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(共34張PPT)
12.2 復數的運算
第2課時 復數的乘方與除法運算
探究點一 復數的乘方與的
周期性
探究點二 復數的除法運算
探究點三 復數集內解方程
【學習目標】
掌握復數代數表示式的乘方與除法運算,并能熟練地進行計算.
知識點一 復數的正整數指數冪運算律
（1） .
（2） .
（3） （其中,，, ）.
【診斷分析】
（1）__,____,____,___, .
1
[解析] ,,, .
（2） __________.
2或或0
[解析] 當,時，;
當, 時，;
當,時， .
知識點二 復數的除法法則
復數的除法法則
____________________,,, ，且
.
兩個復數的商仍是一個______.
復數
【診斷分析】
（1）若復數滿足（是虛數單位），則 的共軛復
數 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因為，，，， ，所以
，則
， .故選C.
√
（2）復數的除法與實數的除法有何不同
解：實數的除法可以直接約分化簡得出結果,但復數的除法中分母為
復數,一般不能直接約分化簡.由于兩個共軛復數的積是一個實數,因此,
兩個復數相除時,可以先把式子寫成分式的形式,然后把分子、分母同
乘分母的共軛復數（注意是分母的共軛復數）,再把結果化簡即可.
知識點三 復數的平方根
1.實數的平方根
設,當時,的平方根為實數0;當時, 的平方根是兩個實數
;當時,的平方根是兩個純虛數 ,這是由于
.
2.虛數的平方根
設,且,若是 的平方
根,則有,即 ,所以有
解方程組求出, 的值即可.
探究點一 復數的乘方與 的周期性
例1（1） 計算：，,, .
解：,,, .
（2）若復數，求 .
解：因為，，，，所以 ,
所以，
則 ，
所以 .
（3）設，求，及 的值.
解：由 ，可得
，
，
.
變式 計算：
（1） ；
解： .
（2） ；
解： .
（3） .
解： .
［素養小結］
乘方計算時常用結論：
（1），，， ；
（2） ；
（3）設，則， ；
（4） ；
（5） ；
（6） .
探究點二 復數的除法運算
例2 計算：
（1） ；
解： .
（2） .
解： .
變式 計算：
（1） ;
解： .
（2） .
解：
.
［素養小結］
（1）復數的除法是先將式子寫成分式形式,再將分子、分母同時乘分
母的共軛復數,然后按復數的乘法法則進行運算,最后化簡.
（2）記住以下結論可以提高運算速度.
,;, ; .
探究點三 復數集內解方程
例3（1） 在復數范圍內解方程 .
解：由 ，
可得，則 ，
所以方程的解為或 .
（2）已知是方程的一個根（, 為實數）.
①求, 的值;
解：由題知,即 ,
所以解得
②試判斷 是否為該方程的根.
解：由①知,原方程為 ,
因為,所以 是該方程的根.
變式（1） 在復數范圍內解方程 .
解：由,得 ,
故,解得, .
（2）已知是關于的方程的一個根,其中 ,
,求 .
解：方法一:由題意得 ,
化簡得,
所以解得 所以 .
方法二:因為是關于的方程 的一個根,所以
也是方程 的根,
所以由根與系數的關系得,,
解得, ,所以 .
［素養小結］
解實系數方程，通常利用配方法、公式法進行求解.
1.復數代數形式的除法運算的實質是分母“實數化”,即分子以及分母
同乘分母的“實數化”因式.類似于以前所學的把分母“有理化”.
2.有關虛數單位 的運算
虛數的乘方及其規律:,,,,, ,
,, .可見,, ,
,即 的乘方具有周期性且最小正周期為4.
3.復數常見的運算小結論
（1） ;
（2） ;
（3） ;
（4） ；
（5） .
4.在復數范圍內,實系數一元二次方程 的求根
公式為
（1）當時,;
（2）當時, .
1.復數與函數
例1 [2024·江蘇南通啟東中學月考] 已知
，則集合， 中元素的個數為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
√
[解析] ,
，，，
集合， 中元素的個數為2.故選B.
2.復數與方程
例2 已知復數，其中是正實數， 是虛數單位.
（1）如果為純虛數，求實數 的值；
解：因為 為純虛數，
所以解得 （負值舍去）.
（2）如果，是關于的方程
的一個根，求 的值.
解： ，
則 ，
故也是關于的方程 的一個根，
故解得
故 .第2課時　復數的乘方與除法運算
【課前預習】
知識點一
診斷分析
(1)i　-1　-i　1　(2)2或-2或0　[解析] (1)i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+4=1.
(2)當n=4k,k∈N*時,in+(-i)n=2;當n=4k+2,k∈N時,in+(-i)n=-2;當n=2k+1,k∈N時,in+(-i)n=0.
知識點二
=+i　復數
診斷分析
(1)C　[解析] 因為i1=i,i2=-1,i3=-i,i4=1,…,所以(1+i)z=2i2023=2i505×4+3=-2i,則z===-1-i,∴=-1+i.故選C.
(2)解:實數的除法可以直接約分化簡得出結果,但復數的除法中分母為復數,一般不能直接約分化簡.由于兩個共軛復數的積是一個實數,因此,兩個復數相除時,可以先把式子寫成分式的形式,然后把分子、分母同乘分母的共軛復數(注意是分母的共軛復數),再把結果化簡即可.
【課中探究】
探究點一
例1　　解:(1)(1+i)2=2i,(1+i)3=2i-2,(1+i)4=-4,(1+i)9=16+16i.
(2)因為i=i,i2=-1,i3=-i,i4=1,所以i+i2+i3+i4=0,所以z=i+i2+i3+…+i10=i+i2+i3+i4+i4(i+i2+i3+i4)+i8·i+i8·i2=i+i2=-1+i,則=-1-i,所以z·=(-1+i)·(-1-i)=2.
(3)由z=--i,可得z2==+i-=-+i,z3=z2·z==+=1,z2+z+1=-+i--i+1=0.
變式　解:(1)(1-i)10=[(1-i)2]5=(-2i)5=-32i.
(2)====--i=--i.
(3)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i)=(4-i)(6-2i)+(7-i)(4-3i)=22-14i+(25-25i)=47-39i.
探究點二
例2　解:(1)+=+=i-i=0.
(2)===
==-1+i.
變式　解:(1)+(--i)3+=-i++=-i-8i+i=-8i.
(2)===
==-2-2i.
探究點三
例3　解:(1)由x2-10x+27=(x-5)2+2=0,
可得(x-5)2=-2=(i)2,則x-5=±i,
所以方程x2-10x+27=0的解為x=5-i或x=5+i.
(2)①由題知(1+i)2+b(1+i)+c=0,即(b+c)+(2+b)i=0,所以解得
②由①知,原方程為z2-2z+2=0,因為(1-i)2-2(1-i)+2=0,所以1-i是該方程的根.
變式　解:(1)由z2-4z+5=0,得(z-2)2=-1,
故z-2=±i,解得z1=2+i,z2=2-i.
(2)方法一:由題意得2(-2+i)2+m(-2+i)+n=0,化簡得-2m+n+6+(m-8)i=0,所以解得所以m+n=18.
方法二:因為-2+i是關于x的方程2x2+mx+n=0的一個根,所以-2-i也是方程2x2+mx+n=0的根,所以由根與系數的關系得-2+i-2-i=-,(-2+i)(-2-i)=,解得m=8,n=10,所以m+n=18.第2課時　復數的乘方與除法運算
1.D　[解析] z===-i.故選D.
2.C　[解析] 由題意可知,====+i,所以z=-i.故選C.
3.D　[解析] (1+i)12=(2i)6=-26.故選D.
4.C　[解析] 由題可得z=(1+i)(z-1),則z==1-i.
5.B　[解析] ∵==+i為實數,∴a+1=0,即a=-1.故選B.
6.A　[解析] 因為i是方程x2+ax+b=0的根,所以i2+ai+b=b-1+ai=0,所以所以所以a+b=1,a-b=-1.故選A.
7.B　[解析] 因為i4k+1=i,i4k+2=-1,i4k+3=-i,i4k+4=1,所以f(n)=in+=k∈N,所以f(n)的值域中,元素有3個.故選B.
8.ABD　[解析] 對于選項A,z===1+i,故A正確;對于選項B,z的虛部為1,故B正確;對于選項C,z的共軛復數為1-i,故C錯誤;對于選項D,z-z2=1+i-(1+i)2=1+i-1-2i+1=1-i,故D正確.故選ABD.
9.BC　[解析] M={m|m=in,n∈N*},當n=4k+1(k∈N)時,in=i,當n=4k+2(k∈N)時,in=-1,當n=4k+3(k∈N)時,in=-i,當n=4k+4(k∈N)時,in=1,∴M={-1,1,i,-i}.對于選項A,(1-i)(1+i)=2 M;對于選項B,==-i∈M;對于選項C,==i∈M;對于選項D,(1-i)2=-2i M.故選BC.
10.-1+i　[解析] ==i(1+i)=-1+i.
11.-i　[解析] 由(z+2)i=zi+2i=2z-1,得(2-i)z-(1+2i)=0,則z====i,所以=-i.
12.1　[解析] 設z=a+bi(a,b∈R,b≠0),則=a-bi,因為z+=a+bi+=+i為實數,所以b-=0,則a2+b2=1,故z·=(a+bi)(a-bi)=a2+b2=1.
13.解:(1)∵===-i,
∴=(-i)3=i.
(2)===
===+i.
(3)(1+i)10-(1-i)10=[(1+i)2]5-[(1-i)2]5=(2i)5-(-2i)5=32i+32i=64i.
(4)-=-
=-=-=+i+-i=.
14.解:(1)設z=a+bi(a,b∈R),
則z+2i=a+(2+b)i為實數,所以b=-2,
==為實數,
所以a=4,所以z=4-2i,
所以z2=(4-2i)2=16-16i-4=12-16i.
(2)因為復數z是方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的一個解,
所以(4-2i)2+(4-2i)m+n=0,
整理可得解得所以m-n=-28.
15.ACD　[解析] 由題意知,Δ=b2-4<0,則x=,不妨設z1=,z2=.對于A,==z2,故A正確;對于B,====-i,=+i,故B不正確;對于C,z1·z2=×==1,故C正確;對于D,當b=1時,z1=,z2=,則==+-i=--i,==++i=-+i,所以=·z1==-i2=1,=·z2==-i2=1,所以==1,故D正確.故選ACD.
16.解:(1)因為z1=(a+i)2,z2=4-3i,z1=iz2,
所以(a+i)2=a2-1+2ai=3+4i,
所以解得a=2,故實數a的值為2.
(2)依題意得===,因為是純虛數,所以解得a=2或a=-,
又因為a是正實數,所以a=2,所以=i,所以+++…+=i+i2+i3+i4+…+i2024=(i+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+(i2021+
i2022+i2023+i2024)=(i-1-i+1)+(i-1-i+1)+…+(i-1-i+1)=0+0+…+0=0.第2課時　復數的乘方與除法運算
【學習目標】
　　掌握復數代數表示式的乘方與除法運算,并能熟練地進行計算.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
◆ 知識點一　復數的正整數指數冪運算律
(1)zm·zn=zm+n.
(2)(zm)n=zmn.
(3)(z1·z2)n=· (其中z1,z2∈C,m,n∈N*).
【診斷分析】 (1)i4n+1=　　　　,i4n+2=　　　　,i4n+3=　　　　,i4n+4= 　　　　,n∈N.
(2)in+(-i)n=　　　　.
◆ 知識點二　復數的除法法則
復數的除法法則
(a+bi)÷(c+di)=　　　　　　　　　　(a,b,c,d∈R,且c+di≠0).
兩個復數的商仍是一個　　　　.
【診斷分析】 (1)若復數z滿足(1+i)z=2i2023(i是虛數單位),則z的共軛復數= (　 )　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.1+i B.1-i
C.-1+i D.-1-i
(2)復數的除法與實數的除法有何不同
◆ 知識點三　復數的平方根
1.實數的平方根
設a∈R,當a=0時,a的平方根為實數0;當a>0時,a的平方根是兩個實數±;當a<0時,a的平方根是兩個純虛數±i,這是由于(±i)2=(±)2·i2=-a·(-1)=a.
2.虛數的平方根
設z=a+bi(a,b∈R且b≠0),若x+yi(x,y∈R)是z=a+bi的平方根,則有(x+yi)2=a+bi,即x2-y2+2xyi=a+bi,所以有解方程組求出x,y的值即可.
◆ 探究點一　復數的乘方與in(n∈N*)的周期性
例1 (1)計算:(1+i)2,(1+i)3,(1+i)4,(1+i)9.
(2)若復數z=i+i2+i3+…+i10,求z·.
(3)設z=--i,求z2,z3及z2+z+1的值.
變式 計算:(1)(1-i)10;
(2);
(3)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i).
[素養小結]
乘方計算時常用結論:
(1)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*);
(2)i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N*);
(3)設ω=-+i,則ω2+ω+1=0,ω3=1;
(4)(a+bi)2=a2+2abi-b2(a,b∈R);
(5)(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R);
(6)(1±i)2=±2i.
◆ 探究點二　復數的除法運算
例2 計算:(1)+;
(2).
變式 計算:(1)+(--i)3+;
(2).
[素養小結]
(1)復數的除法是先將式子寫成分式形式,再將分子、分母同時乘分母的共軛復數,然后按復數的乘法法則進行運算,最后化簡.
(2)記住以下結論可以提高運算速度.
①(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i;②=-i,=i;③=-i.
◆ 探究點三　復數集內解方程
例3 (1)在復數范圍內解方程x2-10x+27=0.
(2)已知1+i是方程z2+bz+c=0的一個根(b,c為實數).
①求b,c的值;
②試判斷1-i是否為該方程的根.
變式 (1)在復數范圍內解方程z2-4z+5=0.
(2)已知-2+i是關于x的方程2x2+mx+n=0的一個根,其中m,n∈R,求m+n.
[素養小結]
解實系數方程,通常利用配方法、公式法進行求解.第2課時　復數的乘方與除法運算
一、選擇題
1.若z=,則復數z= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.1 B.-1
C.i D.-i
2.[2024·江蘇南京外國語學校期末] 若=1-i,則復數z= (　 )
A.-- B.-+
C.- D.+
3.[2024·重慶八中月考] 已知i為虛數單位,則(1+i)12= (　 )
A.212 B.-212
C.26 D.-26
4.[2024·新課標Ⅰ卷] 若=1+i,則z= (　 )
A.-1-i B.-1+i
C.1-i D.1+i
5.已知i為虛數單位,a∈R,若為實數,則a= (　 )
A.-3 B.-1
C.1 D.3
6.[2024·江蘇金陵中學月考] 已知i(i是虛數單位)是方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的根,則 (　 )
A.a+b=1 B.a-b=1
C.a+b=0 D.a-b=0
7.在f(n)=in+(n∈N*)的值域中,元素有 (　 )
A.2個 B.3個
C.4個 D.無數個
8.(多選題)已知復數z=(i為虛數單位),則 (　 )
A.z=1+i
B.z的虛部為1
C.z的共軛復數為-1+i
D.z-z2=1-i
9.(多選題)[2024·福州三中高一期中] 已知集合M={m|m=in,n∈N*},其中i為虛數單位,則下列元素屬于集合M的是 (　 )
A.(1-i)(1+i) B.
C. D.(1-i)2
二、填空題
10.[2024·天津河西區期末] 設i為虛數單位,則復數=　　　　.
11.已知復數z滿足(z+2)i=2z-1,則復數=　　　　.
12.[2024·江蘇南京江寧高級中學月考] 已知虛數z滿足z+為實數,則z·=　　　　.
三、解答題
13.計算:(1);
(2);
(3)(1+i)10-(1-i)10;
(4)-.
14.[2024·福建泉州五中期中] 已知z是復數,z+2i與均為實數.
(1)求z2;
(2)若復數z是方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的一個解,求m-n的值.
15.(多選題)[2024·江蘇泰興中學月考] 已知復數z1,z2是關于x的方程x2+bx+1=0(-2A.=z2
B.=
C.z1·z2=1
D.若b=1,則==1
16.已知復數z1=(a+i)2(a∈R),z2=4-3i,其中i是虛數單位.
(1)若z1=iz2,求實數a的值;
(2)若是純虛數,a是正實數,求+++…+.

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