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第三章函數的概念與性質
一、選擇題
1．設M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，給出下列四個圖形，其中能表示從集合M到集合N的函數關系的是（　　）
A． B．
C． D．
2．函數的定義域是（　　）
A． B．（﹣2，+∞）
C． D．
3．函數的圖象關于（　　）
A．y軸對稱 B．直線y＝﹣x對稱
C．坐標原點對稱 D．直線y＝x對稱
4．設函數，若f（a）+f（﹣1）＝2，則a＝（　　）
A．﹣3 B．±3 C．﹣1 D．±1
5．函數f（x）＝|x|和g（x）＝x（2﹣x）的遞增區間依次是（　　）
A．（﹣∞，0]，（﹣∞，1） B．（﹣∞，0），（1，+∞）
C．[0，+∞），（﹣∞，1） D．[0，+∞），（1，+∞）
6．已知m＞2，點（m﹣1，y1），（m，y2），（m+1，y3）都在二次函數y＝x2﹣2x的圖象上，則（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
7．函數f（x）在（﹣∞，+∞）單調遞減，且為奇函數．若f（1）＝﹣1，則滿足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范圍是（　　）
A．[﹣2，2] B．[﹣1，2] C．[0，4] D．[1，3]
8．設x∈R，定義符號函數sgnx，則（　　）
A．|x|＝x|sgnx| B．|x|＝xsgn|x| C．|x|＝|x|sgnx D．|x|＝xsgnx
二、填空題
9．冪函數f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm在區間（0，+∞）上單調遞增，則實數m的值為 　 　 ．
10．設函數f（x）＝x2+2（a﹣1）x+1在區間（﹣∞，4）上是減函數，則a的取值范圍是 　 　 ．
11．已知函數f（x）是定義域在（﹣1，1）上的奇函數，且在[0，1）上為增函數，若f（a﹣2）+f（4﹣a2）＜0，則實數a的取值范圍是 　 　 ．
三、多選題
12．已知f（2x﹣1）＝4x2，則下列結論正確的是（　　）
A．f（3）＝9 B．f（﹣3）＝4
C．f（x）＝x2 D．f（x）＝（x+1）2
13．已知冪函數f（x）的圖象經過點（27，3），則下列命題正確的有（　　）
A．函數f（x）為增函數
B．函數f（x）為偶函數
C．若x＞1，則f（x）＞1
D．函數f（x）的圖象關于原點對稱
14．函數f（x）的圖象類似于漢字“囧”，故被稱為“囧函數”，則下列關于函數f（x）的說法中正確的是（　　）
A．f（f（5））
B．函數f（x）的圖象關于直線x＝1對稱
C．當x∈（﹣1，1）時，f（x）的最大值為﹣1
D．方程f（x）﹣x2+4＝0有四個根
15．取整函數：[x]＝不超過x的最大整數，如[1.2]＝1，[3.9]＝3，[﹣1.5]＝﹣2，取整函數在現實生活中有著廣泛的應用，如停車收費、出租車收費等等都是按照“取整函數”進行計費的，以下關于“取整函數”的性質是真命題有（　　）
A． x∈R，[2x]＝2[x] B． x∈R，[2x]＝2[x]
C． x，y∈R，[x]＝[y]，則x﹣y＜1 D． x，y∈R，[x+y]≤[x]+[y]
四、解答題
16．已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，當x＞0時，f（x）＝x﹣3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求不等式f（x）≥1的解集．
17．已知函數f（x）＝﹣x2+|x|．
（Ⅰ）畫出函數的圖象并指出函數的單調區間；
（Ⅱ）判斷并證明函數的奇偶性；
（Ⅲ）求函數在[﹣1，2]上的最值，并指出取得最值時相應的x的值．
18．某商場經營一批進價是每件30元的商品，在市場銷售中發現此商品的銷售單
價x元與日銷售量y件之間有如下關系：
銷售單價x（元） 30 40 45 50
日銷售量y（件） 60 30 15 0
（Ⅰ）在平面直角坐標系中，根據表中提供的數據描出實數對（x，y）對應的點，并確定x與y的一個函數關系式y＝f（x）
（Ⅱ）設經營此商品的日銷售利潤為P元，根據上述關系式寫出P關于x的函數關系式，并指出銷售單價x為多少時，才能獲得最大日銷售利潤．
19．設f（x）是定義在（0，+∞）上的函數，對定義域內的任意x，y都滿足f（xy）＝f（x）+f（y），且x＞1時，f（x）＞0．
（1）判斷f（x）在（0，+∞）上的單調性并證明；
（2）若f（2）＝1，解不等式f（x）+f（x﹣3）≤2．
20．已知函數f（x），x∈[1，+∞）．
（1）當a＝4時，求函數f（x）的最小值；
（2）若對任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，試求實數a的取值范圍．
21．已知函數g（x）＝﹣x2﹣3，f（x）為二次函數．當x∈[﹣1，2]時，f（x）的最小值為1，且f（x）+g（x）是奇函數，求f（x）的解析式．
22．已知定理：“若a，b為常數，g（x）滿足g（a+x）+g（a﹣x）＝2b，則函數y＝g（x）的圖象關于點（a，b）中心對稱”．設函數，定義域為A．
（1）試證明y＝f（x）的圖象關于點（a，﹣1）成中心對稱；
（2）當x∈[a﹣2，a﹣1]時，求證：；
（3）對于給定的x1∈A，設計構造過程：x2＝f（x1），x3＝f（x2），…，xn+1＝f（xn）．如果xi∈A（i＝2，3，4…），構造過程將繼續下去；如果xi A，構造過程將停止．若對任意x1∈A，構造過程都可以無限進行下去，求a的值．
第三章函數的概念與性質
參考答案與試題解析
一、選擇題
1．設M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，給出下列四個圖形，其中能表示從集合M到集合N的函數關系的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由函數的概念依次判斷．
【解答】解：從圖象可知，
A：2找不到對應的元素，故不是從集合M到集合N的函數；
B：成立；
C：1對應兩個元素，故不是從集合M到集合N的函數；
D：2對應的元素在集合N外，故不是從集合M到集合N的函數．
故選：B．
【點評】本題考查了函數的概念，屬于基礎題．
2．函數的定義域是（　　）
A． B．（﹣2，+∞）
C． D．
【答案】D
【分析】根據分母不為0且負數沒有平方根和0指數的底數不為0得到關于x的不等式組，求出不等式組的解集即為函數的定義域．
【解答】解：由題意可知：，解得x＞﹣2且x，
所以函數的定義域為：（﹣2，）∪（，+∞）
故選：D．
【點評】此題考查學生掌握函數定義域及其求法，是一道基礎題．
3．函數的圖象關于（　　）
A．y軸對稱 B．直線y＝﹣x對稱
C．坐標原點對稱 D．直線y＝x對稱
【答案】C
【分析】分析函數的奇偶性，進而可得函數的對稱中心為原點．
【解答】解：∵函數是奇函數，
∴函數的圖象關于原點對稱，
故選：C．
【點評】本題考查的知識點是函數的奇偶性，對稱性，難度不大，屬于基礎題．
4．設函數，若f（a）+f（﹣1）＝2，則a＝（　　）
A．﹣3 B．±3 C．﹣1 D．±1
【答案】D
【分析】討論a的正負，然后根據分段函數分段的標準進行討論，代入相應的解析式，建立方程，解之即可求出所求．
【解答】解：設a≥0，則f（a）+f（﹣1）1＝2，
解得：a＝1
設a＜0，則f（a）+f（﹣1）1＝2
解得：a＝﹣1
∴a＝±1
故選：D．
【點評】本題主要考查了分段函數的求值，同時考查了分類討論的思想，屬于基礎題之列．
5．函數f（x）＝|x|和g（x）＝x（2﹣x）的遞增區間依次是（　　）
A．（﹣∞，0]，（﹣∞，1） B．（﹣∞，0），（1，+∞）
C．[0，+∞），（﹣∞，1） D．[0，+∞），（1，+∞）
【答案】C
【分析】根據函數f（x）是絕對值函數，g（x）是二次函數，分別寫出f（x）、g（x）的單調遞增區間即可．
【解答】解：函數f（x）＝|x|，
∴f（x）的單調增區間是[0，+∞）；
函數g（x）＝x（2﹣x）＝﹣x2+2x，
∴g（x）的單調遞增區間是（﹣∞，1）．
故選：C．
【點評】本題考查了求常見的基本初等的單調性與單調區間的應用問題，是基礎題．
6．已知m＞2，點（m﹣1，y1），（m，y2），（m+1，y3）都在二次函數y＝x2﹣2x的圖象上，則（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
【答案】A
【分析】根據二次函數的解析式，可判斷出二次函數y＝x2﹣2x的圖象形狀，進而判斷出函數的單調性，結合m＞2可得1＜m﹣1＜m＜m+1，結合函數的單調性可判斷出y1，y2，y3的大小．
【解答】解：∵二次函數y＝x2﹣2x的圖象是開口朝上且以直線x＝1為對稱軸的拋物線，
故二次函數y＝x2﹣2x在區間[1，+∞）上為增函數，
又∵m＞2，
∴1＜m﹣1＜m＜m+1，
∴y1＜y2＜y3．
故選：A．
【點評】本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，屬于基礎題．
7．函數f（x）在（﹣∞，+∞）單調遞減，且為奇函數．若f（1）＝﹣1，則滿足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范圍是（　　）
A．[﹣2，2] B．[﹣1，2] C．[0，4] D．[1，3]
【答案】D
【分析】由已知把不等式轉化為f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），結合f（x）在（﹣∞，+∞）單調遞減，即可求得x的取值范圍．
【解答】解：由函數f（x）為奇函數，得f（﹣1）＝﹣f（1）＝1，
不等式﹣1≤f（x﹣2）≤1即為f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），
又f（x）在（﹣∞，+∞）單調遞減，∴得﹣1≤x﹣2≤1，解得1≤x≤3；
∴滿足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范圍是[1，3]．
故選：D．
【點評】本題考查函數的性質及其應用，考查運算求解能力，是基礎題．
8．設x∈R，定義符號函數sgnx，則（　　）
A．|x|＝x|sgnx| B．|x|＝xsgn|x| C．|x|＝|x|sgnx D．|x|＝xsgnx
【答案】D
【分析】去掉絕對值符號，逐個比較即可．
【解答】解：對于選項A，右邊＝x|sgnx|，而左邊＝|x|，顯然不正確；
對于選項B，右邊＝xsgn|x|，而左邊＝|x|，顯然不正確；
對于選項C，右邊＝|x|sgnx，而左邊＝|x|，顯然不正確；
對于選項D，右邊＝xsgnx，而左邊＝|x|，顯然正確；
故選：D．
【點評】本題考查函數表達式的比較，正確去絕對值符號是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．
二、填空題
9．冪函數f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm在區間（0，+∞）上單調遞增，則實數m的值為 　3　 ．
【答案】3．
【分析】根據冪函數的定義與單調性可得出關于m的等式與不等式，即可解得實數m的值．
【解答】解：因為冪函數f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm在區間（0，+∞）上單調遞增，
則，解得m＝3．
故答案為：3．
【點評】本題主要考查冪函數的定義，屬于基礎題．
10．設函數f（x）＝x2+2（a﹣1）x+1在區間（﹣∞，4）上是減函數，則a的取值范圍是 　（﹣∞，﹣3]　 ．
【答案】見試題解答內容
【分析】f（x）在區間（﹣∞，4）上是減函數，則（﹣∞，4）為f（x）減區間的子集，借助圖象可得關于a的不等式，解出即可．
【解答】解：函數f（x）圖象的對稱軸為：x＝1﹣a，開口向上，
因為f（x）在（﹣∞，4）上是減函數，
所以1﹣a≥4，解得a≤﹣3．
故答案為：（﹣∞，﹣3]．
【點評】本題考查函數的單調性，考查數形結合思想，屬基礎題．
11．已知函數f（x）是定義域在（﹣1，1）上的奇函數，且在[0，1）上為增函數，若f（a﹣2）+f（4﹣a2）＜0，則實數a的取值范圍是 　2＜a　 ．
【答案】見試題解答內容
【分析】先根據奇函數將f（a﹣2）+f（4﹣a2）＜0化簡一下，再根據f（x）是定義在（﹣1，1）上的增函數，建立不等式進行求解即可．
【解答】解：∵f（x）是奇函數
∴f（a﹣2）+f（4﹣a2）＜0等價為f（a﹣2）＜﹣f（4﹣a2）＝f（a2﹣4），
∵函數f（x）是定義域在（﹣1，1）上的奇函數，且在[0，1）上為增函數，
∴f（x）是定義在（﹣1，1）上的增函數，
∴﹣1＜a﹣2＜a2﹣4＜1，
解得：2＜a．
故答案為：2＜a．
【點評】本題主要考查了函數單調性的應用，以及函數的奇偶性的應用，注意定義域的限制作用．
三、多選題
12．已知f（2x﹣1）＝4x2，則下列結論正確的是（　　）
A．f（3）＝9 B．f（﹣3）＝4
C．f（x）＝x2 D．f（x）＝（x+1）2
【答案】BD
【分析】利用配湊法求出函數解析式，進而得解．
【解答】解：f（2x﹣1）＝（2x﹣1）2+2（2x﹣1）+1，故f（x）＝x2+2x+1，故選項C錯誤，選項D正確；
f（3）＝16，f（﹣3）＝4，故選項A錯誤，選項B正確．
故選：BD．
【點評】本題考查函數解析式的求法，屬于基礎題．
13．已知冪函數f（x）的圖象經過點（27，3），則下列命題正確的有（　　）
A．函數f（x）為增函數
B．函數f（x）為偶函數
C．若x＞1，則f（x）＞1
D．函數f（x）的圖象關于原點對稱
【答案】ACD
【分析】由題意，利用冪函數的定義，求出函數的解析式，再結合函數的單調性、奇偶性、圖象的對稱性，得出結論．
【解答】解：設冪函數f（x）＝xα，根據它的圖象經過點（27，3），
可得27α＝3，解得α，故有f（x），
顯然，它是R上的增函數，且是奇函數，故A正確B錯誤；
若x＞1，則f（x）1，故C正確；
顯然，奇函數f（x）的圖象關于原點對稱，故D正確；
故選：ACD．
【點評】本題主要考查冪函數的定義，函數的單調性、奇偶性、圖象的對稱性，屬于基礎題．
14．函數f（x）的圖象類似于漢字“囧”，故被稱為“囧函數”，則下列關于函數f（x）的說法中正確的是（　　）
A．f（f（5））
B．函數f（x）的圖象關于直線x＝1對稱
C．當x∈（﹣1，1）時，f（x）的最大值為﹣1
D．方程f（x）﹣x2+4＝0有四個根
【答案】ACD
【分析】根據題意，由函數的解析式計算f（f（5））的值，可得A正確；分析f（1﹣x）與f（1+x）的關系，可得B錯誤，求出x∈（﹣1，1）時，函數f（x）的單調性，進而得到最值可判斷C正確，對于D，原問題等價于函數y＝f（x）與函數y＝x2﹣4的圖象交點個數，結合函數的圖象分析可得D正確．
【解答】解：根據題意，依次分析選項：
對于A，f（x），則f（5），則f（f（5）），A正確；
對于B，f（x），f（1+x），f（1﹣x），f（1+x）＝f（1﹣x）不能恒成立，則f（x）的圖象不關于直線x＝1對稱，B錯誤；
對于C，當x∈（﹣1，1）時，f（x），易知當x∈（﹣1，0）時，f（x）單調遞增，當x∈[0，1）時，f（x）單調遞減，
此時有f（x）max＝f（0）＝﹣1，C正確；
對于D，在同一坐標系中，作出函數f（x）和y＝x2﹣4的圖象，可得兩個函數圖象有4個交點，即方程f（x）﹣x2+4＝0有四個根，D正確；
故選：ACD．
【點評】本題考查函數性質的綜合運用，涉及函數的定義域，對稱性，最值以及零點等知識點，屬于中檔題．
15．取整函數：[x]＝不超過x的最大整數，如[1.2]＝1，[3.9]＝3，[﹣1.5]＝﹣2，取整函數在現實生活中有著廣泛的應用，如停車收費、出租車收費等等都是按照“取整函數”進行計費的，以下關于“取整函數”的性質是真命題有（　　）
A． x∈R，[2x]＝2[x] B． x∈R，[2x]＝2[x]
C． x，y∈R，[x]＝[y]，則x﹣y＜1 D． x，y∈R，[x+y]≤[x]+[y]
【答案】BC
【分析】直接利用數的取整問題的應用和賦值法的應用求出結果．
【解答】解：根據題意：對于選項A：當x時，[2]＝1，，故選項A錯誤．
對于選項B：當x＝2時，[2x]＝4＝2[x]．故選項B正確．
對于選項C：只要滿足x的整數或y所取的整數相同，則x﹣y＜1，故選項C正確．
對于選項D：當x＝﹣3.5，y＝2.5，所以，[x+y]＝﹣1≥[x]+[y]＝﹣2，故選項D錯誤．
故選：BC．
【點評】本題考查的知識要點：數的取整問題，賦值法的應用，主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于基礎題．
四、解答題
16．已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，當x＞0時，f（x）＝x﹣3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求不等式f（x）≥1的解集．
【答案】見試題解答內容
【分析】（1）設x＜0，則﹣x＞0；從而由f（x）＝﹣f（﹣x）求解析式；
（2）分段討論，求出不等式的解集．
【解答】解：（1）若x＜0，﹣x＞0，則f（﹣x）＝﹣x﹣3，已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，
f（x）＝﹣f（﹣x）＝x+3，又f（0）＝0，
所以f（x）；
（2）因為f（x）≥1，
當x＞0，x﹣3≥1，解得x≥4，
當x＜0，x+3≥1，解得﹣2≤x＜0，
故不等式的解集為[﹣2，0）∪[4，+∞）．
【點評】本題考查了函數的奇偶性的應用，同時考查了分段函數的單調性及應用，屬于基礎題．
17．已知函數f（x）＝﹣x2+|x|．
（Ⅰ）畫出函數的圖象并指出函數的單調區間；
（Ⅱ）判斷并證明函數的奇偶性；
（Ⅲ）求函數在[﹣1，2]上的最值，并指出取得最值時相應的x的值．
【答案】（Ⅰ）單調遞增區間為（﹣∞，]和[0，]；單調遞減區間為：（，0）和（，+∞）；
（Ⅱ）偶函數，證明過程見詳解；
（Ⅲ）函數最大值為，此時x的值為或；函數的最小值為﹣2，此時x的值為2．
【分析】（Ⅰ）由函數的自變量的范圍，可得分段函數的解析式，畫出函數的圖象，可得函數的單調區間；
（Ⅱ）求出函數的定義域，再求f（﹣x）的解析式，判斷函數為偶函數；
（Ⅲ）由函數的圖象可知函數的最值及相應的x的值．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝﹣x2+|x|，，
可得函數的單調遞增區間為（﹣∞，]和[0，]；
單調遞減區間為：（，0）和（，+∞）；
（Ⅱ）偶函數，證明過程為：定義域為R，任意的x∈R，都有f（﹣x）＝﹣（﹣x）2+|﹣x|＝﹣x2+|x|＝f（x），所以函數為偶函數；
（Ⅲ）由（Ⅰ）的圖象知，當x在[﹣1，2]上的最大值為f（）＝f（），最小值為f（2）＝﹣22+2＝﹣2，
所以函數最大值為，此時x的值為或；函數的最小值為﹣2，此時x的值為2．
【點評】本題考查分段函數的解析式及圖象，圖象的性質的應用，屬于基礎題．
18．某商場經營一批進價是每件30元的商品，在市場銷售中發現此商品的銷售單
價x元與日銷售量y件之間有如下關系：
銷售單價x（元） 30 40 45 50
日銷售量y（件） 60 30 15 0
（Ⅰ）在平面直角坐標系中，根據表中提供的數據描出實數對（x，y）對應的點，并確定x與y的一個函數關系式y＝f（x）
（Ⅱ）設經營此商品的日銷售利潤為P元，根據上述關系式寫出P關于x的函數關系式，并指出銷售單價x為多少時，才能獲得最大日銷售利潤．
【答案】見試題解答內容
【分析】（1）由平面直角坐標系中畫出的各點猜測為一次函數，求出解析式后需要驗證成立；
（2）銷售利潤函數＝（售價﹣進價）×銷量，代入數值得二次函數，求出最值．
【解答】解：（Ⅰ）在平面直角坐標系中畫出各點，如圖：；
猜測為一次函數，故設f（x）＝kx+b（k，b為常數），
則，，解得：
∴f（x）＝﹣3x+150，30≤x≤50，把點（45，15），（50，0）代入函數解析式，檢驗成立．
（Ⅱ）日銷售利潤為：P＝（x﹣30） （﹣3x+150）＝﹣3x2+240x﹣4500，30≤x≤50；
∵，∴當銷售單價為40元時，所獲利潤最大．
【點評】本題考查了一次函數，二次函數的圖象與性質，以及簡單的作圖能力，歸納猜想能力，是基礎題．
19．設f（x）是定義在（0，+∞）上的函數，對定義域內的任意x，y都滿足f（xy）＝f（x）+f（y），且x＞1時，f（x）＞0．
（1）判斷f（x）在（0，+∞）上的單調性并證明；
（2）若f（2）＝1，解不等式f（x）+f（x﹣3）≤2．
【答案】見試題解答內容
【分析】（1）用定義法證明f（x）在（0，+∞）上的單調性；
（2）求出f（4）＝2，不等式f（x）+f（x﹣3）≤2轉化為f[x（x﹣3）]≤f（4）求解，注意定義域．
【解答】解：（1）f（x）在（0，+∞）上是單調遞增．
證明：任取x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，
則
∵x＞1時f（x）＞0∴0即f（x2）＞f（x1）
∴f（x）在（0，+∞）上是單調遞增的．
（2）2＝1+1＝f（2）+f（2）＝f（4），
f（x）+f（x﹣3）＝f[x（x﹣3）]，f（x）+f（x﹣3）≤2，
即f[x（x﹣3）]≤f（4）∵f（x）在（0，+∞）上是單調遞增的，
∴ 3＜x≤4，∴不等式f（x）+f（x﹣3）≤2的解集為{x|3＜x≤4}．
【點評】本題考查了，抽象函數的單調性證明及函數不等式的解法，屬于中檔題．
20．已知函數f（x），x∈[1，+∞）．
（1）當a＝4時，求函數f（x）的最小值；
（2）若對任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，試求實數a的取值范圍．
【答案】見試題解答內容
【分析】（1）將a＝4代入f（x），利用基本不等式求出最值，（2）將恒成立問題轉化為最值問題求解，
【解答】解：（1）當a＝4時，
f（x）x2≥22＝6，（當且僅當x＝2時取得相等），
即函數最小值為6；
（2）f（x）＞0即x2＞0對任意x∈[1，+∞），恒成立，
即a＞﹣x（x+2）
a＞﹣（x+1）2+1，
令g（x）＝﹣（x+1）2+1，
g（x）的最大值為當x＝1時取得，為g（1）＝﹣3
所以有a＞﹣3．
【點評】本題考查函數最值問題，用到了基本不等式和恒成立問題的轉化求解，屬于較經典的題型．
21．已知函數g（x）＝﹣x2﹣3，f（x）為二次函數．當x∈[﹣1，2]時，f（x）的最小值為1，且f（x）+g（x）是奇函數，求f（x）的解析式．
【答案】見試題解答內容
【分析】待定系數法設出f（x）的解析式，利用奇函數的定義F（x）＝﹣F（﹣x）建立方程組解得a，c；
由于f（x）的對稱軸含字母，所以通過分類研究f（x）在閉區間上的最值問題從而求得b．
【解答】解：設f（x）＝ax2+bx+c，所以令F（x）＝f（x）+g（x）＝（a﹣1）x2+bx+c﹣3
因為F（x）為奇函數，所以F（x）＝﹣F（﹣x），即（a﹣1）x2+bx+（c﹣3）＝﹣（a﹣1）x2+bx﹣（c﹣3）
所以：
所以：a＝1且c＝3，此時f（x）＝x2+bx+3．
①當1 即b＞2時，函數f（x）在[﹣1，2]上為增函數，故f（﹣1）＝1得b＝3
②當2 即b＜﹣4時，函數f（x）在[﹣1，2]上為減函數，故f（2）＝1得b＝﹣3但與b＜﹣4矛盾，舍去
③當 即﹣4≤b≤2時，函數f（x）在上為減函數，在上為增函數，所以，解得：或（舍）
綜上所述，b＝3或b＝﹣2，所以f（x）＝x2+3x+3或f（x）＝x2﹣2x+3．
【點評】本題考查待定系數法設出f（x）的解析式，用到了奇函數的定義F（x）＝﹣F（﹣x），
分類研究f（x）在閉區間上的最值（由于f（x）的對稱軸含字母）
22．已知定理：“若a，b為常數，g（x）滿足g（a+x）+g（a﹣x）＝2b，則函數y＝g（x）的圖象關于點（a，b）中心對稱”．設函數，定義域為A．
（1）試證明y＝f（x）的圖象關于點（a，﹣1）成中心對稱；
（2）當x∈[a﹣2，a﹣1]時，求證：；
（3）對于給定的x1∈A，設計構造過程：x2＝f（x1），x3＝f（x2），…，xn+1＝f（xn）．如果xi∈A（i＝2，3，4…），構造過程將繼續下去；如果xi A，構造過程將停止．若對任意x1∈A，構造過程都可以無限進行下去，求a的值．
【答案】見試題解答內容
【分析】本題的要求較高，需要理解新的定理，第（1）小問是對函數對稱性的考查，第（2）小問是對函數值域求法的考查，相對比較容易，對于第（3）問要求理解構造的一個新數列的各項不會出現函數定義域A之外的元素，構造過程才可以繼續，這就轉化為恒成立的問題，進而分類討論求出a．
【解答】（1）∵，∴．
由已知定理，得y＝f（x）的圖象關于點（a，﹣1）成中心對稱．（3分）
（2）先證明f（x）在[a﹣2，a﹣1]上是增函數，只要證明f（x）在（﹣∞，a）上是增函數．
設﹣∞＜x1＜x2＜a，則，
∴f（x）在（﹣∞，a）上是增函數．再由f（x）在[a﹣2，a﹣1]上是增函數，得
當x∈[a﹣2，a﹣1]時，f（x）∈[f（a﹣2），f（a﹣1）]，即．（7分）
（3）∵構造過程可以無限進行下去，∴對任意x∈A恒成立．
∴方程無解，即方程（a+1）x＝a2+a﹣1無解或有唯一解x＝a．
∴或由此得到a＝﹣1（13分）
【點評】本例考查的數學知識點有，函數的對稱性，函數的定義域和值域的求法；數學思想有極限思想，方程思想；是一道函數綜合題．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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