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(共52張PPT)
11.3 余弦定理、正弦定理的應(yīng)用
探究點(diǎn)一 測量兩個不可到達(dá)的點(diǎn)之間的
距離
探究點(diǎn)二 測量角度問題
探究點(diǎn)三 正余弦定理在物理學(xué)中的應(yīng)用
探究點(diǎn)四 正余弦定理在平面圖形中的應(yīng)用
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.能運(yùn)用解三角形知識解決簡單的測量問題.
2.能用解三角形的知識解決物理與平面幾何知識.
3.強(qiáng)化正余弦定理的應(yīng)用.
知識點(diǎn)一 測量不可到達(dá)的兩點(diǎn)間距離的方法
測量都不可到達(dá)的兩點(diǎn)間距離的方法
圖形 ________________________________
方法 先用正弦定理,再用余弦定理
【診斷分析】
1.判斷正誤.（正確的打“√”，錯誤的打“×”）
（1）已知三角形的三個角，能夠求其三條邊.( )
×
[解析] 解一個三角形，至少要知道這個三角形的一條邊的長.
（2）兩個不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離無法求得.( )
×
[解析] 兩個不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離往往可以借助第三個和第四個
點(diǎn)來量出相應(yīng)的角度和距離求得.
2.如何測量地面上兩個不能到達(dá)的兩點(diǎn)之間的距離？
解：在測量過程中，要根據(jù)實(shí)際需要選取合適的基線長度，
把求不可到達(dá)的兩點(diǎn)之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用正、余弦定理求三角形
的邊長問題，
然后把未知的邊長問題轉(zhuǎn)化為測量可到達(dá)的一點(diǎn)與不可到達(dá)的一點(diǎn)
之間的距離問題.
如圖所示，不可到達(dá)的，是地面上兩點(diǎn)，要測量， 兩點(diǎn)之間
的距離，一般步驟是：
（1）取基線 ；
（2）測量，，， ，
；
（3）分別在和 中，利用正弦定
理求得和 ；
（4）在中，利用余弦定理求得 .
知識點(diǎn)二 與測量高度有關(guān)的概念
1.水平距離、垂直距離、坡面距離
如圖,代表__________， 代表________
___， 代表__________.
水平距離
垂直距離
坡面距離
2.坡度、坡角
如圖，坡面的___________和__________的
比叫作坡度（或叫作坡比），用字母 表示，
即.坡度一般寫成 的形式，
如.坡面與水平面的夾角 叫作坡角，坡角與坡度
之間有如下關(guān)系：_____________.
鉛直高度
水平距離
【診斷分析】 判斷正誤.（正確的打“√”,錯誤的打“×”）
（1）坡面與水平面的夾角叫作坡角.( )
√
[解析] 由坡角的定義可知正確.
（2）坡面的水平距離與坡面的鉛直高度之比叫作坡比.( )
×
[解析] 坡比是坡面的鉛直高度與坡面的水平距離之比.
探究點(diǎn)一 測量兩個不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離
例1 如圖，隔河看兩目標(biāo)， ，但不能到
達(dá)，在岸邊選取相距的， 兩點(diǎn)，并
測得 ， ，
，（，，，
在同一平面內(nèi)），求兩目標(biāo)， 之間的距離.
解：在中， ， ，
， .
在 中， ，
由正弦定理，得 .
在 中，由余弦定理，得
，
，故兩目標(biāo)，之間的距離為 .
變式（1） 如圖，一名學(xué)生在河岸緊靠岸邊
筆直行走，開始在 處，經(jīng)觀察，在河的對
岸有一參照物，與學(xué)生前進(jìn)方向成
角，學(xué)生前進(jìn)后到達(dá)點(diǎn)，測得 與
前進(jìn)方向成 角.①點(diǎn)與參照物 間的距
離為____________；②河的寬度為______________ .
[解析] ①由已知，得 ，
.
在中，由正弦定理，得 ，
所以 ，
即點(diǎn)與參照物間的距離為 .
②河的寬度為 .
（2）如圖，為了測量兩座山峰上， 兩點(diǎn)之間
的距離，選擇山坡上一段長度為 且和
，兩點(diǎn)在同一平面內(nèi)的路段 的兩個端點(diǎn)作
為觀測點(diǎn)，現(xiàn)測得
，則， 兩點(diǎn)間
的距離為_____ .
900
[解析] ， ， .
在 中， ， ，
又 ， .
由正弦定理，得，.
在 中，可得
，
又 ，是等邊三角形，
，，兩點(diǎn)間的距離為 .
［素養(yǎng)小結(jié)］
求可視不可達(dá)的兩點(diǎn)間的距離時，如要求圖中河
彼岸兩點(diǎn)， 間的距離：可先在此岸一側(cè)選取兩
點(diǎn)，，測出，， ，
，，再在中求出，在
中求出，最后在中，由余弦定理求出 .
探究點(diǎn)二 測量角度問題
例2 某貨船在索馬里海域航行時遭海盜襲擊，
發(fā)出求救信號，如圖，我國海軍護(hù)航艦在 處
獲悉后，立即測出該貨船在方位角為 ，距
離為10海里的 處，并測得貨船正沿方位角為
的方向，以10海里/時的速度行駛，海軍
護(hù)航艦立即以 海里/時的速度，沿直線行
駛前去營救，求海軍護(hù)航艦航行的方位角和追
上貨船所需的時間.
解：如圖，設(shè)海軍護(hù)航艦在 處追上貨船，
所需的時間為小時，
則 海里， 海里.
在中， ，
根據(jù)余弦定理得
，
即
追上貨船所需的時間為1小時.
海里，海里，
在 中，由正弦定理得 ，
所以 ，
所以 ，
所以海軍護(hù)航艦航行的方位角為 .
變式 如圖，位于 處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的
處有一艘漁船遇險，在原地等待營救.信息中心立即把消息告知在
其南偏西 ，相距20海里的 處的乙船，乙船立刻沿北偏東 的
方向前往處救援，求 的值.
解：在中，由題知 海里，海里， ，
由余弦定理得， 海里，
由正弦定理得 ，
,
，
.
［素養(yǎng)小結(jié)］
測量角度問題需要注意3個問題：
①測量角度時，首先應(yīng)明確方位角及方向角的含義;
②求角的大小時,先在三角形中求出其正弦或余弦值;
③在解應(yīng)用題時,要根據(jù)題意正確畫出示意圖，通過這一步可將實(shí)際
問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題,解題過程中也要注意體會正、
余弦定理綜合使用的優(yōu)點(diǎn).
探究點(diǎn)三 正余弦定理在物理學(xué)中的應(yīng)用
例3 在一次抗洪搶險中，某救生艇發(fā)動機(jī)突然發(fā)生故障停止轉(zhuǎn)動，
失去動力的救生艇在洪水中漂行，此時，風(fēng)向北偏東 的方向刮
去，風(fēng)速是，水向正東方向流去，流速是 .若不考慮
其他因素，求救生艇在洪水中漂行的速度.
解：如圖所示，由題意知四邊形 為菱形，， ， ，
由余弦定理知 ，所以，
又 ，
所以救生艇在洪水中漂行的速度的方向?yàn)?br/>北偏東 , 大小為 .
變式 某氣象儀器研究所按以下方案測試一種“彈射型”氣象觀測儀器的
垂直彈射高度：如圖， ，，三地位于同一水平面上，在 處進(jìn)行
該儀器的垂直彈射，觀測點(diǎn)， 兩地相距100米， ，
在地聽到彈射聲音的時間比在地晚秒，
在地測得該儀器彈至最高點(diǎn)時的仰角為 .
求該儀器的垂直彈射高度 （聲音的傳播速度
為340米/秒）．
解：由題意，設(shè) 米，則（米）.
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，解得 .
在中，米， ，
所以 （米），
故該儀器的垂直彈射高度為 米．
［素養(yǎng)小結(jié)］
應(yīng)用解三角形知識解決實(shí)際問題的步驟：
（1）分析題意，準(zhǔn)確理解題意；
（2）根據(jù)題意畫出示意圖，并將已知條件在圖形中標(biāo)出；
（3）將所求問題歸結(jié)到一個或幾個三角形中，通過合理運(yùn)用正弦、
余弦定理等有關(guān)知識正確求解；
（4）檢驗(yàn)解出的結(jié)果是否具有實(shí)際意義，對結(jié)果進(jìn)行取舍，得出正
確答案．
探究點(diǎn)四 正余弦定理在平面圖形中的應(yīng)用
例4 如圖，為拓展旅游業(yè)務(wù)，現(xiàn)準(zhǔn)備在湖邊建造一個觀景臺 ，已知
射線，為湖兩邊夾角為 的公路（長度均超過2千米），在
兩條公路，上分別設(shè)立游客接送點(diǎn)，，從觀景臺到，
建造兩條觀光線路，，測得千米， 千米.
（1）求線段 的長度；
解：在 中，由余弦定理得
，所以 千米.
（2）若 ，求兩條觀光線路與 之和的最大值.
解：設(shè) ，因?yàn)? ，所以 ，
在 中，由正弦定理得 .
因?yàn)椋?br/>所以 千米，
千米，
所以
，
又 ，所以 ，
所以當(dāng) ，即 時， 取得最大值，·
故兩條觀光線路與之和的最大值為 千米.
變式 [2024·南京中華中學(xué)高一期中] 如圖，，，， 四個小島
在同一個圓上，小島與小島、小島都相距5海里，小島 與小島
相距海里，為鈍角，且 .
（1）求小島與小島 之間的距離；
解：，且 為鈍角， .
在 中，
由余弦定理可得 ，
即，
，
解得或（舍去），
小島與小島 之間的距離為2海里.
（2）求四個小島所形成的四邊形的面積.
解：，，， 四點(diǎn)共圓， ，
， .
在 中，由余弦定理得
，
即 ，
，解得 （舍去）或 ，
，
四個小島所形成的四邊形的面積為18平方海里.
［素養(yǎng)小結(jié)］
（1）依據(jù)余弦定理建立方程是余弦定理的一個妙用，也是函數(shù)與方
程思想在解三角形中的體現(xiàn)．
（2）①三角知識、正弦定理以及利用函數(shù)的單調(diào)性求值域的方法；
②數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化等思想．
1.關(guān)于基線的問題
（1）測量時一定要選用基線,因?yàn)闊o論應(yīng)用正弦定理還是余弦定理解
三角形,至少應(yīng)已知一邊的長度;
（2）基線越長,測量的精確度越高.
2.解三角形的應(yīng)用問題一般有以下題型:
（1）距離問題,如求一個可到達(dá)點(diǎn)與一個不可到達(dá)點(diǎn)之間的距離,或
兩個不可到達(dá)點(diǎn)之間的距離;
（2）高度問題,如求有關(guān)底部不可到達(dá)的建筑物的高度問題,一般的
解決方法就是運(yùn)用正弦定理、余弦定理解三角形.
3.余弦、正弦定理在實(shí)際測量中的應(yīng)用的一般步驟
（1）分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖.
（2）建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中
在有關(guān)的三角形中，建立一個解斜三角形的數(shù)學(xué)模型.
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)
模型的解.
（4）檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問
題的解.
4.解三角形應(yīng)用題常見的幾種情況
（1）實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后,已知量與未知量全部集中在一個三角形
中,可用正弦定理或余弦定理解之.
（2）實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后,已知量與未知量涉及兩個三角形或多個
三角形,這時需按順序逐步在幾個三角形中求出問題的解.
（3）實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后,涉及的三角形只有一個,但由題目已知
條件解此三角形需連續(xù)使用正弦定理或余弦定理.
1.解決求一個可到達(dá)點(diǎn)與一個不可到達(dá)點(diǎn)之間的距離問題,轉(zhuǎn)化為應(yīng)
用正弦定理求三角形的邊長問題即可.
例1 如圖所示,設(shè),兩點(diǎn)在河的兩岸,一測量者在
所在的河岸邊選定一點(diǎn),測出， 之間的距離為
, , ,則, 兩點(diǎn)之間
的距離為( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由題意知 ,由正弦定理得 ,
.
2.在運(yùn)用正弦定理、余弦定理解決實(shí)際問題時,通常根據(jù)題意從實(shí)際
問題中抽象出一個或幾個三角形,然后通過解這些三角形得出實(shí)際問
題的解.和高度有關(guān)的問題往往涉及直角三角形的求解.
例2 如圖所示，有兩個興趣小組同時
測量一個小區(qū)內(nèi)的假山高度，已知該
小區(qū)每層樓高 ．
（1）興趣小組1借助測角儀進(jìn)行測量，在與山底在同一水平面上
的 點(diǎn)（一樓）測得山頂?shù)难鼋菫? ，在六樓點(diǎn)（點(diǎn)在 點(diǎn)
正上方）處測得山頂?shù)母┙菫? ，
求假山的高度（精確到 ）；
解：由題意可知， ， ， ，
則 ， ，
在 中，由正弦定理得，即 ,
所以 .
因?yàn)?br/>， ，
所以 ，
故假山的高度約為 .
（2）興趣小組2借助測距儀進(jìn)行測量，
可測得， ，
求假山的高度 ．附： ．
解：由題可知，在 中，
根據(jù)余弦定理可得
，
則 ，
所以在中， ，
故假山的高度為 ．
3.航海問題:解決航海問題主要是在三角形內(nèi)利用正弦定理和余弦定
理求角的正弦值或余弦值,再根據(jù)需要求出角或邊.
例3 某海域的東西方向上分別有， 兩個觀
測點(diǎn)（如圖），它們相距 海里.現(xiàn)有一艘
輪船在點(diǎn)發(fā)出求救信號，經(jīng)探測得知 點(diǎn)位
于點(diǎn)北偏東 方向上，點(diǎn)北偏西 方
向上，這時位于點(diǎn)南偏西 方向上且與
點(diǎn)相距80海里的 點(diǎn)有一艘救援船，其航行速度為35海里/時.
（1）求，兩點(diǎn)間的距離 ；
解：由題意知， 海里，
，
，
所以 .
在中，由正弦定理得 ，即 ，
所以 （海里）.
（2）若命令處的救援船立即前往 點(diǎn)營救（救援船沿直線航行），
求該救援船到達(dá) 點(diǎn)需要的時間.
解：在中， ，海里，
海里，
由余弦定理可得
，
所以海里，
又 ，所以救援船到達(dá) 點(diǎn)需要的時間為2小時.11.3　余弦定理、正弦定理的應(yīng)用
【課前預(yù)習(xí)】
知識點(diǎn)一
診斷分析
(1)×　(2)×　[解析] (1)解一個三角形,至少要知道這個三角形的一條邊的長.
(2)兩個不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離往往可以借助第三個和第四個點(diǎn)來量出相應(yīng)的角度和距離求得.
2.解:在測量過程中,要根據(jù)實(shí)際需要選取合適的基線長度,把求不可到達(dá)的兩點(diǎn)之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用正、余弦定理求三角形的邊長問題,然后把未知的邊長問題轉(zhuǎn)化為測量可到達(dá)的一點(diǎn)與不可到達(dá)的一點(diǎn)之間的距離問題.如圖所示,不可到達(dá)的A,B是地面上兩點(diǎn),要測量A,B兩點(diǎn)之間的距離,一般步驟是:
(1)取基線CD;
(2)測量CD,∠ACB,∠BCD,∠ADC,∠BDA;
(3)分別在△ACD和△BCD中,利用正弦定理求得AC和BC;
(4)在△ABC中,利用余弦定理求得AB.
知識點(diǎn)二
1.水平距離　垂直距離　坡面距離
2.鉛直高度h　水平距離l　i==tan α
診斷分析
(1)√　(2)×　[解析] (1)由坡角的定義可知正確.
(2)坡比是坡面的鉛直高度與坡面的水平距離之比.
【課中探究】
探究點(diǎn)一
例1　解:在△ACD中,∵∠ADC=30°,∠ACD=120°,
∴∠CAD=30°,∴AC=CD= km.
在△BDC中,∠CBD=180°-(45°+30°+45°)=60°,
由正弦定理,得BC==(km).在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=()2+-2××cos 75°=5,∴AB= km,故兩目標(biāo)A,B之間的距離為 km.
變式　(1)①100(+1)　②50(+1)　(2)900
[解析] (1)①由已知,得∠ABC=105°,∠ACB=180°-30°-105°=45°.在△ABC中,由正弦定理,得=,所以AC==100(+1)(m),即點(diǎn)A與參照物C間的距離為100(+1)m.
②河的寬度為ACsin 30°=100(+1)×=50(+1)(m).
(2)∵∠PAB=90°,∠PAQ=60°,∴∠BAQ=30°.在△ABQ中,∵∠PBA=∠PBQ=60°,∴∠ABQ=120°,又∠BAQ=30°,∴∠AQB=180°-120°-30°=30°.由正弦定理,得=,∴AQ=900.在Rt△ABP中,可得AP=ABtan 60°=900.∴AQ=AP=900,又∠PAQ=60°,∴△APQ是等邊三角形,∴PQ=900,∴P,Q兩點(diǎn)間的距離為900 m.
探究點(diǎn)二
例2　解:如圖,設(shè)海軍護(hù)航艦在B處追上貨船,所需的時間為t小時,則AB=10t海里,CB=10t海里.
在△ABC中,∠ACB=120°,根據(jù)余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos 120°,即(10t)2=102+(10t)2-2×10×10tcos 120°,整理得2t2-t-1=0,解得t=1或t=-(舍去),所以海軍護(hù)航艦追上貨船所需的時間為1小時.AB=10海里,BC=10海里,在△ABC中,由正弦定理得=,所以sin∠CAB===,所以∠CAB=30°,所以海軍護(hù)航艦航行的方位角為75°.
變式　解:在△CBA中,由題知AB=40海里,AC=20海里,∠BAC=120°,由余弦定理得BC2=402+202-2×40×20×cos 120°=2800,∴BC=20海里,
由正弦定理得=,∴sin ∠ACB=,
∴cos∠ACB==,
∴cos θ=cos(30°+∠ACB)=×-×=.
探究點(diǎn)三
例3　解:如圖所示,由題意知四邊形OACB為菱形,||=20 km/h,||=20 km/h,∠OAC=120°,由余弦定理知||2=202+202-2×20×20×cos 120°=1200,所以||=20 km/h,又∠COA=30°,所以救生艇在洪水中漂行的速度的方向?yàn)楸逼珫|60°,大小為20 km/h.
變式　解:由題意,設(shè)AC=x米,則BC=x-×340=x-40(米).在△ABC中,由余弦定理得BC2=BA2+AC2-2BA·AC·cos∠BAC,
即(x-40)2=10 000+x2-100x,解得x=420.
在Rt△ACH中,AC=420米,∠CAH=30°,
所以CH=AC·tan∠CAH=140(米),
故該儀器的垂直彈射高度CH為140米.
探究點(diǎn)四
例4　解:(1)在△AMN中,由余弦定理得MN2=AM2+AN2-2AM·ANcos 120°=22+22-2×2×2×=12,
所以MN=2千米.
(2)設(shè)∠PMN=α,因?yàn)椤螹PN=60°,所以∠PNM=120°-α,在△PMN中,由正弦定理得==.因?yàn)?=4,所以PM=4sin(120°-α)千米,PN=4sin α千米,所以PM+PN=4sin(120°-α)+4sin α=4+4sin α=6sin α+2cos α=4sin(α+30°),
又0°<α<120°,所以30°<α+30°<150°,
所以當(dāng)α+30°=90°,即α=60°時,PM+PN取得最大值,
故兩條觀光線路PM與PN之和的最大值為4千米.
變式　解:(1)∵sin∠BAD=,且∠BAD為鈍角,
∴cos∠BAD=-=-.
在△ABD中,由余弦定理可得BD2=AD2+AB2-2AD×AB×cos∠BAD,即(3)2=AD2+52-2AD×5×,∴AD2+8AD-20=0,解得AD=2或AD=-10(舍去),∴小島A與小島D之間的距離為2海里.
(2)∵A,B,C,D四點(diǎn)共圓,∴∠BAD+∠BCD=180°,
∴sin∠BCD=,cos∠BCD=cos(180°-∠BAD)=-cos∠BAD=.
在△BDC中,由余弦定理得CD2+CB2-2CD·CB·cos∠BCD=BD2,即CD2+52-2CD×5×=(3)2,
∴CD2-8CD-20=0,解得CD=-2(舍去)或CD=10,
∴S四邊形ABCD=S△ABD+S△BCD=AB·AD·sin ∠BAD+CB·CD·sin∠BCD
=×5×2×+×5×10×=3+15=18,∴四個小島所形成的四邊形的面積為18平方海里.11.3　余弦定理、正弦定理的應(yīng)用
1.D　[解析] 由已知得BC=AC=4 m,∠ACB=120°,所以由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=42+42-2×4×4×cos 120°=48,所以AB=4 m.
2.D　[解析] 由條件及題圖可知,∠CAB=∠CBA=40°.因?yàn)椤螧CD=60°,所以
∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,因此燈塔A在燈塔B南偏西80°的方向上.
3.A　[解析] ∵∠ACB=45°,∠CAB=105°,∴∠ABC=180°-105°-45°=30°.在△ABC中,由正弦定理得=,∴AB===50(m).
4.C　[解析] 如圖所示,設(shè)山高為AB,塔高為CD,四邊形ABEC為矩形.設(shè)CD=x m,由題意得 tan 30°===,∴BE=(200-x)m,tan 60°===,∴BE= m,∴=(200-x),∴x=,故選C.
5.D　[解析] 設(shè)該建筑物的高度PO=h m,則易知OA=h m,OB=h m.在△AOB中,由余弦定理得402=(h)2+h2-2×h×h×cos 30°,可得h=40.故選D.
6.A　[解析] 如圖所示,在△ABC中,∠BAC=30°,AC=4×15=60,B=45°,由正弦定理得=,∴BC===60,∴船與燈塔的距離為60 km.故選A.
7.D　[解析] 在△BCD中,∠BDC=60°+30°=90°,∠BCD=45°,∴∠CBD=90°-45°=45°,∴BD=CD=40,∴BC==40.在△ACD中,∠ADC=30°,
∠ACD=60°+45°=105°,∴∠CAD=180°-(30°+105°)=45°,由正弦定理,得AC==20.在△ABC中,由余弦定理,
得AB2=BC2+AC2-2BC·AC·cos∠BCA=(40)2+(20)2-2×40×20×cos 60°=2400,∴AB=20,即A,B兩點(diǎn)間的距離為20米.
8.AB　[解析] 由題知AB=x,BC=3,AC=,∠ABC=30°,由余弦定理得3=x2+9-2×3×x×cos 30°,解得x=或x=2.故選AB.
9.37.3 m　[解析] 設(shè)CM=x,在Rt△ACE中,tan 30°==,則AE=(x-10).在Rt△ADE中,tan 45°==,則AE=x+10,故x+10=(x-10),解得x==5(4+2)≈37.3,故這朵云距湖面的高度CM約為37.3 m.
10.4　[解析] 如圖,在平行四邊形OABC中,表示水流的速度,表示船的速度,∠AOC=120°,表示船的實(shí)際速度.在△OAB中,由余弦定理得OB2=OA2+AB2-2·OA·AB·cos 60°=22+42-2×2×4×=12,∴OB=2,∴該船的實(shí)際速度為2 km/h.經(jīng)過2 h,該船實(shí)際航程為2×2=4(km).
11.300　[解析] 如圖,由題知△BED,△BDC為等腰三角形,BD=ED=600 m,BC=DC=200 m.在△BCD中,由余弦定理可得cos 2θ==,∴2θ=30°,則4θ=60°.在Rt△ABC中,AB=BC·sin 4θ=200×=300(m),∴該山峰的高度為300 m.
12.解:設(shè)∠ACD=α,∠CDB=β.
在△CBD中,由余弦定理得cos β==-,∴sin β=,
∴sin α=sin(β-60°)=sin βcos 60°-sin 60°cos β=×+×=.
在△ACD中,由正弦定理得=,∴AD==15,∴此人再走15千米才可到達(dá)城A.
13.解:(1)在△BCD中,由余弦定理可知cos C===,
所以sin C==,所以S△BCD=CD·BC·sin C=×100×200×=1875,即燒烤區(qū)的面積為1875平方米.
(2)由S△BCD=CD·BC·sin C=×100×200×sin C=9600,解得sin C=,
因?yàn)镃是鈍角,所以cos C=-,
所以BD==60,
故需要修建60米的隔離防護(hù)欄.
(3)S△BCD=BC·CD·sin C≤BC·CD=10 000,
當(dāng)且僅當(dāng)C=時取等號,此時BD=100.
設(shè)∠ABD=α,α∈,當(dāng)燒烤區(qū)的面積最大時,
在△ABD中,===,
解得AD=sin α,AB=sin,
花卉觀賞區(qū)的面積為S△ABD=AD·AB·sin A=sin αsin
=sin α==
,
因?yàn)棣痢?所以2α-∈,
故當(dāng)2α-=0,即α=時,cos取得最大值1,
所以S△ABD≤×=12 500,
當(dāng)且僅當(dāng)α=時取等號,此時AB=AD=100,
故修建觀賞步道時應(yīng)使AB=AD=100米,C=.11.3　余弦定理、正弦定理的應(yīng)用
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
　　1.能運(yùn)用解三角形知識解決簡單的測量問題.
　　2.能用解三角形的知識解決物理與平面幾何知識.
　　3.強(qiáng)化正余弦定理的應(yīng)用.
◆ 知識點(diǎn)一　測量不可到達(dá)的兩點(diǎn)間距離的方法
測量都不可到達(dá)的兩點(diǎn)間距離的方法
圖形
方法 先用正弦定理,再用余弦定理
【診斷分析】 1.判斷正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)已知三角形的三個角,能夠求其三條邊. (　 )
(2)兩個不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離無法求得. (　 )
2.如何測量地面上兩個不能到達(dá)的兩點(diǎn)之間的距離
◆ 知識點(diǎn)二　與測量高度有關(guān)的概念
1.水平距離、垂直距離、坡面距離
如圖,BC代表　　　　　,AC代表　　　　　,AB代表　　　　　.
2.坡度、坡角
如圖,坡面的　　　　和　　　　　的比叫作坡度(或叫作坡比),用字母i表示,即i=.坡度一般寫成h∶l的形式,如i=1∶4.
坡面與水平面的夾角α叫作坡角,坡角與坡度之間有如下關(guān)系:　　　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)坡面與水平面的夾角叫作坡角. (　 )
(2)坡面的水平距離與坡面的鉛直高度之比叫作坡比. (　 )
◆ 探究點(diǎn)一　測量兩個不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離
例1 如圖,隔河看兩目標(biāo)A,B,但不能到達(dá),在岸邊選取相距 km的C,D兩點(diǎn),并測得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(A,B,C,D在同一平面內(nèi)),求兩目標(biāo)A,B之間的距離.
　　　　　 　　　　　 　　　　　
變式 (1)如圖,一名學(xué)生在河岸緊靠岸邊筆直行走,開始在A處,經(jīng)觀察,在河的對岸有一參照物C,AC與學(xué)生前進(jìn)方向成30°角,學(xué)生前進(jìn)200 m后到達(dá)點(diǎn)B,測得BC與前進(jìn)方向成75°角.①點(diǎn)A與參照物C間的距離為　　　　m;②河的寬度為　　　　 m.
(2)如圖,為了測量兩座山峰上P,Q兩點(diǎn)之間的距離,選擇山坡上一段長度為300 m且和P,Q兩點(diǎn)在同一平面內(nèi)的路段AB的兩個端點(diǎn)作為觀測點(diǎn),現(xiàn)測得∠PAB=90°,∠PAQ=∠PBA=∠PBQ=60°,則P,Q兩點(diǎn)間的距離為　　　　m.
[素養(yǎng)小結(jié)]
求可視不可達(dá)的兩點(diǎn)間的距離時,如要求圖中河彼岸兩點(diǎn)A,B間的距離:可先在此岸一側(cè)選取兩點(diǎn)C,D,測出CD=m,∠ACB,∠ACD,∠BDC,∠ADB,再在△BCD中求出BC,在△ADC中求出AC,最后在△ABC中,由余弦定理求出AB.
◆ 探究點(diǎn)二　測量角度問題
例2 某貨船在索馬里海域航行時遭海盜襲擊,發(fā)出求救信號,如圖,我國海軍護(hù)航艦在A處獲悉后,立即測出該貨船在方位角為45°,距離為10海里的C處,并測得貨船正沿方位角為105°的方向,以10海里/時的速度行駛,海軍護(hù)航艦立即以10海里/時的速度,沿直線行駛前去營救,求海軍護(hù)航艦航行的方位角和追上貨船所需的時間.
變式 如圖,位于A處的信息中心獲悉:在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險,在原地等待營救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°,相距20海里的C處的乙船,乙船立刻沿北偏東θ的方向前往B處救援,求cos θ的值.
[素養(yǎng)小結(jié)]
測量角度問題需要注意3個問題:
①測量角度時,首先應(yīng)明確方位角及方向角的含義;
②求角的大小時,先在三角形中求出其正弦或余弦值;
③在解應(yīng)用題時,要根據(jù)題意正確畫出示意圖,通過這一步可將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題,解題過程中也要注意體會正、余弦定理綜合使用的優(yōu)點(diǎn).
◆ 探究點(diǎn)三　正余弦定理在物理學(xué)中的應(yīng)用
例3 在一次抗洪搶險中,某救生艇發(fā)動機(jī)突然發(fā)生故障停止轉(zhuǎn)動,失去動力的救生艇在洪水中漂行,此時,風(fēng)向北偏東30°的方向刮去,風(fēng)速是20 km/h,水向正東方向流去,流速是20 km/h.若不考慮其他因素,求救生艇在洪水中漂行的速度.
變式 某氣象儀器研究所按以下方案測試一種“彈射型”氣象觀測儀器的垂直彈射高度:如圖,A,B,C三地位于同一水平面上,在C處進(jìn)行該儀器的垂直彈射,觀測點(diǎn)A,B兩地相距100米,∠BAC=60°,在A地聽到彈射聲音的時間比在B地晚秒,在A地測得該儀器彈至最高點(diǎn)H時的仰角為30°.求該儀器的垂直彈射高度CH(聲音的傳播速度為340米/秒).
[素養(yǎng)小結(jié)]
應(yīng)用解三角形知識解決實(shí)際問題的步驟:
(1)分析題意,準(zhǔn)確理解題意;
(2)根據(jù)題意畫出示意圖,并將已知條件在圖形中標(biāo)出;
(3)將所求問題歸結(jié)到一個或幾個三角形中,通過合理運(yùn)用正弦、余弦定理等有關(guān)知識正確求解;
(4)檢驗(yàn)解出的結(jié)果是否具有實(shí)際意義,對結(jié)果進(jìn)行取舍,得出正確答案.
◆ 探究點(diǎn)四　正余弦定理在平面圖形中的應(yīng)用
例4 如圖,為拓展旅游業(yè)務(wù),現(xiàn)準(zhǔn)備在湖邊建造一個觀景臺P,已知射線AB,AC為湖兩邊夾角為120°的公路(長度均超過2千米),在兩條公路AB,AC上分別設(shè)立游客接送點(diǎn)M,N,從觀景臺P到M,N建造兩條觀光線路PM,PN,測得AM=2千米,AN=2千米.
(1)求線段MN的長度;
(2)若∠MPN=60°,求兩條觀光線路PM與PN之和的最大值.
變式 [2024·南京中華中學(xué)高一期中] 如圖,A,B,C,D四個小島在同一個圓上,小島B與小島A、小島C都相距5海里,小島B與小島D相距3海里,∠BAD為鈍角,且sin ∠BAD=.
(1)求小島A與小島D之間的距離;
(2)求四個小島所形成的四邊形的面積.
[素養(yǎng)小結(jié)]
(1)依據(jù)余弦定理建立方程是余弦定理的一個妙用,也是函數(shù)與方程思想在解三角形中的體現(xiàn).
(2)①三角知識、正弦定理以及利用函數(shù)的單調(diào)性求值域的方法;②數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化等思想.11.3　余弦定理、正弦定理的應(yīng)用
一、選擇題
1.學(xué)校體育館的“人字形”屋架為等腰三角形,如圖所示,測得AC的長度為4 m,A=30°,則其跨度AB的長為 (　 )
A.12 m B.8 m
C.3 m D.4 m
2.如圖,兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等,燈塔A在觀察站C南偏西40°的方向上,燈塔B在觀察站C南偏東60°的方向上,則燈塔A在燈塔B (　 )
A.北偏東10°的方向上
B.北偏西10°的方向上
C.南偏東80°的方向上
D.南偏西80°的方向上
3.如圖,設(shè)A,B兩點(diǎn)在河的兩岸,一測量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)C,測出A,C兩點(diǎn)間的距離為50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,則A,B兩點(diǎn)間的距離為 (　 )
A.50 m B.50 m
C.25 m D. m
4.在200 m高的山頂上,測得山下一塔的塔頂與塔底的俯角分別是30°,60°,則塔高為 (　 )
A. m B.100 m
C. m D.90 m
5.如圖,有一建筑物OP,為了測量它的高度,在地面上選一長度為40 m的基線AB,若在點(diǎn)A處測得點(diǎn)P的仰角為30°,在點(diǎn)B處測得點(diǎn)P的仰角為45°,且∠AOB=30°,則該建筑物的高度為 (　 )
A.20 m B.20 m
C.20 m D.40 m
6.一艘船以15 km/h的速度向正東方向行駛,船在A處看到一燈塔B在北偏東60°方向上,行駛4 h后,船到達(dá)C處,看到這個燈塔在北偏東15°方向上,這時船與燈塔的距離為 (　 )
A.60 km B.60 km
C.30 km D.30 km
7.如圖,為了測量河對岸A,B兩點(diǎn)間的距離,沿河岸選取相距40米的C,D兩點(diǎn),測得∠ACB=60°,∠BCD=45°,∠ADB=60°,∠ADC=30°,則A,B兩點(diǎn)間的距離是 (　 )
A.20米 B.20米
C.40米 D.20米
8.(多選題)某人從點(diǎn)A向正東方向走x km后到達(dá)B點(diǎn),向右轉(zhuǎn)150°,然后朝新方向走3 km后到達(dá)C點(diǎn),結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)A恰好是 km,那么x的值為 (　 )
A. B.2
C.2 D.3
二、填空題
9.如圖,在湖面上高為10 m的A處測得天空中一朵云C的仰角為30°,測得湖中之影D的俯角為45°,則這朵云距湖面的高度CM約為　　　　.(≈1.732,結(jié)果精確到0.1 m)
10.一艘船以4 km/h的速度沿著與水流方向成120°的方向航行,已知水流的速度為2 km/h,則經(jīng)過2 h,該船實(shí)際航程為　　　　km.
11.在某個位置測得某山峰的仰角為θ,對著山峰在地面上前進(jìn)600 m后測得山峰的仰角為2θ,繼續(xù)在地面上前進(jìn)200 m后測得山峰的仰角為4θ,則該山峰的高度為　　　　m.
三、解答題
12.如圖,某觀測站在城A南偏西20°方向上的C處,由城A出發(fā)的一條公路的走向是南偏東40°,在C處測得公路上距C 31千米的B處有一人正沿公路向城A走去,走了20千米后到達(dá)D處,此時C,D間的距離為21千米,此人再走多少千米才可到達(dá)城A
13.[2024·江蘇連云港高一期中] 在某公園湖畔擬建造一個四邊形的露營基地, 如圖所示.考慮到露營客人娛樂休閑的需求,在四邊形ABCD區(qū)域中,將三角形ABD區(qū)域設(shè)立成花卉觀賞區(qū),三角形BCD區(qū)域設(shè)立成燒烤區(qū),沿AB,BC,CD,DA修建觀賞步道,沿BD修建隔離防護(hù)欄,其中CD=100米,BC=200米,A=.
(1)若BD=150米,求燒烤區(qū)的面積.
(2)如果燒烤區(qū)是一個面積為9600平方米的鈍角三角形,那么需要修建多長的隔離防護(hù)欄
(3)考慮到燒烤區(qū)的安全性,在規(guī)劃四邊形ABCD區(qū)域時,首先保證燒烤區(qū)的面積最大,再使花卉觀賞區(qū)的面積盡可能大,則應(yīng)如何設(shè)計(jì)觀賞步道

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