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2026屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題特訓(xùn) 等比數(shù)列
一、選擇題
1．若是與4的等比中項(xiàng),則( )
A.1 B. C.2 D.4
2．等比數(shù)列中,,,則為( )
A.2 B.4 C.8 D.16
3．在等比數(shù)列中，，，則( )
A.16 B.30 C.34 D.64
4．設(shè)數(shù)列為公比為2的等比數(shù)列,且,數(shù)列滿足,則不等式成立時(shí)對應(yīng)n的最小值為( )
A.4 B.5 C.6 D.7
5．已知,則的值是( )
A.680 B. C.1360 D.
6．正方形的邊長為1，取正方形各邊的中點(diǎn)，，，作第二個正方形，然后再取正方形各邊中點(diǎn)，，，作第三個正方形，依此方法一直繼續(xù)下去，則前11個正方形的面積和為( )
A. B. C. D.
7．已知公差不為0的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為.若滿足，且，，成等比數(shù)列，則使得成立的n的最小值為( )
A.6 B.7 C.8 D.9
8．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，且滿足，，成等差數(shù)列，則( )
A.3 B.9 C.10 D.13
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,公比為q,若,,則下列說法正確的是( )
A. B. C. D.
10．無窮等比數(shù)列的首項(xiàng)為公比為q，下列條件能使既有最大值，又有最小值的有( )
A.， B.，
C.， D.，
11．在等比數(shù)列中,,前三項(xiàng)和,則公比q的值為( )
A.1 B.
C. D.
三、填空題
12．在等比數(shù)列中,若,則_____________.
13．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,公比為q,,則_____.
14．已知數(shù)列滿足,,則數(shù)列的前8項(xiàng)和_______.
15．在的展開式中，x的奇次項(xiàng)的系數(shù)和為______.
四、解答題
16．已知公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,且,,成等比數(shù)列．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若,證明：．
17．已知等比數(shù)列的公比，，.
(1)求；
(2)設(shè)，若，求k.
18．已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，成等比數(shù)列.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
19．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
20．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的最大項(xiàng)與最小項(xiàng).
參考答案
1．答案：D
解析：由于是與4的等比中項(xiàng),故,解得,
故選：D.
2．答案：D
解析：設(shè)數(shù)列的公比為q,
依題意,解得,
.,
故選:D.
3．答案：A
解析：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，
因?yàn)椋傻茫獾茫?br/>所以，所以.
故選：A.
4．答案：B
解析：因?yàn)?所以,
因?yàn)閿?shù)列為公比為2的等比數(shù)列,
所以,即,
又?jǐn)?shù)列滿足,所以,
不等式成立,即,化簡為,
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增,
所以當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,
則不等式成立時(shí)對應(yīng)n的最小值為5.
故選：B.
5．答案：B
解析：令,則,即
令,則,
即,
兩式相加可得,
故選:B
6．答案：D
解析：已知正方形的邊長為1，根據(jù)正方形面積公式（a為邊長），可得第一個正方形的面積.
因?yàn)?,,分別是正方形各邊的中點(diǎn)，
所以是的中位線，根據(jù)三角形中位線定理，可得.
在正方形中，根據(jù)勾股定理，
已知，則，所以.
那么第二個正方形的面積.
同理，可推出第三個正方形的邊長是第二個正方形對角線的一半，
第二個正方形對角線長為，
所以第三個正方形邊長為，面積.
以此類推，可得正方形面積構(gòu)成的數(shù)列，其中,,,…，
該數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.
－根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（為首項(xiàng)，q為公比），
這里,,，則前11個正方形的面積和為：
因此，前11個正方形的面積和為，答案選D.
7．答案：B
解析：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由，，成等比數(shù)列知，
即，解得或（舍去），
故.
由得，
故選:B.
8．答案：C
解析：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，
因?yàn)椋傻炔顢?shù)列，
所以，
所以．由題意得，．
所以，解得，
所以．
故選：C
9．答案：BCD
解析：由,得,由題意可知,否則,不符合題意;
由,得,得,得,得,故B正確;
將代入,得,故A錯誤;
,故C正確;
,故D正確.
故選:BCD
10．答案：BC
解析：，時(shí)，等比數(shù)列單調(diào)遞減，故只有最大值，沒有最小值；
，時(shí)，等比數(shù)列為擺動數(shù)列，此時(shí)為大值，為最小值；
，時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)都相等且小于零，偶數(shù)項(xiàng)都相等且大于零，
所以等比數(shù)列有最大值，也有最小值；
，時(shí)，因?yàn)椋詿o最大值，奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)無最小值，
偶數(shù)項(xiàng)為正無最大值.
故選：BC
11．答案：AB
解析：等比數(shù)列中,,前三項(xiàng)和,則,于是,
解得或,
所以公比q的值為或1.
故選:AB
12．答案：
解析：設(shè)等比數(shù)列的公比為q,由題得,,
所以,解得.
所以.
故答案為：.
13．答案：1
解析：因?yàn)?所以,即,
因,則得,解得或,
因?yàn)?所以,所以不滿足條件,
所以.
故答案為:1.
14．答案：502
解析：由,取倒數(shù)得,
所以,
因?yàn)?所以,所以,
所以是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,
所以,則,
所以數(shù)列的前8項(xiàng)和.
故答案為:502
15．答案：511
解析：設(shè)，
令，則，
令，則，
兩式相減可得，，
解得.
故答案為：511
16．答案：(1)；
(2)證明見解析.
解析：(1)設(shè)的公差為,則根據(jù)題意有,
解之得,所以,
即的通項(xiàng)公式為；
(2)由上可知,
所以,
則,
易知
.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)由題意得，
所以.
(2)由(1)得，
所以
，
解得或（舍去）.
18．答案：(1)
(2).
解析：(1)設(shè)數(shù)列的公差為d，則.
由
得，
化簡得，
因?yàn)椋裕?br/>所以.
(2)由(1)知，
則，
，
兩式相減得
，
所以.
19．答案：(1),
(2),
解析：(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為q,則,所以或（舍）,
所以,.
(2)由(1)得,所以.
20．答案：(1)
(2)最小項(xiàng)為
解析：(1)當(dāng)時(shí)，，所以,
當(dāng)時(shí)，，,
兩式相減得，整理得，
因，所以，
于是數(shù)列是首項(xiàng)為-3，公比為-3的等比數(shù)列，
所以.
(2)內(nèi)(1)知.
所以，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，隨著n的增大，其值減小，
所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，隨著n的增大，其值增大，
所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
因此數(shù)列的最大項(xiàng)為，最小項(xiàng)為.
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