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高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)
第四章 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù) 4.3 對(duì)數(shù)
一、單選題
1.（2025廣東廣州期中）已知，則的值為（ ）
A. 3或4
B. 4或5
C. 3
D. 4
2.（2025安徽蚌埠第二中學(xué)期中）若且，則（ ）
A.
B.
C.
D.
3.（2024江蘇連云港高中期中）已知，則（ ）
A. -2
B. 0
C. 2
D. 4
4.下列各等式成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
5.（2025四川攀枝花七中月考）已知，，則（ ）
A. 9
B. 3
C.
D.
6.方程的根為（ ）
A. -3
B. 3
C. -1或3
D. 1或-3
二、多選題
7.下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化正確的是（ ）
A. 與
B. 與
C. 與
D. 與
8.（2025河南南陽(yáng)方城月考）若，，，則下列計(jì)算正確的是（ ）
A.
B.
C.
D.
9.（2025福建三明一中質(zhì)量檢測(cè)）設(shè)，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.
B.
C.
D.
三、填空題
10.（2025天津西青期中）已知，則________。
11.方程的解是________。
12.（2025遼寧大連第二十四中學(xué)期中）已知，則是________位數(shù)。
四、解答題
13.計(jì)算下列各式：
(1) ；
(2) ；
(3) 。
14.(1) 已知，，試用，表示；
(2) 計(jì)算：。
15.解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) 。
一、單選題
1.答案：D
解析：根據(jù)對(duì)數(shù)定義，需滿(mǎn)足三個(gè)條件：
對(duì)數(shù)為0時(shí)，真數(shù)=1：，即，解得或；
底數(shù)>0且≠1：（得）且（得）；
真數(shù)>0：的判別式，恒正。
綜上，（因底數(shù)=1舍去）。
2.答案：A
解析：指數(shù)與對(duì)數(shù)互化核心公式：若（），則。
由，直接得，故A正確；其他選項(xiàng)均不符合互化規(guī)則。
3.答案：C
解析：將對(duì)數(shù)化為指數(shù)形式：
底數(shù)為，對(duì)數(shù)值為4，故；
化簡(jiǎn)得，結(jié)合底數(shù)條件且（），解得。
4.答案：D
解析：根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則（、）逐一判斷：
A：是對(duì)數(shù)乘積≠（對(duì)數(shù)加法），錯(cuò)誤；
B：，錯(cuò)誤；
C：對(duì)數(shù)真數(shù)不能為負(fù)，、無(wú)意義，錯(cuò)誤；
D：，正確。
5.答案：D
解析：將目標(biāo)式化為以2為底的指數(shù)冪，結(jié)合已知條件變形：
由得；
由得，即，故，，；
目標(biāo)式：。
6.答案：B
解析：對(duì)數(shù)相等需滿(mǎn)足“真數(shù)相等且均為正”：
真數(shù)相等：，即，解得或；
真數(shù)為正：（得或）且（得）；
綜上，（因舍去）。
二、多選題
7.答案：AC
解析：根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)互化規(guī)則（）判斷：
A：，正確；
B：（而非2），對(duì)應(yīng)，錯(cuò)誤；
C：，正確；
D：（而非），錯(cuò)誤。
8.答案：AD
解析：由得，由得，由得：
A：，正確；
B：，錯(cuò)誤；
C：，錯(cuò)誤；
D：，，故，正確。
9.答案：AC
解析：由、，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算法則：
A：，正確；
B：，錯(cuò)誤；
C：，正確；
D：，錯(cuò)誤。
三、填空題
10.答案：5
解析：由外向內(nèi)逐層求解：
若，則（對(duì)數(shù)為0時(shí)真數(shù)=1），故；
若，則。
11.答案：1
解析：用換底公式統(tǒng)一底數(shù)（）：
原方程化為：；
由對(duì)數(shù)加法法則：，故；
解方程，得或；
檢驗(yàn)：（真數(shù)）、且（底數(shù)），故（舍去）。
12.答案：963
解析：利用對(duì)數(shù)估算位數(shù)：若（），則的位數(shù)為。
設(shè)，則；
故，的位數(shù)為。
四、解答題
13.解：(1)原式 = .
(2)方法一：
原式 = .
方法二：
原式 = .
(3)原式 = .
14. 解： (1) 用換底公式（）：
(2) 分步化簡(jiǎn)每一項(xiàng)：
；
；
；
；
合并計(jì)算：
15. 解： (1) 對(duì)數(shù)=1時(shí)，真數(shù)=底數(shù)且底數(shù)>0≠1、真數(shù)>0：
真數(shù)=底數(shù)：，化簡(jiǎn)得，解得或；
檢驗(yàn)條件：
底數(shù)且：得且；
真數(shù)：得或；
篩選：（底數(shù)=-1<0，舍去），（符合所有條件）。
故方程的解為。
(2) 利用對(duì)數(shù)加法法則（）：
右邊合并：；
對(duì)數(shù)相等→真數(shù)相等：；
換元：設(shè)，方程化為；
解方程：或，即（得）或（得）。
故方程的解為或。
(3) 換底公式統(tǒng)一底數(shù)為2：
；
；
換元：設(shè)，方程化為；
化簡(jiǎn)求解：→，解得或；
回代：（得），（得）。
故方程的解為或。
(4) 分絕對(duì)值正負(fù)討論，換元簡(jiǎn)化：
換元：設(shè)，則，方程化為；
分類(lèi)討論：
當(dāng)時(shí)，，方程變?yōu)椤?br/>解得（舍去，因），故→；
當(dāng)時(shí)，，方程變?yōu)椤?br/>正根為（舍去，因）；
綜上，方程的解為。

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