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2026屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題特訓(xùn) 平面向量的數(shù)量積
一、選擇題
1．已知向量,.若,則實數(shù)的值為( )
A. B. C. D.2
2．已知，為單位向量，且，則與的夾角為( )
A. B. C. D.
3．已知向量,滿足,,,則在方向上的投影向量是( )
A. B. C. D.
4．已知空間向量,,則向量在向量上的投影向量是( )
A. B. C. D.
5．已知向量,,則( )
A.12 B. C.17 D.
6．已知，若與的夾角為，則在上的投影向量為( )
A. B. C. D.
7．已知向量，.若向量在向量上的投影向量為，則( )
A. B. C.1 D.
8．設(shè)向量，，且，則向量與的夾角為( )
A. B. C. D.
二、多項選擇題
9．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則( )
A.
B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
C.在上單調(diào)遞減
D.把的圖像向左平移個單位，所得圖像對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)
10．設(shè)向量，，則下列敘述正確的是( )
A.若，
B.與垂直的單位向量只能為，
C.若，則與的夾角為
D.若，向量在向量上的投影向量為
11．已知向量,,其中,下列說法正確的是( )
A.若,則 B.若,則
C.若與的夾角為鈍角,則 D.若,向量在方向上的投影為
三、填空題
12．已知向量，向量，則的值是________.
13．已知向量,的夾角為,且,,則在方向上的投影向量為________.
14．已知向量,,若與垂直,則____________.
15．若平面向量，，兩兩夾角相等且，，，寫出的一個可能值為__________.
四、解答題
16．已知向量，.
(1)求的坐標(biāo)；
(2)求；
(3)若，且，求實數(shù)的值.
17．已知雙曲線,,為雙曲線的左、右焦點(diǎn).
（1）求該雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率與漸近線方程;
（2）設(shè)點(diǎn)是上第一象限內(nèi)的點(diǎn),,求x的值.
18．已知向量，.
(1)若，求x的值；
(2)若，求向量與夾角的余弦值.
19．已知平面向量，滿足，，.
(1)求向量，夾角的大小；
(2)求的值；
(3)求向量與夾角的余弦值.
20．已知，，與的夾角為.
(1)求；
(2)若向量與相互垂直，求實數(shù)k的值.
參考答案
1．答案：D
解析：因為,所以.
故選:D
2．答案：B
解析：因為，所以，所以，
又因為，為單位向量，所以，所以，
又因為，所以.
故選：B.
3．答案：D
解析：因為向量,滿足,,,
所以,解得,
所以在方向上的投影向量是,
故選:D.
4．答案：D
解析：由已知可得,
所以向量在向量上的投影向量是.
故選:D.
5．答案：C
解析：因為,,所以,
所以,
故選:C
6．答案：B
解析：因為，與的夾角為，
所以，
則，
所以在上的投影向量為．
故選：B.
7．答案：B
解析：因為向量，，所以.
所以向量在向量上的投影向量為：.
所以，解得.
故選：B
8．答案：D
解析：因為向量，，
且，則，解得，
所以，，所以，，
設(shè)向量與的夾角為，
則，
因為，故．
故選：D．
9．答案：AC
解析：由圖象可得，設(shè)函數(shù)的周小正周期為T，
由圖象可得，所以，
由，故A選項正確；
因為，
所以，即
又，所以當(dāng)，所以函數(shù)，
令，即
令，
故函數(shù)的圖象不關(guān)于點(diǎn)對稱，故B選項不正確；
因為，所以，
由在單調(diào)遞減，所以C選項正確；
的圖像向左平移個單位后得到：
，
由的定義域為R關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，
所以的圖像向左平移個單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，
故D選項不正確；
故選：AC.
10．答案：ACD
解析：對A：當(dāng)時，，，，所以，故A正確；
對B：與垂直的單位向量可以是，也可以是，故B錯誤；
對C：若，則，所以與的夾角的余弦為：，
又，所以，故C正確；
對D：若，向量在向量上的投影向量為：，故D正確.
故選：ACD
11．答案：ABD
解析：對于A選項,若,則,解得,A對;
對于B選項,若,則,
所以,,B對;
對于C選項,若與的夾角為鈍角,則,可得,
且與不共線,則,故當(dāng)與的夾角為鈍角,則且,C錯;
對于D選項,若,則,所以,向量在方向上的投影為,D對.
故選:ABD.
12．答案：
解析：由，，可得，
則.
故答案為：.
13．答案：
解析：因為,,與的夾角為,所以,
故在方向上的投影向量為.
故答案為:.
14．答案：
解析：由題設(shè),又與垂直,
所以,可得.
所以
故答案為:
15．答案：9（或，答案不唯一）
解析：當(dāng)，，夾角均為0時，；
當(dāng)，，兩兩夾角均為時，
，
此時.
故答案為：9（或，答案不唯一）
16．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)；
(2)；
(3)已知，
因為，
即，
所以.
17．答案：（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)為,;焦點(diǎn)坐標(biāo),;離心率為;漸近線方程
（2）
解析：（1）由題意得,
可得,,,
故頂點(diǎn)坐標(biāo)為,,焦點(diǎn)坐標(biāo),,
離心率為,漸近線為;
（2）設(shè),則,
點(diǎn)Q在第一象限,,且,,
,
解得,
.
18．答案：(1)
(2)
解析：（1）因為，，所以，
又，所以，解得；
（2）因為，
所以，解得，，所以，
所以，
即向量與夾角的余弦值為.
19．答案：(1)
(2)
(3)
解析：（1）平面向量，滿足，，.
所以，
解得，可得向量，夾角的大小為.
（2），
所以.
（3），
因為，由（2）可得，
設(shè)向量與的夾角為，所以.
20．答案：(1)2
(2)
解析：(1)根據(jù)題意，，
又.
(2)根據(jù)題意，，
即，，解得.
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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