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2026屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題特訓(xùn) 等差數(shù)列
一、選擇題
1．記首項(xiàng)為1的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,則( )
A.217 B.247 C.349 D.409
2．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,則數(shù)列的公差( )
A.3 B.2 C. D.4
3．若為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,,,則的最小值為( )
A. B. C. D.
4．A同學(xué)為參加《古詩(shī)詞大賽》進(jìn)行古詩(shī)詞鞏固訓(xùn)練，她第1天復(fù)習(xí)10首古詩(shī)詞，從第2天起，每一天復(fù)習(xí)的古詩(shī)詞數(shù)量比前一天多2首，每首古詩(shī)詞只復(fù)習(xí)一天，則10天后A同學(xué)復(fù)習(xí)的古詩(shī)詞總數(shù)量為( )
A.190 B.210 C.240 D.280
5．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則的值為( )
A.6 B.20 C.25 D.30
6．記正數(shù)a,b,c滿足b為a和c的等差中項(xiàng),設(shè)甲：a,b為整數(shù)；乙：c為整數(shù),則( )
A.甲是乙的充分條件但不是必要條件 B.甲是乙的必要條件但不是充分條件
C.甲是乙的充要條件 D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
7．在等差數(shù)列中,,.則公差( )
A. B. C.10 D.5
8．已知是公差為2的等差數(shù)列,且,,成等比數(shù)列,則等于( )
A.63 B.72 C.81 D.90
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列，且,,成等差數(shù)列，則( )
A. B. C.-1 D.1
10．已知，下列說(shuō)法正確的是( )
A.若a，b，c三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則
B.若a，b，c三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則
C.若a，b，c三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則
D.若a，b，c三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則
11．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)積為,則( )
A.數(shù)列是等差數(shù)列 B.數(shù)列是等比數(shù)列
C.數(shù)列是等差數(shù)列 D.數(shù)列是等比數(shù)列
三、填空題
12．已知等差數(shù)列的公差，若，，構(gòu)成等比數(shù)列，則_________.
13．已知和分別是等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，，，則________.
14．已知數(shù)列為公差為1的等差數(shù)列,且、、依次成等比數(shù)列,則________.
15．北宋數(shù)學(xué)家沈括在酒館看見(jiàn)一層層壘起的酒壇，想求這些酒壇的總數(shù)，經(jīng)過(guò)反復(fù)嘗試，提出如圖所示的由大小相同的小球堆成的一個(gè)長(zhǎng)方臺(tái)形垛積，自上而下，第一層有個(gè)小球，第二層有個(gè)小球，第三層有個(gè)小球，，依此類(lèi)推，最底層有個(gè)小球，共有n層，并得出小球總數(shù)的公式.若，小球總個(gè)數(shù)為168，則該長(zhǎng)方臺(tái)形垛積的第六層的小球個(gè)數(shù)為_(kāi)________.
四、解答題
16．已知在等差數(shù)列中,,.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
（2）若數(shù)列的前n項(xiàng)和,則當(dāng)n為何值時(shí)取得最大,并求出此最大值.
17．等差數(shù)列的公差為d,數(shù)列的前n項(xiàng)和為．
(1)已知,,,求m及；
(2)已知,,,求d；
(3)已知,求.
18．已知是公差為2的等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，滿足，.
（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
（2）記，的前n項(xiàng)和分別為，，若，求n的值.
19．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),記為的前n項(xiàng)和,從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件,證明另外一個(gè)成立.
①數(shù)列是等差數(shù)列:
②數(shù)列是等差數(shù)列;③.
20．已知與均為等差數(shù)列,且,．
(1)求與的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
參考答案
1．答案：B
解析：由已知數(shù)列為等差數(shù)列,設(shè)其公差為d,
則,解得,
所以,,
則,
故選：B.
2．答案：B
解析：由題意得,,解得.
故選:B
3．答案：A
解析：由,得,
又,則,
所以公差,
故當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,
所以當(dāng)時(shí),最小.
故選:A.
4．答案：A
解析：由題知，A同學(xué)每天復(fù)習(xí)的古詩(shī)詞數(shù)量構(gòu)成首項(xiàng)為10，
公差為2的等差數(shù)列，
則10天后A同學(xué)復(fù)習(xí)的古詩(shī)詞總數(shù)量為.
故選：A.
5．答案：D
解析：因?yàn)椋?br/>所以，解得，
則．
故選：D
6．答案：A
解析：由正數(shù)a,b,c滿足b為a和c的等差中項(xiàng),所以,
若a,b為整數(shù),則為整數(shù),故甲能推乙；
若c為整數(shù),例,,符合b為a和c的等差中項(xiàng),但b不是整數(shù),故乙不能推甲,
所以甲是乙的充分條件但不是必要條件.
故選：A.
7．答案：D
解析：公差．
故選：D.
8．答案：C
解析：由是公差為2的等差數(shù)列,且,,成等比數(shù)列,可得,
即,解得,代入,故.
故選:C.
9．答案：AD
解析:由題意，，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得，
由于等比數(shù)列每一項(xiàng)都不是0，故，
即，解得或.
故選：AD
10．答案：BC
解析：若a，b，c三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，
則，解得，故A錯(cuò)誤，B正確；
若a，b，c三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，
則，解得，故C正確，D錯(cuò)誤，
故選：BC.
11．答案：ABD
解析：根據(jù)題意,設(shè)的公差為d,的公比為q,
則,
依次分析選項(xiàng):
對(duì)于A,是常數(shù),故A正確;
對(duì)于B,易知是常數(shù),故B正確;
對(duì)于C,因?yàn)?由,
當(dāng),不是常數(shù)列,不是常數(shù),故C錯(cuò)誤;
對(duì)于D,是常數(shù),故D正確.
故選:ABD.
12．答案：
解析：由題意知等差數(shù)列的公差,,,構(gòu)成等比數(shù)列，
則，即，
即得，則，故，
故答案為：
13．答案：9或18
解析：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，
由，可得，即，
解得或；
當(dāng)時(shí)，可得，又，所以；
此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，可得，又，所以；
此時(shí)；
綜上可得，或18.
故答案為：9或18
14．答案：5
解析：因?yàn)閿?shù)列為公差為1的等差數(shù)列,由題意可得,即,
解得,故.
故答案為:5.
15．答案：42
解析：由題知，各層的小球個(gè)數(shù)構(gòu)成數(shù)列，
且，，
因?yàn)椋裕?br/>故
，
由題意，
即，解得或（舍去），
所以，故該垛積的第六層的小球個(gè)數(shù)為，
故答案為：42
16．答案：（1）;
（2）時(shí)取得最大值為36.
解析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則,
故,
所以.
（2）由,且,
所以,
故時(shí)取得最大,最大值為36.
17．答案：(1),
(2)
(3)
解析：(1)因?yàn)?
所以整理得,解得或（負(fù)值舍去）,
所以
(2)因?yàn)?所以,
又因?yàn)?所以
(3)方法一：由,即,
所以
方法二：由,得,
所以
18．答案：（1），;
（2）
解析：（1）由已知得，，
又，，則，
解得，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式，
又
數(shù)列的通項(xiàng)公式，
（2）由已知得：
由（1）可知
由，所以，解得
19．答案：證明過(guò)程見(jiàn)解析
解析：選①②作條件證明③:
[方法一]:待定系數(shù)法+與關(guān)系式
設(shè),則,
當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),;
因?yàn)橐彩堑炔顢?shù)列,所以,解得;
所以,,故.
[方法二]:待定系數(shù)法
設(shè)等差數(shù)列的公差為d,等差數(shù)列的公差為,
則,將代入,
化簡(jiǎn)得對(duì)于恒成立.
則有,解得,.所以.
選①③作條件證明②:
因?yàn)?是等差數(shù)列,
所以公差,
所以,即,
因?yàn)?
所以是等差數(shù)列.
選②③作條件證明①:
[方法一]:定義法
設(shè),則,
當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),;
因?yàn)?所以,解得或;
當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),滿足等差數(shù)列的定義,此時(shí)為等差數(shù)列;
當(dāng)時(shí),,不合題意,舍去.
綜上可知為等差數(shù)列.
[方法二]【最優(yōu)解】:求解通項(xiàng)公式
因?yàn)?所以,,因?yàn)橐矠榈炔顢?shù)列,所以公差,所以,故,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),滿足上式,故的通項(xiàng)公式為,所以,,符合題意.
20．答案：(1),
(2)
解析：(1)設(shè)等差數(shù)列公差為,等差數(shù)列公差為,
因?yàn)?,
所以,
即,即,
所以,解得,
所以,.
(2),
所以①
②
得,
所以
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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