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中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
第三章 圓錐曲線的方程
一、單選題
1．已知直線y＝kx+t與圓x2+（y+1）2＝1相切且與拋物線C：x2＝4y交于不同的兩點(diǎn)M，N，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（　　）
A．（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）
C．（﹣3，0） D．（﹣2，0）
2．拋物線x2＝2py（p＞0）上一點(diǎn)A（a，p）到其準(zhǔn)線的距離等于，則實(shí)數(shù)a的值等于（　　）
A．4 B．±2 C． D．±
3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C：1（a＞0，b＞0）的漸近線l2：yx的傾斜角是漸近線l1：yx的傾斜角的2倍，第二象限內(nèi)一點(diǎn)P在漸近線l2上，且與雙曲線C的右焦點(diǎn)F，點(diǎn)O構(gòu)成底邊長(zhǎng)為2的等腰三角形，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（　　）
A．x21 B．x21 C．y2＝1 D．y2＝1
4．若點(diǎn)P（1，2）在雙曲線）的一條漸近線上，則它的離心率為（　　）
A． B．2 C． D．
5．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣5，0）和（5，0），橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的距離和是26，則橢圓的方程為（　　）
A．1 B．1
C．1 D．1
6．曲率半徑可用來描述曲線上某點(diǎn)處的彎曲變化程度，曲率半徑越大則曲線在該點(diǎn)處的彎曲程度小，已知橢圓C：1（a＞b＞0）上點(diǎn)P（x0，y0）處的曲率半徑公式為R＝a2b2（．若橢圓C上所有點(diǎn)相應(yīng)的曲率半徑的最大值是最小值的8倍，則橢圓C的離心率為（　　）
A． B． C． D．
二、填空題
7．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)為F，左頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)F向雙曲線的一條漸近線作垂線，垂足為P，且|AF|+|FP|＝|OF|，則該雙曲線的離心率為 　 　 ．
8．若關(guān)于x，y的方程1表示的是曲線C，給出下列四個(gè)命題：
①若C為橢圓，則1＜t＜3；
②若C為雙曲線，則t＞3或t＜1；
③曲線C不可能是圓；
④若C表示橢圓，且長(zhǎng)軸在x軸上，則1＜t＜2．
其中正確的命題是 　 　 ．（把所有正確命題的序號(hào)都填在橫線上）
9．已知雙曲線C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，點(diǎn)P是雙曲
線C上不同于A1，A2的任意一點(diǎn)，若△PF1F2與△PA1A2的面積之比為：1，則雙曲線C的離心率為　 　 ．
10．如圖所示，等邊三角形OAB的邊長(zhǎng)為8，且其三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線 C：x2＝2py（p＞0）上．則拋物線C的方程為 　 　 ．
三、解答題
11．已知拋物線C的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)O，而焦點(diǎn)是雙曲線4x2﹣y2＝1的右頂點(diǎn)．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若直線l：y＝x﹣2與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)．
①求弦長(zhǎng)|AB|；
②求證：OA⊥OB．
12．橢圓C：過點(diǎn)，離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若P（m，n）在橢圓C上．
（ⅰ）求證：|PF2|＝2m；
（ⅱ）若|PF1|，求直線PF1的方程．
13．根據(jù)下列條件，求橢圓的方程．
（1）已知橢圓C：1（a＞b＞0）的離心率e，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于4；
（2）已知橢圓C的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為1．
14．已知雙曲線C：1（a＞0，b＞0），焦距為2，漸近線方程為yx．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）已知M，N是雙曲線C上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是C上異于M，N的任意一點(diǎn)，直線PM、PN分別交x軸于點(diǎn)T、S，試問：|OS| |OT|是否為定值，若不是定值，說明理由，若是定值，請(qǐng)求出定值（其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)）．
15．求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（1）焦點(diǎn)在x軸上，虛軸長(zhǎng)為8，離心率為；
（2）與雙曲線1有共同的漸近線，且過點(diǎn)．
第三章 圓錐曲線的方程
參考答案與試題解析
一、單選題
1．已知直線y＝kx+t與圓x2+（y+1）2＝1相切且與拋物線C：x2＝4y交于不同的兩點(diǎn)M，N，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（　　）
A．（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）
C．（﹣3，0） D．（﹣2，0）
【答案】A
【分析】由直線與圓相切可得1，把直線方程代入拋物線方程并整理，由Δ＞0求得t的范圍．
【解答】解：因?yàn)橹本€l：y＝kx+t與圓：x2+（y+1）2＝1相切，
所以1，
所以k2＝t2+2t，
把直線方程代入拋物線方程并整理得：x2﹣4kx﹣4t＝0，
由Δ＝16k2+16t＝16（t2+2t）+16t＞0得t＞0或t＜﹣3，
實(shí)數(shù)t的取值范圍是為（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線和圓、拋物線的位置關(guān)系，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．
2．拋物線x2＝2py（p＞0）上一點(diǎn)A（a，p）到其準(zhǔn)線的距離等于，則實(shí)數(shù)a的值等于（　　）
A．4 B．±2 C． D．±
【答案】D
【分析】根據(jù)拋物線x2＝2py（p＞0）上一點(diǎn)A（a，p）到其準(zhǔn)線的距離等于，求得p＝1，將點(diǎn)A（a，p）代入拋物線方程即可解得實(shí)數(shù)a的值．
【解答】解：因?yàn)閽佄锞€x2＝2py（p＞0）上一點(diǎn)A（a，p）到其準(zhǔn)線的距離等于，
所以，所以p＝1，
則A（a，1），拋物線方程為x2＝2y，
將A（a，1）代入得：a2＝2，解得．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C：1（a＞0，b＞0）的漸近線l2：yx的傾斜角是漸近線l1：yx的傾斜角的2倍，第二象限內(nèi)一點(diǎn)P在漸近線l2上，且與雙曲線C的右焦點(diǎn)F，點(diǎn)O構(gòu)成底邊長(zhǎng)為2的等腰三角形，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（　　）
A．x21 B．x21 C．y2＝1 D．y2＝1
【答案】A
【分析】設(shè)出漸近線的傾斜角，利用一自然條件求出漸近線的傾斜角，推出ab關(guān)系，結(jié)合三角形的面積求解c，推出a，b即可得到雙曲線方程．
【解答】解：雙曲線C：1（a＞0，b＞0）的漸近線l2：yx的傾斜角是漸近線l1：yx的傾斜角的2倍，
設(shè)漸近線l1的傾斜角為α，則漸近線l2的傾斜角為2α，則α+2α＝π，所以α，所以，
第二象限內(nèi)一點(diǎn)P在漸近線l2上，且與雙曲線C的右焦點(diǎn)F，∠POF，
點(diǎn)O構(gòu)成底邊長(zhǎng)為2的等腰三角形，
所以|PF|＝2，∠OFP，所以l1⊥PF，所以c＝2，a2+b2＝4，解得a＝1，b，
所以雙曲線方程為：x21．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題．
4．若點(diǎn)P（1，2）在雙曲線）的一條漸近線上，則它的離心率為（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】求出雙曲線的漸近線方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求解a，然后求解離心率即可．
【解答】解：雙曲線的漸近線方程，
因?yàn)辄c(diǎn)P（1，2）在雙曲線的一條漸近線上，
所以，所以，
它的離心率為．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，離心率的求法，是基礎(chǔ)題．
5．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣5，0）和（5，0），橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的距離和是26，則橢圓的方程為（　　）
A．1 B．1
C．1 D．1
【答案】A
【分析】根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣5，0）和（5，0），橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的距離和是26，可得橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，c＝5，a＝13，從而可求b，即可求出橢圓的方程．
【解答】解：∵橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣5，0）和（5，0），橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的距離和是26，
∴橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，c＝5，a＝13，
∴b12，
∴橢圓的方程為1．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的定義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用橢圓的定義是關(guān)鍵．
6．曲率半徑可用來描述曲線上某點(diǎn)處的彎曲變化程度，曲率半徑越大則曲線在該點(diǎn)處的彎曲程度小，已知橢圓C：1（a＞b＞0）上點(diǎn)P（x0，y0）處的曲率半徑公式為R＝a2b2（．若橢圓C上所有點(diǎn)相應(yīng)的曲率半徑的最大值是最小值的8倍，則橢圓C的離心率為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)已知求出R的范圍，再由最大值為最小值的8倍建立關(guān)系式，進(jìn)而可以求解．
【解答】解：∵點(diǎn)P在橢圓上，則，即，
∴
，
∵∈[0，a2]，∴∈[]，
則∈[]，
∴R∈[]，
∵曲率半徑的最大值是最小值的8倍，
∴，整理得a＝2b，
則橢圓的離心率為e，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的性質(zhì)以及曲率半徑的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
二、填空題
7．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)為F，左頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)F向雙曲線的一條漸近線作垂線，垂足為P，且|AF|+|FP|＝|OF|，則該雙曲線的離心率為 　　 ．
【答案】．
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合點(diǎn)到直線距離，可得|FP|＝b，由|AF|+|FP|＝|OF|，可推得a＝b，再結(jié)合雙曲線的離心率公式，即可求解．
【解答】解：設(shè)F（﹣c，0）漸近線方程為，
∵c2＝a2+b2，
∴點(diǎn)F（﹣c，0）到漸近線距離|FP|，
∵|AF|+|FP|＝|OF|，
∴c﹣a+b＝c，即a＝b，
∴c2＝a2+b2＝2a2，即，
∴雙曲線的離心率為 ．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了離心率的求解，熟練掌握雙曲線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．
8．若關(guān)于x，y的方程1表示的是曲線C，給出下列四個(gè)命題：
①若C為橢圓，則1＜t＜3；
②若C為雙曲線，則t＞3或t＜1；
③曲線C不可能是圓；
④若C表示橢圓，且長(zhǎng)軸在x軸上，則1＜t＜2．
其中正確的命題是 　②④　 ．（把所有正確命題的序號(hào)都填在橫線上）
【答案】②④．
【分析】根據(jù)方程表示的曲線特征，列式求解t的取值范圍．
【解答】解：①若C為橢圓，則，解得：1＜t＜2或2＜t＜3，故①不正確；
②若C為雙曲線，則（3﹣t）（t﹣1）＜0，解得：t＞3或t＜1，故②正確；
③當(dāng)t＝2時(shí)，方程表示x2+y2＝1，表示圓，故③不正確；
④若C為橢圓，且長(zhǎng)軸在x軸上，則，解得：1＜t＜2，故④正確．
故答案為：②④．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐曲線的方程，熟記圓錐曲線的方程是解答本解的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．
9．已知雙曲線C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，點(diǎn)P是雙曲
線C上不同于A1，A2的任意一點(diǎn)，若△PF1F2與△PA1A2的面積之比為：1，則雙曲線C的離心率為　　 ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】利用已知條件，把三角形的面積轉(zhuǎn)化為c與a的比，然后求解離心率．
【解答】解：設(shè)雙曲線的半焦距為c，△PF1F2與△PA1A2的面積之比為：1，
可得|F1F2||A1A2|，即2c＝2，
所以e，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的離心率求法，簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．
10．如圖所示，等邊三角形OAB的邊長(zhǎng)為8，且其三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線 C：x2＝2py（p＞0）上．則拋物線C的方程為 　x2＝4y　 ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】由已知得A（﹣4，12），B（4，12），O（0，0），從而（）2＝24p，由此能求出拋物線C的方程．
【解答】解：如圖，∵等邊三角形OAB的邊長(zhǎng)為8，
且其三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線 C：x2＝2py（p＞0）上．
∴A（﹣4，12），B（4，12），O（0，0），
∴（）2＝24p，
解得p＝2．
∴拋物線C的方程為x2＝4y．
故答案為：x2＝4y．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意待定系數(shù)法的合理運(yùn)用．
三、解答題
11．已知拋物線C的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)O，而焦點(diǎn)是雙曲線4x2﹣y2＝1的右頂點(diǎn)．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若直線l：y＝x﹣2與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)．
①求弦長(zhǎng)|AB|；
②求證：OA⊥OB．
【答案】（1）y2＝2x；
（2）①；
②證明見解析．
【分析】（1）將雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求得右頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右頂點(diǎn)重合得到拋物線的方程；
（2）①聯(lián)立方程，利用弦長(zhǎng)公式，結(jié)合韋達(dá)定理求得弦長(zhǎng)；
②利用向量的數(shù)量積為零求證垂直關(guān)系．
【解答】（1）解：4x2﹣y2＝1，化為標(biāo)準(zhǔn)形式：，
，右頂點(diǎn)A，
設(shè)拋物線的方程為y2＝2px，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
由于拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線的右頂點(diǎn)，所以p＝1，
∴拋物線C的方程y2＝2x；
（2）解：，消去x，得y2﹣2y﹣4＝0，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則y1y2＝﹣4，y1+y2＝2，
，
，
①．
證明：②，
∴OA⊥OB．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓錐曲線方程的求解，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，韋達(dá)定理及其應(yīng)用等知識(shí)，屬于中等題．
12．橢圓C：過點(diǎn)，離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若P（m，n）在橢圓C上．
（ⅰ）求證：|PF2|＝2m；
（ⅱ）若|PF1|，求直線PF1的方程．
【答案】（1）；
（2）（ⅰ）證明見解析；
（ⅱ）或．
【分析】（1）根據(jù)題設(shè)條件和a2＝b2+c2，列出方程組，求得a2，b2，c2的值，即可求解；
（2）（ⅰ）由（1）中橢圓C的方程，代入點(diǎn)P（m，n）求得，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式，即可求解；
（ⅱ）由（ⅰ）知，求得，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，分類討論，即可求解．
【解答】解：（1）由題意，橢圓過點(diǎn)，離心率為，
可得，解得，所以橢圓C的方程為．
（2）（ⅰ）由（1）知橢圓C的方程為，可得F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），
因?yàn)镻（m，n）在橢圓C上，可得，可得，
所以，
因?yàn)椹?＜m＜2，所以，
（ⅱ）由（ⅰ）知，
則，
可得，
又由，即，解得，所以，
當(dāng)時(shí)，可得，則，
所以直線PF1的方程為，即；
當(dāng)時(shí)，可得，則，
所以直線PF1的方程為，即，
綜上可得直線PF1的方程或．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓錐曲線方程的求解，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，韋達(dá)定理及其應(yīng)用等知識(shí)，屬于中等題．
13．根據(jù)下列條件，求橢圓的方程．
（1）已知橢圓C：1（a＞b＞0）的離心率e，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于4；
（2）已知橢圓C的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為1．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率公式及2a＝4，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）設(shè)橢圓C的方程，結(jié)合離心率公式和a﹣c＝1，即可求得a和b的值，求得橢圓方程．
【解答】解：（1）由題意可知，2a＝4，則a＝2，
橢圓C的離心率，c＝1，
所以b2＝a2﹣c2＝3，
所以橢圓C的方程：；
（2）由題意，設(shè)橢圓C的方程：，
由右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為1，則a﹣c＝1，
橢圓C的離心率，即a＝2c，
所以a＝2，c＝1，所以b2＝a2﹣c2＝3，
所以橢圓C的方程：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
14．已知雙曲線C：1（a＞0，b＞0），焦距為2，漸近線方程為yx．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）已知M，N是雙曲線C上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是C上異于M，N的任意一點(diǎn)，直線PM、PN分別交x軸于點(diǎn)T、S，試問：|OS| |OT|是否為定值，若不是定值，說明理由，若是定值，請(qǐng)求出定值（其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)）．
【答案】（1）．
（2）是定值，定值為2．理由見解答．
【分析】（1）利用已知條件求解c，a，b，得到雙曲線方程．
（2）是定值，定值為2，法一：設(shè)直線MP的方程為x＝ty+m（t≠0），S（x0，0），T（m，0），代入得（t2﹣2）y2+2tmy+m2﹣2＝0，設(shè)點(diǎn)M（x1，y1），P（x2，y2），則N（x1，﹣y1），利用韋達(dá)定理，結(jié)合三點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化求解|OS||OT|為定值．
法二：設(shè)點(diǎn)M（x1，y1），P（x2，y2），則N（x1，﹣y1），求出MP的方程，求解S、T的橫坐標(biāo)，通過點(diǎn)M（x1，y1），P（x2，y2），在雙曲線上轉(zhuǎn)化求解xT xS＝2．
【解答】解：（1）∵，∴，
又因?yàn)闈u近線方程為．∴，
∵c2＝a2+b2，∴a2＝2，b2＝1，
∴．
（2）是定值，定值為2．
法一：設(shè)直線MP的方程為x＝ty+m（t≠0），S（x0，0），T（m，0），
代入，得（t2﹣2）y2+2tmy+m2﹣2＝0，
因?yàn)闈u近線方程為，MP與漸近線不平行，∴t2≠2
設(shè)點(diǎn)M（x1，y1），P（x2，y2），則N（x1，﹣y1），
由韋達(dá)定理可得：，
由N，S，P三點(diǎn)共線得，
，
∴，即|OS||OT|為定值．
法二：是定值，定值為2，
設(shè)點(diǎn)M（x1，y1），P（x2，y2），則N（x1，﹣y1），，
令y＝0，∴，
同理：，
因?yàn)辄c(diǎn)M（x1，y1），P（x2，y2），在雙曲線上，∴，
，
∴（3），
由（1）（2）可得：，，
代入（3）可得：（定值）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用以及方程的求解，考查分析問題解決問題的能力，是難題．
15．求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（1）焦點(diǎn)在x軸上，虛軸長(zhǎng)為8，離心率為；
（2）與雙曲線1有共同的漸近線，且過點(diǎn)．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）由已知結(jié)合隱含條件求得a與b的值，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可求；
（2）設(shè)與雙曲線1有共同的漸近線的雙曲線方程為，代入已知點(diǎn)的坐標(biāo)求得λ值，則雙曲線方程可求．
【解答】解：（1）由已知可得，2b＝8，b＝4，
∴，解得a2＝9，c2＝25．
又焦點(diǎn)在x軸上，∴雙曲線的方程為；
（2）設(shè)與雙曲線1有共同的漸近線的雙曲線方程為（λ≠0），
把點(diǎn)代入，可得，即λ，
∴所求雙曲線方程為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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