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2026屆高考數學一輪復習專題特訓 點、直線、平面之間的位置關系
一、選擇題
1．已知m，n為兩條不同直線，，，為三個不同平面，則下列說法正確的是( )
A.若，，則 B.若，，則
C.若，，則 D.若，，則
2．若點A在直線m上，直線m在平面內，則下列關系表示正確的是( )
A. B. C. D.
3．如圖，在直三棱柱中，且，則直線與所成的角為( )
A. B. C. D.
4．已知，是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，下列命題中正確的是( )
A.若，，則 B.若，，則
C.若，，則 D.若，，則
5．已知，為不同的平面，m，n為不同的直線，則下列結論正確的是( )
A.若，，則 B.若，，則
C.若，，則 D.若，，則
6．如圖所示，長方體中，，，，P是線段上的動點，則下列直線中，始終與直線異面的是( )
A. B. C. D.
7．如圖，，是正方體展開圖中的兩條線段，則原正方體中與所成角為( )
A. B. C. D.
8．設，是兩個平面，m，l是兩條直線，則下列命題為真命題的是( )
A.若，，則
B.若，，則
C.若，，則
D.若，，則
二、多項選擇題
9．如圖,P為平行四邊形所在平面外一點,Q為的中點,O為與的交點,下列說法正確的是( )
A.平面 B.平面
C.平面 D.平面
10．如圖,等邊的邊長為1,邊上的高為,沿把折起來,則( )
A.在折起的過程中始終有平面
B.三棱錐的體積的最大值為
C.當時,點A到的距離為
D.當時,點C到平面的距離為
11．如圖，等邊的邊長為1，邊上的高為，沿把折起來，則( )
A.在折起的過程中始終有平面
B.三棱錐的體積的最大值為
C.當時，點A到的距離為
D.當時，點C到平面的距離為
三、填空題
12．一般地，若A是平面外一點，B是平面內一點，n是平面的一個法向量，則點A到平面的距離為___________.
13．如圖，在正四棱柱中，底面邊長為2，高為1，則點D到平面的距離是__________.
14．如圖，直四棱柱的底面是菱形，，，，E是的中點，則點C到平面的距離為___________.
15．如圖所示，在棱長為2的正方體中，點M是的中點，動點P在正方體表面上移動，若平面，則P的軌跡長為________.
四、解答題
16．如圖，已知四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，點M、N、Q分別是PA、BD、PD的中點.求證：
(1)平面PCD；
(2)平面平面PBC.
17．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，，E為棱的中點.
(1)求證：平面；
(2)求直線和平面所成的角的正弦值.
18．如圖，在長方體中，，，，E，F分別是，的中點.
(1)求證：平面；
(2)求平面與平面的夾角的大小.
19．如圖，在四棱錐中，平面平面，底面是菱形，是正三角形，，E是的中點，證明：.
20．如圖，在直四棱柱中，底面是直角梯形，，且，.
(1)證明：；
(2)求點A到平面的距離；
(3)求平面與平面夾角的正弦值.
參考答案
1．答案：D
解析：對于選項A：
若，，所以m，n可能平行也可能異面，所以A錯誤；
對于選項B：
若，，所以m可能與平面平行，
也可能在平面內，所以B錯誤；
對于選項C：
若，，那么，
也可能平面，相交，所以C錯誤；
對于選項D：
根據平行平面的傳遞性，若，，則.所以D正確.
故選：D.
2．答案：C
解析：由點、線、面關系的表示方式知A、B、D錯誤，C正確.
故選:C.
3．答案：C
解析：如圖，由題意，以B為坐標原點，
分別以，，所在直線為x，y，z軸，
建立空間直角坐標系.
不妨設，則，，，
則，
則，
又由兩直線所成角的范圍為，
則直線與所成的角為.
故選：C.
4．答案：D
解析：對于A，若，，則，或，故A錯誤；
對于B，若，，則，或與相交，故B錯誤；
對于C，若，，則m與相交，或，或，故C錯誤；
對于D，若，，則，故D正確.
故選：D.
5．答案：C
解析：對A選項：如圖所示，
由圖可知，若，，則還有可能相交，
故A選項不正確；
對B選項：如圖所示，
由圖可知，若，，則還有可能
故B選項不正確；
由線面垂直的性質定理可知，若，，則成立，
故C選項正確；
對D選項：如圖所示，
若，，則還有可能，
故D選項不正確；
故選：C.
6．答案：D
解析：在長方體中，
，當P是與的交點時，平面，與相交，A不是；
當點P與重合時，平面，與相交，B不是；
當點P與重合時，因為長方體的對角面是矩形，
此時，C不是；
因為平面，，平面，
而平面，因此與是異面直線，D是.
故選：D
7．答案：C
解析：
如圖，畫出正方體，因為，
所以為與所成角或其補角，
因為，，都為正方體的面對角線，所以，
所以為等邊三角形，所以與所成角為.
故選：.
8．答案：C
解析：A選項：如圖：
在正方體中，，，
此時m與l夾角為，A選項錯誤；
B選項：如圖：
在正方體中，，，，此時，B選項錯誤；
D選項：如圖：
在正方體中：，，，此時，D選項錯誤；
C選項：如圖：
過l作平面，使得，，
∵，，∴，，則，
又∵，∴，∴，C選項正確.
故選：C.
9．答案：ABD
解析：因為O為平行四邊形對角線的交點,所以O為的中點,
又Q為的中點,所以,
又平面,平面,所以平面,A選項正確；
同理平面,平面,所以,B選項正確；
由四邊形為平行四邊形,所以,平面,平面,故平面,故D正確；
又與平面相交于點P,故C錯誤；
故選：ABD.
10．答案：ABC
解析：
A選項:因為,,且,,平面,所以平面,故A選項正確;
B選項:又已知三棱錐的體積,
所以當即時,三棱錐的體積最大,
最大值為,故B選項正確;
C選項當時,是等邊三角形,且是以為底的等腰三角形,
設的中點為E,連接,
則,即為點A到的距離,
,故C選項正確;
當時,,,且,,平面,故平面,
則就是點到平面的距離,且,故D選項錯誤;
故選:ABC.
11．答案：ABC
解析：
A選項：因為，，且，平面，
所以平面，故A選項正確；
B選項：又已知三棱錐的體積
，
所以當即時，三棱錐的體積最大，
最大值為，故B選項正確；
C選項當時，是等邊三角形，且是以為底的等腰三角形，
設的中點為E，連接，則，即為點A到的距離，
，故C選項正確；
當時，，，且，
平面，故平面，
則就是點C到平面的距離，且，故D選項錯誤；
故選：ABC.
12．答案：
解析：
13．答案：
解析：由題意，，
，，
故等腰的邊上的高，，
設所求距離為d，則，
又，
所以，解得：.
14．答案：
解析：因為為菱形，所以，又，
所以，故為正三角形，
因為，所以，
又，所以，
因為，所以，
從而，故，
所以，
設點C到平面的距離為d，
則，另一方面，，
所以，解得：，
故點C到平面的距離為.
15．答案：
解析：在棱長為2的正方體中，取，的中點E，F，
連接，，，，，
由M為的中點，得，，四邊形為平行四邊形，
則，，又，，則四邊形是平行四邊形，
，，于是，，四邊形是平行四邊形，
而平面，平面，則平面，同理平面，
又，平面，因此平面平面，
又平面，P在正方體表面上移動，于是點P的軌跡是與正方體的交線，
所以P的軌跡長為.
故答案為：
16．答案：(1)證明見解析
(2)證明見解析
解析：(1)由題意，四棱錐的底面ABCD為平行四邊形，
點M、N、Q分別是PA、BD、PD的中點，
∴N是AC的中點，∴，
∵平面PCD，平面PCD，
∴平面PCD；
(2)由(1)知，平面PBC，
平面PBC，
∴平面PBC，
∵ABCD為平行四邊形，∴N是BD中點，
又∵Q是PD中點，
在中，，
平面，平面PBC，
平面PBC，
，平面MNQ，
平面平面PBC.．
17．答案：(1)證明見解析
(2)
解析：(1)，且E為棱的中點，
，
四邊形為正方形，
，
又平面，平面，
，
，，平面，
平面，
平面，
，
又，，平面，
平面；
(2)
四邊形為正方形，
，
以點A為坐標原點，，，，
方向分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，
則，，，，
又E為中點，
，
則，，，
設平面的法向量為，
則，
令，即，
，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
18．答案：(1)證明見解析
(2)
解析：（1）以D為原點，、、所在直線分別x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.
則，，，，，
，，，.
由，，
所以，，又，平面，
所以平面
（2）由（1）知，平面的法向量為，.
設平面的法向量為，則，
取，得，，故，，
設平面與平面的夾角為，
則，
又，，
所以平面與平面的夾角的大小為.
19．答案：證明見解析
解析：證明：如圖，取中點O，連接，，因為是正三角形，O是的中點，所以，
因為平面平面，且平面平面，平面，所以平面，
因為平面，所以，
因為是菱形，所以，
又因為O，E分別為，的中點，所以，
故，結合①以及，平面，可得平面，
因為平面，所以.
20．答案：(1)證明見解析
(2)
(3)
解析：(1)在直四棱柱中，底面，
又，底面，故，
又，，，面，
得到平面，又平面，則.
(2)由(1)知，，，兩兩垂直，
以B為坐標原點，分別以，，所在直線為x軸，y軸，z軸，
如圖，建立空間直角坐標系，
，，，，
所以，，
設平面的法向量為，
則，
令，得，，所以，
由點到平面的距離公式得點A到平面的距離為.
(3)由(2)知，
設平面的法向量為，
則
令，得，，所以，
又平面的一個法向量為，
設平面與平面夾角為，
則，
而，則，
由同角三角函數的基本關系得，
故平面與平面夾角的正弦值為.
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