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2026屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題特訓(xùn) 不等式的性質(zhì)
一、選擇題
1．若a,b是正數(shù),則“”是“”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
2．若,則下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
3．已知,則下列命題一定為真命題的有( )
A. B.
C. D.
4．已知a、b都是實(shí)數(shù),那么“”是“”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
5．設(shè)a,,則“”是“”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
6．下列四個(gè)條件中，使成立的充要條件是( )
A. B. C. D.
7．若,則下列結(jié)論中不正確的是( )
A. B.
C. D.
8．下列命題中正確的是( )
A.若,則 B.若,,則
C.若,,則 D.若,,則
二、多項(xiàng)選擇題
9．下列命題中,正確的有( )
A.最小值是4
B.“”是“"的充分不必要條件
C.若,則
D.函數(shù)（且）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)
10．若,則下列命題正確的是( )
A.若且,則 B.若,則
C.若且,則 D.
11．已知非零實(shí)數(shù)a,b,滿(mǎn)足,則( )
A. B. C. D.
三、填空題
12．已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足,,則的取值范圍是________.
13．實(shí)數(shù)a,b滿(mǎn)足,,則的取值范圍是____________.
14．比較大小:________（填“<”或“>”）.
15．若,則的取值范圍是___________.
四、解答題
16．求解下列問(wèn)題:
（1）已知,比較和的大小;
（2）已知,比較與的大小.
17．證明下列不等式：
(1)已知,,,求證：；
(2)已知a,b,c均為正實(shí)數(shù),且,求證：.
18．(1)設(shè)a、b為實(shí)數(shù),比較與的值的大小;
(2)已知,求的取值范圍;
(3)寫(xiě)出集合的所有子集.
19．甲、乙兩位消費(fèi)者同時(shí)兩次購(gòu)買(mǎi)同一種物品，分別采用兩種不同的策略，甲的策略是不考慮物品價(jià)格的升降，每次購(gòu)買(mǎi)這種物品的數(shù)量一定；乙的策略是不考慮物品價(jià)格的升降，每次購(gòu)買(mǎi)這種物品所花的錢(qián)數(shù)一定．設(shè)甲每次購(gòu)買(mǎi)這種物品的數(shù)量為m，乙每次購(gòu)買(mǎi)這種物品所花的錢(qián)數(shù)為n．
(1)若兩次購(gòu)買(mǎi)這種物品的價(jià)格分別為6元，4元，求甲兩次購(gòu)買(mǎi)這種物品平均價(jià)格和乙兩次購(gòu)買(mǎi)這種物品平均價(jià)格分別為多少；
(2)設(shè)兩次購(gòu)買(mǎi)這種物品的價(jià)格分別為元，元（，，且），甲兩次購(gòu)物的平均價(jià)格記為，乙兩次購(gòu)物的平均價(jià)格記為．通過(guò)比較，的大小，說(shuō)明問(wèn)甲、乙誰(shuí)的購(gòu)物策略比較經(jīng)濟(jì)合算．
20．（1）已知a,b,c,d都是正實(shí)數(shù),證明:;
（2）已知x,y是正實(shí)數(shù),,若恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
參考答案
1．答案：D
解析：由題意知,,,
當(dāng)時(shí),由,得,
則“”“”；
當(dāng)時(shí),由,得,
則“”“”,
所以“”是“”的既不充分也不必要條件.
故選：D.
2．答案：D
解析：因?yàn)?所以,D正確;
當(dāng)時(shí),滿(mǎn)足,但是,A,C不正確;
當(dāng)時(shí),滿(mǎn)足,但是,B不正確;
故選:D
3．答案：B
解析：對(duì)于A中,由,
因?yàn)?可得,,
所以的符號(hào)不能確定,所以A假命題；
對(duì)于B中,由,根據(jù)不等式的基本性質(zhì),可得,
又由函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù),且,所以,即,
根據(jù)不等式的性質(zhì),可得,所以B真命題；
對(duì)于C中,令,則滿(mǎn)足,此時(shí),,
可得,所以C假命題；
對(duì)于D中,令,,則滿(mǎn)足,此時(shí),,
可得,所以D假命題.
故選：B.
4．答案：A
解析：若,則,
當(dāng)時(shí),,,則,即成立,滿(mǎn)足充分性.
當(dāng),時(shí),,但不成立,所以,不能推出,不滿(mǎn)足必要性.
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
5．答案：A
解析：因?yàn)?由,根據(jù)傳遞性可知,
因此“”能推出“”,因此充分性成立;
不妨取,滿(mǎn)足,但不成立,因此必要性不成立;
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選:A
6．答案：D
解析：對(duì)于A，由，得，，成立，
反之，當(dāng)，時(shí)，不能推出，
故是成立的充分不必要條件，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，當(dāng)，時(shí)，不成立，故不是成立的充分條件，
反之，當(dāng)時(shí)，成立，故是成立的必要不充分條件，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng)，時(shí)，成立，但不成立，所以是成立的不充分條件，
反之，，滿(mǎn)足成立，但不成立，所以是成立的不必要條件，
所以是的既不充分也不必要條件，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由在R上單調(diào)遞增，可得是的充要條件，故D正確.
故選：D.
7．答案：D
解析：,,
A、,,則,故A對(duì)；
B、,則,故B對(duì)；
C、,,故C對(duì)；
D、,成立,故D不對(duì).
故選：D.
8．答案：D
解析：A選項(xiàng),當(dāng)時(shí),,故A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng),當(dāng),,,時(shí),,,故B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng),當(dāng),,,時(shí),,故C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng),若,,則,即,故D正確．
故選：D.
9．答案：BD
解析：對(duì)于A,當(dāng)時(shí),（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）,
當(dāng)時(shí),（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）,
所以沒(méi)有最小值,故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B,由得或,所以“”是“"的充分不必要條件,故B正確；
對(duì)于C,當(dāng),時(shí),,但,故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D,當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)（且）的圖象恒過(guò)定點(diǎn),故D正確.
故選：BD.
10．答案：BD
解析：對(duì)于A選項(xiàng),若且,取,,則,故A不正確；
對(duì)于B選項(xiàng),若,則,故B正確；
對(duì)于C選項(xiàng),若且,則,則,故,故C不正確；
對(duì)于D選項(xiàng),,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,故,故D正確.
故選：BD.
11．答案：AB
解析：對(duì)于A選項(xiàng):由不等式的基本性質(zhì),,A選項(xiàng)正確;
對(duì)于B選項(xiàng):當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),則,,B選項(xiàng)正確;
對(duì)于C選項(xiàng):當(dāng),時(shí),滿(mǎn)足,此時(shí),,,C選項(xiàng)錯(cuò)誤;
對(duì)于D選項(xiàng):當(dāng),時(shí),滿(mǎn)足,此時(shí),,,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選:AB.
12．答案：
解析：因?yàn)?,有,所以,即的取值范圍是.
故答案為:.
13．答案：．
解析：設(shè),
則,解得,,所以,
因?yàn)?,所以,,
可得,即的取值范圍為．
故答案為：．
14．答案：
解析：因?yàn)?,所以,所以.
故答案為:<.
15．答案：
解析：因?yàn)?
所以,則,得,
因此的取值范圍是,
故答案為：.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）－.
所以;
（2）,,,
,
所以.
17．答案：(1)證明見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
解析：(1)由,得,
因?yàn)?所以,
所以,進(jìn)而得到,
因?yàn)?所以.
(2)因?yàn)閍,b,c均為正實(shí)數(shù),且,
所以由基本不等式得,
,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.
18．答案：(1);
(2);
(3),,,
解析：(1)由,
又a、b為實(shí)數(shù),,,則,
所以.
(2)因?yàn)?所以,,
又,所以;
(3)因?yàn)?
所以A的子集為：,,,.
19．答案：(1)5;
(2)第二種購(gòu)物方式比較劃算．
解析:(1)設(shè)甲每次購(gòu)買(mǎi)這種物品的數(shù)量為m，乙每次購(gòu)買(mǎi)這種物品所花的錢(qián)數(shù)為n，
所以甲兩次購(gòu)買(mǎi)這種物品平均價(jià)格為：，
乙兩次購(gòu)買(mǎi)這種物品平均價(jià)格為：；
(2)甲兩次購(gòu)物時(shí)購(gòu)物量均為m，則兩次購(gòu)物總花費(fèi)為，
購(gòu)物總量為，平均價(jià)格為．
設(shè)乙兩次購(gòu)物時(shí)用去的錢(qián)數(shù)均為n，則兩次購(gòu)物總花費(fèi)，購(gòu)物總量為，
平均價(jià)格為，，
，，
，
故：第二種購(gòu)物方式比較劃算．
20．答案：（1）證明見(jiàn)解析;
（2）.
解析：（1）方法1:
,
;
方法2:,,,
,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,
故.
（2）由恒成立,知,
,,,
,
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,即,
,解得或,
故m的取值范圍為.
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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