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第五章 三角函數
一、選擇題
1．（5分）已知點P（tanα，cosα）在第三象限，則角α的終邊在第幾象限（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）已知tanθ＝2，則（　　）
A．2 B．﹣2 C．0 D．
3．（5分）函數的最小正周期是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（5分）已知a是實數，則函數f（x）＝1+asinax的圖象不可能是（　　）
A． B．
C． D．
5．（5分）已知角α是第四象限角，且滿足，則tan（π﹣α）是（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）設函數f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ），已知函數f（x）的圖象相鄰的兩個對稱中心的距離是2π，且當x時，f（x）取得最大值，則下列結論正確的是（　　）
A．函數f（x）的最小正周期是4π
B．函數f（x）在[0，]上單調遞增
C．f（x）的圖象關于直線x對稱
D．f（x）的圖象關于點（，0）對稱
7．（5分）y＝sin（2x）﹣sin2x的一個單調遞增區間是（　　）
A．[，] B．[，]
C．[，] D．[，]
8．筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，因其經濟又環保，至今還在農業生產中得到使用．現有一個筒車按逆時針方向勻速轉動，每分鐘轉動6圈，如圖，將該筒車抽象為圓O，筒車上的盛水桶抽象為圓O上的
點P，已知圓O的半徑為4m，圓心O距離水面2m，且當圓O上點P從水中浮現時（圖中點P0）開始計算時間．根據如圖所示的直角坐標系，將點P到水面的距離h（單位：m在水面下，h為負數）表示為時間t（單位：s）的函數，當t＝15時，點P到水面的距離為（　　）
A．4m B．3m C．2m D．1m
二、填空題
9．（5分）已知2弧度的圓心角所對的弦長為2，那么這個圓心角所對弧長為 　 　 ．
10．（5分）已知tanx＝3，則的值為 　 　 ．
11．（5分）如圖為函數y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的圖象的一部分，該函數的解析式是 　 　 ．
12．（5分）在平面直角坐標系xOy中，若函數y＝3sin（2x）的圖象向左平移φ（0＜φ）個單位后，所得函數圖象關于原點成中心對稱，則φ的值為 　 　 ．
三、解答題
13．（8分）已知，，α，β均為銳角．
（1）求sin2α的值；
（2）求sinβ的值．
14．（10分）（1）化簡：；
（2）求證：tan（）﹣tan（）＝2tan2α．
15．（10分）設函數．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若，求函數f（x）的值域．
16．（12分）已知函數f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|），f（x）的圖象上兩個相鄰對稱中心間的距離為，且是函數f（x）的一個零點．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求函數f（x）在[0，π]上的單調遞減區間．
第五章 三角函數
參考答案與試題解析
一、選擇題
1．（5分）已知點P（tanα，cosα）在第三象限，則角α的終邊在第幾象限（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】由題意，推導出，確定α的象限，然后取得結果．
【解答】解：∵P（tanα，cosα）在第三象限，
∴，
由tanα＜0，得α在第二、四象限，
由cosα＜0，得α在第二、三象限
∴α在第二象限．
故選：B．
【點評】本題考查任意角的三角函數的定義，考查計算能力，是基礎題．
2．（5分）已知tanθ＝2，則（　　）
A．2 B．﹣2 C．0 D．
【答案】B
【分析】由條件利用同角三角函數的基本關系、誘導公式化簡，求得要求式子的值．
【解答】解：∵tanθ＝2，則2，
故選：B．
【點評】本題主要考查同角三角函數的基本關系、誘導公式的應用，以及三角函數在各個象限中的符號，屬于基礎題．
3．（5分）函數的最小正周期是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由題意利用正切函數的周期性，得出結論．
【解答】解：函數的最小正周期是2，
故選：B．
【點評】本題主要考查正切函數的周期性，屬于基礎題．
4．（5分）已知a是實數，則函數f（x）＝1+asinax的圖象不可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由函數f（x）＝Asin（ωx+φ）+B的性質結合選項即可得解．
【解答】解：對函數f（x）＝Asin（ωx+φ）+B，，
觀察選項可知，選項C的最小正周期大于2π，即，則|a|＜1，
而又由選項C圖象可知，，與|a|＜1矛盾，故選項C錯誤，而對比可知選項A正確．
當a＝0時，選項B正確；
對選項D而言，易知周期小于2π，則|a|＞1，由前面分析可知，符合函數圖象．
故選：C．
【點評】本題主要考查函數f（x）＝Asin（ωx+φ）+B的圖象及性質，考查數形結合思想，記住常見結論是解題關鍵，屬于基礎題．
5．（5分）已知角α是第四象限角，且滿足，則tan（π﹣α）是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用三角函數的誘導公式以及同角三角函數基本關系式化簡求解即可．
【解答】解：由，
得﹣cosα+3cosα＝1，即．
∵角α是第四象限角，
∴．
∴tan（π﹣α）＝﹣tanα．
故選：A．
【點評】本題考查了三角函數的誘導公式，考查了同角三角函數基本關系式的應用，是基礎題．
6．（5分）設函數f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ），已知函數f（x）的圖象相鄰的兩個對稱中心的距離是2π，且當x時，f（x）取得最大值，則下列結論正確的是（　　）
A．函數f（x）的最小正周期是4π
B．函數f（x）在[0，]上單調遞增
C．f（x）的圖象關于直線x對稱
D．f（x）的圖象關于點（，0）對稱
【答案】A
【分析】根據f（x）的最小正周期為4π，可得ω，當x時，f（x）取得最大值．可得φ的值，得到了f（x）的解析式，利用正弦函數的性質逐項判斷即可．
【解答】解：由題意，f（x）的最小正周期為4π，
∴ω，
∵當x時，f（x）取得最大值．即φ＝2kπ，k∈Z．
∴φ＝2kπ，k∈Z．
∵0＜φ，
可得：φ．
那么f（x）＝2sin（x），
對于A，正確；
對于B，當x∈[0，]，x∈[，]，由正弦函數的單調性可知錯誤；
對于C，由2sin（）≠2，故錯誤；
對于D，由2sin（）≠0，故錯誤；
故選：A．
【點評】本題考查了三角函數的圖象變換規律，以及正弦函數的性質的應用，屬于基礎題．
7．（5分）y＝sin（2x）﹣sin2x的一個單調遞增區間是（　　）
A．[，] B．[，]
C．[，] D．[，]
【答案】B
【分析】首先將函數解析式變成：y＝sin（2x），然后由正弦函數的增區間列式解得kπ≤xkπ，k∈Z，
令k＝1，得，x，故選B
【解答】解：∵y＝sin（2x）﹣sin2x
＝sin2xcoscos2xsinsin2x
sin2xcos2x
＝sin（2x）
由2kπ≤2x2kπ，k∈Z，
得kπ≤xkπ，k∈Z，
當k＝1時，x，
故選：B．
【點評】本題考查了正弦函數的單調遞增區間、三角變換，屬中檔題．
8．筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，因其經濟又環保，至今還在農業生產中得到使用．現有一個筒車按逆時針方向勻速轉動，每分鐘轉動6圈，如圖，將該筒車抽象為圓O，筒車上的盛水桶抽象為圓O上的
點P，已知圓O的半徑為4m，圓心O距離水面2m，且當圓O上點P從水中浮現時（圖中點P0）開始計算時間．根據如圖所示的直角坐標系，將點P到水面的距離h（單位：m在水面下，h為負數）表示為時間t（單位：s）的函數，當t＝15時，點P到水面的距離為（　　）
A．4m B．3m C．2m D．1m
【答案】A
【分析】先計算出筒車旋轉的周期，得出15s時p所在的位置，進而求出距離水面的距離．
【解答】解：由題意，得筒車旋轉的周期是10s，
第10s時，P點回到原來的位置，第15s時P點旋轉了180度，
由三角函數可求出P所在直徑與水面的夾角為30度，所以此時P距離水面的距離為8×sin4m，
故選：A．
【點評】本題主要考查了周期性以及三角函數計算，屬基礎題．
二、填空題
9．（5分）已知2弧度的圓心角所對的弦長為2，那么這個圓心角所對弧長為 　　 ．
【答案】見試題解答內容
【分析】解直角三角形AOC，求出半徑AO，代入弧長公式求出弧長的值．
【解答】解：如圖：設∠AOB＝2，AB＝2，過點0作OC⊥AB，C為垂足，
并延長OC交于D，則∠AOD＝∠BOD＝1，ACAB＝1．
Rt△AOC中，r＝AO，
從而弧長為 α r＝2，
故答案為．
【點評】本題考查弧長公式的應用，解直角三角形求出扇形的半徑AO的值，是解決問題的關鍵，屬于基礎題．
10．（5分）已知tanx＝3，則的值為 　　 ．
【答案】見試題解答內容
【分析】由條件利用同角三角函數的基本關系，求得 的值．
【解答】解：∵已知tanx＝3，則，
故答案為：．
【點評】本題主要考查同角三角函數的基本關系的應用，屬于基礎題．
11．（5分）如圖為函數y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的圖象的一部分，該函數的解析式是 　y＝2sin（2x）　 ．
【答案】見試題解答內容
【分析】由三角函數的圖象直接得到A和T，代入周期公式求得ω，結合五點作圖的第二點求得φ，則三角函數的解析式可求．
【解答】解：由圖可得，A＝2，T＝2（）＝π，
∴ω，
由五點作圖的第二點可得：φ，解得：φ．
∴所求函數解析式為：y＝2sin（2x）．
故答案為：y＝2sin（2x）．
【點評】本題考查由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象求函數解析式，關鍵是掌握利用五點作圖中的某一點求φ的值的方法，是基礎題．
12．（5分）在平面直角坐標系xOy中，若函數y＝3sin（2x）的圖象向左平移φ（0＜φ）個單位后，所得函數圖象關于原點成中心對稱，則φ的值為 　　 ．
【答案】見試題解答內容
【分析】由條件利用函數y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，可得所得函數圖象對應的函數解析式；再利用正弦函數的圖象的對稱性求得2φkπ，k∈z，由此求得φ的值．
【解答】解：函數y＝3sin（2x）的圖象向左平移φ（0＜φ）個單位后，所得函數圖象對應的函數解析式為y＝3sin（2x+2φ），
由于所得函數圖象關于原點成中心對稱，∴2φkπ，k∈z，則φ，k∈z．
∴φ，
故答案為：．
【點評】本題主要考查函數y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，正弦函數的圖象的對稱性，屬于基礎題．
三、解答題
13．（8分）已知，，α，β均為銳角．
（1）求sin2α的值；
（2）求sinβ的值．
【答案】見試題解答內容
【分析】（1）由條件利用同角三角函數的基本關系求得sinα的值，再利用二倍角的正弦公式求得sin2α的值．
（2）由條件利用同角三角函數的基本關系求得sin（α+β）的值，再利用兩角和差的正弦公式求得sinβ的值．
【解答】解：（1）∵，α為銳角，∴，
∴．
（2）∵α，β均為銳角，，∴α+β∈（0，π），
∴，
∴．
【點評】本題主要考查同角三角函數的基本關系，二倍角公式，兩角和差的正弦公式的應用，屬于基礎題．
14．（10分）（1）化簡：；
（2）求證：tan（）﹣tan（）＝2tan2α．
【答案】見試題解答內容
【分析】（1）由題意利用二倍角公式化簡所給的式子，可得結果．
（2）由題意利用三角恒等變換化簡等式的左邊，可得結果．
【解答】解：（1）tanθ．
（2）證明：∵等式左邊＝tan（）﹣tan（）2tan2α＝右邊，
∴等式成立．
【點評】本題主要考查三角恒等變換，證明三角恒等式，屬于基礎題．
15．（10分）設函數．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若，求函數f（x）的值域．
【答案】見試題解答內容
【分析】（Ⅰ）化簡可得2sin（2x），從而確定周期；
（Ⅱ）由可得2sin（2x）．
【解答】解：（Ⅰ）
sin2xsin2xcos2x
sin2x﹣cos2x
＝2sin（2x），
故函數f（x）的最小正周期為π；
（Ⅱ）∵，
∴2x，
∴sin（2x）≤1，
∴﹣1＜2sin（2x）≤2，
∴2sin（2x），
故函數f（x）的值域為（，]．
【點評】本題考查了三角函數的恒等變換的應用及函數的性質的判斷與應用．
16．（12分）已知函數f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|），f（x）的圖象上兩個相鄰對稱中心間的距離為，且是函數f（x）的一個零點．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求函數f（x）在[0，π]上的單調遞減區間．
【答案】（1）f（x）＝2sin（2x）；（2）[]．
【分析】（1）直接利用函數的圖象上兩個相鄰對稱中心間的距離為，且是函數f（x）的一個零點，求出函數的關系式；
（2）利用整體思想的應用和函數的單調性求出函數的單調遞減區間．
【解答】解：（1）函數f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|），f（x）的圖象上兩個相鄰對稱中心間的距離為，
故函數的最小正周期為π，
解得ω＝2；
且是函數f（x）的一個零點，
所以，整理得，（k∈Z）；
由于|φ|，
故當k＝1時，φ；
故f（x）＝2sin（2x）．
（2）令：，（k∈Z）；
整理得，（k∈Z）；
故函數f（x）在[0，π]上的單調遞減區間為[]．
【點評】本題考查的知識要點：函數的關系式的求法，正弦型函數的性質的應用，主要考查學生的運算能力和數學思維能力，屬于中檔題．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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