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2026屆高考數學一輪復習專題特訓 平面向量基本定理及坐標表示
一、選擇題
1．已知是空間的一組基底，則下列各項中能構成基底的一組向量是( )
A.a，， B.b，，
C.c，， D.，，
2．如圖，在中，，則( )
A. B. C. D.
3．在下面的四組向量中，能作為一組基底的是( )
A.， B.，
C.， D.，
4．在平行四邊形中，E為的中點，，與交于點G，若，，則( )
A. B. C. D.
5．已知向量,,則下列結論不正確的是( )
A. B.
C. D.在方向上的投影向量為
6．已知點，，.則在上的投影向量為( )
A. B. C. D.
7．在中,O為其內部一點,且滿足,則和的面積比是( )
A. B. C.1:1 D.1:3
8．在中，，，，.若，則的值為( )
A. B. C. D.
二、多項選擇題
9．已知向量，，則下列結論正確的是( )
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
10．在等腰中，，，記，，點D，E分別是線段，的中點，且點P是線段（包括端點）上的一個動點，，則下列說法正確的是( )
A.點P運動到E點處時，
B.點P運動到線段中點處時，
C.的最小值為
D.的最大值為8
11．已知向量,,下列說法正確的有( )
A.若,則 B.若,則與夾角的正弦值為
C.若,則 D.若,則或16
三、填空題
12．已知向量，，且，則實數m的值為________.
13．已知，.若，則__________.
14．如圖,在中,,D是上的一點,P為上一點,且,若,,則的值為________.
15．在中，，，D為線段AB靠近點A的三等分點，E為線段CD的中點，若，則的最大值為________.
四、解答題
16．已知，.
(1)求向量的坐標；
(2)設向量，的夾角為，求的值；
(3)若向量與互相垂直，求k的值.
17．如圖，在中，點D是的中點，，設，.
(1)用，表示，；
(2)若，，，求.
18．已知向量，.
（1）若，求；
（2）若向量，，求與夾角的余弦值.
19．在平面直角坐標系中，點，，.
(1)若A，B，C三點共線，求實數m的值；
(2)若A，B，C三點構成銳角三角形，求實數m的取值范圍.
20．已知向量，，．
(1)求向量與所成角的余弦值；
(2)若，求實數k的值．
參考答案
1．答案：C
解析：A項，，所以a，，共面，不能構成基底，故A項錯誤；
B項，，所以b，，共面，不能構成基底，故B項錯誤；
C項，和都沒有c，所以c不能用它們表示，故c，，不共面，能構成基底，故C項正確；
D項，假設，
則，所以，
解得：，，從而能用和表示，它們共面，故D項錯誤.
2．答案：D
解析：由，可得，
所以.
故選：D.
3．答案：A
解析：對于A，因為，
，不共線，故A正確；
對于B，因為，則，共線，故B錯誤；
對于C，因為，則，共線，故C錯誤；
對于D，因為，則，共線，故D錯誤.
故選：A.
4．答案：B
解析：因為G在上，E為的中點，
設
，
因為A，G，F三點共線，
所以，
因為、不共線，
所以，
解得，
所以.
故選：B.
5．答案：C
解析：對于A,因為,,所以,所以,故A正確；
對于B,因為,,所以,,
所以,故B正確；
對于C,因為,,所以,所以,故C錯誤；
對于D,因為,,所以,,
在方向上的投影向量為,故D正確.
故選：C.
6．答案：C
解析：因為，，.
所以，，
，
所以向量與的夾角為鈍角，
因此量在上的投影向量與方向相反，
而，，
所以在上的投影向量為，
故選：C
7．答案：D
解析：取中點M,則由得,所以,O在線段上,因此,選D.
8．答案：C
解析：因為，所以D為的中點，所以.
又，所以，所以，
所以，
所以，，所以.
故選：C
9．答案：BC
解析:由，得，解得，故A錯誤；
由，得，解得，故B正確；
由，得，解得，故C正確；
由，得，解得，故D錯誤．
故選：BC.
10．答案：ACD
解析：在等腰中，，，
則，
設（），以E為原點，以、分別為x軸、y軸，建立如圖所示平面直角坐標系，
則，，，，
由點D是線段的中點，可得到，
又，所以.
對于A：當P運動到E點處時，由點E是線段的中點，
可得，，故A正確；
對于B：點P運動到線段中點處時，
，
，此時，，，故B錯誤；
對于C：由，可得
，
當時，取到最小值，故C正確；
對于D：由，，，
可得，，
所以
，在上單調遞增，
所以當時，取到最大值8，故D正確.
故選：ACD
11．答案：BD
解析：對A,因為.所以.解得,A錯誤;
對B,若,則,,,則,B正確;
對C,因為.所以,解得,C錯誤;
對D,因為,所以,解得或16,D正確.
故選:BD.
12．答案：
解析：因為，，且，則，解得.
故答案為：
13．答案：2
解析：因為，，，所以，解得，故，，所以，所以.
14．答案：
解析：因為P,C,D三點共線,且,所以,所以,所以,
所以,
又,,,所以.
故答案為:
15．答案：
解析：記，，，
又由余弦定理得，
即，
，
由基本不等式得，，
當且僅當時等號成立，
由題意，
，
，
當且僅當時取等號，
所以的最大值為．
故答案為：．
16．答案：(1)
(2)
(3)1
解析：（1）由，可得，，
即向量的坐標為：；
（2）因，，，
則；
（3）依題意，，即，解得.
17．答案：(1)，
(2)
解析：（1）點D是的中點，，
故，
；
（2）由（1）知，，
.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）因為，，
所以，.
由，可得，即，
解得，所以，故.
（2）因為向量，，所以，所以.
則，，
所以，
所以與夾角的余弦值為.
19．答案：(1)
(2)
解析：（1）因為，，，
所以，，，，
因為A，B，C三點共線，所以，解得.
（2）若A，B，C三點構成銳角三角形，則A，B，C三點不可能共線，
且滿足，，，
由上問得，，，，
則，，
，得到，解得，
因為A，B，C三點不可能共線，所以，綜上可得.
20．答案：(1)
(2)
解析：(1)因，，所以．
設向量與所成角為，
．
(2)∵，，
又，
∴，解得．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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