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2026屆高考數學一輪復習專題特訓 空間幾何體
一、選擇題
1．如圖，是由斜二測畫法得到的水平放置的的直觀圖，其中，那么原平面圖形中，邊上的高為( )
A. B. C. D.
2．如圖，矩形是用斜二測畫法畫出的水平放置的一個平面四邊形的直觀圖，其中，，那么平面四邊形的面積為( )
A.3 B. C.6 D.
3．“阿基米德多面體”是由邊數不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現了數學的對稱美.如圖，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共可截去八個三棱錐，得到八個面為正三角形，六個面為正方形的“阿基米德多面體”.若該多面體的棱長為，則其體積為( )
A. B.5 C. D.
4．如圖，矩形是用斜二測畫法畫出的水平放置的一個平面四邊形的直觀圖，其中，.則平面四邊形的周長為( )
A.14 B.12 C.10 D.8
5．軸截面為正三角形的圓錐,記其側面積為,體積為,若,則底面半徑為( )
A. B.3cm C. D.1cm
6．下列命題中正確的是( )
A.經過三個點有且只有一個平面
B.以直角三角形的一邊為旋轉軸旋轉一周所得的旋轉體是一個圓錐
C.，是兩個不同平面，n，m是兩條不同直線，若，，則n，m為異面直線
D.m是一條直線，，是兩個不同平面，若，，則
7．如圖，將底面半徑為1高為3的圓錐截去體積為的錐尖，剩余圓臺的側面積為( )
A. B. C. D.
8．有一塊多邊形的菜地,它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形(如圖所示),,,,則這塊菜地的面積為( )
A. B. C. D.
二、多項選擇題
9．用一個平面去截一個三棱柱,可以得到的幾何體是( )
A.四棱臺 B.四棱柱 C.三棱柱 D.三棱錐
10．如圖，圓錐的底面半徑為3，高為，過靠近P的三等分點作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個圓柱，則下列說法正確的是( )
A.圓錐母線與底面所成的角為
B.圓錐的側面積為
C.挖去圓柱的體積為
D.剩下幾何體的表面積為
11．如圖,在三棱錐的平面展開圖中,E,F分別是,的中點,正方形的邊長為2,則在三棱錐中( )
A.的面積為 B.
C.平面平面 D.三棱錐的體積為
三、填空題
12．如圖，矩形是由斜二側畫法得到的水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中，，則原圖形面積為________.
13．在棱長為2的正方體中，E，F分別為，的中點，則三棱錐的體積為____________.
14．如圖，在中，，，，平面，且，，，.則此幾何體的體積為________.
15．已知直四棱柱的棱長均為2，，以為球心，為半徑的球面與側面的交線長為___________.
四、解答題
16．如圖，在高為2的正三棱柱中，，D是棱的中點.
(1)求三棱錐的體積；
(2)設E為棱的中點，F為棱上一點，求的最小值.
17．如圖，圓錐中，、為底面圓的兩條直徑，且，，P為母線的中點.
(1)求圓錐的側面積；
(2)點E在底面圓周的劣弧上，且弧的長為，試判斷直線與平面的位置關系，說明理由.
18．如圖所示,某模型無下底面,有上底面,其外觀是圓柱,底部挖去一個圓錐.已知圓柱與圓錐的底面大小相同,圓柱的底面直徑為,高為,圓錐母線長為.
（1）求該模型的體積;
（2）現要用油漆對500個這種模型進行粉刷,油漆費用為每平方米30元,求總費用.
19．已知三棱柱中，側棱垂直于底面，點D是的中點.
(1)求證：平面；
(2)若底面為邊長為2的正三角形，，求三棱錐體積.
20．在棱長為2的正方體中,E為的中點.
（1）求異面直線與所成角的余弦值;
（2）求三棱錐的體積.
參考答案
1．答案：C
解析：因為，，易知，
過作軸的平行線交軸于M點，則，
由正弦定理可知，則，
由斜二測畫法知原平面圖形中，邊上的高為.
故選：C.
2．答案：D
解析：
設四邊形交y軸與D，
由，則，則，
原圖，且，所以平面四邊形是平行四邊形，
則原圖面積，
故選：D.
3．答案：D
解析：將該多面體放入正方體中，如圖所示：
由于多面體的棱長為，則正方體的棱長為2，
該多面體是由棱長為2的正方體沿各棱中點截去8個三棱錐所得，
所以該多面體的體積為，
故選：D.
4．答案：B
解析：將直觀圖還原得平行四邊形，如下圖，
所以，，
所以平面四邊形為菱形，
其周長為.
故選：B.
5．答案：A
解析：設圓錐的底面半徑為r,因圓錐的軸截面為正三角形,則圓錐的高的長為,母線長為,
由題意,,即,解得.
故選:A.
6．答案：D
解析：經過不共線的三個點有且只有一個平面，A錯；
以直角三角形的一條直角邊為旋轉軸旋轉一周所得的旋轉體是一個圓錐，B錯；
直線n，m可能為異面直線也可能平行，C不一定正確；
由面面平行的性質可知，D正確.
故選D.
7．答案：A
解析：設錐尖的半徑為r，高為h，
則錐尖的體積為，解得.
又因為，所以，.
所以圓臺側面積
.
故選：A
8．答案：C
解析：解:在直觀圖中,過點A作,垂足為點E,則在中,,,
.而四邊形為矩形,,
,
.
由此可還原原圖形如圖所示.在原圖形中,,,,
且,,
這塊菜地的面積為.
故選:C
9．答案：BCD
解析：如圖三棱柱,連接,,則可得平面截三棱柱,得到一個三棱錐,所以D正確,
若用一個平行于平面的平面去截三棱柱,如圖平面,則得到一個三棱柱和一個四棱柱,所以BC正確,
因為四棱臺的上下底面要平行,所以要得到四棱臺,則截面要與三棱柱的上下底面相交,而四棱臺的側棱延長后交與一點,棱柱的側棱是相互平行的,所以用一個平面去截一個三棱柱,不可能得到一個四棱臺,所以A錯誤,
故選：BCD.
10．答案：ACD
解析：
因為圓錐的底面半徑為3，
高為，所以母線長，
則，
即圓錐母線與底面所成的角為，故A正確；
圓錐的側面積，故B錯誤；
因為為的三等分點，
所以，
則圓柱的體積為，故C正確；
圓柱的側面積，
剩下幾何體的表面積，故D正確；
故選：ACD.
11．答案：ABD
解析：
對于A,易知,故A正確;
對于B,連接交于G,根據正方形的性質易知,
所以有,,
又,平面,所以平面,
平面,所以,故B正確;
對于C,由上可知為平面與平面的夾角,
易知,,,則,不垂直,故C錯誤;
對于D,由題意可知PD,PE,PF兩兩垂直,
則,故D正確.
故選:ABD
12．答案：
解析：依題意，矩形的面積，
由原圖形面積是直觀圖面積的，得原圖形面積.
故答案為：
13．答案：1
解析：因為，F為中點，所以，又平面，
所以，故平面，所以，
又
，
，代入①得.
14．答案：96
解析：用“補形法”把原幾何體補成一個直三棱柱，
使，所以.
故答案為：96.
15．答案：
解析：取的中點O，連接，由題設可知是正三角形，所以，
又是直四棱柱，所以面，從而，故面，
所以點O就是截面圓的圓心，且，
故球心到截面的距離為，因為球的半徑，所以截面圓半徑，
設該圓與和分別交于P，Q兩點，
因為，，所以，，
由對稱性可知，所以，
故該球面與側面的交線長為.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)
，
所以；
(2)將側面繞旋轉至與側面共面，如圖所示.
當A，F，E三點共線時，
取得最小值，且最小值為.
17．答案：(1)
(2)平面，理由見解析
解析：（1）底面半徑，母線，.
（2）
由題知，，則根據中位線性質，，
又平面，平面，則平面，
由于，底面圓半徑是2，則，
又，則，于是，
又平面，平面，則平面，
，平面，故平面平面，
又直線平面，則直線平面.
18．答案：（1）
（2）元
解析：（1）
如圖所示,由題可知,,.
所以在中,,
所有該圓柱的體積為,
截去的圓錐的體積為,
故該模型的體積為.
（2）由題可知該圓柱的側面積為,
圓柱的上底面的面積為,
圓錐側面積為,
故該模型的表面積為,
所以油漆的總費用為元.
19．答案：(1)證明見解析
(2)
解析：（1）連接交于點E，連接，
四邊形是矩形，
E為的中點，又D是的中點，
，又平面，平面，
平面；
（2），D是的中點，
，
又平面，平面，
，
，平面，
平面，
則是三棱錐的高，
又，
.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）如圖,正方體中,為的中點,連接交于O,連接,
根據正方體的性質,知道垂直于上下底面,且,則BO,AC,EO兩兩垂直.
則可以為x軸,為y軸,為z軸建立空間直角坐標系.
由于棱長為2,則面對角線為.
因此涉及的關鍵點坐標為,,,,
則,.
則,
則異面直線與所成角的余弦值為的余弦值為.
（2）根據題意,知道,顯然.
由正方體結構特征知,面,則到平面的距離為.
故.
故三棱錐的體積為.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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