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第三章 圓錐曲線的方程
一、選擇題
1．已知雙曲線1（a＞0，b＞0）的左，右焦點分別為F1，F2，點P（2，）在雙曲線上，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數列，則該雙曲線的方程為（　　）
A．x2﹣y2＝1 B．1
C．x21 D．1
2．設F1，F2分別是橢圓1（a＞b＞0）的左、右焦點，若在直線x（其中c2+b2＝a2）上存在點P，使線段PF1的垂直平分線經過點F2，則橢圓離心率的取值范圍是（　　）
A．（0，] B．（0，] C．[，1） D．[，1）
3．已知雙曲線C：1的左，右焦點分別為F1，F2，A，B是雙曲線C上的兩點，且3，cos∠AF2B，則該雙曲線的離心率為（　　）
A． B． C． D．
4．過雙曲線1（a＞0，b＞0）的右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，與雙曲線的漸近線交于C，D兩點，若|AB||CD|，則雙曲線離心率的取值范圍為（　　）
A．[，+∞） B．[，+∞） C．（1，] D．（1，]
5．橢圓1的焦點在x軸上，則它的離心率的取值范圍（　　）
A．（0，） B．[，1） C．（0，] D．[，1）
二、填空題
6．設點P在雙曲線的左支上，雙曲線的左、右焦點分別為F1，F2，已知|PF1|是點P到左準線l的距離d和|PF2|的比例中項，則雙曲線離心率的取值范圍是 　 　 ．
7．左焦點為F的雙曲線的右支上存在點A，使得直線FA與圓x2+y2＝a2相切，則雙曲線C的離心率取值范圍是　 　 ．
8．設橢圓的左焦點為F，直線x＝m與橢圓C相交于A，B兩點．當△ABF的周長最大時，△ABF的面積為b2，則橢圓C的離心率e＝　 　 ．
9．如圖，橢圓中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，A、B是頂點，F是左焦點；當BF⊥AB時，此類橢圓稱為“黃金橢圓”，其離心率為．類比“黃金橢圓”可推算出“黃金雙曲線”的離心率e＝　 　 ．
10．實數x，y滿足，則z＝x+y的取值范圍是　 　 ．
11．已知F是橢圓的一個焦點，若直線y＝kx與橢圓相交于A，B兩點，且∠AFB＝135°，記橢圓的離心率為e，則e2的取值范圍是 　 　 ．
12．以x軸為準線，長軸長為4，下頂點A在拋物線x2＝y﹣1上的所有的橢圓中離心率最大的橢圓方程是 　 　 ．
三、解答題
13．已知雙曲線的右焦點F（4，0）到漸近線的距離為．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）過點F的直線與雙曲線C的右支交于A，B兩點，在x軸上是否存在點P，使得點F到直線PA，PB的距離相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
14．已知點A（﹣1，0），B（1，0），直線AM，BM相交于M，且它們的斜率之積為2．
（1）求動點M的軌跡方程；
（2）若過點的直線l交點M的軌跡于C，D兩點，且N為線段CD的中點，求直線l的方程．
15．已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為（2，0），實軸長2．
（1）求雙曲線的方程
（2）若直線l：y＝kx與雙曲線恒有兩個不同的交點A，B，且∠AOB為銳角（其中O為原點），求k的取值范圍．
16．已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過F的直線l交C于A，B兩點，M為線段AB的中點，O為坐標原點．AO、BO的延長線與直線x＝﹣4分別交于P、Q兩點．
（Ⅰ）求動點M的軌跡方程；
（Ⅱ）連接OM，求△OPQ與△BOM的面積比．
17．已知點F為拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點，過點F的動直線l與拋物線C交于M，N兩點，如圖．當直線l與x軸垂直時，|MN|＝4．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）已知點P（﹣1，0），設直線PM的斜率為k1，直線PN的斜率為k2．請判斷k1+k2是否為定值，若是，寫出這個定值，并證明你的結論；若不是，說明理由．
18．如圖，已知直線l：y＝kx﹣2與拋物線C：x2＝﹣2py（p＞0）交于A，B兩點，線段AB的中點坐標為（﹣2，﹣6）．
（Ⅰ）求直線l和拋物線C的方程；
（Ⅱ）求線段AB的長；
（Ⅲ）拋物線上一動點P從A到B運動時，求△ABP面積最大值．
19．設圓C與兩圓（x）2+y2＝4，（x）2+y2＝4中的一個內切，另一個外切．
（1）求C的圓心軌跡L的方程；
（2）已知點M（，），F（，0），且P為L上動點，求||MP|﹣|FP||的最大值及此時點P的坐標．
20．試求函數的最大值、最小值．
第三章 圓錐曲線的方程
參考答案與試題解析
一、選擇題
1．已知雙曲線1（a＞0，b＞0）的左，右焦點分別為F1，F2，點P（2，）在雙曲線上，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數列，則該雙曲線的方程為（　　）
A．x2﹣y2＝1 B．1
C．x21 D．1
【答案】A
【分析】設|PF1|＝m，|F1F2|＝2c，|PF2|＝n．可得：m﹣n＝2a．根據|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數列，可得4c＝m+n．再利用兩點之間的距離公式及其b2＝c2﹣a2即可得出．
【解答】解：設|PF1|＝m，|F1F2|＝2c，|PF2|＝n．
∴m﹣n＝2a．
∵|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數列，∴4c＝m+n．
∴m＝a+2c，n＝2c﹣a，
聯立解得a＝1，c，∴b2＝c2﹣a2＝1．
∴雙曲線的標準方程為：x2﹣y2＝1．
故選：A．
【點評】本題考查了雙曲線的定義標準方程及其性質、等差數列的性質、兩點之間的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．
2．設F1，F2分別是橢圓1（a＞b＞0）的左、右焦點，若在直線x（其中c2+b2＝a2）上存在點P，使線段PF1的垂直平分線經過點F2，則橢圓離心率的取值范圍是（　　）
A．（0，] B．（0，] C．[，1） D．[，1）
【答案】C
【分析】設點P（，m），則由中點公式可得線段PF1的中點K的坐標，根據 線段PF1的斜率與 KF2的斜率之積等于﹣1，求出m2的解析式，再利用m2≥0，得到3e4+2e2﹣1≥0，求得e的范圍，再結合橢圓離心率的范圍進一步e 的范圍．
【解答】解：由題意得 F1（﹣c，0），F2 （c，0），
設點P（，m），
則由中點公式可得線段PF1的中點K（，m ），
∴線段PF1的斜率與 KF2的斜率之積等于﹣1，
即 1，
∴m2＝﹣（c） （3c）≥0，
∴a4﹣2a2c2﹣3 c4≤0，
∴3e4+2e2﹣1≥0，∴e2，或 e2≤﹣1（舍去），
∴e．
又橢圓的離心率 0＜e＜1，
故e＜1，
故選：C．
【點評】本題考查線段的中點公式，兩直線垂直的性質，以及橢圓的簡單性質的應用，屬于中檔題．
3．已知雙曲線C：1的左，右焦點分別為F1，F2，A，B是雙曲線C上的兩點，且3，cos∠AF2B，則該雙曲線的離心率為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設|F1A|＝3x，|F1B|＝x，在△ABF2中，由余弦定理列方程可得△ABF2是直角三角形，從而得出a，b，c的關系，即可得該雙曲線的離心率．
【解答】解：設|F1A|＝3x，|F1B|＝x，則|AB|＝4x，|BF2|＝2a+x，|AF2|＝2a+3x，
在△ABF2中，由余弦定理得：
（4x）2＝（2a+x）2+（2a+3x）2﹣2（2a+x）（2a+3x），
解得x＝a，∴AF2＝5a，AB＝4a，BF2＝3a，
∴△ABF2是直角三角形，
在Rt△F1BF2中，a2+（3a）2＝（2c）2，代入得10a2＝4c2，即e2．
則該雙曲線的離心率為e．
故選：B．
【點評】本題考查雙曲線的簡單性質的應用，考查離心率的計算能力．屬于中檔題．
4．過雙曲線1（a＞0，b＞0）的右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，與雙曲線的漸近線交于C，D兩點，若|AB||CD|，則雙曲線離心率的取值范圍為（　　）
A．[，+∞） B．[，+∞） C．（1，] D．（1，]
【答案】B
【分析】將x＝c代入1和y＝±x，求出A，B，C，D的坐標，由兩點之間的距離公式求得|AB|，|CD|，由|AB||CD|，求得a和c的關系，根據離心率公式，即可求得離心率的取值范圍．
【解答】解：當x＝c時代入1得y＝±，則A（c，），B（c，），則AB，
將x＝c代入y＝±x得y＝±，則C（c，），D（c，），
則|CD|，
∵|AB||CD|
∴，即bc，
則b2c2＝c2﹣a2，
即c2≥a2，
則e2，則e，
故選：B．
【點評】本題主要考查雙曲線離心率的計算，根據方程求出交點坐標，結合距離公式進行求解是解決本題的關鍵，屬于中檔題．
5．橢圓1的焦點在x軸上，則它的離心率的取值范圍（　　）
A．（0，） B．[，1） C．（0，] D．[，1）
【答案】C
【分析】根據橢圓 1的焦點在x軸上，確定a的范圍，表示出橢圓的離心率，利用基本不等式，可得結論．
【解答】解：∵橢圓 1的焦點在x軸上，
∴5a＞4a2+1
∴
∵橢圓的離心率為（當且僅當，即a時取等號）
∴橢圓的離心率的取值范圍為（0，]
故選：C．
【點評】本題考查橢圓的標準方程與離心率，考查基本不等式的運用，考查學生的計算能力，屬于基礎題．
二、填空題
6．設點P在雙曲線的左支上，雙曲線的左、右焦點分別為F1，F2，已知|PF1|是點P到左準線l的距離d和|PF2|的比例中項，則雙曲線離心率的取值范圍是 　　 ．
【答案】．
【分析】依題意可得，設P（x0，y0），由焦半徑公式可建立關于e的不等式，解該不等式即得解．
【解答】解：由題意知，，則，由得，
設P（x0，y0），由焦半徑公式可得，則，即e2﹣2e﹣1≤0，解得，
又e＞1，
∴．
故答案為：．
【點評】本題考查雙曲線的定義及性質的運用，考查離心率取值范圍的求解，考查運算求解能力，屬于中檔題．
7．左焦點為F的雙曲線的右支上存在點A，使得直線FA與圓x2+y2＝a2相切，則雙曲線C的離心率取值范圍是　　 ．
【答案】見試題解答內容
【分析】利用直線FA與圓x2+y2＝a2相切，可求得切線的斜率為，再分析出切線AF的斜率小于漸近線yx的斜率，即可求得雙曲線C的離心率取值范圍．
【解答】解：設直線FA的方程為：y＝k（x+c），∵直線FA與x2+y2＝a2相切，
∴a，
∴a2+a2k2＝c2k2，
∴b2k2＝a2，又k＞0，
∴k，
∵切線與右支有交點A，則切線AF的斜率小于漸近線yx的斜率，
即，
∴a2＜b2，又b2＝c2﹣a2，
∴c2＞2a2．
∴e22，
∴e．
【點評】本題考查雙曲線的簡單性質，分析出切線AF的斜率小于漸近線yx的斜率是關鍵，考查分析與運算能力，屬于中檔題．
8．設橢圓的左焦點為F，直線x＝m與橢圓C相交于A，B兩點．當△ABF的周長最大時，△ABF的面積為b2，則橢圓C的離心率e＝　　 ．
【答案】．
【分析】判斷三角形周長取得最大值時，求出m的值，利用三角形的面積，列出方程，求解橢圓的離心率即可．
【解答】解：橢圓的左焦點為F，直線x＝m與橢圓C相交于A，B兩點．
直線x＝m 與x軸的交點為E，右焦點為F′，|AF|+|AE|≤|AF|+|AF′|＝2a，
當△ABF的周長最大時，E、F′重合，此時m＝c，所以三角形的面積為：（2c）b2，
所以e．
故答案為：．
【點評】本題考查橢圓的簡單性質的應用，離心率的求法，考查分析問題解決問題的能力，是中檔題．
9．如圖，橢圓中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，A、B是頂點，F是左焦點；當BF⊥AB時，此類橢圓稱為“黃金橢圓”，其離心率為．類比“黃金橢圓”可推算出“黃金雙曲線”的離心率e＝　　 ．
【答案】見試題解答內容
【分析】在黃金雙曲線中，|BF|2+|AB|2＝|AF|2，由此可知b2+c2+c2＝a2+c2+2ac，∵b2＝c2﹣a2，整理得c2＝a2+ac，即e2﹣e﹣1＝0，解這個方程就能求出黃金雙曲線的離心率e．
【解答】解：在黃金雙曲線中，|OA|＝a，|OB|＝b，|OF|＝c，
由題意可知，|BF|2+|AB|2＝|AF|2，
∴b2+c2+c2＝a2+c2+2ac，
∵b2＝c2﹣a2，整理得c2＝a2+ac，
∴e2﹣e﹣1＝0，解得 ，或 （舍去）．
故黃金雙曲線的離心率e得 ．
故答案為：．
【點評】注意尋找黃金雙曲線中a，b，c之間的關系，利用雙曲線的性質求解．
10．實數x，y滿足，則z＝x+y的取值范圍是　[﹣5，5]　 ．
【答案】見試題解答內容
【分析】通過橢圓方程與直線方程，聯立，利用判別式轉化求解即可．
【解答】解：實數x，y滿足，則z＝x+y，
可得，消去y可得：25x2﹣32zx+16z2﹣144＝0，
Δ＝（﹣32z）2﹣4×25×（16z2﹣144）≥0，解得z∈[﹣5，5]．
故答案為：[﹣5，5]．
【點評】本題考查直線與橢圓的位置關系的應用，考查轉化思想以及計算能力．
11．已知F是橢圓的一個焦點，若直線y＝kx與橢圓相交于A，B兩點，且∠AFB＝135°，記橢圓的離心率為e，則e2的取值范圍是 　[，1）　 ．
【答案】[，1）．
【分析】連接A，B與左、右焦點F，F'的連線，由∠AFB＝135°，在三角形AFF'中，利用余弦定理，結合橢圓定義域基本不等式，轉化求解e2的范圍．
【解答】解：連接A，B與左、右焦點F，F'的連線，
由橢圓及直線的對稱性可得四邊形AFBF'為平行四邊形，
由∠AFB＝135°，得∠FAF'＝45°，
在三角形AFF'中，|FF'|2＝|AF|2+|AF′|2﹣2|AF| |AF'|cos∠FAF′
＝（|AF|+|AF'|）2﹣（2）|AF| |AF'|，
∴（|AF|+|AF'|）2﹣|FF'|2＝（2）|AF| |AF'|≤（2） ，
即 （|AF|+|AF'|）2≤|FF'|2，當且僅當|AF|＝|AF′|時取等號，
即 4a2≤4c2，可得e2∈[，1）．
故答案為：[，1）．
【點評】本題考查橢圓的簡單性質的應用，考查轉化思想以及計算能力，是中檔題．
12．以x軸為準線，長軸長為4，下頂點A在拋物線x2＝y﹣1上的所有的橢圓中離心率最大的橢圓方程是 　　 ．
【答案】
【分析】由題意拋物線的方程轉化為得出橢圓的方程，得出離心率最大時c的值，進而求出橢圓的標準方程．
【解答】解：由題意得2a＝4，即a＝2，所以e，
即求c最大時的橢圓方程．
設A（x0，y0），橢圓的下焦點為F，橢圓中心O′，
橢圓長軸所在直線與x軸交于點N，
則e，
所以（因），
當且僅當y0＝1，x0＝0時取等號，此時．
所以A（0，1），中心O′（0，3），
，
故所求的橢圓方程為．
故答案為：．
【點評】本題考查橢圓和拋物線的綜合，再結合橢圓離心率的取值范圍得出c的值，再求橢圓的標準方程，屬于難題．
三、解答題
13．已知雙曲線的右焦點F（4，0）到漸近線的距離為．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）過點F的直線與雙曲線C的右支交于A，B兩點，在x軸上是否存在點P，使得點F到直線PA，PB的距離相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）；
（2）存在P（1，0）．
【分析】（1）利用點線距離公式及c2＝a2+b2即可求得，從而求得雙曲線C的方程；
（2）假設存在點P（n，0），據題意設AB：x＝my+4（m≠0），聯立方程得到y1+y2，y1y2，再由點F到直線PA，PB的距離相等可得kPA+kPB＝0，由此代入式子即可求得n＝1，故存在P（1，0）．
【解答】解：（1）由右焦點F（4，0），所以c＝4，故a2+b2＝c2＝16，
又因為雙曲線的漸近線為，即bx±ay＝0，
所以右焦點F（4，0）到漸近線的距離為，解得，
所以b2＝12，a2＝16﹣b2＝4，
所以雙曲線C的標準方程為．
（2）假設存在P（n，0），設A（x1，y1），B（x2，y2），
由題意知，直線斜率不為0，設直線AB：x＝my+4，
①當m＝0時，直線AB：x＝4，顯然點F到直線PA，PB的距離相等；
②當m≠0時，聯立，消去x，得（3m2﹣1）y2+24my+36＝0，
則3m2﹣1≠0，Δ＝（24m）2﹣4×36（3m2﹣1）＝144（m2+1）＞0，
且，
因為點F到直線PA，PB的距離相等，所以PF是∠APB的角平分線，
則kPA+kPB＝0，即，
則y1（my2+4﹣n）+y2（my1+4﹣n）＝0，
整理得2my1y2+（4﹣n）（y1+y2）＝0，
故，
即3m﹣m（4﹣n）＝0，因為m≠0，所以n＝1，
故存在P（1，0）．
【點評】本題考查了雙曲線的標準方程以及直線與雙曲線的位置關系，屬于中檔題．
14．已知點A（﹣1，0），B（1，0），直線AM，BM相交于M，且它們的斜率之積為2．
（1）求動點M的軌跡方程；
（2）若過點的直線l交點M的軌跡于C，D兩點，且N為線段CD的中點，求直線l的方程．
【答案】（1）2x2﹣y2＝2（x≠±1）；
（2）2x﹣2y+1＝0．
【分析】（1）設M坐標為（x，y），利用直線AM，BM相交于M，且它們的斜率之積為2，即可確定出M的軌跡方程；
（2）設出C與D坐標，分別代入M的軌跡方程，整理由根據N為CD中點，求出直線l斜率，即可確定出直線l方程．
【解答】解：（1）設M（x，y），
∵直線AM，BM相交于M，且它們的斜率之積為2，
∴2，
則動點M的軌跡方程為2x2﹣y2＝2（x≠±1）；
（2）由（1）得M的軌跡方程為2x2﹣y2＝2（x≠±1），
設點C（x1，y1），D（x2，y2），則有22①，22②，
①﹣②得：2（x1﹣x2）（x1+x2）﹣（y1﹣y2）（y1+y2）＝0，
∵N（，1）為CD的中點，
∴x1+x2＝1，y1+y2＝2，
∴直線l的斜率k＝1，
∴直線l的方程為y﹣1＝x，即2x﹣2y+1＝0．
【點評】此題考查了軌跡方程，直線的點斜式方程，熟練掌握運算性質是解本題的關鍵．
15．已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為（2，0），實軸長2．
（1）求雙曲線的方程
（2）若直線l：y＝kx與雙曲線恒有兩個不同的交點A，B，且∠AOB為銳角（其中O為原點），求k的取值范圍．
【答案】見試題解答內容
【分析】（1）利用中心在原點的雙曲線C的右焦點為（2，0），實軸長2，求出幾何量，即可求出雙曲線的標準方程；
（2）由直線l與雙曲線交于不同的兩點得k2且k2＜1，再由∠AOB為銳角，得xAxB+yAyB＞0，利用韋達定理結合題設條件進行求解．
【解答】解：（1）∵中心在原點的雙曲線C的右焦點為（2，0），實軸長2，
∴，
∴雙曲線的方程為；
（2）將y＝kx代入雙曲線消去y得（1﹣3k2）x2﹣6kx﹣9＝0．
由直線l與雙曲線交于不同的兩點得
即k2且k2＜1．①
設A（xA，yA），B（xB，yB），則xA+xB，xAxB．
由∠AOB為銳角，得xAxB+yAyB＞0，
即xAxB+yAyB＝xAxB+（kxA）（kxB）＝（k2+1）xAxBk（xA+xB）+2
0．②
∵﹣3k2﹣7＜0，
∴1﹣3k2＜0，
綜上：
【點評】本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．
16．已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過F的直線l交C于A，B兩點，M為線段AB的中點，O為坐標原點．AO、BO的延長線與直線x＝﹣4分別交于P、Q兩點．
（Ⅰ）求動點M的軌跡方程；
（Ⅱ）連接OM，求△OPQ與△BOM的面積比．
【答案】（Ⅰ）M的軌跡方程為：y2＝2x﹣2；
（Ⅱ）△OPQ與△BOM的面積比為32．
【分析】（1）先根據拋物線方程求得焦點坐標，進而設出過焦點弦的直線方程，與拋物線方程聯立消去y，根據韋達定理表示出x1+x2，進而根據直線方程求得y1+y2，進而求得焦點弦的中點的坐標的表達式，消去參數k，則焦點弦的中點軌跡方程可得．
（2）求出P，Q的坐標，可得面積，即可求△OPQ與△BOM的面積比．
【解答】解：（Ⅰ）設A （x1，y1），B（x2，y2），由題知拋物線焦點為（1，0）
設焦點弦方程為y＝k（x﹣1）
代入拋物線方程得所以k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0
由韋達定理：x1+x2＝2
所以中點M橫坐標：x＝1
代入直線方程，中點M縱坐標：y＝k（x﹣1）．即中點M為（1，）
消參數k，得其方程為：y2＝2x﹣2，
當線段PQ的斜率不存在時，線段PQ中點為焦點F（1，0），滿足此式，
故動點M的軌跡方程為：y2＝2x﹣2…（6分）
（Ⅱ）設AB：ky＝x﹣1，代入y2＝4x，得y2﹣4ky﹣4＝0，
y1+y2＝4k，y1 y2＝﹣4，
聯立，得P（﹣4，），同理Q（﹣4，），…（9分）
|PQ|＝4|y1﹣y2|，
∴S△OPQ＝8|y1﹣y2|，
又∵S△OMB|y1﹣y2|，故△OPQ與△BOM的面積比為32．…（12分）
【點評】本題主要考查了拋物線的簡單性質，考查直線與拋物線的位置關系，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．
17．已知點F為拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點，過點F的動直線l與拋物線C交于M，N兩點，如圖．當直線l與x軸垂直時，|MN|＝4．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）已知點P（﹣1，0），設直線PM的斜率為k1，直線PN的斜率為k2．請判斷k1+k2是否為定值，若是，寫出這個定值，并證明你的結論；若不是，說明理由．
【答案】見試題解答內容
【分析】（Ⅰ）求出M的坐標，代入拋物線方程，即可求拋物線C的方程；
（Ⅱ）分類討論，利用韋達定理，結合斜率公式，即可得出結論．
【解答】解：（Ⅰ）∵F為拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點，
∴．…（1分）
又∵l與x軸垂直，且|MN|＝4，
∴．…（2分）
又∵點M在拋物線上，
∴，
∴p＝2，
∴求拋物線C的方程為y2＝4x．…（5分）
（Ⅱ）結論：k1+k2＝0，為定值．
設直線l與拋物線交于不同兩點M（x1，y1），N（x2，y2），
①當直線l斜率不存在時，知直線PM與PN關于x軸對稱，
∴k1+k2＝0．
②當直線l斜率存在時，直線l的方程設為y＝k（x﹣1），
聯立，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，
∴，x1x2＝1．
又∵，，
且y1＝k（x1﹣1），y2＝k（x2﹣1），
∴．
∵x1x2＝1，
∴k1+k2＝0．
綜上所述k1+k2＝0． …（14分）
【點評】本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的運用，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
18．如圖，已知直線l：y＝kx﹣2與拋物線C：x2＝﹣2py（p＞0）交于A，B兩點，線段AB的中點坐標為（﹣2，﹣6）．
（Ⅰ）求直線l和拋物線C的方程；
（Ⅱ）求線段AB的長；
（Ⅲ）拋物線上一動點P從A到B運動時，求△ABP面積最大值．
【答案】見試題解答內容
【分析】（Ⅰ）代入點（﹣2，﹣6），求得k＝2，聯立直線方程和拋物線方程，運用韋達定理，由題意可得p＝1，即可得到拋物線的方程；
（Ⅱ）運用弦長公式：|AB| |x1﹣x2|，計算即可得到；
（Ⅲ）當點P到直線AB的距離h最大時，△ABP的面積最大．設與AB平行的直線l'的方程為y＝2x+m，聯立拋物線方程，由判別式為0，可得m＝2，由兩平行直線的距離公式即可求得h的最大值，計算可得面積的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，點（﹣2，﹣6）在直線l上，
所以﹣6＝﹣2k﹣2，解得k＝2，
所以直線l的方程為y＝2x﹣2．
設A（x1，y1），B（x2，y2），
由消去y，得x2+4px﹣4p＝0，
所以x1+x2＝﹣4p，x1 x2＝﹣4p．
所以﹣4p＝﹣4，解得p＝1．
所以拋物線的方程為x2＝﹣2y．
（Ⅱ）．
（Ⅲ）當點P到直線AB的距離h最大時，△ABP的面積最大．
設與AB平行的直線l'的方程為y＝2x+m，
由消去y，得x2+4x+2m＝0，
由Δ＝0，解得m＝2．
所以l'的方程為y＝2x+2．
所以．
所以△ABP面積的最大值為．
【點評】本題考查拋物線的方程的性質，主要考查直線方程和拋物線方程聯立，運用韋達定理和弦長公式，同時考查點到直線的距離公式的運用，屬于中檔題．
19．設圓C與兩圓（x）2+y2＝4，（x）2+y2＝4中的一個內切，另一個外切．
（1）求C的圓心軌跡L的方程；
（2）已知點M（，），F（，0），且P為L上動點，求||MP|﹣|FP||的最大值及此時點P的坐標．
【答案】見試題解答內容
【分析】（1）根據兩圓的方程分別找出兩圓心和兩半徑，根據兩圓內切時，兩圓心之間的距離等于兩半徑相減，外切時，兩圓心之間的距離等于兩半徑相加，可知圓心C到圓心F1的距離加2與圓心C到圓心F2的距離減2或圓心C到圓心F1的距離減2與圓心C到圓心F2的距離加2，得到圓心C到兩圓心的距離之差為常數4，且小于兩圓心的距離2，可知圓心C的軌跡為以原點為中心，焦點在x軸上的雙曲線，根據a與c的值求出b的值，寫出軌跡L的方程即可；
（2）根據點M和F的坐標寫出直線l的方程，與雙曲線L的解析式聯立，消去y后得到關于x的方程，求出方程的解即可得到兩交點的橫坐標，把橫坐標代入直線l的方程中即可求出交點的縱坐標，得到直線l與雙曲線L的交點坐標，然后經過判斷發現T1在線段MF外，T2在線段MF內，根據圖形可知||MT1|﹣|FT1||＝|MF|，利用兩點間的距離公式求出|MF|的長度，當動點P與點T2重合時||MT2|﹣|FT2||＜|MF|，當動點P不是直線l與雙曲線的交點時，根據兩邊之差小于第三邊得到|MP|﹣|FP|＜|MF|，綜上，得到動點P與T1重合時，||MP|﹣|FP||取得最大值，此時P的坐標即為T1的坐標．
【解答】解：（1）兩圓的半徑都為2，兩圓心為F1（，0）、F2（，0），
由題意得：|CF1|+2＝|CF2|﹣2或|CF2|+2＝|CF1|﹣2，
∴||CF2|﹣|CF1||＝4＝2a＜|F1F2|＝22c，
可知圓心C的軌跡是以原點為中心，焦點在x軸上，且實軸為4，焦距為2的雙曲線，
因此a＝2，c，則b2＝c2﹣a2＝1，
所以軌跡L的方程為y2＝1；
（2）過點M，F的直線l的方程為y（x），
即y＝﹣2（x），代入y2＝1，解得：x1，x2，
故直線l與雙曲線L的交點為T1（，），T2（，），
因此T1在線段MF外，T2在線段MF內，故||MT1|﹣|FT1||＝|MF|2，
||MT2|﹣|FT2||＜|MF|＝2，若點P不在MF上，則|MP|﹣|FP|＜|MF|＝2，
綜上所述，|MP|﹣|FP|只在點T1處取得最大值2，此時點P的坐標為（，）．
【點評】此題考查學生會根據已知條件得到動點的軌跡方程，掌握雙曲線的簡單性質，靈活運用兩點間的距離公式及三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊解決實際問題，是一道中檔題．
20．試求函數的最大值、最小值．
【答案】，
【分析】將f（x）看作關于橢圓的切線，轉化為直線與橢圓的位置關系，求得切線的斜率的最值即可．
【解答】解：設CA，CB是橢圓的兩條切線，如圖所示，
C點坐標為（﹣3，﹣1）．
故f（x）的最大值為kCA，f（x）的最小值為kCB，
設過C與橢圓相切的切線方程為y＝kx+m．
由，
消去y，得（4+5k2）x2+10kmx+5m2﹣20＝0，
由Δ＝0得，
所以切線方程為，
因為切線過點C（﹣3，﹣1），所以．
所以，
所以f（x）的最大值的最小值為．
【點評】本題考查直線與橢圓的切線的斜率的最值問題，屬于中檔題．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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