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第二章 直線與圓的方程
一、選擇題
1．直線的傾斜角為（　　）
A．150° B．120° C．60° D．30°
2．過點P（﹣1，3）且垂直于直線x﹣2y+3＝0的直線方程為（　　）
A．2x+y﹣1＝0 B．2x+y﹣5＝0 C．x+2y﹣5＝0 D．x﹣2y+7＝0
3．若方程x2+y2﹣2y﹣m＝0表示圓，則實數m的取值范圍為（　　）
A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣1，+∞）
4．圓x2+y2＝4與圓x2+y2﹣6x+8y+9＝0的位置關系為（　　）
A．內切 B．相交 C．外切 D．相離
5．若直線l與直線y＝2，x＝4分別交于點P，Q，且線段PQ的中點坐標為（1，﹣1），則直線l的斜率為（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．3
6．過原點且傾斜角為60°的直線被圓x2+y2﹣4y＝0所截得的弦長為（　　）
A． B．2 C． D．2
7．過點P（﹣2，4）作圓O：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝25的切線l，直線m：ax﹣3y＝0與直線l平行，則直線l與m的距離為（　　）
A．4 B．2 C． D．
8．已知A（﹣3，8）和B（2，2），在x軸上有一點M，使得|AM|+|BM|為最短，那么點M的坐標為（　　）
A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（） D．（）
9．△ABC的三個頂點是A（0，3），B（3，3），C（2，0），直線l：x＝a將△ABC分割成面積相等的兩部分，則a的值是（　　）
A． B． C． D．
10．已知點P（x，y）是直線kx+y+4＝0（k＞0）上一動點，PA，PB是圓C：x2+y2﹣2y＝0的兩條切線，A，B是切點，若四邊形PACB的最小面積是2，則k的值為（　　）
A．3 B． C． D．2
二、多選題
11．已知點A（u+2，0），B（﹣u，0），若圓C：（x﹣4）2+（y﹣4）2＝9上存在唯一的一點P，使得PA⊥PB，則u的值可能為（　　）
A．﹣9 B．﹣5 C．1 D．7
三、填空題
12．經過兩條直線3x+4y﹣2＝0與2x+y+2＝0的交點，且垂直于直線3x﹣2y+4＝0的直線方程為　 　 ．
13．經過原點的直線l與圓C：x2+（y﹣4）2＝4有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是　 　 ．
14．已知點P（2，﹣3），Q（3，2），直線ax+y+2＝0與線段PQ相交，則實數a的取值范圍是　 　 ．
15．在直角坐標系中，定義兩點P（x1，y1），Q（x2，y2）之間的“直角距離”為d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．現有下列命題：
①若P，Q是x軸上兩點，則d（P，Q）＝|x1﹣x2|；
②已知P（1，3），Q（sin2a，cos2a）（a∈R），則d（P，Q）為定值；
③原點O到直線x﹣y+1＝0上任一點P的直角距離d（O，P）的最小值為；
④設A（x，y）且x∈Z，y∈Z，若點A是在過P（1，3）與Q（5，7）的直線上，且點A到點P與Q的“直角距離”之和等于8，那么滿足條件的點A只有5個．
其中的真命題是　 　 ．（寫出所有真命題的序號）
四、解答題
16．已知直線l經過點（0，﹣2），其傾斜角的大小是60°．
（1）求直線l的方程；
（2）求直線l與兩坐標軸圍成三角形的面積．
17．如圖，現要在矩形花園ABCD中鋪兩條筆直的小路，已知AD＝5m，AB＝3m，其中一條小路定為AC，另一條小路過點D．如何在BC上找到一點M，使得兩條小路AC與DM相互垂直？
18．已知直線l經過點P（2，1），與直線x+2y﹣3＝0和2x+y﹣6＝0分別交于A，B兩點，而且線段AB被點P平分．
（1）求直線l的方程；
（2）若圓C的圓心在l上，與直線4x+3y+14＝0相切，且直線3x+4y+10＝0被此圓截得弦長為6，試求圓C的方程．
19．在△ABC中，邊BC上的高所在直線的方程為x﹣2y+1＝0，∠A的平分線所在直線的方程為y＝0．若點B的坐標為（1，2），求點A和點C的坐標．
第二章 直線與圓的方程
參考答案與試題解析
一、選擇題
1．直線的傾斜角為（　　）
A．150° B．120° C．60° D．30°
【答案】B
【分析】先求出直線的斜率，然后結合斜率與傾斜角關系即可求解．
【解答】解：根據題意，設直線的傾斜角為θ，
直線即，
其斜率，則有，
又由0°≤θ＜180°，則θ＝120°，
故選：B．
【點評】本題主要考查了直線的傾斜角與斜率關系的應用，屬于基礎題．
2．過點P（﹣1，3）且垂直于直線x﹣2y+3＝0的直線方程為（　　）
A．2x+y﹣1＝0 B．2x+y﹣5＝0 C．x+2y﹣5＝0 D．x﹣2y+7＝0
【答案】A
【分析】根據題意，易得直線x﹣2y+3＝0的斜率為，由直線垂直的斜率關系，可得所求直線的斜率為﹣2，又知其過定點坐標，由點斜式得所求直線方程．
【解答】解：根據題意，易得直線x﹣2y+3＝0的斜率為，
由直線垂直的斜率關系，可得所求直線的斜率為﹣2，
又知其過點（﹣1，3），
由點斜式得所求直線方程為2x+y﹣1＝0．
故選：A．
【點評】本題考查直線垂直與斜率的相互關系，注意斜率不存在的特殊情況．
3．若方程x2+y2﹣2y﹣m＝0表示圓，則實數m的取值范圍為（　　）
A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣1，+∞）
【答案】D
【分析】將方程化為標準式即可計算求解．
【解答】解：方程x2+y2﹣2y﹣m＝0可變形為x2+（y﹣1）2＝m+1，
因為方程表示圓，則m+1＞0，
所以m＞﹣1．
故選：D．
【點評】本題主要考查二元二次方程表示圓的條件，屬于基礎題．
4．圓x2+y2＝4與圓x2+y2﹣6x+8y+9＝0的位置關系為（　　）
A．內切 B．相交 C．外切 D．相離
【答案】B
【分析】把第二個圓的方程化為標準方程，找出圓心A的坐標和半徑r，再由第一個圓的方程找出圓心B的坐標和半徑R，利用兩點間的距離公式求出兩圓心間的距離d，發現d＝R+r，從而判斷出兩圓位置關系是外切．
【解答】解：把圓x2+y2﹣6x+8y+9＝0化為標準方程得：（x﹣3）2+（y+4）2＝16，
∴圓心A的坐標為（3，﹣4），半徑r＝4，
由圓x2+y2＝4，得到圓心B坐標為（0，0），半徑R＝2，
兩圓心間的距離d＝|AB|5，
∵2+4＝6，4﹣2＝2，即R﹣r＜d＜R+r，
則兩圓的位置關系是相交．
故選：B．
【點評】此題考查了圓的標準方程，兩點間的基本公式，以及圓與圓位置關系的判斷，圓與圓位置關系的判斷方法為：當0≤d＜R﹣r時，兩圓內含；當d＝R﹣r時，兩圓內切；當R﹣r＜d＜R+r時，兩圓相交；當d＝R+r時，兩圓外切；當d＞R+r時，兩圓相離（d表示兩圓心間的距離，R及r分別表示兩圓的半徑）．
5．若直線l與直線y＝2，x＝4分別交于點P，Q，且線段PQ的中點坐標為（1，﹣1），則直線l的斜率為（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．3
【答案】B
【分析】利用中點坐標公式可得P，Q，再利用斜率的計算公式即可得出．
【解答】解：設P（x，2），Q（4，y）．
∵線段PQ的中點坐標為（1，﹣1），
∴，解得x＝﹣2，y＝﹣4．
∴P（﹣2，2），Q（4，﹣4）
∴直線l的斜率1．
故選：B．
【點評】本題考查了中點坐標公式、斜率的計算公式，屬于基礎題．
6．過原點且傾斜角為60°的直線被圓x2+y2﹣4y＝0所截得的弦長為（　　）
A． B．2 C． D．2
【答案】D
【分析】本題考查的知識點是直線與圓方程的應用，由已知圓x2+y2﹣4y＝0，我們可以將其轉化為標準方程的形式，求出圓心坐標和半徑，又直線由過原點且傾斜角為60°，得到直線的方程，再結合半徑、半弦長、弦心距滿足勾股定理，即可求解．
【解答】解：將圓x2+y2﹣4y＝0的方程可以轉化為：
x2+（y﹣2）2＝4，
即圓的圓心為A（0，2），半徑為R＝2，
∴A到直線ON的距離，即弦心距為1，
∴ON，
∴弦長2，
故選：D．
【點評】要求圓到割線的距離，即弦心距，我們最常用的性質是：半徑、半弦長（BE）、弦心距（OE）構成直角三角形，滿足勾股定理，求出半徑和半弦長，代入即可求解．
7．過點P（﹣2，4）作圓O：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝25的切線l，直線m：ax﹣3y＝0與直線l平行，則直線l與m的距離為（　　）
A．4 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】判斷P在圓O上，求出直線OP的斜率，確定出切線l的斜率，求出l的方程，根據直線m與直線l平行，利用平行線的距離公式求出l與m的距離即可．
【解答】解：將P（﹣2，4）代入圓方程左邊得：42+32＝16+9＝25，左邊＝右邊，即P在圓O上，
∵直線OP的斜率為，
∴切線l的斜率為，即直線l方程為y﹣4（x+2），
整理得：4x﹣3y+20＝0，
∵直線m：ax﹣3y＝0與直線l平行，
∴，即a＝4，
∴直線m方程為4x﹣3y＝0，即4x﹣3y＝0，
則直線l與m的距離為4．
故選：A．
【點評】此題考查了直線與圓相交的性質，圓的切線方程，兩直線平行時斜率滿足的關系，點到直線的距離公式，弄清題意是解本題的關鍵．
8．已知A（﹣3，8）和B（2，2），在x軸上有一點M，使得|AM|+|BM|為最短，那么點M的坐標為（　　）
A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（） D．（）
【答案】B
【分析】利用對稱知識得到點B（2，2）關于x軸的對稱點為B′，連接AB′，根據B′和A的坐標求得直線AB′的方程，求出它與x軸交點坐標即為M的坐標．
【解答】解：找出點B關于x軸的對稱點B′，連接AB′，
與x軸的交于M點，連接BM，此時|AM|+|BM|為最短，
由B與B′關于x軸對稱，B（2，2），
所以B′（2，﹣2），又A（﹣3，8），
則直線AB′的方程為y+2（x﹣2）
化簡得：y＝﹣2x+2，令y＝0，解得x＝1，所以M（1，0）
故選：B．
【點評】此題考查學生靈活運用對稱的性質解決實際問題，會求直線與x軸的交點坐標，是一道中檔題．
9．△ABC的三個頂點是A（0，3），B（3，3），C（2，0），直線l：x＝a將△ABC分割成面積相等的兩部分，則a的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先求出AC所在的直線方程，再聯立方程x＝a求出E點的坐標，進而得出DE和AD的長，再由三角形的面積即可得出a的值．
【解答】解：AC所在的直線方程為yx+3，
直線x＝a與AB交于D，與AC交于E，
則S△ADES△ABC，
E點的坐標為（a，3）
∴DE＝3﹣（3），
AD＝a，∴由S△ADEa
解得：a
故選：A．
【點評】此題考查了兩直線的交點坐標，求出S△ADE是解題的關鍵，屬于中檔題．
10．已知點P（x，y）是直線kx+y+4＝0（k＞0）上一動點，PA，PB是圓C：x2+y2﹣2y＝0的兩條切線，A，B是切點，若四邊形PACB的最小面積是2，則k的值為（　　）
A．3 B． C． D．2
【答案】D
【分析】先求圓的半徑，四邊形PACB的最小面積是2，轉化為三角形PBC的面積是1，求出切線長，再求PC的距離也就是圓心到直線的距離，可解k的值．
【解答】解：圓C：x2+y2﹣2y＝0的圓心（0，1），半徑是r＝1，
由圓的性質知：S四邊形PACB＝2S△PBC，四邊形PACB的最小面積是2，
∴S△PBC的最小值＝1rd（d是切線長）∴d最小值＝2
圓心到直線的距離就是PC的最小值，
∵k＞0，∴k＝2
故選：D．
【點評】本題考查直線和圓的方程的應用，點到直線的距離公式等知識，是中檔題．
二、多選題
11．已知點A（u+2，0），B（﹣u，0），若圓C：（x﹣4）2+（y﹣4）2＝9上存在唯一的一點P，使得PA⊥PB，則u的值可能為（　　）
A．﹣9 B．﹣5 C．1 D．7
【答案】ACD
【分析】由題意P在以N為圓心，|u+1|為半徑的圓上，根據題意該圓與圓C只有一個公共點，由兩圓的位置關系可得答案．
【解答】解：因為AB的中點為定點N（1，0），|AB|＝2|u+1|，且PA⊥PB，
所以P在以N為圓心，|u+1|為半徑的圓N上，
依題意可得圓N與圓C只有一個公共點，則兩圓外切或內切，
則|NC|或|NC|，
解得u＝﹣9，﹣3，1，7．
故答案為：ACD．
【點評】本題主要考查直線和圓的位置關系，屬于中檔題．
三、填空題
12．經過兩條直線3x+4y﹣2＝0與2x+y+2＝0的交點，且垂直于直線3x﹣2y+4＝0的直線方程為　2x+3y﹣2＝0　 ．
【答案】見試題解答內容
【分析】聯立方程可得交點坐標，由垂直關系可得斜率，由點斜式可得方程，化為一般式即可．
【解答】解：聯立，解得，
即兩直線的交點為（﹣2，2），又直線垂直于3x﹣2y+4＝0，
故所求直線的斜率為，故方程為y﹣2（x+2），
化為一般式可得：2x+3y﹣2＝0，
故答案為：2x+3y﹣2＝0
【點評】本題考查直線的交點以及直線的垂直關系，屬基礎題．
13．經過原點的直線l與圓C：x2+（y﹣4）2＝4有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是　（]　 ．
【答案】見試題解答內容
【分析】由題意可得直線與圓相切或相交，利用點到直線的距離公式建立不等式，即可求得結論．
【解答】解：設直線L：y＝kx即kx﹣y＝0
由直線與圓C：x2+（y﹣4）2＝4有公共點，即直線與圓相切或相交
∴2
∴k2≥3
∴k或k
故答案為：（]
【點評】本題主要考查了直線與圓相切及相交的性質的應用，解題的關鍵是利用點到直線的距離與半徑的比較．
14．已知點P（2，﹣3），Q（3，2），直線ax+y+2＝0與線段PQ相交，則實數a的取值范圍是　　 ．
【答案】見試題解答內容
【分析】分別求出直線MQ、MP的斜率，進而即可求出直線MN的斜率的取值范圍．
【解答】解：畫出圖象
∵，
．
要使直線ax+y+2＝0與線段PQ相交，
則滿足．
∴，
∴．
故答案為．
【點評】正確理解直線相交于直線的斜率的關系是解題的關鍵．
15．在直角坐標系中，定義兩點P（x1，y1），Q（x2，y2）之間的“直角距離”為d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．現有下列命題：
①若P，Q是x軸上兩點，則d（P，Q）＝|x1﹣x2|；
②已知P（1，3），Q（sin2a，cos2a）（a∈R），則d（P，Q）為定值；
③原點O到直線x﹣y+1＝0上任一點P的直角距離d（O，P）的最小值為；
④設A（x，y）且x∈Z，y∈Z，若點A是在過P（1，3）與Q（5，7）的直線上，且點A到點P與Q的“直角距離”之和等于8，那么滿足條件的點A只有5個．
其中的真命題是　①②④　 ．（寫出所有真命題的序號）
【答案】見試題解答內容
【分析】先根據直角距離的定義分別表示出所求的問題的表達式，然后根據集合中絕對值的性質進行判定即可．
【解答】解：①若P，Q是x軸上兩點，則y1＝y2＝0，所以d（P，Q）＝|x1﹣x2|，正確；
②已知P（1，3），Q（sin2a，cos2a）（a∈R），則d（P，Q）＝|1﹣sin2a|+|3﹣cos2a|＝cos2a+2+sin2a＝3為定值，正確；
③設P（x，y），O（0，0），則d（0，P）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|＝|x|+|y|＝|x|+|x+1|，表示數軸上的x到1和0的距離之和，其最小值為1，故不正確；
④過P（1，3）與Q（5，7）的直線方程為y＝x+2，點A到點P與Q的“直角距離”之和等于8，則|x﹣1|+|y﹣3|+|x﹣5|+|y﹣7|＝2|x﹣1|+2|x﹣5|＝8，所以|x﹣1|+|x﹣5|＝4，所以1≤x≤5，因為x∈Z，所以x＝1，2，3，4，5，所以滿足條件的點A只有5個，正確．
故答案為：①②④．
【點評】本題考查兩點之間的“直角距離”的定義，絕對值的意義，關鍵是明確P（x1，y1）、Q（x2，y2）兩點之間的“直角距離”的含義．
四、解答題
16．已知直線l經過點（0，﹣2），其傾斜角的大小是60°．
（1）求直線l的方程；
（2）求直線l與兩坐標軸圍成三角形的面積．
【答案】（1）．
（2）．
【分析】（1）由已知中直線l的傾斜角可得其斜率，再由直線l經過點（0，﹣2），可得直線的點斜式方程，化為一般式可得答案．
（2）由（1）中直線l的方程，可得直線在兩坐標軸上的截距，代入三角形面積公式可得答案．
【解答】解：（1）因為直線l的傾斜角的大小為60°，
故其斜率為，
又直線l經過點（0，﹣2），所以其方程為y﹣（﹣2）x
即．…（3分）
（2）由直線l的方程知它在x軸、y軸上的截距分別是、﹣2，
所以直線l與兩坐標軸圍成三角形的面積
．…（8分）
【點評】本題考查的知識點是直線的點斜式方程，其中根據直線l經過點（0，﹣2），結合直線的斜率，求出直線方程是解答的關鍵．
17．如圖，現要在矩形花園ABCD中鋪兩條筆直的小路，已知AD＝5m，AB＝3m，其中一條小路定為AC，另一條小路過點D．如何在BC上找到一點M，使得兩條小路AC與DM相互垂直？
【答案】當m 時，使得兩條小路AC與DM相互垂直．
【分析】以B為坐標原點，BC，BA所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標系，再結合兩直線垂直的性質，即可求解．
【解答】解：以B為坐標原點，BC，BA所在直線分別為x軸，y軸建立如圖所示平面直角坐標系，
∵AD＝5m，AB＝3m，
∴C（5，0），D（5，3），A（0，3），
設M（x，0），
∵AC⊥DM，由圖可得，直線AC，DM的斜率都存在，
∴kAC kDM＝﹣1，即，解得x，即m 時，使得兩條小路AC與DM相互垂直．
故當m 時，使得兩條小路AC與DM相互垂直．
【點評】本題主要考查函數的實際應用，考查兩直線垂直的性質，屬于基礎題．
18．已知直線l經過點P（2，1），與直線x+2y﹣3＝0和2x+y﹣6＝0分別交于A，B兩點，而且線段AB被點P平分．
（1）求直線l的方程；
（2）若圓C的圓心在l上，與直線4x+3y+14＝0相切，且直線3x+4y+10＝0被此圓截得弦長為6，試求圓C的方程．
【答案】（1）x﹣y﹣1＝0；
（2）（x﹣2）2+（y﹣1）2＝25．
【分析】（1）設A（m，n），B（4﹣m，2﹣n），分別代入直線x+2y﹣3＝0和2x+y﹣6＝0，求出A點坐標，利用兩點式方程能求出直線l的方程．
（2）設圓C（x，x﹣1），利用點到直線的距離公式圓心到直線距離d＝R和圓心C（x，x﹣1）到直線3x+4y+10＝0距離d1，由直線3x+4y+10＝0被此圓截得弦長為6，利用勾股定理能求出半徑和圓心，由此能求出圓C的方程．
【解答】解：（1）∵直線l經過點P（2，1），與直線x+2y﹣3＝0和2x+y﹣6＝0分別交于A，B兩點，而且線段AB被點P平分，
∴設A（m，n），B（4﹣m，2﹣n），
則，
解得m，n，
∴A（，），∵直線l過A（，），P（2，1），
∴直線l的方程為：，
整理，得x﹣y﹣1＝0．
（2）∵圓C的圓心在直線L1：x﹣y﹣1＝0上
∴設C（x，x﹣1），
∵圓C與直線4x+3y+14＝0相切，∴圓心到直線距離d＝R，
∴R，
圓心C（x，x﹣1）到直線3x+4y+10＝0距離：
d1，
∵直線3x+4y+10＝0被此圓截得弦長為6，
∴（）2+（）2＝（）2，
解得x＝2，∴R2＝（）2＝25，圓心C（2，1）
∴圓C的方程為：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝25．
【點評】本題考查直線方程和圓的方程的求法，是中檔題，解題時要注意點到直線的距離公式的合理運用．
19．在△ABC中，邊BC上的高所在直線的方程為x﹣2y+1＝0，∠A的平分線所在直線的方程為y＝0．若點B的坐標為（1，2），求點A和點C的坐標．
【答案】A（﹣1，0）；∴C（5，﹣6）．
【分析】聯立方程可得，解得方程，得到A點坐標，分別求出直線BC和直線AC的方程，再求出點C的坐標．
【解答】解：聯立方程可得，
解得x＝﹣1，y＝0，∴A（﹣1，0），
∵邊BC上的高所在直線的方程為x﹣2y+1＝0，
∴直線BC的方程的斜率k＝﹣2，
∴直線BC的方程為y﹣2＝﹣2（x﹣1），即2x+y﹣4＝0，
∵kAB1，
∵∠A的平分線所在直線的方程為y＝0，∴kAC＝﹣1，
∴直線AC的方程為y＝﹣（x+1），即x+y+1＝0，
聯立，解得x＝5，y＝﹣6，
∴C（5，﹣6）．
【點評】本題考查了直線與直線的垂直，直線的斜率，屬于基礎題．
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