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2026屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題特訓(xùn) 空間向量與立體幾何
一、選擇題
1．已知空間直角坐標(biāo)系中的點關(guān)于xOy平面的對稱點為B,則的值為( )
A. B.4 C.6 D.
2．點在空間直角坐標(biāo)系中的位置是在( )
A.y軸上 B.Oxy平面上 C.Ozx平面上 D.Oyz平面上
3．如圖，在三棱錐中，，，.若點M，N分別在棱，上，且，則( )
A. B.
C. D.
4．若向量,,則向量與( )
A.相交 B.垂直 C.平行 D.以上都不對
5．若空間向量，，則( )
A. B. C. D.
6．在正方體中,,M,N分別是棱,的中點,則點到直線的距離為( )
A. B.1 C. D.
7．如圖所示,在平行六面體中,點E為上底面對角線的中點,若,則( )
A., B., C., D.,
8．經(jīng)過，兩點的直線的方向向量為，則m的值為( )
A.8 B. C. D.2
二、多項選擇題
9．在空間直角坐標(biāo)系中,以下結(jié)論正確的是( )
A.點關(guān)于原點O的對稱點的坐標(biāo)為
B.點關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)為
C.點關(guān)于平面對稱的點的坐標(biāo)是
D.兩點,間的距離為3
10．已知,,是空間的三個單位向量,下列說法正確的是( )
A.若,,則
B.若,,兩兩共面,則,,共面
C.對于空間的任意一個向量,總存在實數(shù)x,y,z,使得
D.若是空間的一組基底,則也是空間的一組基底
11．正方體中,E,F分別為,的中點,則( )
A.直線平面
B.
C.異面直線與直線所成角的大小為
D.平面到平面的距離等于
三、填空題
12．如果，是直線l上兩個不同的點，則__________是直線l的一個方向向量.
13．已知點，向量，且，則點B的坐標(biāo)為_________.
14．直線l的一個方向向量為,則直線l的傾斜角為________.
15．已知是直線l的一個方向向量，則l的傾斜角為__________.
四、解答題
16．在中，，，．
(1)求頂點B，C的坐標(biāo)；
(2)求．
17．如圖，在三棱錐中，面面，，為等腰直角三角形，，，E為線段上一動點.
(1)若點E為線段的三等分點（靠近點S），求點B到平面的距離；
(2)線段上是否存在點E（不與點S、點B重合），使得直線與平面的所成角的余弦值為.若存在，請確定E點位置并證明；若不存在，請說明理由.
18．如圖,在正三棱柱中,是棱的中點.
（1）證明:平面;
（2）若,,求直線與平面所成角的正弦值.
19．如圖,在四棱錐中,底面是邊長為4的菱形,,.
（1）求證:;
（2）求的長.
20．如圖所示,在四棱錐中,側(cè)面平面,是邊長為的等邊三角形,底面為直角梯形,其中,,.
（1）求B到平面的距離;
（2）線段上是否存在一點E,使得平面與平面夾角的余弦值為 若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
參考答案
1．答案：C
解析：因為,故點A關(guān)于平面的對稱點為B為,
故,
故選:C.
2．答案：C
解析：因為點的縱坐標(biāo)為0，所以點P在Ozx平面上.
3．答案：C
解析：由，，，
得，
所以，
故選：C.
4．答案：C
解析：因為向量,,且,
所以向量與平行.
故選：C.
5．答案：D
解析：因為，
則，
所以.
故選：D.
6．答案：C
解析：
如圖,以D為原點,,,的方向為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,如下所示:
易知,,,,,;
取,
,
則,
所以點到直線的距離為.
故選:C.
7．答案：C
解析：依題意
,
又,所以,.
故選:C
8．答案：C
解析：由已知，
由題知，解得.
故選：C.
9．答案：ACD
解析：點關(guān)于原點O的對稱點的坐標(biāo)為,A正確;
點關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)為,B錯誤;
點關(guān)于平面對稱的點的坐標(biāo)是,C正確;
兩點,間的距離為,D正確.
故選:ACD
10．答案：AD
解析：,,是空間的三個單位向量,
由,,則,故A正確；
,,兩兩共面,但是,,不一定共面,,,可能兩兩垂直,故B錯誤；
由空間向量基本定理,可知只有當(dāng),,不共面,才能作為基底,才能得到,故C錯誤；
若 是空間的一組基底,則,,不共面,可知也不共面,
所以也是空間的一組基底,故D正確.
故選：AD.
11．答案：AC
解析：A選項,以A為坐標(biāo)原點,AB,AD,所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)正方體棱長為,則,,,,,
則,,
故,
平面的法向量為,
則,
故,又不在平面內(nèi),
故直線平面,A正確;
B選項,,
故與不垂直,B錯誤;
C選項,,,
則,
異面直線與直線所成角的大小為,C正確;
D選項,設(shè)平面的法向量為,
則,
令,則,故,
設(shè)平面的法向量為,
則,
令,則,故,
則平面與平面平行,
故平面到平面的距離等于,
而,D錯誤.
故選:AC
12．答案：
解析：
13．答案：
解析：設(shè)，
則，
即，，
故答案為：.
14．答案：
解析：因為直線l的一個方向向量為,所以直線l的斜率為,
設(shè)直線l的傾斜角為,則,
所以,則,
故答案為:.
15．答案：
解析：依題意，直線l的斜率，其傾斜角為.
故答案為：.
16．答案：(1),
(2)
解析：(1)設(shè),
,
,
.
設(shè),
,
,
.
(2)，
.
17．答案：(1)
(2)點E為線段的三等分點（靠近點S）或點E為線段的十五等分點（靠近點S）.
解析：(1)取中點O，為等腰直角三角形，則，
面面，面面，
面，所以面，
以點O為原點，OA為x軸，平面內(nèi)過O點垂直于AB的直線為y軸，
OS為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
由，，
為等腰直角三角形，，
得，，，.
點E為線段的三等分點（靠近點S），
有，，
，，
設(shè)面的一個法向量為，
則有，
令，則，，得
所以點B到平面的距離為
.
(2)點E為線段的三等分點（靠近點S）
或點E為線段的十五等分點（靠近點S）.
理由如下：
點E是線段上的點，
設(shè)，
得，
，
設(shè)面的一個法向量為，
，，
，
取，則，，
得，
設(shè)直線與平面的夾角為，
由，得，
則
.
兩邊同時平方，化簡可得，
解得，.
所以點E為線段的三等分點（靠近點S）
或點E為線段的十五等分點（靠近點S）.
18．答案：（1）證明見解析
（2）
解析：（1）連接,與相交于點N,連接,如下圖:
因為四邊形為矩形,故N為的中點.
又D為的中點,故,
又平面,平面,
所以平面
（2）取的中點,連接,則,
由于平面,故平面,
故以D為坐標(biāo)原點,DA,DB,DM所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如下圖所示:
因為,,
所以,,,,,
設(shè)平面的法向量為,
則,
解得,令得,故,
又
設(shè)直線與平面所成的角為,
所以,
故直線與平面所成角正弦值為.
19．答案：（1）證明見解析
（2）
解析：（1）證明:設(shè),,,則構(gòu)成空間的一個基底,
,
,
所以
,
所以.
（2）由（1）知,
所以
.
所以.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）取的中點O,連接,,
為等邊三角形,
,
又平面平面,平面平面,
平面,
如圖所示,以O(shè)為坐標(biāo)原點,直線,,分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,,
,,
設(shè)平面的法向量為,
,,即,令,則,
又,
故B到平面的距離;
（2）設(shè),,,
,
則,,
設(shè)平面的法向量為,
,,則,令,則,
又平面的法向量為,
于是,
化簡得,又,得,
即,
故存在點E,此時.
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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