弦定理解決簡單的實際應用問題并證明平面幾何的相關
結論.
知識點一 正弦定理
1.正弦定理
文字語言 三角形的各邊與它所對角的______的比相等
符號語言
正弦
2.正弦定理的常見變形（其中為 外接圓的半徑）
（1） ;
（2） ;
（3）,, ;
（4）,， ;
（5） .
【診斷分析】
判斷正誤.（正確的打“√”，錯誤的打“×”）
（1）正弦定理適用于任意三角形.( )
√
[解析] 正弦定理適用于任意三角形.
（2）在中，等式 總能成立.( )
√
[解析] 由正弦定理知，即 .
（3）在某個確定的三角形中，各邊與它所對角的正弦的比值是一個
定值.( )
√
[解析] 根據正弦定理，在一個確定的三角形中，各邊與它所對角的
正弦的比等于該三角形的外接圓直徑，其值是一個定值.
知識點二 利用正弦定理解三角形
1.利用正弦定理，可以解決以下兩類解三角形的問題:
（1）已知兩角和任一邊,求________________；
（2）已知兩邊和其中一邊的對角,求______________（從而進一步求
出其他的邊和角）.
其他兩邊和一角
另一邊的對角
2.在中，已知，和，用正弦定理求 時的各種情況如下：
圖 形 ____________________________ ____________________________ ____________________________________ _____________________________ _______________________________ _______________________________ _______________________________________________________________________________
關系 式
解的個數 一解 兩解 無解 一解 無解
續表
【診斷分析】
在中，，， ，則滿足條件的三角形有___個.
2
[解析] ，，， 根據，得 ，
解得.
， 的值有2個，即滿足條件的三角形有2個.
知識點三 正弦定理在實際生活中的應用
1.仰角與俯角
名稱 定義 圖形說明
仰角 與俯 角 在同一鉛垂面內,視線在________ ____時與水平線的夾角叫仰角,視 線在____________時與水平線的 夾角叫俯角 ______________________________________________________________________
水平線上方
水平線下方
2.兩點中一點不可到達如圖，可選取與點 同側的
點，測出以及和 ，先應用內角和
定理求出，再利用正弦定理求出 .
探究點一 已知兩角及一邊解三角形
例1 在中，已知， ， ，求 的值.
解：根據三角形內角和定理，得 ，
根據正弦定理，得 .
變式（1） 在中,,,,則 ( )
A.1 B. C. D.
[解析] 因為,,所以 ,
由正弦定理可得 .故選C.
√
（2）[2024·安徽宿州高一期中]在中，內角,, 的對邊分別
為,,，若,,，則 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由，可得，由 ，得
.故選D.
√
［素養小結］
正弦定理實際上是三個等式：;； .每
個等式涉及四個元素，所以只要知道其中的三個就可以求另外一個．
探究點二 已知兩邊及一邊的對角解三角形
例2 在中，已知， ， ，解三角形.
解：，，
或 .
當 時， ，；
當 時， ，.
綜上，， ，
或， ， .
變式 在中，若，，，求，， .
解：由，得，或 .
，，， ，
.
［素養小結］
已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，首先求出另一邊的對角的
正弦值，根據該正弦值求角時，要根據已知兩邊的大小情況來確定
該角有一個值還是兩個值．
拓展 （多選題）在中，內角,,的對邊分別為,, ，則下
列對 的解的情況判斷正確的是 ( )
A.當,, 時，有兩解
B.當,, 時，有一解
C.當,, 時，無解
D.當,, 時，有兩解
√
√
[解析] 對于A，由正弦定理得，即 ，
所以，因為 ,，所以 或 ，
三角形有兩解，故A正確；
對于B，由正弦定理得 ，
三角形無解，故B錯誤；
對于C，由正弦定理得 ，
三角形無解，故C正確；
對于D，由正弦定理得，
又 ，所以B為銳角，三角形只有一解，故D錯誤.故選 .
探究點三 正弦定理的應用
角度1 正弦定理的實際應用
例3 如圖所示，在山頂鐵塔上 處測得地面上
一點的俯角為 ，在塔底處測得點 的俯角
為 ，已知，求山高 .
解：在中， ， ，
根據正弦定理得 ,
即 ,
所以 .
在中， .
變式 [2024·南通高一期中]一艘船以的速度從 處向正北
方向航行，從處看燈塔位于船北偏東 的方向上， 后船
航行到處，從處看燈塔位于船北偏東 的方向上，則燈塔 與
處之間的距離為( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 如圖，由題意知， ，
，
由正弦定理得 ，
解得 .故選B.
角度2 利用正弦定理證明平面幾何中的結論
例4 在中，平分，點在邊 上,用正弦定理證明：
.
證明：由正弦定理知，在中， ，
在中，，
因為 ，，
所以, ，所以 .
變式 如圖所示，四邊形是由與 拼接而成的，已
知，，求證： .
證明：在中，， ，
，
， .
在中，由正弦定理得 ，
即，
，， .
［素養小結］
（1）測量高度的兩類問題：
①底部可到達，此類問題可直接構造直角三角形進行求解；
②底部不可到達，但仍在同一鉛垂直內，此類問題中兩次觀測點和
所測垂線段的垂足在同一條直線上，觀測者一直向“目標物”前進.
（2）處理以多邊形和圓為代表的基本幾何圖形的關系時，利用正弦
定理是非常重要的處理手段.
1.正弦定理的特點
（1）分式連等形式,各邊對應各角,分子均為邊長,分母均為角的正弦值;
（2）正弦定理對任意三角形都成立;
（3）正弦定理體現了三角形中三條邊和三個內角之間的密切聯系,是
邊和角的和諧統一.
2.正弦定理的適用范圍
（1）正弦定理給出了任意三角形中三條邊及其對應角的正弦之間的
對應關系;
（2）正弦定理實現了三角形中邊角關系的轉化.
3.應用正弦定理解決兩類三角形問題的疑難點
（1）利用正弦定理，可以解決以下兩類三角形的問題：
①已知兩角和一邊，求第三個角和其他兩邊；
②已知兩邊和其中一邊的對角，求第三邊和其他兩角.
（2）對于第一類問題,其解是唯一確定的,一般先由三角形的內角和
為 求得第三個角,再利用正弦定理求其他兩邊;對于第二類問題,
其解不一定唯一,由于三角形的形狀不能唯一確定,因而會出現兩解、
一解或無解三種情況.
1.解決已知兩角及一邊類型問題的解題方法是:
（1）若所給邊是已知角的對邊,則先由正弦定理求另一已知角的對邊,
再由三角形內角和定理求出第三個角,最后由正弦定理求第三邊;
（2）若所給邊不是已知角的對邊,則先由三角形內角和定理求第三個
角,再由正弦定理求另外兩邊.
[解析] 因為 ，所以 ，
所以最大的邊為,
由正弦定理得,即,所以 .
例1 在中， ， ， ，則此三角形的最
大邊的長為_____.
2.應注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時,可能有兩解的情形.
例2 （多選題）已知的內角，，的對邊分別為,, ,則下
列說法正確的是( )
A.若 ，，，則 有一解
B.若 ，，，則 無解
C.若 ，，，則 有兩解
D.若 ，，則 有兩解
√
√
[解析] 對于A，由得,此時三角形顯然不存在，
即 無解，故A錯誤；
對于B，由正弦定理得,則 ,顯然角B不存在，
所以 無解，故B正確；
對于C，由正弦定理得,所以，因為,所以,
所以 或 ，所以有兩解，故C正確；
對于D，若 ，,則為等邊三角形，
所以 有一解,故D錯誤.故選 .
3.正弦定理與三角恒等變換結合的綜合問題.
例3 在中，內角，，所對的邊分別是，， ，若
，求 的取值范圍.
解： .
由正弦定理得 ，
因為，所以解得 ,
所以 ，所以,所以，
所以 的取值范圍是 .11.2　正弦定理
第1課時　正弦定理
【課前預習】
知識點一
1.正弦　　
診斷分析
(1)√　(2)√　(3)√　[解析] (1)正弦定理適用于任意三角形.
(2)由正弦定理知=,即bsin A=asin B.
(3)根據正弦定理,在一個確定的三角形中,各邊與它所對角的正弦的比等于該三角形的外接圓直徑,其值是一個定值.
知識點二
1.(1)其他兩邊和一角　(2)另一邊的對角
診斷分析
2　[解析] ∵a=3,b=5,sin A=,∴根據=,得=,解得sin B=.∵b>a,∴B的值有2個,即滿足條件的三角形有2個.
知識點三
1.水平線上方　水平線下方
【課中探究】
探究點一
例1　解:根據三角形內角和定理,得A=180°-(60°+75°)=45°,
根據正弦定理,得b===4.
變式　(1)C　(2)D　[解析] (1)因為A=,B=,所以C=π--=,由正弦定理可得c===3.故選C.
(2)由cos C=,可得sin C=,由=,得c===.故選D.
探究點二
例2　解:∵=,∴sin C===,∴C=60°或C=120°.當C=60°時,B=75°,b===+1;當C=120°時,B=15°,b===-1.綜上,b=+1,B=75°,C=60°或b=-1,B=15°,C=120°.
變式　解:由=,得sin A==,∴A=或A=.∵c>a,∴C>A,∴A=,∴B=π--=,
∴b===+1.
拓展　AC　[解析] 對于A,由正弦定理得=,即=,所以sin C=,因為0°a,所以C=45°或C=135°,三角形有兩解,故A正確;對于B,由正弦定理得sin B===>1,三角形無解,故B錯誤;對于C,由正弦定理得
sin B===>1,三角形無解,故C正確;對于D,由正弦定理得
sin B===<,又b探究點三
例3　解:在△ABC中,∠ABC=90°-α,∠BAC=α-β,
根據正弦定理得=,
即=,
所以AC==.
在Rt△ACD中,CD=ACsin β=.
變式　B　[解析] 如圖,由題意知AB=32×=16(n mile),∠BAS=45°,∠ASB=30°,由正弦定理得=,解得BS=16 n mile.故選B.
例4　證明:由正弦定理知,在△ABD中,=,
在△ADC中,=,因為∠ADB+∠ADC=π,∠BAD=∠DAC,
所以sin∠ADB=sin∠ADC,sin∠BAD=sin∠DAC,所以=.
變式　證明:在△ACD中,∵∠ADC=,∴∠DAC<,
∵∠BAD=∠CAD+∠BAC=,
∴∠BAC>,∴sin∠BAC>.
在△ABC中,由正弦定理得=,
即=,∴AC·sin∠BAC=BC,
∴BC>AC,∴AC第1課時　正弦定理
【學習目標】
　　1.了解利用向量和三角形邊角關系推導正弦定理的過程.
　　2.掌握正弦定理及其變形的結構特征和功能,并能用正弦定理解決三角形中邊、角等問題.
　　3.能用正弦定理解決簡單的實際應用問題并證明平面幾何的相關結論.
◆ 知識點一　正弦定理
1.正弦定理
文字語言 三角形的各邊與它所對角的　　　　的比相等
符號語言 =　　　　=　　　　
2.正弦定理的常見變形(其中R為△ABC外接圓的半徑)
(1)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C;
(2)====2R;
(3)=,=,=;
(4)sin A=,sin B=,sin C=;
(5)A【診斷分析】 判斷正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)正弦定理適用于任意三角形. (　 )
(2)在△ABC中,等式bsin A=asin B總能成立. (　 )
(3)在某個確定的三角形中,各邊與它所對角的正弦的比值是一個定值. (　 )
◆ 知識點二　利用正弦定理解三角形
1.利用正弦定理,可以解決以下兩類解三角形的問題:
(1)已知兩角和任一邊,求　　　　　　;
(2)已知兩邊和其中一邊的對角,求　　　　　　(從而進一步求出其他的邊和角).
2.在△ABC中,已知a,b和A,用正弦定理求B時的各種情況如下:
A為銳角 A為鈍角或直角
圖 形
關系 式 ①a=bsin A 且ab a≤b
解的 個數 一解 兩解 無解 一解 無解
【診斷分析】 在△ABC中,a=3,b=5,sin A=,則滿足條件的三角形有　　　　個.
◆ 知識點三　正弦定理在實際生活中的應用
1.仰角與俯角
名稱 定義 圖形說明
仰角與 俯角 在同一鉛垂面內,視線在　　　　　　時與水平線的夾角叫仰角,視線在　　　　　　時與水平線的夾角叫俯角
2.兩點中一點不可到達
如圖,可選取與點A同側的點C,測出AC以及∠BAC和∠BCA,先應用內角和定理求出
∠ABC,再利用正弦定理求出AB.
◆ 探究點一　已知兩角及一邊解三角形
例1 在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,求b的值.
變式 (1)在△ABC中,a=3,A=,B=,則c= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.
C.3 D.
(2)[2024·安徽宿州高一期中] 在△ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a=,A=,cos C=,則c= (　 )
A. B.
C. D.
[素養小結]
正弦定理實際上是三個等式:=;=;=.每個等式涉及四個元素,所以只要知道其中的三個就可以求另外一個.
◆ 探究點二　已知兩邊及一邊的對角解三角形
例2 在△ABC中,已知c=,A=45°,a=2,解三角形.
變式 在△ABC中,若c=,C=,a=2,求A,B,b.
[素養小結]
已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時,首先求出另一邊的對角的正弦值,根據該正弦值求角時,要根據已知兩邊的大小情況來確定該角有一個值還是兩個值.
拓展 (多選題)在△ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,則下列對△ABC的解的情況判斷正確的是 (　 )
A.當a=2,c=4,A=30°時,有兩解
B.當a=5,b=7,A=60°時,有一解
C.當a=,b=4,A=30°時,無解
D.當a=6,b=4,A=60°時,有兩解
◆ 探究點三　正弦定理的應用
角度1　正弦定理的實際應用
例3 如圖所示,在山頂鐵塔上B處測得地面上一點A的俯角為α,在塔底C處測得點A的俯角為β,已知BC=h,求山高CD.
變式 [2024·南通高一期中] 一艘船以32 n mile/h的速度從A處向正北方向航行,從A處看燈塔S位于船北偏東45°的方向上,30 min后船航行到B處,從B處看燈塔S位于船北偏東75°的方向上,則燈塔S與B處之間的距離為 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.8 n mile B.16 n mile
C.16 n mile D.16 n mile
角度2　利用正弦定理證明平面幾何中的結論
例4 在△ABC中,AD平分∠BAC,點D在邊BC上,用正弦定理證明:=.
變式 如圖所示,四邊形ABCD是由△ABC與△ACD拼接而成的,已知∠BAD=∠ABC=,∠ADC=,求證:AC[素養小結]
(1)測量高度的兩類問題:
①底部可到達,此類問題可直接構造直角三角形進行求解;
②底部不可到達,但仍在同一鉛垂直內,此類問題中兩次觀測點和所測垂線段的垂足在同一條直線上,觀測者一直向“目標物”前進.
(2)處理以多邊形和圓為代表的基本幾何圖形的關系時,利用正弦定理是非常重要的處理手段.11.2　正弦定理
第1課時　正弦定理
一、選擇題
1.在△ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若sin A∶sin B=2∶3,則a∶b= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.3∶2 B.2∶3
C.4∶9 D.9∶4
2.在△ABC中,若A=60°,B=45°,BC=3,則AC= (　 )
A.4 B.2
C. D.
3.[2024·揚州一中高一月考] 在△ABC中,BC=8,A=60°,則△ABC的外接圓的面積為 (　 )
A. B.64π
C. D.256π
4.在銳角三角形ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若2asin B=b,則A= (　 )
A. B.
C. D.
5.已知在△ABC中,AB=2,AC=2,C=,則B= (　 )
A. B.
C.或 D.
6.[2024·海安高一期中] 已知輪船A和輪船B同時離開C島,A船沿北偏東30°的方向航行,B船沿正北方向航行.若A船的航行速度為40 n mile/h,1 h后,測得A船位于B船的北偏東45°方向上,則此時A,B兩船的距離是 (　 )
A.20 n mile B.20 n mile
C.20 n mile D.20 n mile
7.[2024·如皋高一期中] 已知△ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若滿足條件A=,c=2的△ABC有兩個,則a的取值范圍為 (　 )
A.(1,2) B.(2,+∞)
C.[1,2) D.(1,2]
8.(多選題)[2024·廣東云浮高一期末] 記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a=,b=2,A=,則 (　 )
A.c=3
B.sin B=
C.sin C=
D.△ABC的外接圓的面積為3π
9.(多選題)[2024·江蘇無錫高一期中] 在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,則下列說法中正確的是 (　 )
A.若A=30°,a=1,b=4,則△ABC無解
B.若A>B,則sin A>sin B
C.若acos A=bcos B,則△ABC一定是等腰三角形
D.若a=2,A=30°,則△ABC的外接圓半徑是4
二、填空題
10.在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.若a=2b,則=　　　　.
11.小明在整理筆記時發現有一道題的部分字跡模糊不清,只能看到:在△ABC中,a,b,c分別是內角A,B,C的對邊,已知b=2,A=,求c.顯然缺少條件,若他打算補充a的大小,并使得c只有一解,則a的取值范圍為　　　　　.
12.在△ABC中,B=120°,AB=4,D在BC邊上,AD平分∠BAC,且AD=2,則AC=　　　　.
三、解答題
13.在△ABC中,已知a=4,c=2,A=45°,求b,B和C.
14.在△ABC中,已知B=30°,b=,c=2.
(1)求角C的大小;
(2)若C為銳角,求a.
15.在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,向量m=(cos A,cos B),n=(a,c-b),若m∥n,則角A的大小為 (　 )
A. B.
C. D.
16.如圖,一艘船在海上由西向東航行,在A處望見燈塔C在船的東北方向,船的速度為30 n mile/h,0.5 h后在B處望見燈塔在船的北偏東30°方向上,當船行至D處望見燈塔在船的西北方向時,求A,D兩點之間的距離(精確到0.1 n mile).11.2　正弦定理
第1課時　正弦定理
1.B　[解析] 由=,可得==.故選B.
2.B　[解析] 由正弦定理得=,所以AC===2.故選B.
3.A　[解析] 由正弦定理得△ABC的外接圓的半徑r===,所以△ABC的外接圓的面積S=πr2=π=.故選A.
4.A　[解析] 因為2asin B=b,所以由正弦定理可得2sin Asin B=sin B,又sin B≠0,所以sin A=.因為△ABC為銳角三角形,所以A=.故選A.
5.C　[解析] 由正弦定理得=,即=,解得sin B=,又06.A　[解析] 如圖所示,由題意可知∠ABC=135°,∠BCA=30°,AC=40×1=40(n mile),由正弦定理可知=,即=,可得AB==20(n mile).故選A.
7.A　[解析] 在△ABC中,由正弦定理得=,則sin C===,由滿足條件A=,c=2的△ABC有兩個,得8.AC　[解析] 對于A,由a2=b2+c2-2bccos A=4+c2-2×2ccos=7,得c2-2c-3=0,解得c=3或c=-1(舍去),故A正確.對于B,C,因為==,所以==,解得
sin B=,sin C=,故B錯誤,C正確.對于D,設△ABC的外接圓的半徑為R,因為=2R,所以R=,則△ABC的外接圓的面積為πR2=,故D錯誤.故選AC.
9.AB　[解析] 對于A,由正弦定理得=,則sin B=2,顯然角B不存在,故A正確;對于B,由A>B,得a>b,根據正弦定理可得sin A>sin B,故B正確;對于C,由正弦定理知a=2Rsin A,b=2Rsin B(R為△ABC外接圓的半徑),又acos A=bcos B,
所以2Rsin Acos A=2Rsin Bcos B,可得sin 2A=sin 2B,所以2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=,所以△ABC是等腰三角形或直角三角形,故C錯誤;對于D,設△ABC的外接圓半徑是R,則根據正弦定理可得2R===4,解得R=2,故D錯誤.故選AB.
10.-　[解析] 依題意得=,由正弦定理得==2-1=2×-1=-.
11.{2}∪[2,+∞)　[解析] 由正弦定理得=,則 =,所以sin B=.因為A=,所以012.4　[解析] 在△ABD中,B=120°,AB=4,AD=2,由正弦定理得=,所以sin∠ADB=,可得∠ADB=45°,所以∠BAC=2×(180°-120°-45°)=30°,所以C=30°,所以三角形ABC是等腰三角形,所以BC=4,所以AC==4.
13.解:由正弦定理得=,
∴sin C===,
∵C∈(0°,180°),且c>a,即C>A,∴C=60°或C=120°.
當C=60°時,B=75°,∴sin B=,由=,得b==2(+1);
當C=120°時,B=15°,∴sin B=,由=,得b==2(-1).
綜上,b=2(+1),B=75°,C=60°或b=2(-1),B=15°,C=120°.
14.解:(1)由正弦定理得=,即=,
所以sin C=,
又c>b,所以C>B,所以C=45°或C=135°.
(2)因為C為銳角,所以C=45°,
所以A=180°-45°-30°=105°,sin 105°=sin(60°+45°)=sin 60°cos 45°+cos 60°sin 45°
=×+×=,由正弦定理得=,即=,解得a=+1.
15.D　[解析] 因為m∥n,所以cos A·(c-b)=acos B,由正弦定理得cos A(sin C-
sin B)=sin Acos B,即sin Ccos A-sin Bcos A=sin Acos B,即sin Ccos A
=sin Acos B+sin Bcos A=sin(A+B)=sin C,因為00,所以cos A=1,所以cos A=,又016.解:在△ABC中,AB=30×0.5=15(n mile),∠CAB=45°,∠ABC=120°,所以∠ACB=15°,
由正弦定理得=,所以AC===(n mile).
在△ACD中,∠CAD=45°,∠CDA=45°,所以∠ACD=90°,所以AD==45+15≈71.0(n mile).
所以A,D兩點之間的距離約為71.0 n mile.

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