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(共41張PPT)
12.3 復數(shù)的幾何意義
探究點一 復數(shù)與復平面內(nèi)的點
探究點二 復數(shù)的模
探究點三 復數(shù)加、減法的幾何意義
【學習目標】
1.理解復數(shù)的幾何意義,了解復數(shù)集與平面直角坐標系中的點集、
復數(shù)與以原點為起點的平面向量的對應關系,理解復平面的概念,理解
復數(shù)模的概念.
2.了解復數(shù)加、減運算的幾何意義,并能利用幾何意義解決簡單
數(shù)學問題.
知識點一 復平面的定義
如圖所示,點的橫坐標為,縱坐標為 ,我們把
建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫作
________,軸叫作______, 軸叫作______.實
軸上的點都表示______;除原點外,虛軸上的點
都表示純虛數(shù).
復平面
實軸
虛軸
實數(shù)
【診斷分析】
1.判斷正誤.（正確的打“√”，錯誤的打“×”）
（1）在復平面內(nèi),對應于實數(shù)的點都在實軸上.( )
√
（2）在復平面內(nèi),對應于純虛數(shù)的點都在虛軸上.( )
√
（3）在復平面內(nèi),實軸上的點所對應的復數(shù)都是實數(shù).( )
√
（4）在復平面內(nèi),虛軸上的點所對應的復數(shù)都是純虛數(shù).( )
×
（5）在復平面內(nèi),對應于非純虛數(shù)的點都分布在四個象限內(nèi).( )
×
2.在復平面內(nèi),下列各點中對應的復數(shù)是純虛數(shù)的是( )
A. B. C. D.
[解析] 復平面內(nèi)的點對應的復數(shù)是 ,是純虛數(shù).
√
知識點二 復數(shù)的幾何意義
（1）復數(shù)的幾何意義:復數(shù)
、復平面內(nèi)的點
_______和平面向量____之間的關系
可用圖表示.
（2）向量 的____叫作復數(shù)__________的模（或絕對值）,
記作或.如果，那么 就是實數(shù)___，它的模
等于____（即實數(shù)的絕對值）.由模的定義可知
_________，可以表示點 到原點的距離.
模
【診斷分析】
復數(shù)與復平面內(nèi)的向量怎樣建立對應關系
解：當向量的起點在原點時,該向量可由終點唯一確定,從而可與該終
點對應的復數(shù)建立一一對應關系.
知識點三 復數(shù)加（減）法的幾何意義
（1）
1.如圖（1）所示,設向量, 分別與復數(shù)
,對應，且,
不共線，以, 為兩條鄰邊畫平行四邊形
,則對角線 所表示的向量____就是
與復數(shù)_________________對應的向量.這就是
復數(shù)加法的幾何意義，即若 ,
，則 .
__________________________，故
____________________. 這表明：兩個復數(shù)的差的模就是復平面內(nèi)與這
兩個復數(shù)對應的兩點間的______.
（2）
2.如圖（2）所示,若向量,分別與復數(shù), 對
應，則它們的差 對應著向量___________，
即向量.如果作，那么點 對應的復
數(shù)就是________.這就是復數(shù)減法的幾何意義.
設,，，，， ，則
距離
【診斷分析】
判斷正誤.（正確的打“√”，錯誤的打“×”）
（1）兩個復數(shù)求和時,可以利用向量的平行四邊形法則.( )
√
（2）對復數(shù)減法的幾何意義的理解：設復數(shù), 在復平面內(nèi)對應的
點分別為,,則表示與 兩點間的距離.( )
√
探究點一 復數(shù)與復平面內(nèi)的點
例1（1） 已知在復平面內(nèi)，是坐標原點，復數(shù) 對應的點
是，如果點與點關于虛軸對稱，點與點 關于原點對稱，分
別求與 對應的復數(shù).
解：由題意知，與關于虛軸對稱，，
與 關于原點對稱， ,
， ，
，對應的復數(shù)分別為， .
（2）當實數(shù) 滿足什么條件時,復數(shù)
在復平面內(nèi)對應的點:①在虛軸上;②在第二象限;③在直線 上.
解：①復數(shù)的實部為 ,
虛部為 .由復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在虛軸上,
得 ,解得或 .
②由復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在第二象限,得 即
.
③由復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在直線 上,得
, .
變式（1） 在復平面內(nèi),將復數(shù)對應的向量繞原點 按逆時針
方向旋轉(zhuǎn)得到向量,那么 對應的復數(shù)是____.
[解析] 由題意得,則.
將繞原點 按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到向量,
則點在虛軸上,且 ,
所以,所以對應的復數(shù)是 .
（2）當實數(shù) 滿足什么條件時,復數(shù)
在復平面內(nèi)對應的點：①位于第四象限；②位于實軸的負半軸上.
解：①由題意得即 .
②由題意得即 .
［素養(yǎng)小結(jié)］
（1）由復數(shù)集中的數(shù)與復平面內(nèi)的點的一一對應關系，知每一個復
數(shù)都對應著一個有序?qū)崝?shù)對，只要在復平面內(nèi)找出這個有序?qū)崝?shù)對
所表示的點，就可根據(jù)點的位置判斷復數(shù)的實部、虛部的取值.
（2）由復平面內(nèi)適合某種條件的點的集合求參數(shù)的取值時，通常是
根據(jù)對應關系，列出方程（組）或不等式（組）求解．
探究點二 復數(shù)的模
例2（1） 求復數(shù), 的模，并比較它們的模
的大小.
解： ,，
所以 .
（2）已知復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限.若 的實部與虛部
之和為7，且，求 .
解：依題意可設 ，
因為的實部與虛部之和為7，且，
所以 解得故 .
（3）求滿足條件的復數(shù) 在復平面內(nèi)表示的圖形.
解：復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點 的集合構成的圖形是半徑為2的圓與
半徑為3的圓之間的部分，包含半徑為2的圓周，不包含半徑為3的圓
周，如圖所示.
變式（1）[2024·南京六校聯(lián)合體高一期末]若，則 ( )
A. B.3 C. D.5
[解析] 方法一：因為
，所以 .故選C.
方法二： .故選C.
√
（2）若復數(shù)的共軛復數(shù)的模等于,則實數(shù) 的值
為_______.
或
[解析] 方法一:由題意得,
, ,
兩邊同時平方得 ,
,或 .
方法二:, ,兩邊同時平方得
,,或 .
（3）[2024·浙江重點中學四校高一期末] 若，則
的最大值為___.
3
[解析] 令且，，因為，所以 在復
平面上對應的點與復數(shù)對應的點 間的距離為1，
所以復數(shù)對應的點在以 為圓心，1為半徑的圓上，
又 表示圓上的點到原點的距離，而圓心到原點的距離
為，所以的最大值為 .
［素養(yǎng)小結(jié)］
一般地，欲求一個復數(shù)的模，通常先設出復數(shù)的代數(shù)形式
，然后利用已知條件列出關于， 的方程組，解出
， ，即求得復數(shù)，最后代入公式計算.
探究點三 復數(shù)加、減法的幾何意義
例3 如圖所示，在復平面內(nèi)，平行四邊形
的頂點，， 分別對應復數(shù)0，
， .求：
（1） 對應的復數(shù)；
解：因為，所以 對應的復數(shù)為
.
（2） 對應的復數(shù)；
解：因為，所以 對應的復數(shù)
為 .
（3） 對應的復數(shù).
解：因為，所以 對應的復
數(shù)為 .
變式 已知復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在直線上，且復數(shù)
為實數(shù).
（1）求復數(shù) ；
解： 復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在直線 上，
設 ，
為實
數(shù)，，解得 ，
或 .
（2）設，，在復平面內(nèi)對應的點分別為，，，若點 在
第二象限，求 的面積.
解： 點在第二象限，，故 ，
，則， ，
則，的長為2，點到的距離 ，
.
［素養(yǎng)小結(jié)］
（1）根據(jù)復數(shù)的幾何意義可知，復數(shù)的加、減運算可以轉(zhuǎn)化為點的
坐標運算或向量的加、減運算；
（2）復數(shù)及其加、減運算的幾何意義為數(shù)形結(jié)合思想在復數(shù)中的應
用提供了可能.對于一些較復雜的復數(shù)運算問題，特別是與模有關的
問題，將復數(shù)與點及向量加以轉(zhuǎn)化可有助于問題的解決.
解：由復數(shù)模的幾何意義及 可
知在復平面內(nèi)對應的點在以 為圓心，1
為半徑的圓上，
而表示復數(shù) 在復平面內(nèi)對應的點到原點的距離，
由圖可知， .
拓展 [2024·菏澤一中高一月考] 設是復數(shù)且 ，求
的最小值.
1.根據(jù)復數(shù)的幾何意義,復數(shù)的加、減運算可以轉(zhuǎn)化為點的坐標運算
或向量的加、減法運算,復數(shù)的加、減運算用向量進行時,同樣滿足平
行四邊形法則和三角形法則.
2.復數(shù)及其加、減運算的幾何意義為數(shù)形結(jié)合思想在復數(shù)中的應用提
供了可能,對于一些比較復雜的復數(shù)運算問題,特別是與模有關的問題,
將復數(shù)轉(zhuǎn)化為點或向量有助于問題的解決.
3.設, ,則
的幾何意義為復平面內(nèi)復數(shù)對應的點到復數(shù) 對應的點的
距離;
②在復平面內(nèi)，中所對應的點為以復數(shù) 所對應
的點為圓心, 為半徑的圓上的點.
4.復數(shù)與平行四邊形的關系
在復平面內(nèi),,對應的點分別為,,對應的點為, 為坐標
原點,則四邊形 為平行四邊形.
若,則四邊形 為矩形;
若,則四邊形 為菱形;
若且,則四邊形 為正方形.
1.復數(shù)模的幾何意義
例1 設,則滿足下列條件的復數(shù) 在復平面內(nèi)對應的點的集合是
什么圖形
（1） ;
解：滿足的復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的集合是以 為
圓心,1為半徑的圓.
（2） .
解：, 復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點到 和
的距離相等,即復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的集合是以 和
為端點的線段的中垂線.
例2 在復平面內(nèi),的三個頂點所對應的復數(shù)分別為,, ,復數(shù)
滿足,則對應的點是 的( )
A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心
[解析] 設復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為,由 的三個頂點所對應
的復數(shù)分別為,,及,可知點 到
的三個頂點的距離相等,
由三角形外心的定義,可知點 為 的外心,故選A.
√
例3 已知,,求證: .
證明:設復平面上的點,分別是復數(shù), 所對應的點,則向量,
分別是復數(shù),所對應的向量,其中 為坐標原點,
, .
當,不共線時,如圖所示,以, 為鄰邊
作平行四邊形，則 ,
向量是復數(shù) 所對應的向量,
.
在 中,由“三角形兩邊之和大于第三邊”和 “三角形兩邊之差小于第
三邊”可得,
,
,
.
當,共線且方向相同,即且 時, .
當,共線且方向相反,即且 時, .
綜上所述, .
2.復數(shù)的模在乘、除法中的應用
例4 已知復數(shù),是的共軛復數(shù),則 ( )
A. B. C.1 D.2
[解析] 方法一:
,, .
方法二:, , .
√
例5 [2024·江蘇泰州興化期中]已知，若 ，則
( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] ，則，解得 .故選A.
√12.3　復數(shù)的幾何意義
【課前預習】
知識點一
復平面　實軸　虛軸　實數(shù)
診斷分析
1.(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)×
2.D　[解析] 復平面內(nèi)的點(0,-2)對應的復數(shù)是-2i,是純虛數(shù).
知識點二
(1)Z(a,b)　　(2)模　z=a+bi　a　|a|　
診斷分析
解:當向量的起點在原點時,該向量可由終點唯一確定,從而可與該終點對應的復數(shù)建立一一對應關系.
知識點三
1.　(a+c)+(b+d)i
2.-　z1-z2　z1-z2=(a-c)+(b-d)i　　距離
診斷分析
(1)√　(2)√
【課中探究】
探究點一
例1　解:(1)由題意知Z(2,1),∵Z1與Z關于虛軸對稱,∴Z1(-2,1),∵Z2與Z關于原點對稱,∴Z2(-2,-1),
∴=(-2,1),=(-2,-1),
∴,對應的復數(shù)分別為-2+i,-2-i.
(2)復數(shù)z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i的實部為m2-m-2,虛部為m2-3m+2.
①由復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點在虛軸上,得m2-m-2=0,解得m=2或m=-1.
②由復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點在第二象限,得即∴-1③由復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點在直線y=x上,得m2-m-2=m2-3m+2,∴m=2.
變式　(1)i　[解析] 由題意得=(1,1),則||=.將繞原點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到向量,則點M1在虛軸上,且||=,所以=(0,),所以對應的復數(shù)是i.
(2)解:①由題意得即
∴-7②由題意得即
∴m=4.
探究點二
例2　解:(1)|z1|==10,
|z2|==,所以|z1|>|z2|.
(2)依題意可設z=a+bi(a,b∈R,a>0,b<0),
因為z的實部與虛部之和為7,且|z|=13,所以解得故z=12-5i.
(3)復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點Z的集合構成的圖形是半徑為2的圓與半徑為3的圓之間的部分,包含半徑為2的圓周,不包含半徑為3的圓周,如圖所示.
變式　(1)C　(2)或-1　(3)3
[解析] (1)方法一:因為z=====-1+2i,所以|z|==.故選C.
方法二:|z|====.故選C.
(2)方法一:由題意得=(a+2)+2ai,∵||=,∴=,兩邊同時平方得5a2+4a+4=5,∴(5a-1)(a+1)=0,∴a=或a=-1.
方法二:∵|z|=||,∴=,兩邊同時平方得5a2+4a+4=5,∴(5a-1)(a+1)=0,∴a=或a=-1.
(3)令z=x+yi且x,y∈R,因為|z++i|=1,所以z在復平面上對應的點Z與復數(shù)--i對應的點(-,-1)間的距離為1,所以復數(shù)z對應的點Z在以(-,-1)為圓心,1為半徑的圓上,又|z|=表示圓上的點到原點的距離,而圓心到原點的距離為=2,所以|z|的最大值為2+1=3.
探究點三
例3　解:(1)因為=-,所以對應的復數(shù)為-3-2i.
(2)因為=-,所以對應的復數(shù)為(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.
(3)因為=+,所以對應的復數(shù)為(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.
變式　解:(1)∵復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點在直線y=-x上,
∴設z=a-ai(a∈R),
∵z+=a-ai+=a-ai+=+i為實數(shù),∴-a=0,解得a=±1,
∴z=1-i或z=-1+i.
(2)∵點A在第二象限,∴z=-1+i,故A(-1,1),z2=(-1+i)2=-2i,則B(0,-2),i·z=i·(-1+i)=-1-i,則C(-1,-1),∴AC的長為2,點B到AC的距離d=1,
∴S△ABC=×2×1=1.
拓展　解:由復數(shù)模的幾何意義及|z-1+2i|=1可知z在復平面內(nèi)對應的點在以(1,-2)為圓心,1為半徑的圓上,而|z|表示復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點到原點的距離,
由圖可知,|z|min=-1=-1.12.3　復數(shù)的幾何意義
1.B　[解析] z=-3+2i在復平面內(nèi)對應的點的坐標為(-3,2),該點位于第二象限.故選B.
2.B　[解析] z====-,則|z|==.故選B.
3.C　[解析] 由題意得A,則B,所以向量對應的復數(shù)為--i,所以向量對應的復數(shù)的共軛復數(shù)為-+i,故選C.
4.A　[解析] 復數(shù)z=1+i的共軛復數(shù)為=1-i,它們在復平面內(nèi)對應的點的坐標分別為(1,)與(1,-),而點(1,)與點(1,-)關于實軸對稱,故選A.
5.A　[解析] 因為z在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限,所以a<0.由|z|=2,知=2,解得a=±1,故a=-1,所以z=-1+i.
6.C　[解析] (1+i)2=2i,故A(0,2),由題得B(3,4),C(-1,m),則=-=(3,2),=(-1,m),因為⊥,所以-3+2m=0,解得m=.故選C.
7.B　[解析] 因為|z|-|z0|≤|z-z0|=,所以|z|-≤,所以|z|≤2,所以|z|的最大值為2.故選B.
8.ACD　[解析] 因為z=i+3i2=-3+i,所以=-3-i,故A正確;z·i=(-3+i)·i=-1-3i,故B錯誤;z=-3+i在復平面內(nèi)對應的點為(-3,1),位于第二象限,故C正確;|z+2|=|-1+i|=,故D正確.故選ACD.
9.BC　[解析] 對于A,因為z2=2+i9=2+i2×4+1=2+i,所以=(2+i)2=3+4i,故A錯誤;對于B,因為|z2|==,|z1|=3,所以|z1z2|=|z1||z2|=3,故B正確;對于C,設z1=x+yi(x,y∈R),則z1-z2=x+yi-(2+i)=(x-2)+(y-1)i,又|z1|=3,所以z1在復平面內(nèi)對應的點(x,y)在以(0,0)為圓心,3為半徑的圓上,又|z1-z2|=表示點(x,y)與點(2,1)間的距離,點(2,1)與點(0,0)間的距離為=,所以|z1-z2|=≤+3,故C正確;對于D,設復平面內(nèi)z1對應的向量為,z2對應的向量為,因為|z1+z2|=4,即|+|=4,所以(+)2=+2·+=32+2·+()2=16,所以2·=2,所以(-)2=-2·+=32-2+()2=12,所以|-|=2,即|z1-z2|=2,故D錯誤.故選BC.
10.-1-3i　[解析] 由題意可知,z1=-2-i,z2=1+i,則z1·z2=(-2-i)(1+i)=-2-i-2i-i2=-1-3i.
11.4π　[解析] 由題可知z在復平面內(nèi)對應的點所構成的圖形為半徑為2和2的兩個同心圓所圍成的圓環(huán),其面積為π×[(2)2-22]=4π.
12.4-2i　[解析] 設B(a,b)(a,b∈R),由題知A(2,1),=(1,2),故(2-a,1-b)=(1,2),解得a=1,b=-1,故B(1,-1).設C(x,y)(x,y∈R),由題知=(3,-1),故(x-1,y+1)=(3,-1),解得x=4,y=-2,則點C對應的復數(shù)為4-2i.
13.解:(1)∵A,B,C三點對應的復數(shù)分別為1,2+i,-1+2i,
∴A(1,0),B(2,1),C(-1,2),
∴=(1,1),=(-2,2),=(-3,1),∴向量,,對應的復數(shù)分別為1+i,-2+2i,-3+i.
(2)設D(x,y),則=(x-1,y),又=,∴(x-1,y)=(-3,1),∴x=-2,y=1,
故點D對應的復數(shù)為-2+i.
14.解:(1)復數(shù)z1=1-ai,z2=3-4i,則z1+z2=4+(-a-4)i,由z1+z2是實數(shù),得-a-4=0,解得a=-4,
則z1=1+4i,因此z1·z2=(1+4i)(3-4i)=19+8i.
(2)=(1-ai)2=1-a2-2ai在復平面內(nèi)對應的點為(1-a2,-2a),因為(1-a2,-2a)在第二象限,所以解得a<-1,
所以實數(shù)a的取值范圍是(-∞,-1).
(3)|z-z2|=1表示復平面內(nèi)復數(shù)z對應的點Z與復數(shù)z2對應的點Z2(3,-4)間的距離為1,
因此點Z在以點Z2(3,-4)為圓心,1為半徑的圓上,|z|表示點Z到原點O的距離,|OZ2|==5>1,所以|OZ|min=|OZ2|-1=4,
所以|z|的最小值是4.
15.[4-2,4+2]　[解析] 設復數(shù)2+2i在復平面內(nèi)對應的點為Z1,則Z1(2,2).因為|z-2-2i|≤2,即||≤2,所以點Z在以Z1(2,2)為圓心,2為半徑的圓內(nèi)(包括邊界),因為=(1,1),=(2,2),即=2,所以O,A,Z1三點共線,且||=2||=2.設在方向上的投影向量為a,則|a|∈[2-2,2+2],則·=|||a|=|a|∈[4-2,4+2],所以·的取值范圍為[4-2,4+2].
16.解:設2z1,3z2對應的點分別為Z'1,Z'2,則四邊形OZ'1ZZ'2為平行四邊形,
如圖,設平行四邊形OZ'1ZZ'2的面積為S0,
則△Z1Z2O的面積S=×S0=,所以S0=12S,
則=×S0=S0,=×S0=S0,
故△Z1Z2Z的面積為+-S=S0-S0=S0=4S.12.3　復數(shù)的幾何意義
【學習目標】
　　1.理解復數(shù)的幾何意義,了解復數(shù)集與平面直角坐標系中的點集、復數(shù)與以原點為起點的平面向量的對應關系,理解復平面的概念,理解復數(shù)模的概念.
　　2.了解復數(shù)加、減運算的幾何意義,并能利用幾何意義解決簡單數(shù)學問題.
◆ 知識點一　復平面的定義
如圖所示,點Z的橫坐標為a,縱坐標為b,我們把建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫作　　　　,x軸叫作　　　　,y軸叫作　　　　.實軸上的點都表示　　　　;除原點外,虛軸上的點都表示純虛數(shù).
【診斷分析】 1.判斷正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)在復平面內(nèi),對應于實數(shù)的點都在實軸上. (　 )
(2)在復平面內(nèi),對應于純虛數(shù)的點都在虛軸上. (　 )
(3)在復平面內(nèi),實軸上的點所對應的復數(shù)都是實數(shù). (　 )
(4)在復平面內(nèi),虛軸上的點所對應的復數(shù)都是純虛數(shù). (　 )
(5)在復平面內(nèi),對應于非純虛數(shù)的點都分布在四個象限內(nèi).(　 )
2.在復平面內(nèi),下列各點中對應的復數(shù)是純虛數(shù)的是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(1,2) B.(-3,0)
C.(0,0) D.(0,-2)
◆ 知識點二　復數(shù)的幾何意義
(1)復數(shù)的幾何意義:復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)、復平面內(nèi)的點　　　　和平面向量　　　　之間的關系可用圖表示.
(2)向量=(a,b)的　　　　叫作復數(shù)　　　　的模(或絕對值),記作|z|或|a+bi|.如果b=0,那么z=a+bi就是實數(shù)　　　　,它的模等于　　　　(即實數(shù)a的絕對值).由模的定義可知|z|=|a+bi|=　　　　,可以表示點Z(a,b)到原點的距離.
【診斷分析】 復數(shù)與復平面內(nèi)的向量怎樣建立對應關系
◆ 知識點三　復數(shù)加(減)法的幾何意義
1.如圖(1)所示,設向量,分別與復數(shù)a+bi,c+di(a,b,c,d∈R)對應,且,不共線,以,為兩條鄰邊畫平行四邊形OZ1ZZ2,則對角線OZ所表示的向量　　　　就是與復數(shù)　　　　　　對應的向量.這就是復數(shù)加法的幾何意義,即若=(a,b),=(c,d),則=+=(a+c,b+d).
2.如圖(2)所示,若向量,分別與復數(shù)z1,z2對應,則它們的差z1-z2對應著向量　　　　,即向量.如果作=,那么點Z對應的復數(shù)就是　　　　.這就是復數(shù)減法的幾何意義.
設z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,則　　　　　　　　,故|z1-z2|=||=||=　　　　　　.這表明:兩個復數(shù)的差的模就是復平面內(nèi)與這兩個復數(shù)對應的兩點間的　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)兩個復數(shù)求和時,可以利用向量的平行四邊形法則. (　 )
(2)對復數(shù)減法的幾何意義的理解:設復數(shù)z1,z2在復平面內(nèi)對應的點分別為Z1,Z2,則|z1-z2|表示Z1與Z2兩點間的距離. (　 )
◆ 探究點一　復數(shù)與復平面內(nèi)的點
例1 (1)已知在復平面內(nèi),O是坐標原點,復數(shù)z=2+i對應的點是Z,如果點Z1與點Z關于虛軸對稱,點Z2與點Z關于原點對稱,分別求與對應的復數(shù).
(2)當實數(shù)m滿足什么條件時,復數(shù)z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i在復平面內(nèi)對應的點:①在虛軸上;②在第二象限;③在直線y=x上.
變式 (1)在復平面內(nèi),將復數(shù)1+i對應的向量繞原點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到向量,那么對應的復數(shù)是　　　　.
(2)當實數(shù)m滿足什么條件時,復數(shù)(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在復平面內(nèi)對應的點:①位于第四象限;②位于實軸的負半軸上.
[素養(yǎng)小結(jié)]
(1)由復數(shù)集中的數(shù)與復平面內(nèi)的點的一一對應關系,知每一個復數(shù)都對應著一個有序?qū)崝?shù)對,只要在復平面內(nèi)找出這個有序?qū)崝?shù)對所表示的點,就可根據(jù)點的位置判斷復數(shù)的實部、虛部的取值.
(2)由復平面內(nèi)適合某種條件的點的集合求參數(shù)的取值時,通常是根據(jù)對應關系,列出方程(組)或不等式(組)求解.
◆ 探究點二　復數(shù)的模
例2 (1)求復數(shù)z1=6+8i,z2=--i的模,并比較它們的模的大小.
(2)已知復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限.若z的實部與虛部之和為7,且|z|=13,求z.
(3)求滿足條件2≤|z|<3的復數(shù)z在復平面內(nèi)表示的圖形.
變式 (1)[2024·南京六校聯(lián)合體高一期末] 若z=,則|z|= (　 )
A. B.3
C. D.5
(2)若復數(shù)z=(a+2)-2ai的共軛復數(shù)的模等于,則實數(shù)a的值為　　　　.
(3)[2024·浙江重點中學四校高一期末] 若|z++i|=1,則|z|的最大值為　　　　.
[素養(yǎng)小結(jié)]
一般地,欲求一個復數(shù)的模,通常先設出復數(shù)的代數(shù)形式a+bi(a,b∈R),然后利用已知條件列出關于a,b的方程組,解出a,b,即求得復數(shù),最后代入公式計算.
◆ 探究點三　復數(shù)加、減法的幾何意義
例3 如圖所示,在復平面內(nèi),平行四邊形OABC的頂點O,A,C分別對應復數(shù)0,3+2i,-2+4i.求:
(1)對應的復數(shù);
(2)對應的復數(shù);
(3)對應的復數(shù).
變式 已知復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點在直線y=-x上,且復數(shù)z+為實數(shù).
(1)求復數(shù)z;
(2)設z,z2,i·z在復平面內(nèi)對應的點分別為A,B,C,若點A在第二象限,求△ABC的面積.
[素養(yǎng)小結(jié)]
(1)根據(jù)復數(shù)的幾何意義可知,復數(shù)的加、減運算可以轉(zhuǎn)化為點的坐標運算或向量的加、減運算;
(2)復數(shù)及其加、減運算的幾何意義為數(shù)形結(jié)合思想在復數(shù)中的應用提供了可能.對于一些較復雜的復數(shù)運算問題,特別是與模有關的問題,將復數(shù)與點及向量加以轉(zhuǎn)化可有助于問題的解決.
拓展 [2024·菏澤一中高一月考] 設z是復數(shù)且|z-1+2i|=1,求|z|的最小值.12.3　復數(shù)的幾何意義
一、選擇題
1.設z=-3+2i,則z在復平面內(nèi)對應的點位于 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.[2024·江蘇蘇州期中] 設i為虛數(shù)單位,復數(shù)z=,則|z|= (　 )
A. B.
C. D.2
3.在復平面內(nèi),O是原點,向量對應的復數(shù)為-i,其中i為虛數(shù)單位.若點A關于虛軸的對稱點為B,則向量對應的復數(shù)的共軛復數(shù)為 (　 )
A.+i B.-i
C.-+i D.--i
4.在復平面內(nèi),復數(shù)z=1+i和其共軛復數(shù)對應的點關于 (　 )
A.實軸對稱
B.第一、三象限的角平分線對稱
C.虛軸對稱
D.第二、四象限的角平分線對稱
5.已知復數(shù)z=a+i(a∈R)在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限,且|z|=2,則復數(shù)z等于 (　 )
A.-1+i
B.1+i
C.-1+i或1+i
D.-2+i
6.[2024·重慶八中月考] 在復平面內(nèi),O為坐標原點,復數(shù)(1+i)2對應的點為A,復數(shù)3+4i對應的點為B,復數(shù)-1+mi對應的點為C,若⊥,則實數(shù)m的值為 (　 )
A. B.- C. D.-
7.已知復數(shù)z,z0滿足|z-z0|=,|z0|=,則|z|的最大值為 (　 )
A. B.2
C.4 D.3
8.(多選題)[2024·江蘇南京秦淮中學月考] 設復數(shù)z=i+3i2(i為虛數(shù)單位),則下列結(jié)論正確的是 (　 )
A.z的共軛復數(shù)為-3-i
B.z·i=1-3i
C.z在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限
D.|z+2|=
9.(多選題)[2024·江蘇徐州期末] 已知z1,z2∈C,|z1|=3,z2=2+i9,則下列說法正確的是 (　 )
A.為純虛數(shù)
B.|z1z2|=3
C.|z1-z2|的最大值為3+
D.若|z1+z2|=4,則|z1-z2|=2
二、填空題
10.[2024·湖南長沙一中月考] 在復平面內(nèi),復數(shù)z1和z2對應的點分別為A,B,則z1·z2=　　　　.
11.已知復數(shù)z滿足2≤|z|≤2,則z在復平面內(nèi)對應的點所構成的圖形的面積為　　　　.
12.已知在復平面內(nèi)有三個點A,B,C,點A對應的復數(shù)為2+i,對應的復數(shù)為1+2i,對應的復數(shù)為3-i,則點C對應的復數(shù)為　　　　.
三、解答題
13.在復平面內(nèi),A,B,C三點對應的復數(shù)分別為1,2+i,-1+2i.
(1)求向量,,對應的復數(shù);
(2)若四邊形ABCD為平行四邊形,求點D對應的復數(shù).
14.[2024·江蘇連云港新海高級中學期中] 設復數(shù)z1=1-ai(a∈R),z2=3-4i.
(1)若z1+z2是實數(shù),求z1·z2;
(2)若復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在第二象限,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)若復數(shù)z滿足|z-z2|=1,求|z|的最小值.
15.[2024·江蘇南通海安實驗中學期中] 已知復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點為Z,且滿足|z-2-2i|≤2,O為原點,A(1,1),則·的取值范圍為　　　　.
16.在復平面中,O為坐標原點,Z1,Z2,Z所對應的復數(shù)分別為z1,z2,z,且z=2z1+3z2,△Z1Z2O的面積為S,求△Z1Z2Z的面積.

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