資源簡介

2025年下期永州市冠一高級中學高三開學考試
數學
選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1，已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
2．復數在復平面內對應的點在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3．下列函數在區間(－∞，0)上為增函數的是(　　)
A. y＝1 B. y＝－ ＋2 C. y＝－x2－2x－1 D. y＝1＋x2
4，如果角的終邊過點，那么等于（ ）
A． B． C． D．
5，棱長為3的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F滿足=2=2則點E到直線FC1的距離為(　　)
A. B.
C. D.
6，已知數列{an}滿足a1=t，an+1-2an=-n+1，若{an}是遞減數列，則實數t的取值范圍為(　　)
A.(-1，1) B.(-∞，0)
C.(-1，1] D.(1，+∞)
7，若e2a-eb>4a2-b2+1，則(　　)
A.4a2>b2 B.4a2C.> D.<
8．已知函數及其導函數的定義域均為，記．若的圖象關于點對稱，且，則下列結論一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9．下列各對事件中,為相互獨立事件的是( )
A．擲一枚骰子一次,事件M“出現偶數點”;事件N“出現3點或6點”
B．袋中有3白 2黑共5個大小相同的小球,依次有放回地摸兩球,事件M“第一次摸到白球”,事件N“第二次摸到白球”
C．袋中有3白 2黑共5個大小相同的小球,依次不放同地摸兩球,事件M“第一次摸到白球”,事件N“第二次摸到黑球”
D．甲組3名男生,2名女生;乙組2名男生,3名女生,現從甲 乙兩組中各選1名同學參加演講比賽,事件M“從甲組中選出1名男生”,事件N“從乙組中選出1名女生”
10．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為DB的中點，直線A1C交平面C1BD于點M，則下列結論正確的是（ ）
A．C1，M，O三點共線
B．C1，M，O，C四點共面
C．C1，O，A，M四點共面
D．D1，D，O，M四點共面
11．已知菱形的邊長為2，．將沿著對角線折起至，連結．設二面角的大小為，則下列說法正確的是（ ）
A. 若四面體為正四面體，則
B. 四面體的體積最大值為1
C. 四面體的表面積最大值為
D. 當時，四面體的外接球的半徑為
填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．已知集合，若，則的取值范圍是__________.
13，二項式的展開式中的常數項是_______.（用數字作答）
14.若圓C與拋物線在公共點B處有相同的切線，且C與y軸切于的焦點A，則_________．
四，解答題：本題共5個小題，共77分。
15，已知兩個等差數列、，其中，，，記前項和為，．
（1）求數列與的通項公式；
（2）記，設，求．
16，如圖所示，四棱錐中，底面為平行四邊形，、分別為、的中點，、交于點.
（1）求證：平面平面；
（2）求三棱錐與四棱錐的體積之比.
17，已知橢圓C：的焦距為，短半軸的長為2，過點P(－2,1)且斜率為1的直線l與橢圓C交于A，B兩點．
(1)求橢圓C的方程；
(2)求弦AB的長．
18，國家發改委、城鄉住房建設部于2017年聯合發布了《城市生活垃圾分類制度實施方案》，規定某46個大中城市在2020年底實施生活垃圾強制分類，并且垃圾回收、利用率要達標．某市在實施垃圾分類的過程中，從本市人口數量在兩萬人左右的類社區（全市共320個）中隨機抽取了50個進行調查，統計這50個社區某天產生的垃圾量（單位：噸），得到如下頻數分布表，并將這一天垃圾數量超過28噸的社區定為“超標”社區．
垃圾量
頻數 5 6 9 12 8 6 4
（1）估計該市類社區這一天垃圾量的平均值；
（2）若該市類社區這一天的垃圾量大致服從正態分布，其中近似為50個樣本社區的平均值（精確到0.1噸），估計該市類社區中“超標”社區的個數；
（3）根據原始樣本數據，在抽取的50個社區中，這一天共有8個“超標”社區，市政府決定從這8個“超標”社區中任選5個跟蹤調查其垃圾來源．設這一天垃圾量不小于30.5噸的社區個數為，求的分布列和數學期望．
附：若服從正態分布，則；；．
19，已知函數.
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）求函數的單調區間；
（3）若對任意的，都有成立，求a的取值范圍.
答案
一，選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1，已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，
又，所以，故本題選C.
2．復數在復平面內對應的點在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】因為，又，
所以復數在復平面內對應的點為，位于第三象限.
故選：C
3．下列函數在區間(－∞，0)上為增函數的是(　　)
A. y＝1 B. y＝－ ＋2 C. y＝－x2－2x－1 D. y＝1＋x2
【答案】B
【解析】y=1 在區間（－∞,0）上不增不減; y=－+2在區間（－∞,0）上單調遞增; y=－x2－2x－1在區間（－∞,0）上有增有減; y=1+x2在區間（－∞,0）上單調遞減;所以選B.
4，如果角的終邊過點，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意得，它與原點的距離為2，∴.故選：C.
5，棱長為3的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F滿足=2=2則點E到直線FC1的距離為(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　如圖，建立空間直角坐標系，根據條件可得E(0，0，1)，F(3，3，2)，C1(0，3，3)，
=(3，3，1)=(-3，0，1)，則點E到直線FC1的距離d== .
6，已知數列{an}滿足a1=t，an+1-2an=-n+1，若{an}是遞減數列，則實數t的取值范圍為(　　)
A.(-1，1) B.(-∞，0)
C.(-1，1] D.(1，+∞)
答案　B
解析　將an+1-2an=-n+1整理得an+1-(n+1)=2(an-n)，
又a1-1=t-1，易知當t=1時，a1=1，a2=2，不滿足{an}是遞減數列，故t≠1，
因此數列{an-n}是以t-1為首項，2為公比的等比數列，
故an-n=(t-1)2n-1，
因此an=n+(t-1)2n-1，
由于{an}是遞減數列，故an+1得n+1+(t-1)2n化簡得(1-t)2n-1>1，故1-t>，
因此1-t>=1，解得t<0.
7，若e2a-eb>4a2-b2+1，則(　　)
A.4a2>b2 B.4a2C.> D.<
答案　D
解析　因為e2a-eb>4a2-b2+1，
所以e2a-4a2>eb-b2+1，
又eb-b2+1>eb-b2，
所以e2a-4a2>eb-b2，
令函數f(x)=ex-x2，求導得f'(x)=ex-2x，
令g(x)=ex-2x，求導得g'(x)=ex-2，
當xln 2時，g'(x)>0，函數g(x)在(-∞，ln 2)上單調遞減，在(ln 2，+∞)上單調遞增，
g(x)min=g(ln 2)=eln 2-2ln 2=2(1-ln 2)>0，即f'(x)>0，因此函數f(x)在R上單調遞增，
原不等式等價于f(2a)>f(b)，于是2a>b，
對于A，B，取2a=1，b=-1，有4a2=b2，A，B錯誤；
對于C，D<
即8．已知函數及其導函數的定義域均為，記．若的圖象關于點對稱，且，則下列結論一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因為的圖象關于點對稱，所以的圖象關于原點對稱，即函數為奇函數，則，又，
所以，所以，
所以，所以，
所以，即，所以3是的一個周期.
因為，故C正確；
取符合題意的函數，則
所以，又，故2不是的一個周期，所以，故B不正確；
因為不是函數的最值，所以函數的圖象不關于直線對稱，
所以，故A不正確；
因為，故D不正確；
故選：C.
二，選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9．下列各對事件中,為相互獨立事件的是( )
A．擲一枚骰子一次,事件M“出現偶數點”;事件N“出現3點或6點”
B．袋中有3白 2黑共5個大小相同的小球,依次有放回地摸兩球,事件M“第一次摸到白球”,事件N“第二次摸到白球”
C．袋中有3白 2黑共5個大小相同的小球,依次不放同地摸兩球,事件M“第一次摸到白球”,事件N“第二次摸到黑球”
D．甲組3名男生,2名女生;乙組2名男生,3名女生,現從甲 乙兩組中各選1名同學參加演講比賽,事件M“從甲組中選出1名男生”,事件N“從乙組中選出1名女生”
【答案】ABD
【解析】在A中，樣本空間，事件，事件，事件，
∴，，，
即，故事件M與N相互獨立，A正確.
在B中，根據事件的特點易知，事件M是否發生對事件發生的概率沒有影響，故M與N是相互獨立事件，B正確；
在C中，由于第1次摸到球不放回，因此會對第2次摸到球的概率產生影響，因此不是相互獨立事件，C錯誤；
在D中，從甲組中選出1名男生與從乙組中選出1名女生這兩個事件的發生沒有影響，所以它們是相互獨立事件，D正確.
故選：ABD.
10．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為DB的中點，直線A1C交平面C1BD于點M，則下列結論正確的是（ ）
A．C1，M，O三點共線
B．C1，M，O，C四點共面
C．C1，O，A，M四點共面
D．D1，D，O，M四點共面
【答案】ABC
【解析】在題圖中，連接A1C1，AC，則AC∩BD＝O，
又A1C∩平面C1BD＝M.
∴三點C1，M，O在平面C1BD與平面ACC1A1的交線上，即C1，M，O三點共線，
∴A，B，C均正確，D不正確.故選：ABC
11．已知菱形的邊長為2，．將沿著對角線折起至，連結．設二面角的大小為，則下列說法正確的是（ ）
A. 若四面體為正四面體，則
B. 四面體的體積最大值為1
C. 四面體的表面積最大值為
D. 當時，四面體的外接球的半徑為
【答案】BCD
【解析】如圖，取中點，連接，則，，為二面角的平面角，即．
若是正四面體，則，不是正三角形，，A錯；
四面體的體積最大時，平面，此時到平面的距離最大為，而，所以，B正確；
，
易得，，
未折疊時，折疊到重合時，，中間存在一個位置，使得，則，，此時取得最大值2，
所以四面體的表面積最大值為，C正確；
當時，如圖，設分別是和的外心，在平面內作，作，，則是三棱錐外接球的球心，
由上面證明過程知平面與平面、平面垂直，即四點共面，
，則，，，
為球半徑，D正確．
故選：BCD．
三，填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．已知集合，若，則的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】由，得,解得，
所以.
因為，
所以或，解得或，
所以的取值范圍是.
故答案為：.
13，二項式的展開式中的常數項是_______.（用數字作答）
【答案】60
【解析】有題意可得，二項式展開式的通項為：
令可得 ，此時.
14.若圓C與拋物線在公共點B處有相同的切線，且C與y軸切于的焦點A，則_________．
【答案】
【解析】拋物線的焦點為，準線l為，依題意不妨令C在第一象限，，
則圓C的半徑，設，則圓C的方程為，
由，則，所以拋物線在點B處的切線m的斜率，
因為圓C與拋物線在公共點B處有相同的切線，所以直線CB與m垂直，
所以，則①，
又點B在圓C上，所以，則②，
所以，整理可得，解得，或（舍去），
所以，所以，
所以．
故答案為：,
四，解答題：本題共5個小題，共77分。
15，已知兩個等差數列、，其中，，，記前項和為，．
（1）求數列與的通項公式；
（2）記，設，求．
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1），當時，，
滿足，.
設等差數列的公差為，則，
；
（2）由（1）知，，．
當時，；
當時，．
綜上所述，.
16，如圖所示，四棱錐中，底面為平行四邊形，、分別為、的中點，、交于點.
（1）求證：平面平面；
（2）求三棱錐與四棱錐的體積之比.
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】（1）∵四邊形為平行四邊形，、為、的中點，、交于點，
∴，
又∵平面，平面，
∴平面，
又是的中位線，∴，
又平面，平面，
∴平面，
∵平面，平面，，
∴平面平面.
（2）∵、、為、、的中點，
∴，，
∴，
又，∴.
17，已知橢圓C：的焦距為，短半軸的長為2，過點P(－2,1)且斜率為1的直線l與橢圓C交于A，B兩點．
(1)求橢圓C的方程；
(2)求弦AB的長．
【答案】（1）；（2）.
【解析】(1)已知橢圓焦距為，短半軸的長為2，即2c=4，b=2，
結合a2=b2+c2，解得a= ，b=2，c=2
故C：.
(2)已知直線l過點P(－2,1)且斜率為1，故直線方程為y-1=x+2，整理得y=x+3，
直線方程與橢圓方程聯立
得. 設，．
∴
∴
18，國家發改委、城鄉住房建設部于2017年聯合發布了《城市生活垃圾分類制度實施方案》，規定某46個大中城市在2020年底實施生活垃圾強制分類，并且垃圾回收、利用率要達標．某市在實施垃圾分類的過程中，從本市人口數量在兩萬人左右的類社區（全市共320個）中隨機抽取了50個進行調查，統計這50個社區某天產生的垃圾量（單位：噸），得到如下頻數分布表，并將這一天垃圾數量超過28噸的社區定為“超標”社區．
垃圾量
頻數 5 6 9 12 8 6 4
（1）估計該市類社區這一天垃圾量的平均值；
（2）若該市類社區這一天的垃圾量大致服從正態分布，其中近似為50個樣本社區的平均值（精確到0.1噸），估計該市類社區中“超標”社區的個數；
（3）根據原始樣本數據，在抽取的50個社區中，這一天共有8個“超標”社區，市政府決定從這8個“超標”社區中任選5個跟蹤調查其垃圾來源．設這一天垃圾量不小于30.5噸的社區個數為，求的分布列和數學期望．
附：若服從正態分布，則；；．
【答案】（1）22.76噸；（2）51個；（3）分布列見解析，.
【解析】
（1）樣本數據各組的中點值分別為14，17，20，23，26，29，32，則
.
估計該市類社區這一天垃圾量的平均值約為22.76噸.
（2）據題意，，，即，則.
因為，估計該市類社區中“超標”社區約51個.
（3）由頻數分布表知，8個社區中這一天的垃圾量不小于30.5噸的“超標”社區有4個，則垃圾量在內的“超標”社區也有4個，則的可能取值為1，2，3，4.
，，，.
則的分布列為：
1 2 3 4
所以.
19，已知函數.
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）求函數的單調區間；
（3）若對任意的，都有成立，求a的取值范圍.
【答案】（1）；（2）答案見解析；（3）.
【解析】（1）時，，， ，
曲線在點處的切線方程
（2）
①當時，恒成立，函數的遞增區間為
②當時，令，解得或
x
- +
減 增
所以函數的遞增區間為，遞減區間為
（3）對任意的，使成立，只需任意的，
①當時，在上是增函數，所以只需
而 所以滿足題意；
②當時，，在上是增函數，
所以只需 而 所以滿足題意；
③當時，，在上是減函數，上是增函數，
所以只需即可 而 從而不滿足題意；
綜合①②③實數的取值范圍為.

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