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中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
第二章 一元二次函數(shù)、 方程和不等式（1）
一、選擇題
1．若關(guān)于x的不等式x2﹣4x﹣m≥0對任意x∈（0，1]恒成立，則m的最大值為（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．3
2．若不等式x2﹣|a|x+a﹣1＞0對于一切x∈（1，2）恒成立，則實數(shù)a的最大值為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．正數(shù)a，b滿足9a+b＝ab，若不等式a+b≥﹣x2+2x+18﹣m對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（　　）
A．m≥3 B．m＜3 C．m＜6 D．m≥6
4．若兩個正實數(shù)x，y滿足1，且4m2﹣6m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（　　）
A．{m|﹣8＜m＜2} B．{m|m＜﹣8或m＞2}
C．{m|﹣2＜m＜8} D．{m|m＜﹣2或m＞8}
5．已知a＞b＞0，則2a的最小值為（　　）
A．4 B．6
C．3 D．3
6．已知a＞1，b＞0，a+b＝2，則的最小值為（　　）
A． B． C． D．
7．已知正數(shù)x，y滿足x+2y＝1，則的最小值為（　　）
A．6 B．5 C． D．
8．已知m＞0，xy＞0，當(dāng)x+y＝2時，不等式4恒成立，則m的取值范圍是（　　）
A．[，+∞） B．[2，+∞） C．（0，] D．（，2]
9．已知正數(shù)x，y滿足x+y＝1，則的最小值為（　　）
A．5 B． C． D．2
10．已知a＞0，b＞0，且2a+b＝ab﹣1，則a+2b的最小值為（　　）
A． B． C．5 D．9
11．下列命題中正確的是（　　）
A．若a＞b，則ac2＞bc2
B．若a＞b，c＜d，則
C．若a＞b，c＞d，則a﹣c＞b﹣d
D．若ab＞0，a＞b，則
12．若a，b，c∈R，a＞b，則下列不等式成立的是（　　）
A． B．a(chǎn)2＞b2
C．a(chǎn)|c|＞b|c| D．
二、填空題
13．若不等式kx2﹣2x+1﹣k＜0對滿足﹣2≤k≤2的所有k都成立，則x的取值范圍是　 　 ．
14．關(guān)于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集為{x|﹣1＜x＜2}則關(guān)于x的不等式bx2﹣ax﹣2＞0的解集為 　 　 ．
15．已知不等式ax2+bx+c＞0的解集為{x|﹣3＜x＜1}，則不等式bx2﹣cx+a＜0的解集為 　 　 ．
16．已知x＞1，則函數(shù)的最小值為　 　 ．
第二章 一元二次函數(shù)、 方程和不等式（1）
參考答案與試題解析
一、選擇題
1．若關(guān)于x的不等式x2﹣4x﹣m≥0對任意x∈（0，1]恒成立，則m的最大值為（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．3
【答案】C
【分析】由題意可得m≤x2﹣4x對一切x∈（0，1]恒成立，再根據(jù)f（x）＝x2﹣4x在（0，1]上為減函數(shù)，求得f（x）的最小值，可得 m的最大值．
【解答】解：由已知可關(guān)于x的不等式x2﹣4x﹣m≥0對任意x∈（0，1]恒成立，可得m≤x2﹣4x對一切x∈（0，1]恒成立，
又f（x）＝x2﹣4x在（0，1]上為減函數(shù)，
∴f（x）min＝f（1）＝﹣3，
∴m≤﹣3，即 m的最大值為﹣3，
故選：C．
【點評】本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．
2．若不等式x2﹣|a|x+a﹣1＞0對于一切x∈（1，2）恒成立，則實數(shù)a的最大值為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】對a進(jìn)行分類討論①a＞0；②a＜0．將x2﹣|a|x+a﹣1進(jìn)行分解因式，解不等式，從而求解實數(shù)a的最大值．
【解答】解：①當(dāng)a＞0，不等式x2﹣|a|x+a﹣1＝x2﹣ax+a﹣1＝（x﹣1）[x﹣（a﹣1）]＞0，
∵不等式x2﹣|a|x+a﹣1＞0對于一切x∈（1，2）恒成立，
∴a﹣1≤1，
∴a≤2，
∴實數(shù)a的最大值為2；
②當(dāng)a＜0時，不等式x2﹣|a|x+a﹣1＝x2+ax+a﹣1＝（x+1）[x+（a﹣1）]＞0，
∴x＜﹣1或x＞1﹣a
∵不等式x2﹣|a|x+a﹣1＞0對于一切x∈（1，2）恒成立，
∴1﹣a≤1，
∴a≥0，
∴實數(shù)a不存在．
綜上，實數(shù)a的最大值為2；
故選：B．
【點評】此題考查絕對值不等式的放縮問題及函數(shù)的恒成立問題，這類題目是高考的熱點，難度不是很大，要注意不等號進(jìn)行放縮的方向．
3．正數(shù)a，b滿足9a+b＝ab，若不等式a+b≥﹣x2+2x+18﹣m對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（　　）
A．m≥3 B．m＜3 C．m＜6 D．m≥6
【答案】A
【分析】將9a+b＝ab變形可得1，再采用“乘1法”求得a+b的最小值，于是原問題轉(zhuǎn)化為16≥﹣x2+2x+18﹣m對任意實數(shù)x恒成立，然后結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得解．
【解答】解：由9a+b＝ab，知1，
所以a+b＝（a+b）（）10≥210＝16，當(dāng)且僅當(dāng)，即a＝4，b＝12時，等號成立，
所以a+b的最小值為16，
故原問題轉(zhuǎn)化為16≥﹣x2+2x+18﹣m對任意實數(shù)x恒成立，即x2﹣2x﹣2+m≥0，
所以Δ＝4﹣4（﹣2+m）≤0，解得m≥3．
故選：A．
【點評】本題考查不等式的恒成立問題，基本不等式的應(yīng)用，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．
4．若兩個正實數(shù)x，y滿足1，且4m2﹣6m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（　　）
A．{m|﹣8＜m＜2} B．{m|m＜﹣8或m＞2}
C．{m|﹣2＜m＜8} D．{m|m＜﹣2或m＞8}
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】原不等式等價于m2﹣6m＜（4）min，由乘1法和基本不等式，可得最小值，再由二次不等式的解法，可得所求范圍．
【解答】解：4m2﹣6m恒成立，等價為m2﹣6m＜（4）min，
由4（4）（）＝4+48+216，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝16y＝64時，上式取得等號．
則m2﹣6m＜16，解得﹣2＜m＜8，
故選：C．
【點評】本題考查不等式恒成立問題，以及基本不等式的運用，求最值，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力，屬于中檔題．
5．已知a＞b＞0，則2a的最小值為（　　）
A．4 B．6
C．3 D．3
【答案】B
【分析】根據(jù)條件可得出a+b＞0，a﹣b＞0，從而得出，然后根據(jù)基本不等式即可求出的最小值．
【解答】解：∵a＞b＞0
∴a+b＞0，a﹣b＞0，
∴4+2＝6，當(dāng)且僅當(dāng)即取等號，
∴的最小值為6．
故選：B．
【點評】本題考查了基本不等式在求最值時的應(yīng)用，應(yīng)用基本不等式需說明等號成立的條件，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
6．已知a＞1，b＞0，a+b＝2，則的最小值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．
【解答】解：已知a＞1，b＞0，a+b＝2，可得：（a﹣1）+b＝1，a﹣1＞0，
則[（a﹣1）+b][]＝12；
當(dāng)且僅當(dāng)，a+b＝2，時取等號．
則的最小值為：；
故選：A．
【點評】本題是應(yīng)用題，考查的是基本不等式的應(yīng)用，乘1法”與基本不等式的性質(zhì)使用時要注意“一正，二定，三相等”．屬于中檔題．
7．已知正數(shù)x，y滿足x+2y＝1，則的最小值為（　　）
A．6 B．5 C． D．
【答案】C
【分析】將原式子變形為 12，使用基本不等式，求得最小值．
【解答】解：∵正數(shù)x，y滿足x+2y＝1，∴12
≥3+23+2，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
故選：C．
【點評】本題考查基本不等式的應(yīng)用，變形是解題的關(guān)鍵和難點．
8．已知m＞0，xy＞0，當(dāng)x+y＝2時，不等式4恒成立，則m的取值范圍是（　　）
A．[，+∞） B．[2，+∞） C．（0，] D．（，2]
【答案】B
【分析】根據(jù)條件有，化簡后利用基本不等式可得的最小值，然后根據(jù)4恒成立可得4，解出m的范圍即可．
【解答】解：∵m＞0，xy＞0，x+y＝2，
∴
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號．
∵不等式4恒成立，∴4，
整理得，解得，即m≥2，
∴m的取值范圍為[2，+∞）．
故選：B．
【點評】本題考查了基本不等式及其應(yīng)用和不等式恒成立問題，關(guān)鍵掌握“1“的代換，屬基礎(chǔ)題．
9．已知正數(shù)x，y滿足x+y＝1，則的最小值為（　　）
A．5 B． C． D．2
【答案】C
【分析】由x+y＝1得x+（1+y）＝2，再將代數(shù)式x+（1+y）與相乘，利用基本不等式可求出的最小值．
【解答】解：∵x+y＝1，所以，x+（1+y）＝2，
則2，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時，等號成立，
因此，的最小值為，
故選：C．
【點評】本題考查利用基本不等式求最值，對代數(shù)式進(jìn)行合理配湊，是解決本題的關(guān)鍵，屬于中等題．
10．已知a＞0，b＞0，且2a+b＝ab﹣1，則a+2b的最小值為（　　）
A． B． C．5 D．9
【答案】A
【分析】根據(jù)條件將a用b表示后代入a+2b中，得到a+2b，然后利用基本不等式求出最小值．
【解答】解：∵a＞0，b＞0，且2a+b＝ab﹣1，則b≠2，
∴a，∴b＞2，
∴a+2b
≥5，
當(dāng)且僅當(dāng)，即b時取等號．
∴a+2b的最小值為．
故選：A．
【點評】本題考查了基本不等式在求最值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬中檔題．
11．下列命題中正確的是（　　）
A．若a＞b，則ac2＞bc2
B．若a＞b，c＜d，則
C．若a＞b，c＞d，則a﹣c＞b﹣d
D．若ab＞0，a＞b，則
【答案】D
【分析】由不等式的性質(zhì)逐個選項驗證可得．
【解答】解：選項A，當(dāng)a＞b時，取c＝0，則ac2＞bc2不成立，故錯誤；
選項B，取a＝d＝1，b＝0，c＝﹣1，可得1，0，顯然不成立，故錯誤；
選項C，取a＝2，b＝1，c＝2，d＝1，顯然有a﹣c＝b﹣d，故錯誤；
選項D，∵ab＞0，a＞b，∴由不等式的性質(zhì)可得，即，故正確．
故選：D．
【點評】本題考查不等式的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．
12．若a，b，c∈R，a＞b，則下列不等式成立的是（　　）
A． B．a(chǎn)2＞b2
C．a(chǎn)|c|＞b|c| D．
【答案】D
【分析】本題中a，b，c∈R，a＞b，三個參數(shù)的關(guān)系不定，故可以采用排除法對四個選項依次判斷，排除錯誤的，得出正確選項．
【解答】解：A選項不對，當(dāng)a＞0＞b時不等式不成立，故排除；
B選項不對，當(dāng)a＝0，b＝﹣1時不等式不成立，故排除；
C選項不對，當(dāng)c＝0時，不等式不成立，故排除；
D選項正確，由于，又a＞b故
故選：D．
【點評】本題考查不等式與不等式關(guān)系，考查不等式的性質(zhì)，根據(jù)不等式的性質(zhì)作出正確判斷得出正確選項，本題易因考慮不全面選錯答案，如武斷認(rèn)為a＞b得出致使出錯．
二、填空題
13．若不等式kx2﹣2x+1﹣k＜0對滿足﹣2≤k≤2的所有k都成立，則x的取值范圍是　（，）　 ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】構(gòu)造函數(shù)f（k）＝kx2﹣2x+1﹣k，把f（k）看作關(guān)于k的一次函數(shù)，
根據(jù)題意列出不等式組，求出x的取值范圍即可．
【解答】解：設(shè)f（k）＝kx2﹣2x+1﹣k＝k（x2﹣1）﹣2x+1，
f（k）可看作關(guān)于k的一次函數(shù)，
∵不等式kx2﹣2x+1﹣k＜0對任意k∈[﹣2，2]時均成立，
∴，
即，
解得，
即x；
∴x的取值范圍為（，）．
故答案為：（，）．
【點評】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問題，也考查了不等式組的解法與應(yīng)用問題，考查了等價轉(zhuǎn)化問題以及推理應(yīng)用與計算能力，是綜合性題目．
14．關(guān)于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集為{x|﹣1＜x＜2}則關(guān)于x的不等式bx2﹣ax﹣2＞0的解集為 　（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）　 ．
【答案】（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）．
【分析】利用一元二次不等式的解集可知方程ax2+bx+2＝0的解是2和﹣1，
利用根與系數(shù)的關(guān)系求得a、b的值，再解所求的不等式解集即可．
【解答】解：關(guān)于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集為{x|﹣1＜x＜2}，
∴a＜0且方程ax2+bx+2＝0的解是2和﹣1，
∴2×（﹣1），且2+（﹣1），
解得a＝﹣1，b＝1；
∴不等式bx2﹣ax+2＞0即為x2+x﹣2＞0，
解得x＜﹣2或x＞1，
∴不等式bx2﹣ax﹣2＞0的解集是（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）．
故答案為：（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）．
【點評】本題主要考查了一元二次不等式的解法與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．
15．已知不等式ax2+bx+c＞0的解集為{x|﹣3＜x＜1}，則不等式bx2﹣cx+a＜0的解集為 　{x|x＜﹣1或x}　 ．
【答案】{x|x＜﹣1或x}．
【分析】根據(jù)不等式ax2+bx+c＞0的解集求出a、b、c的關(guān)系，代入不等式bx2﹣cx+a＜0，化簡求解即可．
【解答】解：不等式ax2+bx+c＞0的解集為{x|﹣3＜x＜1}，
所以a＜0，且﹣3和1是方程ax2+bx+c＞0的兩個實數(shù)解，
由根與系數(shù)的關(guān)系知，
解得b＝2a，c＝﹣3a；
所以不等式bx2﹣cx+a＜0可化為2ax2+3ax+a＜0，
即2x2+3x+1＞0，
解得x＜﹣1或x，
所以不等式的解集為{x|x＜﹣1或x}．
故答案為：{x|x＜﹣1或x}．
【點評】本題考查了一元二次不等式的解集與對應(yīng)方程的實數(shù)根的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．
16．已知x＞1，則函數(shù)的最小值為　　 ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】化簡函數(shù)的解析式，得到x﹣1為整體的關(guān)系式，利用基本不等式轉(zhuǎn)化求解最值即可．
【解答】解：x＞1，則函數(shù)x﹣13≥3+23+2．
當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時，函數(shù)取得最小值．
最小值為．
故答案為：3+2．
【點評】本題考查函數(shù)的最值的求法，基本不等式在最值中的應(yīng)用，考查計算能力．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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