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2026屆高考數學一輪復習專題特訓 平面向量的應用舉例
一、選擇題
1．已知在中，，，且，則的形狀為( ).
A.鈍角三角形 B.直角三角形 C.銳角三角形 D.等腰直角三角形
2．一物體在力的作用下,由點移動到點,若,則對物體所做的功為( )
A. B.11 C. D.1
3．已知,,,則為( )
A. B. C. D.
4．已知是邊長為2的等邊三角形,P為平面ABC內一點,則的最小值是( )
A. B. C. D.
5．在直角梯形中，已知，,點F是邊的中點，點E是邊上一個動點．則的取值范圍是( )
A． B． C． D．
6．如圖，在平行四邊形中，，，，若M、N分別是邊、上的點，且滿足，其中，則的取值范圍是
A. B. C. D.
7．在中,,,,D為的中點,則( )
A. B. C. D.16
8．已知O為的外接圓圓心，，，則的最大值為( )
A.2 B. C.1 D.
二、多項選擇題
9．已知平面向量，，，則下列說法錯誤的是( )
A.若，則 B.若，則
C.若，則 D.且，則或
10．已知平面向量，，若是直角三角形，則k的可能取值是( )
A.-2 B.2 C.5 D.7
11．無人機的飛行速度向量、風速向量會影響其實際飛行軌跡.無人機不受風影響時的飛行速度對應的向量稱為空速向量,實際觀測到的飛行速度對應的向量稱為地速向量,其為空速向量與風速向量之和.無人機搭載的設備可監測線路缺陷,當無人機相對線路的橫向偏移量（垂直線路方向的向量分量）超過2m/s或縱向偏移量（沿線路方向的向量分量,其標準值為4m/s）超過標準值1m/s時,需調整飛行姿態.已知某區域風速穩定,某次無人機計劃沿x軸正方向為線路巡檢時,空速向量為（單位:m/s）,風速向量為（單位:m/s）,則( )
A.地速大小為5m/s B.地速向量的方向與空速向量方向相同
C.縱向偏移量與標準值無偏差 D.該無人機需要調整飛行姿態
三、填空題
12．已知G為的重心,且,則=____________.
13．如圖.已知矩形中，，，M，N分別是，的中點，則_________.
14．已知平面直角坐標系中有三個定點，，，動點P滿足.若，則點P的橫坐標的取值范圍是________.
15．已知A，B，C三點在單位圓上運動，且，則的取值范圍為_________.
四、解答題
16．用向量方法證明：菱形對角線互相垂直.已知四邊形ABCD是菱形，AC，BD是其對角線.求證：.
17．已知平面向量,.
(1)若,且,求的坐標;
(2)若與的夾角為銳角.求實數的取值范圍.
18．已知點,,,求：
(1)的值;
(2)的大小;
(3)點A到直線BC的距離.
19．如圖,在中,已知,,,M,N分別為,上的兩點,,,相交于點P.
（1）求的值;
（2）求證:.
20．已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，有余弦定理：
，
，
.
(1)在上面三個等式中，任選一個等式進行證明；
(2)若，，，求的面積.
參考答案
1．答案：A
解析：∵，∴
∴，故是鈍角三角形.
答案為：A
2．答案：A
解析：由題意可得,
又因為,所以對物體所做的功為.
故選:A.
3．答案：A
解析：因為,
所以
故選：A.
4．答案：B
解析：以中點O為坐標原點,以,為正方向為x,y軸,建立如圖所示的直角坐標系,
設,則,,
故
,當,時取到等號,
故選:B
5．答案：D
解析:
如圖，以點A為原點，分別以所在直線為x,y軸，建立平面直角坐標系，
依題意，有,,,
設，則，
且，
由，
因，故.
故選：D.
6．答案：C
解析：因為,
所以,，
所以
.
當時,取得最大值5;
當時,取得最小值2,
的取值范圍是.
本題選擇C選項.
7．答案：B
解析：由D為的中點,得,
又,
則.
故選:B.
8．答案：D
解析：如圖所示，因為O為的外接圓圓心，，，
所以，且，
所以
，
所以當反向共線時，取到最大值.
故選：D
9．答案：ABC
解析：平面向量，，，，
則，解得或，故A錯誤
若，，則，得，故B錯誤
若，，則，得，故C錯誤
由，可得或，故D正確．
故選ABC．
10．答案：BD
解析：，
當A為直角時，，.
當B為直角時，，此方程無解.
當C為直角時，，.
故選：BD.
11．答案：ACD
解析：設空速向量為,風速向量為,地速向量為,則,,
所以,所以,
所以地速大小為,故A正確;
由可知地速向量的方向與空速向量方向不相同,故B錯誤;
由于縱向偏移量為,與標準值無偏差,故C正確;
由于無人機計劃沿x軸正方向為線路巡檢時,而地速向量為,
所以需要調整飛行姿態,故D正確.
故選:ACD.
12．答案：
解析：如圖所示,取BC中點M,連接AM,則三角形中線向量公式得,
又因為G為的重心,故,因此,故.
故答案為：.
13．答案：-6
解析：依題意，
，
所以
.
故答案為：-6
14．答案：
解析：根據題意得，動點P的軌跡是以，為焦點的橢圓，
設橢圓方程為，則，所以，
又，所以，
所以橢圓方程為.
設點，則，
因為，
所以，解得，
又點P在橢圓上，所以.
15．答案：
解析：設的中點為E，因為，
，所以，，
，
因為，
所以.
故答案為：
16．答案：證明見解析
解析：證明：設，.
因為四邊形ABCD為菱形，所以，
又
則，故.
所以.
17．答案：(1)或
(2)
解析：(1)設,,
因為,所以,因為,所以,
解得或,所以或;
(2),,
因為與的夾角為銳角,所以,,
解得且,即.
18．答案：(1)20
(2)
(3)
解析：(1)依題意,得,
,
;
(2)因為,
又,所以;
(3)點A到直線BC的距離為
.
19．答案：（1）
（2）證明見解析
解析：（1）因為,
所以,
所以,
所以;
（2）因為,
所以,
所以,
所以,即,所以.
20．答案：(1)證明見解析
(2)
解析:(1)如圖，在中，設，，，則，
所以，即.
同理可得，.
(2)由及正弦定理得，所以，
由余弦定理得，
聯立方程組整理，得，所以或（舍去）.
所以.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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