資源簡介

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第四章 指數函數與對數函數
一、單選題
1．計算log23log34+（的值為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．設f（x）是定義域為R的偶函數，且在（0，+∞）單調遞增，則（　　）
A．
B．
C．
D．
3．函數y在[﹣6，6]的圖象大致為（　　）
A． B．
C． D．
4．函數f（x）x+2的零點所在的一個區間是（　　）
A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）
5．已知f（x）＝ln（3x），則f（lg）+f（lg2）＝（　　）
A．﹣2 B．1 C．0 D．﹣1
6．已知f（x）＝log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函數，則實數a的取值范圍是（　　）
A．（﹣∞，4） B．（﹣4，4]
C．（﹣∞，﹣4）∪[2，+∞） D．[﹣4，4）
7．已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，且在區間[0，+∞）上單調遞減，若實數a滿足，則a的取值范圍是（　　）
A．[2，+∞） B．（﹣∞，]∪[2，+∞）
C．（，2] D．（0，]∪[2，+∞）
8．已知函數f（x）滿足f（x+2）＝f（x），當x∈[1，3]時，f（x）＝|x﹣2|﹣1，若函數y＝f（x）﹣loga（x+1）至少有三個零點，則a的取值范圍為（　　）
A．（0，） B．（0，） C．（0，） D．（，1）
二、多選題
9．若f（x）＝lg（|x﹣2|+1），則下列命題正確的是（　　）
A．f（x+2）是偶函數
B．f（x）在區間（﹣∞，2）上是減函數，在（2，+∞）上是增函數
C．f（x）沒有最大值
D．f（x）沒有最小值
10．若關于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣3）＝m有實數根x1，x2，且x1＜x2，則下列結論中正確的說法是（　　）
A．m＞﹣1 B．m＜﹣1
C．當m＞0時，x1＜1＜3＜x2 D．當m＞0時，1＜x1＜x2＜3
11．定義運算，設函數f（x）＝1 2﹣x，則下列命題正確的有（　　）
A．f（x）的值域為[1，+∞）
B．f（x）的值域為 （0，1]
C．不等式f（x+1）＜f（2x）成立的范圍是（﹣∞，0）
D．不等式f（x+1）＜f（2x）成立的范圍是（0，+∞）
12．已知函數f（x）＝1﹣|1﹣x|，若關于x的方程f2（x）+af（x）＝0有n個不同的實根，則n的值可能為（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
三、填空題
13．關于x的方程2020x有實數根，則實數a的取值范圍為　 　 ．
14．函數f（x）＝loga（x2﹣ax+2）在區間（1，+∞）上恒為正值，則實數a的取值范圍 　 　 ．
15．已知函數f（x），那么f（f（4））＝　 　 ，若存在實數a，使得f（a）＝f（f（a）），則a的個數是　 　 ．
16．已知函數f（x）＝mx2+2x﹣1有且僅有一個正實數的零點，則實數m的取值范圍是　 　 ．
四、解答題
17．已知函數f（x）＝1（a＞0，a≠1）且f（0）＝0．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若函數g（x）＝（2x+1） f（x）+k有零點，求實數k的取值范圍；
（Ⅲ）當x∈（0，1）時，f（x）＞m 2x﹣2恒成立，求實數m的取值范圍．
18．已知函數f（x）的圖象關于原點對稱，其中a為常數．
（1）求a的值；
（2）當x∈（1，+∞）時，f（x）（x﹣1）＜m恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）若關于x的方程f（x）（x+k）在[2，3]上有解，求k的取值范圍．
19．已知函數f（x）＝log4（4x+1）+kx是偶函數．
（1）求k的值；
（2）若函數，是否存在實數m使得h（x）最小值為0，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．
20．已知二次函數f（x）滿足f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣1，f（0）＝﹣3．
（Ⅰ）求函數f（x）的表達式；
（Ⅱ）設g（x）＝kx+1，若F（x）＝log0.5[g（x）﹣f（x）]在區間[2，3]上單調遞增，求實數k的取值范圍．
21．已知指數函數f（x）的圖象經過點（﹣1，3），g（x）＝f2（x）﹣2af（x）+3在區間[﹣1，1]的最小值h（a）；
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求函數g（x）的最小值h（a）的表達式；
（3）是否存在m，n∈R同時滿足以下條件：
①m＞n＞3；
②當h（a）的定義域為[n，m]時，值域為[n2，m2]；若存在，求出m，n的值；若不存在，說明理由．
22．已知函數f（x）＝x2﹣2mx+2m2﹣4，x∈R，m∈R．
（1）若函數f（x）在區間（0，3）上有唯一零點，求實數m的取值范圍；
（2）記函數F（x）＝f（2x）+f（2﹣x）﹣m2，若函數F（x）存在零點，求實數m的取值范圍．
第四章 指數函數與對數函數
參考答案與試題解析
一、單選題
1．計算log23log34+（的值為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】利用對數的運算性質求解．
【解答】解：log23log34+（log242+2＝4，
故選：D．
【點評】本題主要考查了對數的運算性質，是基礎題．
2．設f（x）是定義域為R的偶函數，且在（0，+∞）單調遞增，則（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】比較||與，和的大小關系，結合單調性可得答案．
【解答】解：由f（x）是定義域為R的偶函數，那么||＝log34＞log33＝1，020＝1，
∵在（0，+∞）單調遞增，
∴，
故選：B．
【點評】本題主要考查指數對數的比較大小，和單調性的應用，屬于基礎題．
3．函數y在[﹣6，6]的圖象大致為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由y的解析式知該函數為奇函數可排除C，然后計算x＝4時的函數值，根據其值即可排除A，D．
【解答】解：由y＝f（x）在[﹣6，6]，知
f（﹣x），
∴f（x）是[﹣6，6]上的奇函數，因此排除C
又f（4），因此排除A，D．
故選：B．
【點評】本題考查了函數的圖象與性質，解題關鍵是奇偶性和特殊值，屬基礎題．
4．函數f（x）x+2的零點所在的一個區間是（　　）
A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）
【答案】B
【分析】判斷函數的單調性，由零點判定定理判斷求解即可．
【解答】解：函數f（x）x+2是連續減函數，
∵f（3）3+2＜0，
f（2）2+2＞0，
∴f（2）f（3）＜0，
由零點判定定理可知函數的零點在（2，3）．
故選：B．
【點評】本題考查了函數零點的判斷，屬于基礎題．
5．已知f（x）＝ln（3x），則f（lg）+f（lg2）＝（　　）
A．﹣2 B．1 C．0 D．﹣1
【答案】C
【分析】根據題意，由函數奇偶性的定義分析可得f（x）為奇函數，又由f（lg）+f（lg2）＝f（﹣lg2）+f（lg2），分析即可得答案．
【解答】解：根據題意，f（x）＝ln（3x），則f（﹣x）＝ln（3x），
則有f（x）+f（﹣x）＝ln1＝0，
即f（x）為奇函數，
則f（lg）+f（lg2）＝f（﹣lg2）+f（lg2）＝0；
故選：C．
【點評】本題考查函數奇偶性的判定以及應用，關鍵是分析f（x）的單調性，屬于基礎題．
6．已知f（x）＝log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函數，則實數a的取值范圍是（　　）
A．（﹣∞，4） B．（﹣4，4]
C．（﹣∞，﹣4）∪[2，+∞） D．[﹣4，4）
【答案】B
【分析】根據題意得出函數y＝x2﹣ax+3a在[2，+∞）上是增函數且大于零，
由此列出關于a的不等式組，求出它的解集即可．
【解答】解：∵函數f（x）＝log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函數，
∴y＝x2﹣ax+3a在[2，+∞）上是增函數且大于零，
∴，
解得﹣4＜a≤4，
∴實數a的取值范圍是（﹣4，4]．
故選：B．
【點評】本題考查了函數的圖象與性質的應用問題，也考查了復合函數的單調性問題，是基礎題目．
7．已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，且在區間[0，+∞）上單調遞減，若實數a滿足，則a的取值范圍是（　　）
A．[2，+∞） B．（﹣∞，]∪[2，+∞）
C．（，2] D．（0，]∪[2，+∞）
【答案】D
【分析】由偶函數的性質將f（log2a）+f（a）≤2f（1），化為：f（log2a）≤f（1），再由f（x）的單調性列出不等式，根據對數函數的性質求出a的取值范圍．
【解答】解：因為函數f（x）是定義在R上的偶函數，
所以f（a）＝f（﹣log2a）＝f（log2a），
則f（log2a）+f（a）≤2f（1）
則f（log2a）≤f（1），
因為函數f（x）在區間[0，+∞）上單調遞減，
所以|log2a|≥1，解得0＜a或a≥2，
則a的取值范圍是（0，]∪[2，+∞）
故選：D．
【點評】本題考查函數的奇偶性、單調性的應用，以及對數函數的性質，屬于中檔題．
8．已知函數f（x）滿足f（x+2）＝f（x），當x∈[1，3]時，f（x）＝|x﹣2|﹣1，若函數y＝f（x）﹣loga（x+1）至少有三個零點，則a的取值范圍為（　　）
A．（0，） B．（0，） C．（0，） D．（，1）
【答案】B
【分析】直接利用函數的圖象和函數的性質的應用求出結果．
【解答】解：由函數f（x+2）＝f（x）所以函數的周期為2，
如圖所示：
在同一坐標系內畫出函數y＝f（x）和函數y＝loga（x+1）的圖象，
當a＞1時，兩函數圖象只有一個交點，所以0＜a＜1，
由圖易知：當函數y＝loga（x+1）的圖象經過（2，﹣1），函數y＝f（x）與函數y＝loga（x+1）的圖象有兩個交點，
即函數y＝f（x）﹣loga（x+1）有兩個零點，要使函數y＝y＝f（x）﹣loga（x+1）至少有三個零點，則loga（2+1）＞﹣1，
所以．
故選：B．
【點評】本題考查的知識要點：函數的圖象和性質，函數的零點和方程的關系，主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于中檔題．
二、多選題
9．若f（x）＝lg（|x﹣2|+1），則下列命題正確的是（　　）
A．f（x+2）是偶函數
B．f（x）在區間（﹣∞，2）上是減函數，在（2，+∞）上是增函數
C．f（x）沒有最大值
D．f（x）沒有最小值
【答案】ABC
【分析】直接利用函數的圖象判斷函數的單調區間，函數的對稱性函數的最值，最后求出結果．
【解答】解：f（x）＝lg（|x﹣2|+1），所以f（x+2）＝lg（|x|+1）為偶函數，故A正確．
同時畫出函數的圖象，
如圖所示：
所以函數在（﹣∞，2）上為減函數，在（2，+∞）上為增函數，且存在最小值，沒有最大值，
故A、B、C正確．
故選：ABC．
【點評】本題考查的知識要點：函數的圖象，函數的單調性，函數的最值，主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于基礎題．
10．若關于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣3）＝m有實數根x1，x2，且x1＜x2，則下列結論中正確的說法是（　　）
A．m＞﹣1 B．m＜﹣1
C．當m＞0時，x1＜1＜3＜x2 D．當m＞0時，1＜x1＜x2＜3
【答案】AC
【分析】令f（x）＝（x﹣1）（x﹣3）﹣m，畫圖根據圖象可得所給的命題的真假．
【解答】解：方程整理可得：x2﹣4x+3﹣m＝0，由不同兩根的條件為：Δ＝16﹣4（3﹣m）＞0，可得m＞﹣1，所以A正確，B不正確．
當m＞0時，即（x﹣1）（x﹣3）＞0，函數f（x）＝（x﹣1）（x﹣3）﹣m與x軸的交點（x1，0），（x2，0），
如圖可得x1＜1＜3＜x2，
所以C正確，D不正確；
故選：AC．
【點評】本題主要考查一元二次方程根的分布，屬于中檔題．
11．定義運算，設函數f（x）＝1 2﹣x，則下列命題正確的有（　　）
A．f（x）的值域為[1，+∞）
B．f（x）的值域為 （0，1]
C．不等式f（x+1）＜f（2x）成立的范圍是（﹣∞，0）
D．不等式f（x+1）＜f（2x）成立的范圍是（0，+∞）
【答案】AC
【分析】由題意知寫出函數f（x）的解析式，畫出函數f（x）的圖象，結合圖象判斷選項中的命題是否正確即可．
【解答】解：由題意知，函數f（x）＝1 2﹣x，畫出函數f（x）的圖象，如圖所示；
所以f（x）的值域是[1，+∞），選項A正確，B錯誤；
由f（x）在（﹣∞，0）上是單調減函數，
不等式f（x+1）＜f（2x）可化為，解得x＜﹣1；
又x∈[﹣1，0）時，x+1≥0，f（x+1）＝1；
2x＜0，f（2x）＞1，所以f（x+1）＜f（2x）；
綜上知，不等式f（x+1）＜f（2x）成立的范圍是（﹣∞，0），所以C正確，D錯誤．
故選：AC．
【點評】本題考查了命題真假的判斷問題，也考查了新定義的函數解析式應用問題，是中檔題．
12．已知函數f（x）＝1﹣|1﹣x|，若關于x的方程f2（x）+af（x）＝0有n個不同的實根，則n的值可能為（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】AB
【分析】作出f（x）的圖象，通過[f（x）]2+af（x）＝0，解得f（x）＝0或f（x）＝﹣a，然后通過a的范圍，判斷函數的零點個數即可．
【解答】解：因為函數f（x）＝1﹣|1﹣x|，
作出f（x）的圖象如下：
由[f（x）]2+af（x）＝0得：f（x）＝0或f（x）＝﹣a，
所以方程[f（x）]2+af（x）＝0的解的個數，即為函數f（x）與x軸以及直線y＝﹣a交點個數，
由圖象可得：f（x）與x軸有2個交點，
①當﹣a＞1，即a＜﹣1時，函數f（x）與直線y＝﹣a無交點，故原方程共2個解；
②當﹣a＝1，即a＝﹣1時，函數f（x）與直線y＝﹣a有1個交點，故原方程共3個解；
③當0＜﹣a＜1，即﹣1＜a＜0時，函數f（x）與直線y＝﹣a有2個交點，故原方程共4個解；
④當﹣a＝0，即a＝0時，原方程可化為f（x）＝0，故原方程共2個解；
⑤當﹣a＜0，即a＞0時，函數f（x）與直線y＝﹣a有2個交點，故原方程共4個解；
綜上，原方程解的個數可能為2，3，4．
故選：AB．
【點評】本題考查函數的零點個數的求法，函數的圖象的應用，考查數形結合以及分類討論數學的應用，是中檔題．
三、填空題
13．關于x的方程2020x有實數根，則實數a的取值范圍為　（，5）　 ．
【答案】（，5）．
【分析】依題意，y＝2020x的值域為（0，+∞），故方程2020x有實數根可以等價為∈（0，+∞）．求解即可．
【解答】解：設y＝2020x，則y的值域為（0，+∞），
所以2020x有實數根 0，
即0，
∴（3a+2）（a﹣5）＜0．
解得，a∈（，5），
故答案為：（，5）．
【點評】本題考查了指數函數的值域，分式不等式的解法，屬于中檔題．
14．函數f（x）＝loga（x2﹣ax+2）在區間（1，+∞）上恒為正值，則實數a的取值范圍 　{a|1＜a≤2}　 ．
【答案】{a|1＜a≤2}．
【分析】由已知結合對數函數及二次函數的性質即可求解．
【解答】解：∵函數上恒為正值，
∴當x＞1時，0．
①當0＜a＜1時，有0＜x2﹣ax+2＜1，此不等式顯然不恒成立；
②當a＞1時，有x2﹣ax+2＞1，所以a＜x，解得1＜a≤2．
綜上，a的取值范圍為{a|1＜a≤2}．
故答案為：{a|1＜a≤2}．
【點評】本題主要考查了對數函數與二次函數的性質的應用，體現了分類討論思想的應用，屬于中檔題．
15．已知函數f（x），那么f（f（4））＝　1　 ，若存在實數a，使得f（a）＝f（f（a）），則a的個數是　5　 ．
【答案】1，5．
【分析】先計算f（4）＝﹣2，再計算f（﹣2）的值即可；換元思想設f（a）＝t，由f（a）＝f（f（a）），那么t＝f（t），求t的值，即可求解a的值，可得個數．
【解答】解：由f（4）＝﹣2，
那么f（f（4））＝f（﹣2）＝1．
設f（a）＝t，
由f（a）＝f（f（a）），那么t＝f（t），
即圖象與y＝x有兩交點，
可得t＝1或t＝﹣1，
由圖象可知：
當t＝1時，即f（a）＝1，可得a＝1或a＝﹣2，
當t＝﹣1時，即f（a）＝﹣1，可得a＝3或a＝0或a＝﹣1，
綜上，存在實數a，使得f（a）＝f（f（a）），則a的個數是5個值，
故答案為1，5．
【點評】本題考查了分段函數的應用，轉化思想和換元法，屬于中檔題．
16．已知函數f（x）＝mx2+2x﹣1有且僅有一個正實數的零點，則實數m的取值范圍是　{﹣1}∪[0，+∞）　 ．
【答案】見試題解答內容
【分析】討論函數的類型，開口方向，根與系數的關系．
【解答】解：（1）當m＝0時，f（x）＝2x﹣1，f（x）的零點為x0，符合題意．
（2）當m＞0時，f（x）圖象開口向上，對稱軸為x0，
∴f（x）在[0，+∞）上是增函數，
∵f（x）在（0，+∞）上有且僅有一個正實數零點．
∴f（0）＜0，
即﹣1＜0，恒成立．
（3）當m＜0時，f（x）圖象開口向下，對稱軸為x0，
①若Δ＝0，即4+4m＝0，解得m＝﹣1，則0，恒成立．
②若Δ＞0，即4+4m＞0，解得m＞﹣1，則f（x）＝0有兩根，設為x1，x2，
則x1 x20，與f（x）＝mx2+2x﹣1有且僅有一個正實數的零點矛盾．
綜上所述：m的取值范圍是{﹣1}∪[0，+∞）．
故答案為{﹣1}∪[0，+∞）．
【點評】本題考查了二次函數的根的個數與系數的關系，是中檔題．
四、解答題
17．已知函數f（x）＝1（a＞0，a≠1）且f（0）＝0．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若函數g（x）＝（2x+1） f（x）+k有零點，求實數k的取值范圍；
（Ⅲ）當x∈（0，1）時，f（x）＞m 2x﹣2恒成立，求實數m的取值范圍．
【答案】見試題解答內容
【分析】（Ⅰ）由函數f（x）的解析式以及f（0）＝10，求得a的值．
（Ⅱ）由題意可得，函數y＝2x的圖象和直線y＝1﹣k有交點，故有1﹣k＞0，求得k的范圍．
（Ⅲ）由題意可得當x∈（0，1）時，1m 2x﹣2恒成立．令t＝2x，則t∈（1，2），且 m．利用單調性求得，從而可得m的范圍．
【解答】解：（Ⅰ）對于函數f（x）＝1（a＞0，a≠1），由f（0）＝10，
求得a＝2，故f（x）＝11．
（Ⅱ）若函數g（x）＝（2x+1） f（x）+k＝2x+1﹣2+k＝2x﹣1+k 有零點，
則函數y＝2x的圖象和直線y＝1﹣k有交點，∴1﹣k＞0，求得k∈（﹣∞，1）．
（Ⅲ）∵當x∈（0，1）時，f（x）＞m 2x﹣2恒成立，即1m 2x﹣2恒成立．
令t＝2x，則t∈（1，2），且 m．
由于 在t∈（1，2）上單調遞減，∴，∴m∈（﹣∞，]．
【點評】本題主要考查指數函數的性質綜合應用，函數的恒成立問題，體現了轉化的數學思想，屬于基礎題．
18．已知函數f（x）的圖象關于原點對稱，其中a為常數．
（1）求a的值；
（2）當x∈（1，+∞）時，f（x）（x﹣1）＜m恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）若關于x的方程f（x）（x+k）在[2，3]上有解，求k的取值范圍．
【答案】見試題解答內容
【分析】（1）函數f（x）的圖象關于原點對稱，可得f（x）+f（﹣x）＝0，整理得0恒成立，即可得出答案
（2）x∈（1，+∞）時，f（x）（x﹣1）＜m恒成立，求出x∈（1，+∞）時，f（x）（x﹣1）的最大值，即可解出m的取值范圍
（3）由于f（x）在[2，3]上是增函數，g（x）（x+k）在[2，3]上是減函數，可得出，兩函數圖象在所給區間上有交點，由此可通過比較兩函數在區間端點處的函數值的大小得出，解之即可得出答案．
另解：運用對數相等的條件，以及參數分離法和函數的單調性，可得所求范圍．
【解答】解：（1）函數f（x）的圖象關于原點對稱，
∴f（x）+f（﹣x）＝0，即0，
∴（）＝0，∴1恒成立，
即1﹣a2x2＝1﹣x2，即（a2﹣1）x2＝0恒成立，所以a2﹣1＝0，解得a＝±1，
又a＝1時，f（x）無意義，故a＝﹣1；
（2）x∈（1，+∞）時，f（x）（x﹣1）＜m恒成立，即（x﹣1）＜m，
∴（x+1）＜m在（1，+∞）恒成立，
由于y（x+1）是減函數，故當x＝1，函數取到最大值﹣1，
∴m≥﹣1，即實數m的取值范圍是[﹣1，+∞）；
（3）f（x）在[2，3]上是增函數，g（x）（x+k）在[2，3]上是減函數，
∴只需要即可保證關于x的方程f（x）（x+k）在[2，3]上有解，下解此不等式組．
代入函數解析式得，解得﹣1≤k≤1，
即當﹣1≤k≤1時關于x的方程f（x）（x+k）在[2，3]上有解．
另解1：f（x）（x+k）即為lo（x+k），即x+k，
即有k在[2，3]上有解，
設h（x）（2≤x≤3），h（x）（x﹣1）在[2，3]遞減，
可得h（x）∈[﹣1，1]，所以k的范圍為[﹣1，1]．
另解2：f（x）（x+k）即為lo（x+k），即x+k，
即有kx＝1x，
而y＝1x在[2，3]遞減，可得﹣1≤y≤1，
所以k的范圍為[﹣1，1]．
【點評】本題考查函數恒成立問題的解法及對數函數性質的綜合運用，屬于有一定難度的題，本題考查了數形結合的思想，轉化化歸的思想，屬于靈活運用知識的好題
19．已知函數f（x）＝log4（4x+1）+kx是偶函數．
（1）求k的值；
（2）若函數，是否存在實數m使得h（x）最小值為0，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）．
（2）m＝﹣1．
【分析】（1由已知結合偶函數定義即可求解；
（2）由已知可考慮換元，轉化為二次函數閉區間最值問題，結合對稱軸與已知區間的位置關系進行分類討論可求．
【解答】解：（1）由題意得f（﹣x）＝f（x），
即對于任意x∈R恒成立，
∴，
整理得2kx＝﹣x恒成立．
∴．
（2）由題意，h（x）＝4x+m 2x，x∈[0，log23]，
令t＝2x，則t∈[1，3]，
故φ（t）＝t2+mt，t∈[1，3]，二次函數的圖象開口向上，對稱軸，
（i）當，即m≥﹣2時，φ（t）min＝φ（1）＝1+m＝0，解得：m＝﹣1，
（ii）當，即﹣6＜m＜﹣2時，（舍去），
（iii）當3，即m＝﹣6時，h（x）＝4x﹣6 2x，x∈[0，log23]，φ（t）min＝φ（3）＝﹣9；
（iv）當，即m＜﹣6時，φ（t）min＝φ（3）＝9+3m＝0，
∴m＝﹣3（舍去），
∴存在m＝﹣1使得h（x）最小值為0．
【點評】本題主要考查了函數奇偶性的定義的應用，還考查了二次函數閉區間上最值求解，體現了分類討論思想的應用，屬于中檔題．
20．已知二次函數f（x）滿足f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣1，f（0）＝﹣3．
（Ⅰ）求函數f（x）的表達式；
（Ⅱ）設g（x）＝kx+1，若F（x）＝log0.5[g（x）﹣f（x）]在區間[2，3]上單調遞增，求實數k的取值范圍．
【答案】（Ⅰ）f（x）＝x2﹣2x﹣3；
（Ⅱ）{k|k≤2}．
【分析】（Ⅰ）設出二次函數的解析式，得到2ax+a+b＝2x﹣1，根據系數對應相等，求出a，b的值即可；
（Ⅱ）由于F（x）＝log0.5（g（x）﹣f（x））＝log0.5（﹣x2+（k+2）x﹣2），設h（x）＝﹣x2+（k+2）x﹣2，由二次函數的性質，比較對稱軸和區間端點的關系即可．
【解答】解：（Ⅰ）設二次函數的解析式為f（x）＝ax2+bx+c （a≠0）
由f（0）＝﹣3得c＝﹣3，
故f（x）＝ax2+bx﹣3．
因為f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣1，
所以a（x+1）2+b（x+1）﹣3﹣（ax2+bx﹣3）＝2x﹣1．
即2ax+a+b＝2x﹣1，
根據系數對應相等 ；
所以f（x）＝x2﹣2x﹣3；
（Ⅱ）F（x）＝log0.5（g（x）﹣f（x））＝log0.5（﹣x2+（k+2）x+4），
由F（x）在區間[2，3]上是增函數得h（x）＝﹣x2+（k+2）x﹣+在[2，3]上為減函數且恒正，
故，解得：k≤2．
實數k的取值范圍：{k|k≤2}．
【點評】本題考查二次函數在R中的恒成立問題，可以通過判別式法予以解決，二次函數的單調區間有開口方向和對稱軸的位置共同決定，在沒說明開口方向時一定要注意比較對稱軸和區間端點的關系，屬于中檔題．
21．已知指數函數f（x）的圖象經過點（﹣1，3），g（x）＝f2（x）﹣2af（x）+3在區間[﹣1，1]的最小值h（a）；
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求函數g（x）的最小值h（a）的表達式；
（3）是否存在m，n∈R同時滿足以下條件：
①m＞n＞3；
②當h（a）的定義域為[n，m]時，值域為[n2，m2]；若存在，求出m，n的值；若不存在，說明理由．
【答案】見試題解答內容
【分析】（1）設f（x）＝ax，a＞0且a≠1，代值計算即可求出，
（2）利用換元法，可將已知函數化為一個二次函數，根據二次函數在定區間上的最值問題，即可得到h（a）的解析式．
（3）由（2）中h（a）的解析式，易得在h（a）在（3，+∞）上為減函數，進而根據h（a）的定義域為[n，m]時值域為[n2，m2]構造關于m，n的不等式組，如果不等式組有解，則存在滿足條件的m，n的值；若無解，則不存在滿足條件的m，n的值．
【解答】解：（1）設f（x）＝ax，a＞0且a≠1，
∵指數函數f（x）的圖象經過點（﹣1，3），
∴a﹣1＝3，
即a，
∴f（x）＝（）x，
（2）令t＝（）x，
∵x∈[﹣1，1]，
∴t∈[，3]，
∴g（x）＝k（t）＝t2﹣2at+3，對稱軸為t＝a，
當a時，k（t）在[，3]上為增函數，此時當t時，h（a）＝k（）
當a＜3時，k（t）在[，a]上為減函數，在[a，3]上為增函數，此時當t＝a時，h（a）＝﹣a2+3，
當a≥3時，k（t）在[，3]上為減函數，此時當t＝3時，h（a）＝12﹣6a，
∴h（a）．
（3）由（2）得m＞n＞3時，h（a）＝12﹣6a在[n，m]中為減函數，
若此時h（a）值域為[n2，m2]．
則，即6（m﹣n）＝（m﹣n）（m+n），即m+n＝6，
與m＞n＞3矛盾，故不存在滿足條件的m，n的值．
【點評】本題考查的知識點是指數函數的綜合應用，其中（2）的關鍵是利用換元法，將函數解析式化為二次函數，（3）的關鍵是判斷h（a）在（3，+∞）上為減函數進而構造關于m，n的不等式組．
22．已知函數f（x）＝x2﹣2mx+2m2﹣4，x∈R，m∈R．
（1）若函數f（x）在區間（0，3）上有唯一零點，求實數m的取值范圍；
（2）記函數F（x）＝f（2x）+f（2﹣x）﹣m2，若函數F（x）存在零點，求實數m的取值范圍．
【答案】見試題解答內容
【分析】（1）根據題意，f（x）＝x2﹣2mx+2m2﹣4＝（x﹣m）2+m2﹣4，對m分類討論，利用二次函數的單調性即可得出m的取值范圍．
（2）根據題意，若函數F（x）存在零點，則方程F（x）＝f（2x）+f（2﹣x）﹣m2＝0有解，而F（x）＝f（2x）+f（2﹣x）﹣m2＝（2x+2﹣x）2﹣2m（2x+2﹣x）+4m2﹣10，令2x+2﹣x＝t≥2，則F（x）＝G（t）＝t2﹣2mt+4m2﹣10＝（t﹣m）2+3m2﹣10，對m分類討論，利用二次函數的單調性即可得出m的取值范圍．
【解答】解：（1）根據題意，f（x）＝x2﹣2mx+2m2﹣4＝（x﹣m）2+m2﹣4，
當m＝±2時，f（x）＝0有唯一的根，即x＝m，
若函數f（x）在區間（0，3）上有唯一零點，此時m＝2符合條件．
當m2＜4時，即﹣2＜m＜2時，方程f（x）＝0有兩個根，
若函數f（x）在區間（0，3）上有唯一零點，此時必有f（0）f（3）＜0，即（2m2﹣4）（5﹣6m+2m2）＜0，
解得m．
當m2＞4時，f（x）＝0無實數根，
由f（0）＝0，2m2﹣4＝0，解得m＝±，經過驗證：m時滿足題意，m時不滿足題意，舍去．
由f（3）＝0，2m2﹣6m+5＝0，Δ＜0，方程無解，舍去．
綜上可得：m的取值范圍為{m|m＝2或m}．
（2）根據題意，若函數F（x）存在零點，則方程F（x）＝f（2x）+f（2﹣x）﹣m2＝0有解，
而F（x）＝f（2x）+f（2﹣x）﹣m2＝22x﹣2m 2x+2m2﹣4+2﹣2x﹣2m 2﹣x+2m2﹣4﹣m2
＝（2x+2﹣x）2﹣2m（2x+2﹣x）+3m2﹣10，
令2x+2﹣x＝t≥2，則F（x）＝G（t）＝t2﹣2mt+3m2﹣10＝（t﹣m）2+2m2﹣10，
①當m＜2時，，
則由3m2﹣4m﹣6≤0，得
②當m≥2時，，
則由2m2﹣10≤0，得，
綜上，實數m的取值范圍是[，]．
【點評】＝本題考查了二次函數的單調性、分類討論方法、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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