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第三章 圓錐曲線的方程
一、選擇題
1．（5分）拋物線y2＝8x的焦點到準線的距離是（　　）
A．2 B．4 C．8 D．16
2．（5分）已知雙曲線（a＞0）的右焦點與拋物線y2＝8x焦點重合，則此雙曲線的漸近線方程是（　　）
A． B． C． D．
3．（5分）雙曲線1中，被點P（2，1）平分的弦所在直線方程是（　　）
A．8x﹣9y＝7 B．8x+9y＝25 C．4x﹣9y＝16 D．不存在
4．（5分）雙曲線（n＞1）的兩焦點為F1、F2，P在雙曲線上，且滿足|PF1|+|PF2|＝2，則△PF1F2的面積為（　　）
A． B．1 C．2 D．4
5．（5分）已知雙曲線上存在兩點M，N關于直線y＝x+m對稱，且MN的中點在拋物線y2＝9x上，則實數m的值為（　　）
A．4 B．﹣4 C．0或4 D．0或﹣4
6．（5分）已知橢圓y2＝1的焦點為F1，F2，點M在該橢圓上，且 0，則點M到x軸的距離為（
A． B． C． D．
7．（5分）設拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過點（﹣2，0）且斜率為的直線與C交于M，N兩點，則 （　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．（5分）已知A，B是橢圓E：1（a＞b＞0）的左、右頂點，M是E上不同于A，B的任意一點，若直線AM，BM的斜率之積為，則E的離心率為（　　）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（5分）若方程x2+ky2＝2表示焦點在y軸上的橢圓，那么實數k的取值可以是（　　）
A．2 B．1 C．0.5 D．0.3
10．（5分）設拋物線C：y2＝4x的焦點為F，直線l過F且與C交于A，B兩點．若|AF|＝3|BF|，則l的方程可以為（　　）
A． B．
C． D．
11．（5分）若方程所表示的曲線為C，則下列說法中正確的是（　　）
A．若1＜t＜5，則C為橢圓
B．若t＜1，則C為雙曲線
C．若C為雙曲線，則焦距為4
D．若C為焦點在y軸上的橢圓，則3＜t＜5
12．（5分）已知橢圓的焦點為F，點A（﹣2，2）為橢圓C內一點．若橢圓C上存在一點P，使得|PA|+|PF|＝8，則m的值可以為（　　）
A． B． C．24 D．25
三、填空題
13．（5分）已知拋物線y2＝2px（p＞0）上一點M（1，m）（m＞0）到其焦點的距離為5，雙曲線的左頂點為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則正實數a的值為　 　 ．
14．（5分）已知拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點為F，準線為l，過F的直線與拋物線及其準線l依次相交于G、M、N三點（其中M在G、N之間，且G在第一象限），若|GF|＝4，|MN|＝2|MF|，則p＝　 　 ．
15．（5分）在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點F1，F2在x軸上，離心率為．過F1的直線L交C于A，B兩點，且△ABF2的周長為16，那么C的方程為　 　 ．
16．（5分）設P是雙曲線上一點，雙曲線的一條漸近線方程為3x﹣2y＝0，F1，F2分別是雙曲線的左、右焦點，若|PF1|＝3，則|PF2|的值為　 　 ．
四、解答題
17．（10分）一輛卡車高3m，寬1.6m，欲通過斷面為拋物線形的隧道，已知拱口寬恰好是拱高的4倍，若拱口寬為am，求使卡車通過隧道的a的最小整數值．
18．（12分）已知橢圓C：1（a＞b＞0）的長軸長是短軸長的兩倍，焦距為2．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）設不過原點O的直線l與橢圓C交于兩點M、N，且直線OM、MN、ON的斜率依次滿足kOM kON，求△OMN面積的取值范圍．
19．（12分）已知直線l：y＝2x+1，及兩點A（﹣2，3）、B（1，6），點P在直線l上．
（1）若點P到A、B兩點的距離相等，求點P的坐標；
（2）求|PA|+|PB|的最小值．
20．（12分）若雙曲線1（a＞0，b＞0）的焦點坐標分別為（﹣2，0）和（2，0），且該雙曲線經過點P（3，1）．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若F是雙曲線的右焦點，Q是雙曲線上的一點，過點F，Q的直線l與y軸交于點M，且20，求直線l的斜率．
21．（12分）已知橢圓G：1（a＞b＞0）的離心率為，右焦點為（2，0），斜率為1的直線l與橢圓G交于A、B兩點，以AB為底邊作等腰三角形，頂點為P（﹣3，2）．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）求△PAB的面積．
22．（12分）如圖，橢圓C：1（a＞b＞0）的右焦點為F，右頂點、上頂點分別為點A、B，且|AB||BF|．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）若斜率為2的直線l過點（0，2），且l交橢圓C于P、Q兩點，OP⊥OQ．求直線l的方程及橢圓C的方程．
第三章 圓錐曲線的方程
參考答案與試題解析
一、選擇題
1．（5分）拋物線y2＝8x的焦點到準線的距離是（　　）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【分析】由拋物線的標準方程利用拋物線的簡單性質可求得答案．
【解答】解：∵y2＝2px＝8x，
∴p＝4，
∴拋物線y2＝8x的焦點到準線的距離是4．
故選：B．
【點評】本題考查拋物線的標準方程與拋物線的簡單性質，屬于基礎題．
2．（5分）已知雙曲線（a＞0）的右焦點與拋物線y2＝8x焦點重合，則此雙曲線的漸近線方程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出拋物線y2＝8x的焦點坐標，由此得到雙曲線 的一個焦點，從而求出a的值，進而得到該雙曲線的漸近線方程
【解答】解：∵拋物線y2＝8x的焦點是（2，0），∴c＝2，a2＝4﹣1＝3，∴，∴，
故選：D．
【點評】本題考查雙曲線的性質和應用，解題時要拋物線的性質進行求解．
3．（5分）雙曲線1中，被點P（2，1）平分的弦所在直線方程是（　　）
A．8x﹣9y＝7 B．8x+9y＝25 C．4x﹣9y＝16 D．不存在
【答案】D
【分析】檢驗線直線方程為x＝2，是否符合題意，然后設直線與雙曲線相交于A（x1，y1），B（x2，y2），利用點差法求出直線方程后，代入檢驗所求直線與已知曲線是否相交
【解答】解：當直線的斜率k不存在時，直線方程為x＝2，直線被雙曲線所截線段的中點為（2，0），不符
設直線與雙曲線相交于A（x1，y1），B（x2，y2）
把A，B代入到曲線方程且相減可得，
由題意可得，x1+x2＝4，y1+y2＝2
∴
直線的方程為y﹣1（x﹣2）
聯立可得28x2﹣112x+373＝0，此時Δ＜0即方程沒有實數解
∴所求直線與已知曲線沒有交點
故選：D．
【點評】本題主要考 查了點差法在求解直線與曲線相交關系中的應用，學生用“點差法”求出直線方程漏掉檢驗用“△”驗證直線的存在性是導致本題出現錯誤的最直接的原因
4．（5分）雙曲線（n＞1）的兩焦點為F1、F2，P在雙曲線上，且滿足|PF1|+|PF2|＝2，則△PF1F2的面積為（　　）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】B
【分析】設F1、F2是雙曲線的左右焦點，然后得到兩個關于|PF1|與|PF2|的等式，再求出|PF1||PF2|＝2，進一步得到△PF1F2的面積．
【解答】解：不妨設F1、F2是雙曲線的左右焦點，P為右支上一點，
則|PF1|﹣|PF2|＝2①，
又|PF1|+|PF2|＝2②，
由①②解得|PF1|，|PF2|，
∴|PF1|2+|PF2|2＝4n+4＝|F1F2|2，
∴PF1⊥PF2，
又由①②分別平方后作差，得|PF1||PF2|＝2，
∴△PF1F2的面積為|PF1||PF2|＝1．
故選：B．
【點評】本題考查雙曲線的應用，考查了學生對雙曲線知識的熟練靈活應用，屬于中檔題．
5．（5分）已知雙曲線上存在兩點M，N關于直線y＝x+m對稱，且MN的中點在拋物線y2＝9x上，則實數m的值為（　　）
A．4 B．﹣4 C．0或4 D．0或﹣4
【答案】D
【分析】根據雙曲線上存在兩點M，N關于直線y＝x+m對稱，求出MN中點P（，m），利用MN的中點在拋物線y2＝9x上，即可求得實數m的值．
【解答】解：∵MN關于y＝x+m對稱∴MN垂直直線y＝x+m，MN的斜率﹣1，MN中點P（x0，x0+m）在y＝x+m上，且在MN上
設直線MN：y＝﹣x+b，∵P在MN上，∴x0+m＝﹣x0+b，∴b＝2x0+m
由消元可得：2x2+2bx﹣b2﹣3＝0
Δ＝4b2﹣4×2（﹣b2﹣3）＝12b2+12＞0恒成立，
∴Mx+Nx＝﹣b，∴x0，∴b
∴MN中點P（，m）
∵MN的中點在拋物線y2＝9x上，
∴
∴m＝0或m＝﹣4
故選：D．
【點評】本題考查直線與雙曲線的位置關系，考查對稱性，考查拋物線的標準方程，解題的關鍵是確定MN中點P的坐標．
6．（5分）已知橢圓y2＝1的焦點為F1，F2，點M在該橢圓上，且 0，則點M到x軸的距離為（
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由題意可得MF1⊥MF2，M在以F1F2為直徑的圓上，求得圓方程和橢圓方程聯立，解方程可得y，進而得到所求距離．
【解答】解： 0可得MF1⊥MF2，
M在以F1F2為直徑的圓上，
可得圓的方程為x2+y2＝3，
聯立橢圓方程y2＝1，解得y＝±，
即點M到x軸的距離為，
故選：C．
【點評】本題考查向量垂直的條件，考查橢圓方程的運用，以及聯立方程組，計算能力，屬于基礎題．
7．（5分）設拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過點（﹣2，0）且斜率為的直線與C交于M，N兩點，則 （　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】求出拋物線的焦點坐標，直線方程，求出M、N的坐標，然后求解向量的數量積即可．
【解答】解：拋物線C：y2＝4x的焦點為F（1，0），過點（﹣2，0）且斜率為的直線為：3y＝2x+4，
聯立直線與拋物線C：y2＝4x，消去x可得：y2﹣6y+8＝0，
解得y1＝2，y2＝4，不妨M（1，2），N（4，4），，．
則 （0，2） （3，4）＝8．
故選：D．
【點評】本題考查拋物線的簡單性質的應用，向量的數量積的應用，考查計算能力．
8．（5分）已知A，B是橢圓E：1（a＞b＞0）的左、右頂點，M是E上不同于A，B的任意一點，若直線AM，BM的斜率之積為，則E的離心率為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設出M坐標，由直線AM，BM的斜率之積為得一關系式，再由點M在橢圓上變形可得另一關系式，聯立后結合隱含條件求得E的離心率．
【解答】解：由題意方程可知，A（﹣a，0），B（a，0），
設M（x0，y0），∴，
則，整理得：，①
又，得，即，②
聯立①②，得，即，解得e．
故選：D．
【點評】本題考查橢圓的簡單性質，考查了數學轉化思想方法，是中檔題．
二、多選題
9．（5分）若方程x2+ky2＝2表示焦點在y軸上的橢圓，那么實數k的取值可以是（　　）
A．2 B．1 C．0.5 D．0.3
【答案】CD
【分析】根據題意，將方程變形為1，由橢圓的標準方程的形式分析可得2，解可得k的取值范圍，即可得答案．
【解答】解：根據題意，若方程x2+ky2＝2，即1表示焦點在y軸上的橢圓，
則有2，
解可得：0＜k＜1，
即實數k的取值范圍是（0，1）；
故選：CD．
【點評】本題考查橢圓的標準方程，注意將橢圓的方程變形為標準方程．
10．（5分）設拋物線C：y2＝4x的焦點為F，直線l過F且與C交于A，B兩點．若|AF|＝3|BF|，則l的方程可以為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根據題意，可得拋物線焦點為F（1，0），由此設直線l方程為y＝k（x﹣1），與拋物線方程聯解消去x，得y2﹣y﹣k＝0．再設A（x1，y1），B（x2，y2），由根與系數的關系和|AF|＝3|BF|，建立關于y1、y2和k的方程組，解之可得k值，從而得到直線l的方程．
【解答】解：∵拋物線C方程為y2＝4x，可得它的焦點為F（1，0），
∴設直線l方程為y＝k（x﹣1），
由消去x，得y2﹣y﹣k＝0．
設A（x1，y1），B（x2，y2），
可得y1+y2，y1y2＝﹣4，…（*）
∵|AF|＝3|BF|，
∴y1+3y2＝0，可得y1＝﹣3y2，代入（*）得﹣2y2且﹣34，
消去y2得k2＝3，解之得k＝±，
∴直線l方程為y（x﹣1）或y（x﹣1），
故選：AD．
【點評】本題給出拋物線的焦點弦AB被焦點F分成1：3的兩部分，求直線AB的方程，著重考查了拋物線的標準方程、簡單幾何性質和直線與圓錐曲線的位置關系等知識，屬于中檔題．
11．（5分）若方程所表示的曲線為C，則下列說法中正確的是（　　）
A．若1＜t＜5，則C為橢圓
B．若t＜1，則C為雙曲線
C．若C為雙曲線，則焦距為4
D．若C為焦點在y軸上的橢圓，則3＜t＜5
【答案】BD
【分析】根據橢圓和雙曲線的標準方程及簡單的幾何性質，逐項判定，即可求解，得到答案．
【解答】解：由題意，若方程表示橢圓，則滿足，解得1＜t＜3或3＜t＜5，
對于A中，當t＝3時，此時方程x2+y2＝2表示圓，所以不正確；
對于D中，當方程表示焦點在y軸上橢圓，則滿足，解得3＜t＜5，所以正確；
對于B中，當t＜1時，5﹣t＞0，t﹣1＜0，此時表示焦點在x軸上的雙曲線，所以正確；
對于C中，當t＝0時，方程，此時雙曲線的焦距為，所以不正確．
故選：BD．
【點評】本題考查了雙曲線的性質，屬于中檔題．
12．（5分）已知橢圓的焦點為F，點A（﹣2，2）為橢圓C內一點．若橢圓C上存在一點P，使得|PA|+|PF|＝8，則m的值可以為（　　）
A． B． C．24 D．25
【答案】BCD
【分析】由題意求得橢圓的焦點坐標，由橢圓的定義可得2a＝|PF|+|PF'|，即|PF|＝2a﹣|PF′|，可得|PA|﹣|PF'|＝8﹣2a，運用三點共線取得最值，解不等式可得a的范圍，得到m的范圍，再由點A（﹣2，2）為橢圓C內一點可得m的范圍．
【解答】解：橢圓是焦點在x軸上的橢圓，
則a2＝m，b2＝m﹣4，
∴c2．
可得右焦點F（2，0），左焦點F'（﹣2，0），
由橢圓的定義可得2a＝|PF|+|PF'|，
即|PF|＝2a﹣|PF′|，
可得|PA|﹣|PF'|＝8﹣2a，
由||PA|﹣|PF'||≤|AF'|＝2，
可得﹣2≤8﹣2a≤2，
解得3≤a≤5，即9≤a2≤25．
又點A（﹣2，2）在橢圓C內，
∴1，解得m＜6﹣2或m＞6+2．
∴m的取值范圍是（6+2，25]．
故選：BCD．
【點評】本題考查橢圓的定義和性質，主要是離心率的運用，考查轉化思想和運算能力，屬于中檔題．
三、填空題
13．（5分）已知拋物線y2＝2px（p＞0）上一點M（1，m）（m＞0）到其焦點的距離為5，雙曲線的左頂點為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則正實數a的值為　　 ．
【答案】見試題解答內容
【分析】先利用拋物線定義，計算拋物線方程和m的值，在求出雙曲線的左焦點坐標和準線方程，最后利用兩直線平行的充要條件列方程即可解得a的值
【解答】解：利用拋物線的定義，點M（1，m）到焦點的距離等于到準線x的距離，即15，解得p＝8
∴拋物線的標準方程為y2＝16x，令x＝1，得m＝4，即M（1，4）
∵雙曲線，的左頂點為A（﹣a，0），漸近線方程為y＝±x
依題意，AM的斜率為k0，
∴
解得正實數a的值為
故答案為
【點評】本題主要考查了拋物線的定義，拋物線的標準方程和雙曲線的標準方程，雙曲線的幾何性質等基礎知識，屬基礎題
14．（5分）已知拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點為F，準線為l，過F的直線與拋物線及其準線l依次相交于G、M、N三點（其中M在G、N之間，且G在第一象限），若|GF|＝4，|MN|＝2|MF|，則p＝　2　 ．
【答案】見試題解答內容
【分析】由已知|MN|＝2|MF|可得MN所在直線的斜率，寫出MN所在直線方程，與拋物線方程聯立，求得G的橫坐標，再由拋物線焦點弦長公式求解p．
【解答】解：如圖，過M作MH⊥l交于H，
由|MN|＝2|MF|，得|MN|＝2|MH|，
∴MN所在直線斜率為，
MN所在直線方程為y（x），
聯立，得12x2﹣20px+3p2＝0．
解得：xGp，
則|GF|4，解得p＝2．
故答案為：2．
【點評】本題考查拋物線的簡單性質，考查直線與拋物線位置關系的應用，是中檔題．
15．（5分）在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點F1，F2在x軸上，離心率為．過F1的直線L交C于A，B兩點，且△ABF2的周長為16，那么C的方程為　1　 ．
【答案】見試題解答內容
【分析】依題意，可設橢圓C的方程為：1，由△ABF2的周長為16，可求得a，離心率為可求得c，利用a2﹣c2＝b2可求得b2，從而可求得C的方程．
【解答】解：設橢圓C的方程為：1，
∵△ABF2的周長為16，
∴4a＝16，
∴a＝4，
又橢圓C的離心率e，
∴c＝2，
∴b2＝a2﹣c2＝16﹣4＝12．
∴橢圓C的方程為1．
故答案為：1．
【點評】本題考查橢圓的標準方程與橢圓的性質，考查方程思想，屬于中檔題．
16．（5分）設P是雙曲線上一點，雙曲線的一條漸近線方程為3x﹣2y＝0，F1，F2分別是雙曲線的左、右焦點，若|PF1|＝3，則|PF2|的值為　7　 ．
【答案】見試題解答內容
【分析】由雙曲線的一條漸近線方程為3x﹣2y＝0，求出a，由雙曲線的定義求出|PF2|．
【解答】解：∵雙曲線的一條漸近線方程為3x﹣2y＝0，
∴可得，∴a＝2．
∵|PF1|＝3，
∴由雙曲線的定義可得||PF2|﹣3|＝4，∴|PF2|＝7，
故答案為：7．
【點評】本題考查雙曲線的定義和雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用，由雙曲線的方程、漸近線的方程求出a是解題的關鍵．
四、解答題
17．（10分）一輛卡車高3m，寬1.6m，欲通過斷面為拋物線形的隧道，已知拱口寬恰好是拱高的4倍，若拱口寬為am，求使卡車通過隧道的a的最小整數值．
【答案】13．
【分析】建立直角坐標系，則由題意可得O、A、B、D的坐標，a＞0，設拋物線的方程為 x2＝﹣2py，把點B的坐標代入求得p的值，可得拋物線方程為 x2＝﹣ay．把x＝1代入拋物線方程求得y．要使卡車通過時，需a3，由此解得a的范圍，可得a的最小正整數值．
【解答】解：以拱頂為原點，拋物線的對稱軸為y軸，建系如圖，
設拱口寬為AB，則根據題意可得：
O（0，0），A（a，a），B（a，a），
C（﹣1，a）、D（1，a），a＞0．
設拋物線的方程為 x2＝﹣2py，
則把點B的坐標代入可得pa，
∴拋物線方程為 x2＝﹣ay，
把x＝0.8代入拋物線方程可得y，
要使卡車通過時，需a3，又a＞0，
∴a＞12.21，
∴a的最小正整數為13．
【點評】本題主要考查拋物線的標準方程的應用，用坐標法解決幾何問題，屬于中檔題．
18．（12分）已知橢圓C：1（a＞b＞0）的長軸長是短軸長的兩倍，焦距為2．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）設不過原點O的直線l與橢圓C交于兩點M、N，且直線OM、MN、ON的斜率依次滿足kOM kON，求△OMN面積的取值范圍．
【答案】（I）；（Ⅱ）（0，1）．
【分析】（1）根據橢圓的幾何性質結合a2＝b2+c2解方程組，可以求出a，b的值；
（2）先利用待定系數法給出直線的方程，代入橢圓方程消去y得到關于x的一元二次方程，然后結合韋達定理，斜率公式把kOM kON表達出來，找到待定系數k，m的關系，然后將面積用k，m表示出來，再將剛才的k，m的關系代入，最終把面積表示成一個變量的函數的形式，通過求函數的最值最終解決問題．
【解答】解析：（1）由已知得，∴，所以C方程：．
（2）由題意可設直線l的方程為：y＝kx+m（k≠0，m≠0）
聯立，消去y并整理，得：（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0，
則Δ＝64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）＝16（4k2﹣m2+1）＞0，
此時設M（x1，y1），N（x2，y2），∴，
于是，
又直線OM，MN，ON的斜率滿足，
∴，所以，
由m≠0，得，又由Δ＞0，得0＜m2＜2，
顯然m2≠1，
設原點O到直線l的距離為d，則，
故由m得取值范圍可得△OMN面積的取值范圍為（0，1）．
【點評】本題是直線與橢圓位置關系的綜合題，一般是將直線方程代入橢圓，然后消元得到關于x（或y）的一元二次方程，借助于韋達定理完成用所設的參數表示所求的過度，最終利用方程或函數的思想解決問題．
19．（12分）已知直線l：y＝2x+1，及兩點A（﹣2，3）、B（1，6），點P在直線l上．
（1）若點P到A、B兩點的距離相等，求點P的坐標；
（2）求|PA|+|PB|的最小值．
【答案】（1）P（1，3）．
（2）．
【分析】（1）線段AB的中點為，kAB1．可得線段AB的垂直平分線方程，再與直線l的方程聯立即可得出．
（2）設點A（﹣2，3）關于直線l的對稱點為A′（a，b），可得，解得a，b．可得|PA|+|PB|≥|A′B|．
【解答】解：（1）線段AB的中點為，kAB1．
∴線段AB的垂直平分線方程為：y（x），
化為：x+y﹣4＝0．
聯立，解得x＝1，y＝3．
∴P（1，3）．
（2）設點A（﹣2，3）關于直線l的對稱點為A′（a，b），
則，解得a，b．
則|PA|+|PB|≥|A′B|．
【點評】本題考查了直線方程、對稱性、中點坐標公式、相互垂直的直線斜率之間的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．
20．（12分）若雙曲線1（a＞0，b＞0）的焦點坐標分別為（﹣2，0）和（2，0），且該雙曲線經過點P（3，1）．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若F是雙曲線的右焦點，Q是雙曲線上的一點，過點F，Q的直線l與y軸交于點M，且20，求直線l的斜率．
【答案】（1）1．（2）±．
【分析】（1）利用雙曲線的焦點坐標，結合雙曲線經過的點列出方程組，求解a，b，得到雙曲線的方程；
（2）求出過點F，Q的直線l的方程，求出點M的坐標，然后求解Q的坐標，代入雙曲線方程，即可求直線l的斜率．
【解答】解：（1）依題意，得，解得a，b，
于是，所求雙曲線的方程為1． （5分）
（2）∵點F的坐標為（2，0），∴可設直線l的方程為y＝k（x﹣2），令x＝0，得y＝﹣2k，即M（0，﹣2k）．
設Q（x0，y0），由20，
得（x0，y0+2k）+2（2x0，﹣y0）＝（0，0），
即（4x0，2k﹣y0）＝（0，0），故．
又Q是雙曲線上的一點，∴，
即1，解得k2，∴k＝±．
故直線l的斜率為±． （12分）
【點評】本題考查雙曲線方程的求法，直線與雙曲線的位置關系的應用，考查轉化思想以及計算能力，是中檔題．
21．（12分）已知橢圓G：1（a＞b＞0）的離心率為，右焦點為（2，0），斜率為1的直線l與橢圓G交于A、B兩點，以AB為底邊作等腰三角形，頂點為P（﹣3，2）．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）求△PAB的面積．
【答案】（Ⅰ）．
（Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）根據橢圓離心率為，右焦點為（，0），可知c，可求出a的值，再根據b2＝a2﹣c2求出b的值，即可求出橢圓G的方程；
（Ⅱ）設出直線l的方程和點A，B的坐標，聯立方程，消去y，根據等腰△PAB，求出直線l方程和點A，B的坐標，從而求出|AB|和點到直線的距離，求出三角形的高，進一步可求出△PAB的面積．
【解答】解：（Ⅰ）由已知得，c，，
解得a，又b2＝a2﹣c2＝4，
所以橢圓G的方程為．
（Ⅱ）設直線l的方程為y＝x+m，
由得4x2+6mx+3m2﹣12＝0．①
設A，B的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2）（x1＜x2），AB的中點為E（x0，y0），
則x0，
y0＝x0+m，
因為AB是等腰△PAB的底邊，
所以PE⊥AB，
所以PE的斜率k，
解得m＝2．
此時方程①為4x2+12x＝0．
解得x1＝﹣3，x2＝0，
所以y1＝﹣1，y2＝2，
所以|AB|＝3，此時，點P（﹣3，2）．
到直線AB：y＝x+2距離d，
所以△PAB的面積s|AB|d．
【點評】此題是個中檔題．考查待定系數法求橢圓的方程和橢圓簡單的幾何性質，以及直線與橢圓的位置關系，同時也考查了學生觀察、推理以及創造性地分析問題、解決問題的能力．
22．（12分）如圖，橢圓C：1（a＞b＞0）的右焦點為F，右頂點、上頂點分別為點A、B，且|AB||BF|．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）若斜率為2的直線l過點（0，2），且l交橢圓C于P、Q兩點，OP⊥OQ．求直線l的方程及橢圓C的方程．
【答案】見試題解答內容
【分析】（Ⅰ）利用|AB||BF|，求出a，c的關系，即可求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）直線l的方程為y﹣2＝2（x﹣0），即2x﹣y+2＝0與橢圓C：聯立，OP⊥OQ，可得，
利用韋達定理，即可求出橢圓C的方程．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，
即，4a2+4b2＝5a2，4a2+4（a2﹣c2）＝5a2，∴．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2＝4b2，∴橢圓C：．
設P（x1，y1），Q（x2，y2），
直線l的方程為y﹣2＝2（x﹣0），即2x﹣y+2＝0．
由，
即17x2+32x+16﹣4b2＝0．
．
，．…（9分）
∵OP⊥OQ，∴，
即x1x2+y1y2＝0，x1x2+（2x1+2）（2x2+2）＝0，5x1x2+4（x1+x2）+4＝0．
從而，解得b＝1，
∴橢圓C的方程為．…（13分）
【點評】本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，屬于中檔題．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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