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人教版（2024）八年級上冊 第十五章 軸對稱 單元測試
一、選擇題
1.在平面直角坐標系xOy中，點M（2，3）關于y軸對稱的點的坐標是（　　）
A.（﹣2，3） B.（2，﹣3） C.（3，﹣2） D.（﹣3，2）
2.下列長度的三線段，能組成等腰三角形的是 （　　）
A.1cm，1cm，2cm B.2cm，2 cm，5cn C.3cm，3cm，5cm D.3cm，4cm，5cm
3.如圖，在平面內，把矩形ABCD沿EF對折，若∠1=50°，則∠AEF等于（ ）
A.115° B.130° C.120° D.65°
4.下列四組圖形中，成軸對稱的個數有（　　）
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
5.下列定理中，沒有逆定理的是（　　）
A.兩直線平行，同位角相等
B.全等三角形的對應邊相等
C.全等三角形的對應角相等
D.在角的內部，到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上
6.下列漢字中，可以看成是軸對稱圖形的是（ ）
A.雙 B.你 C.目 D.軸
7.如圖，△CDF中，FC=FD，則圖中等腰△CDF的頂角外角是（ ）
A.∠C B.∠D C.∠DFN D.∠CFD
8.下列說法不正確的是（ ）
A.關于某直線對稱的兩個圖形形一模一樣
B.兩個軸對稱圖形對稱點連線的垂直平分線，就是它們的對稱軸
C.平面上兩個完全相同的圖形一定關于某直線對稱
D.線段是軸對稱圖形，且有兩條對稱軸
9.如圖，MN是正方形ABCD的一條對稱軸，點P是直線MN上的一個動點，當PC+PD最小時，∠PCD=（　　）
A.60° B.90° C.45° D.75°
10.如圖，等邊△ABC的邊長為4，AD是BC邊上的中線，F是AD邊上的動點，E是AC邊上一點，若AE=2，當EF+CF取得最小值時，則∠ECF的度數為（　　）
A.15° B.22.5° C.30° D.45°
11.如圖，已知∠AOB的大小為α，P是∠AOB內部的一個定點，且OP=4，點E、F分別是OA、OB上的動點，若△PEF周長的最小值等于4，則α=（　　）
A.30° B.45° C.60° D.90°
12.如圖，OA⊥OD，OA＝2，P是射線OD上的一個動點，連接AP，以A為直角頂點向右作等腰直角△PAB，在OD上取一點C，使∠BCO＝45°，當P在射線OD上自O向D運動時，PC長度的變化（　　）
A.一直增大 B.一直減小 C.先增大后減小 D.保持不變
二、填空題
13.如圖，將邊長為5 cm的等邊△ABC沿BC向右平移3 cm，得到△DEF，DE交AC于點M，則△MEC是________三角形，DM＝________cm.
14.如圖，△ABC中，DE垂直平分線段AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，則∠BCE=______________度．
15.已知點M(x，y)與點N(-2，-3)關于x軸對稱，則x+y=___________.
16.如圖，在△ABC中，∠BAC＝30°，P為△ABC內一點，D，E分別為AB，AC上的動點，連接PD，PE，DE，且AP＝2，則△PDE的周長的最小值為 　 　．
17.如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠DAB＝124°，M，N分別是邊DC，BC上的動點，當△AMN的周長最小時，∠MAN的度數是 　 　．
三、解答題
18.已知：如圖所示，AD是△ABC的高，E為AD上一點，且BE=EC.求證：△ABC是等腰三角形．
19.下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，說出它的逆定理．
(1)等腰三角形的兩個底角相等．
(2)內錯角相等，兩直線平行．
(3)對頂角相等．
20.如圖，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，找出圖中的一個等腰三角形，并說明理由．
21.如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC邊的中點，連接A，BM平分∠ABC，交AC于點M，過點M作MN∥BC，交AB于點N．
（1）若∠C＝72°，求∠BAD的度數．
（2）求證：NB＝NM．
22.某幼兒園有一塊如圖所示的等腰三角形菜地，AB＝AC＝10 m，∠C＝75°，現如今要將它劃分為兩塊面積相等的菜地給大一班和大二班進行蔬菜種植.
(1)請用尺規作圖法，作一條線段CD交AB于點D，將△ABC分為兩塊面積相等的圖形；(不寫作法，保留作圖痕跡)
(2)求△ACD的面積．
人教版（2024）八年級上冊 第十五章 軸對稱 單元測試（參考答案）
一、選擇題
1.在平面直角坐標系xOy中，點M（2，3）關于y軸對稱的點的坐標是（　　）
A.（﹣2，3） B.（2，﹣3） C.（3，﹣2） D.（﹣3，2）
【答案】A
【解析】解：在平面直角坐標系xOy中，點M（2，3）關于y軸對稱的點的坐標是（﹣2，3）．
故選：A．
2.下列長度的三線段，能組成等腰三角形的是 （　　）
A.1cm，1cm，2cm B.2cm，2 cm，5cn C.3cm，3cm，5cm D.3cm，4cm，5cm
【答案】C
【解析】解：A.1+1=2，不能構成三角形；
B.2+2=4＜5，不能構成三角形；
C.3+3＞5，且3=3，能構成等腰三角形；
D.不是等腰三角形．故選C．
3.如圖，在平面內，把矩形ABCD沿EF對折，若∠1=50°，則∠AEF等于（ ）
A.115° B.130° C.120° D.65°
【答案】A
【解析】解：∵∠1=50°，∴∠AEF=180°﹣∠BFE=180°﹣（180°﹣50°）÷2=115°.故選A．
4.下列四組圖形中，成軸對稱的個數有（　　）
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
【答案】A
【解析】解：根據成軸對稱的概念：沿著一直線折疊后，兩個圖形能夠重合即可．觀察圖形可知選項A：5與2之間畫一條豎直的直線，可使5和2重合，故選A．
5.下列定理中，沒有逆定理的是（　　）
A.兩直線平行，同位角相等
B.全等三角形的對應邊相等
C.全等三角形的對應角相等
D.在角的內部，到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上
【答案】C
【解析】解：兩直線平行，同位角相等的逆命題是同位角相等，兩直線平行，正確，A有逆定理；
全等三角形的對應邊相等的逆命題是對應邊相等的兩個三角形全等，正確，B有逆定理；
全等三角形的對應角相等的逆命題是對應角相等的兩個三角形全等，錯誤，C沒有逆定理；
在角的內部，到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上的逆命題是角的平分線上的點到角的兩邊距離相等，正確，D有逆定理；
故選C．
6.下列漢字中，可以看成是軸對稱圖形的是（ ）
A.雙 B.你 C.目 D.軸
【答案】C
【解析】解：根據軸對稱圖形的定義：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．可以判斷是軸對稱圖形的只有“目”，故選C．
7.如圖，△CDF中，FC=FD，則圖中等腰△CDF的頂角外角是（ ）
A.∠C B.∠D C.∠DFN D.∠CFD
【答案】C
【解析】解：在等腰三角形，兩腰的夾角叫等腰三角形的頂角，所以在等腰△ABC中，它的頂角是∠CFD，這個角的外角是∠DFN.
所以選C.
8.下列說法不正確的是（ ）
A.關于某直線對稱的兩個圖形形一模一樣
B.兩個軸對稱圖形對稱點連線的垂直平分線，就是它們的對稱軸
C.平面上兩個完全相同的圖形一定關于某直線對稱
D.線段是軸對稱圖形，且有兩條對稱軸
【答案】C
【解析】解：A，B，D均正確；C錯誤，兩個完全相同的圖形如果擺放的位置不合適，不一定能關于某直線對稱．故選D．
9.如圖，MN是正方形ABCD的一條對稱軸，點P是直線MN上的一個動點，當PC+PD最小時，∠PCD=（　　）
A.60° B.90° C.45° D.75°
【答案】C
【解析】解：∵當PC+PD最小時，作出D點關于MN的對稱點，正好是A點，連接AC，AC為正方形對角線，根據正方形的性質得出∠PCD=45°，∴∠PCD=45°．故選C．
10.如圖，等邊△ABC的邊長為4，AD是BC邊上的中線，F是AD邊上的動點，E是AC邊上一點，若AE=2，當EF+CF取得最小值時，則∠ECF的度數為（　　）
A.15° B.22.5° C.30° D.45°
【答案】C
【解析】過E作EM∥BC，交AD于N，∵AC=4，AE=2，∴EC=2=AE，∴AM=BM=2，∴AM=AE，∵AD是BC邊上的中線，△ABC是等邊三角形，∴AD⊥BC，∵EM∥BC，∴AD⊥EM，∵AM=AE，∴E和M關于AD對稱，連接CM交AD于F，連接EF，則此時EF+CF的值最小，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，AC=BC，∵AM=BM，∴∠ECF=12∠ACB=30°，故選C．
11.如圖，已知∠AOB的大小為α，P是∠AOB內部的一個定點，且OP=4，點E、F分別是OA、OB上的動點，若△PEF周長的最小值等于4，則α=（　　）
A.30° B.45° C.60° D.90°
【答案】A
【解析】解：如圖，作點P關于OA的對稱點C，關于OB的對稱點D，連接CD，交OA于E，OB于F．此時，△PEF的周長最小．連接OC，OD，PE，PF．∵點P與點C關于OA對稱，∴OA垂直平分PC，∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP，同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP．∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=4，∴∠COD=2α．又∵△PEF的周長=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=4，∴OC=OD=CD=4，∴△COD是等邊三角形，∴2α=60°，∴α=30°．故選A．
12.如圖，OA⊥OD，OA＝2，P是射線OD上的一個動點，連接AP，以A為直角頂點向右作等腰直角△PAB，在OD上取一點C，使∠BCO＝45°，當P在射線OD上自O向D運動時，PC長度的變化（　　）
A.一直增大 B.一直減小 C.先增大后減小 D.保持不變
【答案】D
【解析】解：過點B作BH⊥OA于H，BG⊥OC于G，
∵△ABP是等腰直角三角形，
∴AB＝AP，∠BAP＝90°，
∴∠PAO+∠BAH＝90°，
∵∠PAO+∠OPA＝90°，
∴∠OPA＝∠BAH，
在△POA和△AHB中，
∴△POA≌△AHB（AAS），
∴OA＝BH＝2，OP＝AH，
∵∠BCO＝45°，BG⊥OC，
∴△CGB是等腰直角三角形，
∴CG＝BG，
∴PC＝CG﹣PG＝OA+AH﹣（OP﹣OG）
＝OA+AH﹣OP+OG
＝OA+OG＝4，
∴PC的長度保持不變，
故選：D．
二、填空題
13.如圖，將邊長為5 cm的等邊△ABC沿BC向右平移3 cm，得到△DEF，DE交AC于點M，則△MEC是________三角形，DM＝________cm.
【答案】等邊；3
【解析】
14.如圖，△ABC中，DE垂直平分線段AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，則∠BCE=______________度．
【答案】50
【解析】解：∵DE垂直平分AC，∴EA=EC，∴∠ACE=∠A=30°，∵∠ACB=80°，∴∠BCE=80°﹣30°=50°．
15.已知點M(x，y)與點N(-2，-3)關于x軸對稱，則x+y=___________.
【答案】1
【解析】解：根據題意，得x=-2，y=3．∴x+y=1．
16.如圖，在△ABC中，∠BAC＝30°，P為△ABC內一點，D，E分別為AB，AC上的動點，連接PD，PE，DE，且AP＝2，則△PDE的周長的最小值為 　 　．
【答案】2．
【解析】解：如圖，作點P分別關于AB，AC的對稱點P′，P″，連接P′P″，交AB，AC于點D，E，
連接PD，PE．
此時，△PDE的周長最小，最小值為線段P′P″的長．
∵∠BAC＝30°，
∴∠P′AP″＝60°．
∵AP＝AP′＝AP″＝2，
∴△AP′P″是等邊三角形，
∴P′P″＝AP＝2，
∴△PDE的周長的最小值為2．
17.如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠DAB＝124°，M，N分別是邊DC，BC上的動點，當△AMN的周長最小時，∠MAN的度數是 　 　．
【答案】68°．
【解析】解：如圖，作點A關于CD、CB的對稱點E、F，連接EF分別交CD、CB于點H、G，連接AH、AG、EM、FN，
由對稱性知：EM＝AM，EH＝AH，NF＝NA，GF＝GA，
∴AM+MN+NA＝EM+MN+NF≥EF，
∴當點M與點H重合，點N與點G重合時，△AMN的周長最小；
∵GA＝GF，EH＝AH，
∴∠GAF＝∠GFA，∠HEA＝∠HAE，
∴∠AGH＝2∠GFA，∠AHG＝2∠HEA，
∵∠DAB＝124°，
∴∠GFA+∠HEA＝180°﹣∠DAB＝56°，
∵∠AGH+∠AHG＝2∠GAF+2∠HEA＝2×56°＝112°，
∴∠GAH＝180°﹣（∠AGH+∠AHG）＝180°﹣112°＝168°，
此時∠MAN＝68°，
故答案為：68°．
三、解答題
18.已知：如圖所示，AD是△ABC的高，E為AD上一點，且BE=EC.求證：△ABC是等腰三角形．
【答案】證明：∵BE=EC，∴△BEC是等腰三角形，
∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC，∴ED⊥BC，∴BD=CD，
∴線段AD是線段BC的垂直平分線，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
【解析】
19.下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，說出它的逆定理．
(1)等腰三角形的兩個底角相等．
(2)內錯角相等，兩直線平行．
(3)對頂角相等．
【答案】解：（1）命題“等腰三角形的兩個底角相等”的逆命題為“兩個角相等的三角形是等腰三角形”，是真命題，故定理“等腰三角形的兩個底角相等”有逆定理；
（2）命題“內錯角相等，兩直線平行”的逆命題為“兩直線平行，內錯角相等”，是真命題，故定理“內錯角相等，兩直線平行”有逆定理；
（3）命題“對頂角相等”的逆命題為“相等的角是對頂角”，是假命題，
故定理“對頂角相等”沒有逆定理．
【解析】
20.如圖，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，找出圖中的一個等腰三角形，并說明理由．
【答案】證明：答案不唯一，可找一個等腰△ABC．
在△ABC中，因為∠A=36°，∠C=72°，
所以∠ABC=180°﹣（72°+36°）=72°．
因為∠C=∠ABC，所以AB=AC，
所以△ABC是等腰三角形．
【解析】
21.如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC邊的中點，連接A，BM平分∠ABC，交AC于點M，過點M作MN∥BC，交AB于點N．
（1）若∠C＝72°，求∠BAD的度數．
（2）求證：NB＝NM．
【答案】（1）解：∵△ABC中，AB＝AC，D是BC邊上的中點，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∴∠ADC＝90°．
∵∠C＝72°，
∴∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠C
＝180°﹣90°﹣72°
＝18°，
∴∠BAD＝18°；
（2）證明：∵MN∥BC，
∴∠NMB＝∠CBM．
∵BM平分∠ABC，
∴∠NBM＝∠CBM．
∴∠NBM＝∠NMB．
∴NB＝NM．
【解析】
22.某幼兒園有一塊如圖所示的等腰三角形菜地，AB＝AC＝10 m，∠C＝75°，現如今要將它劃分為兩塊面積相等的菜地給大一班和大二班進行蔬菜種植.
(1)請用尺規作圖法，作一條線段CD交AB于點D，將△ABC分為兩塊面積相等的圖形；(不寫作法，保留作圖痕跡)
(2)求△ACD的面積．
【答案】解：(1)先作出線段AB的垂直平分線，且交AB于點D，連接CD，
作圖如圖所示，線段CD即為所作；
證明：根據作圖可知點D為AB的中點，即有S△ACD＝S△BCD，
即所作CD滿足要求．
(2)過點C作CE⊥AB于點E，如圖，
∵AB＝AC＝10 m，∠ACB＝75°，
∴∠ABC＝∠ACB＝75°，
∴∠A＝30°，
∵CE⊥AB，
∴△ACE是直角三角形，
∴EC＝AC＝5(m)，
∵點D為AB的中點，
∴AD＝AB＝5(m)，
∴S△ACD＝×AD×CE＝(m2)，
即所求的面積為m2.
【解析】

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