資源簡介

(共51張PPT)
13.1 基本立體圖形
13.1.1 棱柱、棱錐和棱臺
探究點一 棱柱、棱錐、棱臺的結構特征
探究點二 多面體的識別和判斷
探究點三 棱柱、棱錐、棱臺的畫法
探究點四 多面體的平面展開圖
【學習目標】
1.理解棱柱、棱錐、棱臺的結構特征.
2.了解棱柱、棱錐、棱臺的底面、側棱、側面、頂點的意義.
知識點一 棱柱
1.棱柱的相關概念
名稱 定義 圖形及表示 相關概念
棱柱 一般地，由一個 平面多邊形沿某 一方向平移形成 的空間圖形叫作 棱柱 底面：平移起止位置
的兩個面；
側面：多邊形的邊平
移所形成的面；
側棱：相鄰側面的公
共邊
2.棱柱的分類
按底面多邊形的邊數來分，底面為三角形、四邊形、五邊形……的
棱柱分別稱為三棱柱、四棱柱、五棱柱……
3.棱柱的特點
棱柱的兩個底面是全等的多邊形且其對應邊互相平行，側面都是平
行四邊形.
【診斷分析】
1.判斷正誤.（正確的打“√”，錯誤的打“×”）
（1）棱柱的側棱長相等，側面都是平行四邊形.( )
√
[解析] 正確，由棱柱的定義可知，棱柱的側棱相互平行且相等，所
以側面均為平行四邊形.
（2）上、下底面是菱形，各側面是全等的正方形的四棱柱一定是正
方體.( )
×
[解析] 不正確，上、下底面是菱形，各側面是全等的正方形的四棱
柱不一定是正方體.
2.觀察螺栓頭部模型（如圖所示的六棱柱）,它有多少個頂點？多少
條棱？多少個面？能作為棱柱底面的有幾對
解：因為螺栓頭部模型為六棱柱，所以它有12個頂點，18條棱，
8個面，其中能作為棱柱底面的只有1對.
知識點二 棱錐
1.棱錐的相關概念
名稱 定義 圖形及表示 相關概念
棱錐 當棱柱的一個 底面收縮為一 個點時，得到 的空間圖形叫 作棱錐 底面：多邊形；
側面：有一個公共頂點的
三角形；
側棱：相鄰側面的公共
邊；
頂點：由棱柱的一個底面
收縮而成
2.棱錐的分類：按底面多邊形的邊數分為三棱錐、四棱錐、五棱
錐、….
3.棱錐的特點：棱錐的底面是多邊形，側面是有一個公共頂點的三角形.
知識點三 棱臺
1.棱臺的相關概念
名稱 定義 圖形及表示 相關概念
棱臺 用一個平行 于棱錐底面 的平面去截 棱錐，截面 和底面之間 的部分稱為 棱臺 上底面：平行于棱錐底面的
截面；
下底面：原棱錐的底面；
側面：其余各面；
側棱：相鄰側面的公共邊；
頂點：側棱與上、下底面的
公共點
2.棱臺的分類
由三棱錐、四棱錐、五棱錐、…截得的棱臺分別叫作三棱臺、四棱
臺、五棱臺、….
3.棱臺的特點：棱臺的兩個底面是相似的多邊形，側面都是梯形，側
棱延長后相交于一點.
【診斷分析】
判斷如圖所示的空間圖形是不是棱錐，為什么？
解：該空間圖形不是棱錐．因為棱錐的定義中要求各側面有一個公
共頂點，但該空間圖形的側面與側面 沒有公共頂點，所以
該空間圖形不是棱錐．
知識點四 多面體
定義：由若干個平面多邊形圍成的空間圖形叫作多面體.
多面體有幾個面就稱為幾面體，如三棱錐是四面體.
探究點一 棱柱、棱錐、棱臺的結構特征
例1（1） （多選題）下列關于棱柱的說法正確的是( )
A.棱柱的兩個底面一定平行
B.棱柱至少有五個面
C.有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體一定是棱柱
D.長方體是四棱柱
√
√
√
[解析] 對于A，由棱柱的定義可得棱柱的兩個底面一定平行，A正確；
對于B，三棱柱是最簡單的棱柱，三棱柱有五個面，
則棱柱至少有五個面,B正確；
對于C，如圖所示的幾何體滿足有兩個面互相平行，
其余各面都是平行四邊形，但該幾何體不是棱柱，C錯誤；
對于D，顯然長方體是四棱柱，D正確.故選 .
（2）（多選題）下列說法中，正確的是( )
A.棱錐的各個側面都是三角形
B.有一個面是多邊形，其余各面都是三角形，由這些面圍成的幾何
體是棱錐
C.四面體的任何一個面都可以作為棱錐的底面
D.棱臺的側面是等腰梯形
√
√
[解析] 對于A，由棱錐的定義知，棱錐的各個側面都是三角形，
故A正確；
對于B，有一個面是多邊形，其余各面都是三角形，如果這些三角形
沒有一個公共頂點，那么這個幾何體就不是棱錐，故B錯誤；
對于C，四面體就是由4個三角形所圍成的封閉幾何體，因此以四面體
的任何一個面作底面的幾何體都是三棱錐，故C正確；
對于D，根據棱臺的定義，棱臺的各個側面都是梯形，棱臺的側棱長
可能不相等，故D錯誤.故選 .
變式 [2024·廣東佛山高一期中] 下列說法錯誤的是( )
A.有一個面是平行四邊形的棱錐一定是四棱錐
B.棱臺的各側棱延長線必交于一點
C.用一個平面去截棱錐，底面與截面之間的部分是棱臺
D.棱柱的側棱都相等，側面都是平行四邊形
√
[解析] 對于A，有一個面是平行四邊形的棱錐一定是四棱錐，
故A中說法正確；
對于B，根據棱臺的定義可得，棱臺的各側棱延長線必交于一點，
故B中說法正確；
對于C，用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間
的部分是棱臺，故C中說法錯誤；
對于D，棱柱的側棱都相等，側面都是平行四邊形，故D中說法正確.
故選C.
［素養小結］
辨析棱柱、棱錐、棱臺的結構特征主要抓住以下幾個方面:（1）底
面的形狀,底面間的平行關系;（2）側棱的相等關系、側棱間的平行
關系;（3）側面的形狀,側面間的平行關系等.
探究點二 多面體的識別和判斷
例2 如圖,已知長方體 .用平
面 把這個長方體分成兩部分后,各部分形
成的幾何體還是棱柱嗎 如果是,是幾棱柱 如果
不是,說明理由.
解：截面上方的部分是三棱柱,
其中 和 是底面.
截面下方的部分是四棱柱,
其中四邊形 和四邊形 是底面.
變式 （多選題）[2024·江蘇無錫高一期中] 在正方體
中，，分別在棱， 上，且
，，過， 的平面將正方體
截成兩部分，則所得幾何體可能是( )
A.三棱錐 B.三棱柱 C.三棱臺 D.四棱柱
√
√
√
[解析] 如圖①，連接,，則平面 截
正方體可得三棱錐，
故A正確；
如圖②，過 作，交于，
過作，交于，連接 ，
則平面截正方體
可得三棱柱 ，故B正確；
如圖③，延長至，連接,，分別與
,交于 ,，連接，則平面截
正方體 可得三棱臺 ，
故C正確；
將正方形 分成一個三角形和一個五邊形，
所以不可能得到四棱柱.故選 .
［素養小結］
解答此類問題的關鍵是正確掌握棱柱、棱錐、棱臺的幾何特征,在利
用幾何體的概念進行判斷時,要緊扣定義,注意幾何體間的聯系與區別.
不要認為底面就一定是所給圖中位于上下位置的面.
探究點三 棱柱、棱錐、棱臺的畫法
例3 畫一個三棱柱和一個四棱錐.
解：畫三棱柱可分為以下三步完成:
第一步，畫上底面，畫一個三角形;
第二步，畫側棱，從三角形的每一個頂點畫平行且相等的線段;
第三步，畫下底面，順次連接這些線段的另一個端點.如圖所示.
畫四棱錐可分為以下兩步完成:
第一步，畫底面，畫一個四邊形；
第二步，畫側棱，在四邊形的上方任取一個點，
順次連接該點與四邊形的四個頂點.如圖所示.
變式 畫一個六面體：
（1）使它是一個四棱柱；
解：如圖①所示.
（2）使它是由兩個三棱錐組成的；
解：如圖②所示.
（3）使它是五棱錐.
解：如圖③所示.
［素養小結］
在平面幾何圖形中，虛線表示作的輔助線，但在空間圖形中，虛線
表示被遮擋的線.在空間圖形中作輔助線時，被遮擋的線作成虛線.
探究點四 多面體的平面展開圖
例4 請畫出如圖所示的幾何體的表面展開圖.
解：展開圖如圖所示.（答案不唯一）
例5 如圖是空間幾何體的展開圖，請問各是什么空間幾何體？
解：將空間幾何體還原，如圖所示. 是六棱柱.
解：是五棱錐.
解：是三棱臺.
變式（1） 如圖所示,不是各棱長都相等的三棱錐的展開圖的是
( )
A.①③ B.②④ C.③④ D.①②
[解析] 可選擇陰影三角形作為底面進行折疊,發現①②可折成三棱錐,
③④不論選哪一個三角形作底面折疊都不能折成三棱錐.故選C.
√
（2）如圖,,, 是一個無蓋的正方體盒子展開后的平
面圖上的點,則在正方體盒子中, ( )
A. B. C. D.
[解析] 根據展開圖復原幾何體，如圖，連接 ，
易知，， 分別為三個全等的正方形的對
角線，所以，所以 是等邊
三角形，所以，故選C.
√
［素養小結］
（1）繪制多面體的表面展開圖要結合多面體的幾何特征,發揮空間想
象能力或者親手制作多面體模型.在解題過程中,常常給多面體的頂點
標上字母,先把多面體的底面畫出來,再依次畫出各側面,便可得到其表
面展開圖.
（2）由展開圖復原幾何體:通常給出多面體的表面展開圖來判斷是由哪
一個多面體展開得到的,求解時可把上述過程逆推.同一個幾何體的表面
展開圖可能是不一樣的,也就是說,一個多面體可有多個表面展開圖.
拓展 [2024·安徽淮南高一期中] 如圖，底面為正方
形的四棱錐 中，四條側棱相等，且
，，分別為棱和 上的點，
，，處有只螞蟻欲沿該四棱錐的側面爬行到 處，求螞
蟻爬行的最短距離.
解：將與 展開到同一平面內，如圖所示，
連接，則 的長即為所求最短距離.
因為底面為正方形的四棱錐 中，四條
側棱相等，且，所以四棱錐 的
所有的棱長都相等，故與 均為等邊三角形.
在中，，， ，由余弦定理得
，可得 ，所以螞蟻爬行的最短距離為 .
1.關于棱柱的辨析
棱柱的定義有以下兩個要點,缺一不可:①有兩個平面（底面）互相平
行;②其余各面（側面）每相鄰兩個面的公共邊（側棱）都互相平行.
求解與棱柱相關的問題時,首先看是否有兩個平行的面作為底面,再看
是否滿足其他特征.
2.棱錐、棱臺結構特征問題的判斷方法
（1）舉反例法
結合棱錐、棱臺的定義舉反例直接說明關于棱錐、棱臺結構特征的
某些說法不正確.
（2）直接法
棱錐 棱臺
定底面 只有一個面是多邊形,此面 即為底面 兩個互相平行的面,即為底
面
看側棱 相交于一點 延長后相交于一點
因此,解決棱臺問題的一種方法是:將有關棱臺的問題轉化為棱錐的問
題解決（即“還臺為錐”）.
3.對于多面體的結構特征要從其反映的幾何體的本質去把握.
棱柱、棱錐、棱臺是不同的多面體,但它們之間也有聯系,棱柱可以看
成是上、下底面全等的棱臺,棱錐又可以看成是一個底面縮為一點的
棱臺,即:
4.正棱錐的性質
（1）各側棱相等,各側面都是全等的等腰三角形.各等腰三角形底邊
上的高相等,叫作正棱錐的斜高.
（2）正棱錐的高、斜高和斜高在底面內的射影
組成一個直角三角形;正棱錐的高、側棱、側棱
在底面內的射影也組成一個直角三角形.（如圖所示）
1.掌握多面體中棱柱、棱錐、棱臺的空間結構特征,關鍵是弄清底面
形狀與側棱的特點.棱柱的側棱相互平行;棱錐的側棱交于一點;棱臺
的側棱的延長線交于一點.
例1 寫出集合{四棱柱}{正四棱柱}{平行六面體}{直平行六面體}{長
方體}{正方體}之間的關系.
解：{四棱柱平行六面體直平行六面體長方體 正
四棱柱 正方體}.
例2 斜四棱柱的側面中矩形的個數最多為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 因為在斜四棱柱的底面中最多有一組對邊和側棱垂直,所以斜四
棱柱的側面中最多有2個側面為矩形,且這兩個側面為相對的面,故選B.
√
2.空間幾何體側面上兩點間的最短距離問題常常轉化為求平面上兩點間
的最短距離問題,先把側面展開成平面圖形,再用平面幾何的知識來解決.
例3 在長方體中,,,,則從點
出發沿表面運動到點 的最短路線長是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 沿長方體的棱展開,使得點A, 展開后在同一個平面上,連接 .
展開情況有三種：如圖①,圖②,圖③.
在圖①中, ;
在圖②中, ;
在圖③中,.
由 知點A到點的最短
路徑長為 .故選C.第13章　立體幾何初步
13.1　基本立體圖形
13.1.1　棱柱、棱錐和棱臺
【課前預習】
知識點一
診斷分析
1.(1)√　(2)×　[解析] (1)正確,由棱柱的定義可知,棱柱的側棱相互平行且相等,所以側面均為平行四邊形.
(2)不正確,上、下底面是菱形,各側面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方體.
2.解:因為螺栓頭部模型為六棱柱,所以它有12個頂點,18條棱,8個面,其中能作為棱柱底面的只有1對.
知識點三
診斷分析
解:該空間圖形不是棱錐.因為棱錐的定義中要求各側面有一個公共頂點,但該空間圖形的側面ABC與側面CDE沒有公共頂點,所以該空間圖形不是棱錐.
【課中探究】
探究點一
例1　(1)ABD　(2)AC　[解析] (1)對于A,由棱柱的定義可得棱柱的兩個底面一定平行,A正確;對于B,三棱柱是最簡單的棱柱,三棱柱有五個面,則棱柱至少有五個面,B正確;對于C,如圖所示的幾何體滿足有兩個面互相平行,其余各面都是平行四邊形,但該幾何體不是棱柱,C錯誤;對于D,顯然長方體是四棱柱,D正確.故選ABD.
(2)對于A,由棱錐的定義知,棱錐的各個側面都是三角形,故A正確;對于B,有一個面是多邊形,其余各面都是三角形,如果這些三角形沒有一個公共頂點,那么這個幾何體就不是棱錐,故B錯誤;對于C,四面體就是由4個三角形所圍成的封閉幾何體,因此以四面體的任何一個面作底面的幾何體都是三棱錐,故C正確;對于D,根據棱臺的定義,棱臺的各個側面都是梯形,棱臺的側棱長可能不相等,故D錯誤.故選AC.
變式　C　[解析] 對于A,有一個面是平行四邊形的棱錐一定是四棱錐,故A中說法正確;對于B,根據棱臺的定義可得,棱臺的各側棱延長線必交于一點,故B中說法正確;對于C,用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐,截面和底面之間的部分是棱臺,故C中說法錯誤;對于D,棱柱的側棱都相等,側面都是平行四邊形,故D中說法正確.故選C.
探究點二
例2　解:截面BCFE上方的部分是三棱柱BEB1-CFC1,其中△BEB1和△CFC1是底面.
截面BCFE下方的部分是四棱柱ABEA1-DCFD1,其中四邊形ABEA1和四邊形DCFD1是底面.
變式　ABC　[解析] 如圖①, 連接DE,DF,則平面DEF截正方體ABCD-A1B1C1D1可得三棱錐D-D1EF,故A正確; 如圖②,過E作EG∥D1D,交AD于G,過F作FH∥D1D,交CD于H,連接GH,則平面EFHG截正方體ABCD-A1B1C1D1可得三棱柱D1EF-DGH,故B正確;如圖③,延長D1D至P,連接PE,PF,分別與AD,CD交于M,N,連接MN,則平面EFNM截正方體ABCD-A1B1C1D1可得三棱臺DMN-D1EF,故C正確; EF將正方形A1B1C1D1分成一個三角形和一個五邊形,所以不可能得到四棱柱.故選ABC.
探究點三
例3　解:(1)畫三棱柱可分為以下三步完成:第一步,畫上底面,畫一個三角形;第二步,畫側棱,從三角形的每一個頂點畫平行且相等的線段;第三步,畫下底面,順次連接這些線段的另一個端點.如圖所示.
(2)畫四棱錐可分為以下兩步完成:第一步,畫底面,畫一個四邊形;第二步,畫側棱,在四邊形的上方任取一個點,順次連接該點與四邊形的四個頂點.如圖所示.
變式　解:(1)如圖①所示.
(2)如圖②所示.
(3)如圖③所示.
探究點四
例4　解:展開圖如圖所示.(答案不唯一)
例5　解:將空間幾何體還原,如圖所示.
(1)是六棱柱;(2)是五棱錐;(3)是三棱臺.
變式　(1)C　(2)C　[解析] (1)可選擇陰影三角形作為底面進行折疊,發現①②可折成三棱錐,③④不論選哪一個三角形作底面折疊都不能折成三棱錐.故選C.
(2)根據展開圖復原幾何體,如圖,連接CA,易知AB,BC,CA分別為三個全等的正方形的對角線,所以AB=BC=CA,所以△ABC是等邊三角形,所以∠ABC=60°,故選C.
拓展　解:將△PAB與△PBC展開到同一平面內,如圖所示,連接EF,則EF的長即為所求最短距離.
因為底面為正方形的四棱錐P-ABCD中,四條側棱相等,且PA=AB,所以四棱錐P-ABCD的所有的棱長都相等,故△PAB與△PBC均為等邊三角形
在△PEF中,PE=3,PF=6,∠EPF=120°,
由余弦定理得EF2=PE2+PF2-2PE·PF·cos∠EPF=9+36-2×3×6×=63,可得EF=3,
所以螞蟻爬行的最短距離為3.第13章　立體幾何初步
13.1　基本立體圖形
13.1.1　棱柱、棱錐和棱臺
1.D　[解析] 四棱錐共有八條棱,故A錯誤;五棱錐共有六個面,故B錯誤;六棱錐的頂點有七個,故C錯誤;七棱錐的底面是七邊形,故D正確.故選D.
2.B　[解析] 根據棱柱的概念及幾何特征可得選項B為棱柱,選項A,C,D均不為棱柱.故選B.
3.C　[解析] 根據棱臺的定義,用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐,截面與底面之間的部分叫作棱臺,∴棱臺的兩底面是相似多邊形,側面都是梯形,側棱延長后交于一點,故棱臺具備A,B,D中的性質,不一定具備C中的性質,故選C.
4.D　[解析] 對于選項A,長方體的相對側面也互相平行,故A錯誤;對于選項B,其余各面的邊延長后不一定交于一點,故B錯誤;對于選項C,當棱錐的各個側面共頂點的角的角度之和是360°時,各側面構成平面圖形,故這個棱錐不可能為六棱錐,故C錯誤;對于選項D,顯然存在所有棱長都相等的棱柱,故D正確.故選D.
5.B　[解析] 把正方體還原如圖,則上面是九,下面是市,左面是縣,右面是聯,前面是考,后面是區.故選B.
6.D　[解析] 如圖,在五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1中,從頂點A出發的對角線有2條,為AC1,AD1.同理從點B,C,D,E出發的對角線均有2條,則共有2×5=10(條)對角線.故選D.
7.B　[解析] 設長方體中過同一個頂點的三條棱的長分別為a,b,c,則ab=8,bc=12,ac=24,可得a=4,b=2,c=6,∴長方體的最短棱的長為2,則長方體可削成最大的正方體的棱長為2,∴各棱長均相等的四面體的棱長的最大值為正方體的面對角線的長,即為2.故選B.
8.ABC 　[解析] 對于A,B,四棱柱、四棱臺都有2個底面,4個側面,共6個面,它們都是六面體,A,B正確;對于C,五棱錐有1個底面,5個側面,共6個面,是六面體,C正確;對于D,六棱錐有1個底面,6個側面,共7個面,不是六面體,D不正確.故選ABC.
9.ACD　[解析] 作出正方體ABCD-A1B1C1D1,如圖所示,連接A1B,D1C,四邊形A1BCD1是矩形,故選項A正確;若4個頂點共面,則是平行四邊形的4個頂點,不可能是梯形的4個頂點,故選項B錯誤;連接B1A,B1C,B1D1,AC,AD1,四面體B1-ACD1的四個面均是等邊三角形,故選項C正確;連接BD,BD1,四面體D1-BCD的四個面均是直角三角形,故選項D正確.故選ACD.
10.12　[解析] 一個棱柱有10個頂點,則該棱柱為五棱柱,共有5條側棱,且側棱長都相等,故每條側棱長為=12(cm).
11.3　[解析] 由棱錐、棱臺的性質可知,棱臺的上、下底面相似.又因為上、下底面的面積之比為1∶4,所以上、下底面的對應邊之比為1∶2,所以截去的小棱錐與原大棱錐的高之比為1∶2,則棱臺的高是3 cm.
12.4　[解析] 由題意知△AOB,△BOC,△COD是全等的等腰三角形.如圖,將△AOB,△BOC,△COD展開到同一平面內,連接AD,則AE+EF+FD的最小值為AD.在△OAD中,OA=OD=4,∠AOD=3×30°=90°,則AD=OA=4,所以AE+EF+FD的最小值為4.
13.解:(1)如圖①所示,三棱錐A1-AB1D1符合題意(答案不唯一).
(2)如圖②所示,三棱錐B1-ACD1符合題意(答案不唯一).
(3)如圖③所示,三棱柱A1B1D1-ABD符合題意(答案不唯一).
14.解:(1)不對.水面的形狀就是用一個與棱(傾斜時固定不動的棱)平行的平面截長方體時截面的形狀,
因而可以是矩形,但不可能是其他非矩形的平行四邊形.
(2)不對.水的形狀就是用一個與棱(傾斜時固定不動的棱)平行的平面將長方體截去一部分后,剩余的幾何體,此幾何體是棱柱,不可能是棱臺或棱錐.
15.B　[解析] 還原該多面體,如圖.由圖可知,該多面體有7個頂點.故選B.
16.解:(1)根據題意得,四面體的棱數a=6,正八面體的頂點數b=6.
∵4+4-6=2,8+6-12=2,6+8-12=2,20+12-30=2,∴頂點數(V)、面數(F)、棱數(E)之間存在的關系式是V+F-E=2.
(2)由(1)可知,V+F-E=2,∵一個多面體的面數比頂點數小8,且有30條棱,∴V+V-8-30=2,解得V=20,故這個多面體的頂點數為20.
(3)∵有48個頂點,每個頂點處都有3條棱,兩點確定一條直線,∴共有48×3÷2=72(條)棱.設該多面體的面數為F,則48+F-72=2,解得F=26,∴x+y=26.第13章　立體幾何初步
13.1　基本立體圖形
13.1.1　棱柱、棱錐和棱臺
【學習目標】
　　1.理解棱柱、棱錐、棱臺的結構特征.
　　2.了解棱柱、棱錐、棱臺的底面、側棱、側面、頂點的意義.
◆ 知識點一　棱柱
1.棱柱的相關概念
名稱 定義 圖形及表示 相關概念
棱柱 一般地,由一個平面多邊形沿某一方向平移形成的空間圖形叫作棱柱 圖中的六棱柱可記作棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F' 底面:平移起止位置的兩個面; 側面:多邊形的邊平移所形成的面; 側棱:相鄰側面的公共邊
2.棱柱的分類
按底面多邊形的邊數來分,底面為三角形、四邊形、五邊形……的棱柱分別稱為三棱柱、四棱柱、五棱柱……
3. 棱柱的特點
棱柱的兩個底面是全等的多邊形且其對應邊互相平行,側面都是平行四邊形.
【診斷分析】 1.判斷正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)棱柱的側棱長相等,側面都是平行四邊形. (　 )
(2)上、下底面是菱形,各側面是全等的正方形的四棱柱一定是正方體. (　 )
2.觀察螺栓頭部模型(如圖所示的六棱柱),它有多少個頂點 多少條棱 多少個面 能作為棱柱底面的有幾對
◆ 知識點二　棱錐
1.棱錐的相關概念
名稱 定義 圖形及表示 相關概念
棱錐 當棱柱的一個底面收縮為一個點時,得到的空間圖形叫作棱錐 圖中的四棱錐可記作棱錐S-ABCD 底面:多邊形; 側面:有一個公共頂點的三角形; 側棱:相鄰側面的公共邊; 頂點:由棱柱的一個底面收縮而成
2.棱錐的分類:按底面多邊形的邊數分為三棱錐、四棱錐、五棱錐、….
3.棱錐的特點:棱錐的底面是多邊形,側面是有一個公共頂點的三角形.
◆ 知識點三　棱臺
1.棱臺的相關概念
名稱 定義 圖形及表示 相關概念
棱臺 用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐,截面和底面之間的部分稱為棱臺 圖中的四棱臺可記作棱臺 ABCD-A'B'C'D' 上底面:平行于棱錐底面的截面; 下底面:原棱錐的底面; 側面:其余各面; 側棱:相鄰側面的公共邊; 頂點:側棱與上、下底面的公共點
2.棱臺的分類
由三棱錐、四棱錐、五棱錐、…截得的棱臺分別叫作三棱臺、四棱臺、五棱臺、….
3.棱臺的特點:棱臺的兩個底面是相似的多邊形,側面都是梯形,側棱延長后相交于一點.
【診斷分析】 判斷如圖所示的空間圖形是不是棱錐,為什么
◆ 知識點四　多面體
定義:由若干個平面多邊形圍成的空間圖形叫作多面體.
多面體有幾個面就稱為幾面體,如三棱錐是四面體.
◆ 探究點一　棱柱、棱錐、棱臺的結構特征
例1 (1) (多選題)下列關于棱柱的說法正確的是 (　 )
A.棱柱的兩個底面一定平行
B.棱柱至少有五個面
C.有兩個面互相平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體一定是棱柱
D.長方體是四棱柱
(2)(多選題)下列說法中,正確的是 (　 )
A.棱錐的各個側面都是三角形
B.有一個面是多邊形,其余各面都是三角形,由這些面圍成的幾何體是棱錐
C.四面體的任何一個面都可以作為棱錐的底面
D.棱臺的側面是等腰梯形
變式 [2024·廣東佛山高一期中] 下列說法錯誤的是 (　 )
A.有一個面是平行四邊形的棱錐一定是四棱錐
B.棱臺的各側棱延長線必交于一點
C.用一個平面去截棱錐,底面與截面之間的部分是棱臺
D.棱柱的側棱都相等,側面都是平行四邊形
[素養小結]
辨析棱柱、棱錐、棱臺的結構特征主要抓住以下幾個方面:(1)底面的形狀,底面間的平行關系;(2)側棱的相等關系、側棱間的平行關系;(3)側面的形狀,側面間的平行關系等.
◆ 探究點二　多面體的識別和判斷
例2 如圖,已知長方體ABCD-A1B1C1D1.用平面BCFE把這個長方體分成兩部分后,各部分形成的幾何體還是棱柱嗎 如果是,是幾棱柱 如果不是,說明理由.
變式 (多選題)[2024·江蘇無錫高一期中] 在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別在棱A1D1,C1D1上,且A1E=ED1,C1F=2FD1,過E,F的平面將正方體ABCD-A1B1C1D1截成兩部分,則所得幾何體可能是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.三棱錐 B.三棱柱
C.三棱臺 D.四棱柱
[素養小結]
解答此類問題的關鍵是正確掌握棱柱、棱錐、棱臺的幾何特征,在利用幾何體的概念進行判斷時,要緊扣定義,注意幾何體間的聯系與區別.不要認為底面就一定是所給圖中位于上下位置的面.
◆ 探究點三　棱柱、棱錐、棱臺的畫法
例3 畫一個三棱柱和一個四棱錐.
變式 畫一個六面體:
(1)使它是一個四棱柱;
(2)使它是由兩個三棱錐組成的;
(3)使它是五棱錐.
[素養小結]
在平面幾何圖形中,虛線表示作的輔助線,但在空間圖形中,虛線表示被遮擋的線.在空間圖形中作輔助線時,被遮擋的線作成虛線.
◆ 探究點四　多面體的平面展開圖
例4 請畫出如圖所示的幾何體的表面展開圖.
例5 如圖是空間幾何體的展開圖,請問各是什么空間幾何體
變式 (1)如圖所示,不是各棱長都相等的三棱錐的展開圖的是 (　 )
A.①③ B.②④
C.③④ D.①②
(2)如圖,A,B,C是一個無蓋的正方體盒子展開后的平面圖上的點,則在正方體盒子中,∠ABC= (　 )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
[素養小結]
(1)繪制多面體的表面展開圖要結合多面體的幾何特征,發揮空間想象能力或者親手制作多面體模型.在解題過程中,常常給多面體的頂點標上字母,先把多面體的底面畫出來,再依次畫出各側面,便可得到其表面展開圖.
(2)由展開圖復原幾何體:通常給出多面體的表面展開圖來判斷是由哪一個多面體展開得到的,求解時可把上述過程逆推.同一個幾何體的表面展開圖可能是不一樣的,也就是說,一個多面體可有多個表面展開圖.
拓展 [2024·安徽淮南高一期中] 如圖,底面為正方形的四棱錐P-ABCD中,四條側棱相等,且PA=AB,E,F分別為棱PA和PC上的點,PE=3,PF=6,F處有只螞蟻欲沿該四棱錐的側面爬行到E處,求螞蟻爬行的最短距離.第13章　立體幾何初步
13.1　基本立體圖形
13.1.1　棱柱、棱錐和棱臺
一、選擇題
1.下列關于棱錐的說法正確的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.四棱錐共有四條棱
B.五棱錐共有五個面
C.六棱錐的頂點有六個
D.七棱錐的底面是七邊形
2.[2024·揚州一中高一月考] 下列幾何體為棱柱的是 (　 )
A B C D
3.棱臺不一定具備的性質是 (　 )
A.兩底面相似
B.側面都是梯形
C.側棱都相等
D.側棱延長后交于一點
4.下列說法正確的是 (　 )
A.棱柱的兩個互相平行的面一定是棱柱的底面
B.有兩個面平行且相似,其余各面都是梯形的多面體是棱臺
C.如果一個棱錐的各個側面都是等邊三角形,那么這個棱錐可能為六棱錐
D.存在所有棱長都相等的棱柱
5.[2024·福州高一期中] 如圖所示是一個正方體的表面展開圖,則圖中“九”在正方體中的對面是 (　 )
A.縣 B.市
C.聯 D.考
6.在五棱柱中,不同在同一個側面且不同在同一個底面的兩頂點的連線稱為它的對角線,那么一個五棱柱的對角線條數為 (　 )
A.20 B.15
C.12 D.10
7.有一個長方體木塊,過同一個頂點的三個面的面積分別為8,12,24,現將其削成一個各棱長均相等的四面體,則該四面體的棱長的最大值為 (　 )
A.2 B.2
C.4 D.4
8.(多選題)下列幾何體是六面體的有 (　 )
A.四棱柱 B.四棱臺
C.五棱錐 D.六棱錐
9.(多選題)在正方體的8個頂點中任意選擇4個頂點,它們可能是某些幾何圖形的4個頂點,這些幾何圖形可以是 (　 )
A.矩形
B.等腰梯形
C.每個面都是等邊三角形的四面體
D.每個面都是直角三角形的四面體
二、填空題
10.一個棱柱有10個頂點,所有的側棱長的和為60 cm,則每條側棱長為　　　　 cm.
11.用一個平行于棱錐底面的平面去截這個棱錐,截得的棱臺上、下底面的面積之比為1∶4,且截去的棱錐的高是3 cm,則棱臺的高是　　　　cm.
12.如圖,在四棱錐O-ABCD中,側棱長均為4,且相鄰兩條側棱所成的角均為30°,E,F分別是棱OB,OC上的點,則AE+EF+FD的最小值為　　　　.
三、解答題
13.如圖,試從正方體ABCD-A1B1C1D1的八個頂點中任取若干,連接后構成以下空間幾何體,并且用適當的符號表示出來.
(1)只有一個面是等邊三角形的三棱錐;
(2)四個面都是等邊三角形的三棱錐;
(3)三棱柱.
14.如圖所示,在一個長方體的容器中裝有少量水,現將容器繞著其底部的一條棱傾斜,在傾斜的過程中.
(1)水面的形狀不斷變化,可能是矩形,也可能變成不是矩形的平行四邊形,對嗎
(2)水的形狀也不斷變化,可能是棱柱,也可能變為棱臺或棱錐,對嗎
15.如圖是一個簡單多面體的表面展開圖(沿圖中虛線折疊即可還原),則這個多面體的頂點個數為 (　 )
A.6 B.7
C.8 D.9
16.十八世紀瑞士數學家歐拉證明了簡單多面體中頂點數(V)、面數(F)、棱數(E)之間存在的一個有趣的關系式,被稱為歐拉公式.請你觀察如圖所示的幾種簡單多面體模型,解答下列問題:
(1)根據上面的多面體模型,求表格中a,b的值,并寫出頂點數(V)、面數(F)、棱數(E)之間存在的關系式;
多面體 頂點數(V) 面數(F) 棱數(E)
四面體 4 4 a
長方體 8 6 12
正八面體 b 8 12
正十二面體 20 12 30
(2)一個多面體的面數比頂點數小8,且有30條棱,求這個多面體的頂點數;
(3)某個玻璃飾品的外形是簡單多面體,它的外表是由三角形和八邊形兩種多邊形拼接而成的,且有48個頂點,每個頂點處都有3條棱,設該多面體表面三角形的個數為x,八邊形的個數為y,求x+y的值.

展開更多......

收起↑