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人教版（2024）八年級上冊 第十三章 三角形 單元測試
一、選擇題
1.中國古代在公元前2世紀就制成了世界上最早的潛望鏡，西漢初年成書的《淮南萬畢術》中有這樣的記載：“取大鏡高懸，懇水盆于其下，則見四鄰矣”，如圖①，其工作方法主要利用了光的反射原理．如圖②，呈水平狀態，為法線，，則的度數為（ ）
A. B. C. D.
2.如圖，在中，點和點分別是和上的兩點，連結，交的延長線于點，若，，，則（ ）
A. B. C. D.
3.如圖，的角平分線與中線交于點，對于下列結論：①是的角平分線；②是的中線；③；④．其中正確的是（　　）
A.①② B.①③ C.①④ D.②④
4.如圖，已知直線兩兩相交，且，若，則的度數為（ ）
A. B. C. D.
5.下圖是工地施工所用的塔吊，塔吊上端有兩根鋼絲繩，其兩根鋼絲繩與起重臂圍成的三角形三邊長可能是（ ）
A.，， B.，， C.，， D.，，
6.如圖，將一副三角板疊放在一起，使直角的頂點重合于點O，AB∥OC，DC與OB相交于點E，則∠DOE的度數為（　　）
A.85° B.70° C.75° D.60°
7.如圖，在△ABC中，∠1＝∠2，G為AD的中點，延長BG交AC于E．F為AB上一點，CF⊥AD于H，下面判斷正確的有（　　）
①CH是△ACD邊AD上的高；
②BE是△ABD邊AD上的中線；
③AD是△ABE的角平分線；
④AH是△ACF的角平分線和高．
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
8.同學們在玩“猜三角形”的游戲，圖中被信封遮住的（ ）．
A.只能是銳角三角形
B.只能是直角三角形
C.只能是鈍角三角形
D.可能是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形
9.如圖，的面積為10，點D，E，F分別在邊，，上，，，的面積與四邊形的面積相等，則的面積為（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
10.三角形的重心在（ ）
A.三角形的內部 B.三角形的外部 C.三角形的邊上 D.要根據三角形的形狀確定
11.如圖，在中，，分別為邊上的高線和的平分線，于點F，當，時，的度數為（ ）
A. B. C. D.
12.如圖，點D是邊上的中點，點E是上一點，且，F，G是邊上的三等分點，若四邊形的面積為14，則的面積是（ ）
A.24 B.42 C.48 D.56
二、填空題
13.如圖，CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，且CE交BA的延長線于點E．若∠B＝m°，∠E＝n°，則∠BAC＝　 　°．（用含m和n的式子表示）
14.如圖，在中，，G為的中點，的延長線交于點E，F為上的一點，于點H，
的高線是 .
15.如圖，D是△ABC的邊BC上的一點，則在△ABC中，∠C所對的邊是　 　；在△ACD中，∠C所對的邊是　 　．
16.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折疊△CBD，使點B恰好落在AC邊上的點E處，若∠A＝20°，則∠BDC等于 　 　．
17.如圖，在中，已知，點內一點，且，其中平分，平分，平分，平分平分，平分，以此類推，則 ．
三、解答題
18.圖①、圖②、圖③均是的正方形網格，每個小正方形的邊長為1，每個小正方形的頂點稱為格點，線段的端點均在格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網格中，按下列要求以為邊畫，要求：
在圖①中畫一個直角三角形，在圖②中畫一個銳角三角形，在圖③中畫一個鈍角三角形，點C在格點上．
19.如圖，AB=BC=CD=DA=AC，找出圖中的等腰三角形和等邊三角形.
20.如圖，已知△ABC，AD為邊BC上的中線，求作△ABC的重心M．
21.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于點D，AP平分∠BAC交BD于點P．
（1）∠APD的度數為　 　；
（2）若∠BDC＝58°，求∠ABC的度數．
22.在一個三角形中，如果一個角是另一個角的2倍，這樣的三角形我們稱之為“倍角三角形”．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝72°，點P是線段AB上一點（不與A，B重合），連接CP．
（1）若∠CPB＝54°，則△ACP 　 　“倍角三角形”（填“是”或“不是”）；
（2）若△BPC是“倍角三角形”，求∠ACP的度數．
人教版（2024）八年級上冊 第十三章 三角形 單元測試（參考答案）
一、選擇題
1.中國古代在公元前2世紀就制成了世界上最早的潛望鏡，西漢初年成書的《淮南萬畢術》中有這樣的記載：“取大鏡高懸，懇水盆于其下，則見四鄰矣”，如圖①，其工作方法主要利用了光的反射原理．如圖②，呈水平狀態，為法線，，則的度數為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
2.如圖，在中，點和點分別是和上的兩點，連結，交的延長線于點，若，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：，，，
，
，，
．
3.如圖，的角平分線與中線交于點，對于下列結論：①是的角平分線；②是的中線；③；④．其中正確的是（　　）
A.①② B.①③ C.①④ D.②④
【答案】B
【解析】∵的角平分線與中線交于點，
∴是的角平分線，，不是的中線，
故①③正確，符合題意；②錯誤，不符合題意；
∵不是的中線，
∴，
故④錯誤，不符合題意．
4.如圖，已知直線兩兩相交，且，若，則的度數為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：如圖，
∵，
∴，
又∵，
∴.
5.下圖是工地施工所用的塔吊，塔吊上端有兩根鋼絲繩，其兩根鋼絲繩與起重臂圍成的三角形三邊長可能是（ ）
A.，， B.，， C.，， D.，，
【答案】C
【解析】A選項，，，，不能構成三角形，不合題意；
B選項，，，，不能構成三角形，不合題意；
C選項，，，，能構成三角形，符合題意；
D選項，，，，不能構成三角形，不合題意．
6.如圖，將一副三角板疊放在一起，使直角的頂點重合于點O，AB∥OC，DC與OB相交于點E，則∠DOE的度數為（　　）
A.85° B.70° C.75° D.60°
【答案】D
【解析】解：∵AB∥OC，∠B＝30°，
∴∠BOC＝30°，
又∵∠COD＝90°，
∴∠DOE＝90°﹣30°＝60°，
故選：D．
7.如圖，在△ABC中，∠1＝∠2，G為AD的中點，延長BG交AC于E．F為AB上一點，CF⊥AD于H，下面判斷正確的有（　　）
①CH是△ACD邊AD上的高；
②BE是△ABD邊AD上的中線；
③AD是△ABE的角平分線；
④AH是△ACF的角平分線和高．
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
【答案】B
【解析】解：①∵CF⊥AD于H，
∴CH是△ACD邊AD上的高，本小題判斷正確；
②∵G為AD的中點，
∴BG是△ABD邊AD上的中線，故本選項判斷錯誤；
③∵∠1＝∠2，
∴AG是△ABE的角平分線；故本選項判斷錯誤；
④∵CF⊥AD，∠1＝∠2，
∴AH是△ACF的角平分線和高，本小題判斷正確；
故選：B．
8.同學們在玩“猜三角形”的游戲，圖中被信封遮住的（ ）．
A.只能是銳角三角形
B.只能是直角三角形
C.只能是鈍角三角形
D.可能是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形
【答案】D
【解析】解：如上圖中被信封遮住的可能是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形．
9.如圖，的面積為10，點D，E，F分別在邊，，上，，，的面積與四邊形的面積相等，則的面積為（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】C
【解析】如圖，連接，
∵，
∴，
∵兩個三角形有公共底，且面積相等，
∴高相等，
∴DE //AC，
從而可得，
∴，
又∵，
，
即．
10.三角形的重心在（ ）
A.三角形的內部 B.三角形的外部 C.三角形的邊上 D.要根據三角形的形狀確定
【答案】A
【解析】解：∵三角形的重心是三條中線的交點，
∴在三角形內部，
故選A．
11.如圖，在中，，分別為邊上的高線和的平分線，于點F，當，時，的度數為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：∵分別為邊上的高線和的平分線，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
12.如圖，點D是邊上的中點，點E是上一點，且，F，G是邊上的三等分點，若四邊形的面積為14，則的面積是（ ）
A.24 B.42 C.48 D.56
【答案】C
【解析】連接，
∵，
∴，
設，則，
∴，
∵F，G是邊上的三等分點，
∴，
∴，
∵四邊形的面積為14，
∴，
解得，
∴，
∵點D是邊上的中點，
∴．
二、填空題
13.如圖，CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，且CE交BA的延長線于點E．若∠B＝m°，∠E＝n°，則∠BAC＝　 　°．（用含m和n的式子表示）
【答案】（m+2n）．
【解析】解：∵∠B＝m°，∠E＝n°，
∴∠ECD＝∠B+∠E＝m°+n°．
∵CE為∠ACD的平分線，
∴∠ACD＝2∠ECD＝2（m°+n°）．
又∵∠ACD＝∠B+∠BAC，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠B＝2（m°+n°）﹣m°＝（m+2n）°．
故答案為：（m+2n）．
14.如圖，在中，，G為的中點，的延長線交于點E，F為上的一點，于點H，
的高線是 .
【答案】
【解析】∵于點H，
∴的高線是.
15.如圖，D是△ABC的邊BC上的一點，則在△ABC中，∠C所對的邊是　 　；在△ACD中，∠C所對的邊是　 　．
【答案】AB；AD
【解析】解：在△ABC中，∠C所對的邊是AB；在△ACD中，∠C所對的邊是AD，
故答案為：AB；AD．
16.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折疊△CBD，使點B恰好落在AC邊上的點E處，若∠A＝20°，則∠BDC等于 　 　．
【答案】65°
【解析】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝20°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝70°，
由折疊可知，∠DCB＝∠DCE＝45°，
∴∠BDC＝180°﹣70°﹣45°＝65°，
故答案為：65°．
17.如圖，在中，已知，點內一點，且，其中平分，平分，平分，平分平分，平分，以此類推，則 ．
【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
同理可得
，
歸納類推得，其中為正整數，
則.
三、解答題
18.圖①、圖②、圖③均是的正方形網格，每個小正方形的邊長為1，每個小正方形的頂點稱為格點，線段的端點均在格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網格中，按下列要求以為邊畫，要求：
在圖①中畫一個直角三角形，在圖②中畫一個銳角三角形，在圖③中畫一個鈍角三角形，點C在格點上．
【答案】解：如圖所示即為符合條件的三角形（答案不唯一）．
【解析】
19.如圖，AB=BC=CD=DA=AC，找出圖中的等腰三角形和等邊三角形.
【答案】解：圖中的等腰三角形有△ADC，△ABC，△ABD，△BCD.
圖中的等邊三角形有△ADC，△ABC.
【解析】
20.如圖，已知△ABC，AD為邊BC上的中線，求作△ABC的重心M．
【答案】作AB的垂直平分線EF交AB于點N，連接CN交AD于點M，即為所求．
【解析】
21.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于點D，AP平分∠BAC交BD于點P．
（1）∠APD的度數為　 　；
（2）若∠BDC＝58°，求∠ABC的度數．
【答案】解：（1）∵∠C＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，
∴（∠BAC+∠ABC）＝45°．
∵BD平分∠ABC，AP平分∠BAC，
∴∠BAP∠BAC，∠ABP∠ABC，
∴∠BAP+∠ABP∠BAC∠ABC（∠BAC+∠ABC）＝45°，
∴∠APD＝∠BAP+∠ABP＝45°.
（2）∵∠BDC＝58°，
∴∠DBC＝90°﹣∠BDC＝32°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠DBC＝64°．
【解析】
22.在一個三角形中，如果一個角是另一個角的2倍，這樣的三角形我們稱之為“倍角三角形”．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝72°，點P是線段AB上一點（不與A，B重合），連接CP．
（1）若∠CPB＝54°，則△ACP 　 　“倍角三角形”（填“是”或“不是”）；
（2）若△BPC是“倍角三角形”，求∠ACP的度數．
【答案】解：（1）在△CBP中，∠B＝72°，∠CPB＝54°，
∴∠BCP＝180°﹣（∠B+∠CPB）＝54°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACP＝∠ACB﹣∠BCP＝36°，
∠APC＝180°﹣∠CPB＝126°，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝72°，
∴∠A＝90°﹣72°＝18°，
在△ACP中，∠A＝18°，∠ACP＝36°，∠APC＝126°，
∵∠ACP＝2∠A，
∴△ACP是“倍角三角形”.
（2）設∠ACP＝α，其中0＜α＜90°，
由（1）知∠A＝18°，
∴∠BPC＝∠ACP+∠A＝α+18°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCP＝90°﹣α，
又∵∠B＝72°，
∴當△BPC是“倍角三角形”時，有以下六種情況：
①當∠B＝2∠BCP時，則72°＝2（90°﹣α），
解得α＝54°；
②當∠BCP＝2∠B時，則90°﹣α＝2×72°，
解得α＝﹣54°，不合題意，舍去；
③當∠B＝2∠BPC時，則72°＝2（α+18°），
解得α＝18°；
④當∠BPC＝2∠B時，則α+18°＝2×72°，
解得α＝126°，不合題意，舍去；
⑤當∠BPC＝2∠BCP時，則α+18°＝2（90°﹣α），
解得α＝54°；
⑥當∠BCP＝2∠BPC時，則90°﹣α＝2（α+18°），
解得α＝18°；
綜上所述，當△BPC是“倍角三角形”時，∠ACP的度數是54°或18°．
【解析】

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