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2026屆高考數學一輪復習專題特訓 基本不等式
一、選擇題
1．若,則的最小值是( )
A. B.2 C.3 D.
2．已知,,當時,不等式恒成立,則m的取值范圍是( )
A. B. C. D.
3．已知,,且,則的最小值為( )
A.2 B.8 C.16 D.64
4．設,且,則的最小值為( )
A.2 B.3 C. D.
5．下列說法錯誤的是( )
A.函數的圖象是一條直線
B.命題“,都有”的否定是“,使得”
C.當時,最小值是4
D.,是充分不必要條件
6．若，，且，則的最小值為( )
A.20 B.12 C.16 D.25
7．已知,,,則的最小值為( )
A.4 B. C.8 D.16
8．已知函數，若，則的最小值為( )
A. B.3 C.2 D.
二、多項選擇題
9．下列說法正確的有( )
A.“,使得”的否定是“,都有”
B.若命題“”為假命題,則實數m的取值范圍是
C.若,則“”的充要條件是“”
D.已知,則的最小值為9
10．下列說法正確的有( )
A.函數的定義域為
B.函數的最小值為2
C.函數（且）的圖象恒過定點
D.函數在區間上單調遞減
11．設正實數,滿足,則下列說法正確的是( )
A.的最小值為2 B.的最小值為1
C.的最大值為4 D.的最小值為2
三、填空題
12．若,,,則的最小值為_______________.
13．設,,則的最小值為____________．
14．函數的最小值為__________________.
15．已知,則的最小值為___________.
四、解答題
16．如圖,某人計劃用籬笆圍成一個一邊靠墻（墻足夠長）的矩形菜園.設菜園的長為x米,寬為y米.
(1)若菜園面積為36平方米,則x,y為何值時,所用籬笆總長最小？
(2)若使用的籬笆總長為30米,求的最小值.
17．某公司由于業務的快速發展,計劃在其倉庫外,利用其一側原有墻體,建造一間高為4米,底面積為108平方米,且背面靠墻的長方體形狀的貴重物品存儲室.由于此貴重物品存儲室的后背靠墻,無需建造費用,某工程隊給出的報價如下：存儲室前面新建墻體的報價為每平方米1500元,左、右兩面新建墻體的報價為每平方米1000元,屋頂和地面以及其他報價共計36000元,設存儲室的左、右兩面墻的長度均為x米,該工程隊的總報價為y元
(1)請用x表示y；
(2)求該工程隊的總報價的最小值,并求出此時x的值.
18．設函數,．
(1)解關于x的不等式；
(2)當時,不等式恒成立,求a的取值范圍．
19．已知函數.
(1)若關于x的不等式的解集為，求a、b；
(2)當時，
①若關于x的不等式解集為R，求實數a的取值范圍；
②若a、，求的最小值.
20．已知關于x的不等式的解集為或（）.
(1)求a,b的值;
(2)當,,且滿足時,有恒成立,求k的取值范圍.
參考答案
1．答案：C
解析：,
當且僅當,即時,取等號,
所以的最小值為3.
故選：C.
2．答案：B
解析：因為,,,
所以
.因為不等式恒成立,所以,
整理得,解得,即.
3．答案：D
解析：,當且僅當,即,時等號成立,
,即,即最小值為.
故選：D.
4．答案：A
解析：,
當且僅當,即時取等號.
故選：A.
5．答案：A
解析：對于A,函數的圖象是直線上的整數點,故A錯誤,
對于B,命題“,都有”的否定是“,使得”,故B正確,
對于C,當時,,當且僅當時取到最小值4,故C正確,
對于D,若,,則,故充分性成立,
當,取,,不滿足,,故必要性不成立,
因此,是的充分不必要條件,D正確,
故選：A.
6．答案：D
解析：因為，所以，
所以
，
當且僅當，即時取等號，
所以的最小值為25.
故選：D.
7．答案：B
解析：因為,,＝,
所以,
所以.
當且僅當,即時等號成立.
故選：B.
8．答案：A
解析：因為（），所以.
當時，，所以在上單調遞增.
又.
由，
所以.
所以，
當且僅當時等號成立.
故選：A
9．答案：ABD
解析：對于A,“,使得”的否定是“,都有”,故A正確；
對于B,若命題“”為假命題,則無實根,
則,得,則實數m的取值范圍是,故B正確；
對于C,若,則由不能推出,故“”不是“”的充要條件,故C錯誤；
對于D,,
當且僅當,即時等號成立,故的最小值為9,故D正確.
故選：ABD.
10．答案：ACD
解析：A:由解析式知,可得,對;
B:當時,,顯然最小值不為2,錯;
C:由,即函數圖象恒過定點,對;
D:由反比例函數性質知在區間上單調遞減,對.
故選:ACD
11．答案：AD
解析：對于A,因為,,
所以
,
當且僅當時等號成立,
所以的最小值為2,故A正確;
對于B,,當且僅當時等號成立,
所以的最大值為1,故B錯誤;
對于C,,當且僅當時等號成立,
所以,即的最大值為2,故C錯誤;
對于D,,當且僅當時等號成立,
所以的最小值為2,故D正確.
故選:AD.
12．答案：9
解析：由題意得,,
當且僅當,即,時等號成立.
所以的最小值為9.
故答案為：9.
13．答案：4
解析：易知,
當且僅當,即,時取得最小值.
故答案為：4.
14．答案：5
解析：,,
,
當時,等號成立.
所以函數的最小值為5.
故答案為：5.
15．答案：8
解析：由,可得,可得,
當且僅當,即時,等號成立,
又由,當且僅當,即時,等號成立,
綜上所述,當時,取得最小值.
故答案為:8.
16．答案：(1)菜園的長x為,寬y為時,所用籬笆總長最小
(2)
解析：(1)由題意得,,所用籬笆總長為.
因為,
當且僅當時,即,時等號成立.
所以菜園的長x為,寬y為時,所用籬笆總長最小.
(2)由題意得,,
,
當且僅當,即時等號成立,
所以的最小值是.
17．答案：(1)
(2)總報價的最小值為元,并求出此時x的值為9米.
解析：(1)前面墻的長度為米,
總報價,其中.
(2),
當且僅當,即時等號成立,
所以總報價的最小值為元,并求出此時x的值為9米.
18．答案：(1)答案見解析
(2)．
解析：(1),
當時,不等式的解集為,
當時,不等式的解集為,
當時,不等式的解集為．
(2),可得,,
因為,
當且僅當,即時,等號成立,
所以,即.
19．答案：(1)，.
(2)①
②9.
解析：(1)由題意可知-1、2是方程的兩根，
則，
解得，.
(2)當時，則，
可得，則，
則，
①因為關于x的不等式解集為R，
則，
解得，
因此，實數a的取值范圍是；
②因為、，
則，
當且僅當，
即當時，等號成立，
所以當，時，的最小值為9.
20．答案：(1),
(2)
解析：(1)方法一：因為不等式的解集為或,
所以1和b是方程的兩個實數根且,
所以,解得
方法二：因為不等式的解集為或,
所以1和b是方程的兩個實數根且,
由1是的根,有,
將代入,
得或,
;
(2)由(1)知,于是有,
故,
當且僅當時,等號成立,
依題意有,即,
得,
所以k的取值范圍為.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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