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13.2 基本圖形位置關系
13.2.2 空間兩條直線的位置關系
第1課時 平行直線
探究點一 空間中兩條直線的位置關系
探究點二 證明空間中兩直線平行
探究點三 等角定理
【學習目標】
1.掌握空間直線與直線的位置關系的分類與表示.
2.掌握基本事實4和等角定理并能解決一些簡單的相關問題.
知識點一 空間中直線與直線的位置關系
1.異面直線的定義
我們把________________________________叫作異面直線.如圖所示，
直線, 為異面直線.
不同在任何一個平面內的兩條直線
2.空間兩條直線的位置關系
位置關系 共面情況 公共點
相交直線 在______平面內 有且只有____
個公共點
平行直線 在______平面內 沒有公共點
異面直線 不同在__________平面內 沒有公共點
同一
一
同一
任何一個
【診斷分析】
（1）若兩條直線分別在兩個不重合的平面內,則它們是否一定為異面
直線
解：不一定,當兩條直線分別在兩個不重合的平面內時,它們也可能相
交或平行,此時這兩條直線共面,只有當它們既不相交也不平行時才是
異面直線.
（2）異面直線具有傳遞性嗎 即,為異面直線,,為異面直線,則,
為異面直線嗎
解：異面直線不具有傳遞性,, 的位置關系可能是平行,可能是異面,
也可能是相交.
（3）如果一條直線與一個平面相交,那么該直線與這個平面內的直線
的位置關系有幾種
解：有兩種.設直線與平面的交點為,則當平面內的直線不過點 時,
該直線與這個平面內的直線異面;當平面內的直線經過點 時,該直線
與這個平面內的直線相交.
知識點二 平行公理（基本事實4）
基本事實4（平行公理）
（1）文字表述：平行于同一條直線的兩條直線______.
（2）符號表示： ______.
（3）作用:判斷空間兩條直線__________.
平行
是否平行
知識點三 空間中的等角定理
定理 如果空間中一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別______并且方
向______，那么這兩個角______.
平行
相同
相等
【診斷分析】
1.判斷正誤.（正確的打“√”，錯誤的打“×”）
（1）若,且,則 .( )
×
（2）若,且,則 .( )
×
2.當一個角的兩條邊與另一個角的兩條邊分別平行時,這兩個角在什
么情況下相等,在什么情況下互補
解：當兩個角的兩組對邊方向相同或相反時,這兩個角相等;當兩個角
的一組對邊的方向相同,而另一組對邊的方向相反時,這兩個角互補.
探究點一 空間中兩條直線的位置關系
例1 如圖，已知正方體 ，
判斷下列直線的位置關系：
（1）直線與直線 的位置關系是
_______；
平行
（2）直線與直線 的位置關系是
_______；
異面
（3）直線與直線 的位置關系是______；
（4）直線與直線 的位置關系是______.
相交
異面
[解析] 由正方體的性質易知,
，故四邊形為平行四邊形，
故 ，所以（1）應該填“平行”；
直線與直線 相交于點 ，
所以（3）應該填“相交”；
易知直線與直線異面，直線 與直線 異面，
所以（2）（4）都應該填“異面”.
變式 如圖，在正方體 中，
，分別為棱， 的中點，給出以下
四個結論：
①直線與 是相交直線；
②直線與 是平行直線；
③直線與 是異面直線；
④直線與 是異面直線.
其中正確結論的序號是________.
①③④
[解析] 在正方體中，
， 分別為棱， 的中點.
對于①，在平面內，延長與 ，
則它們的延長線交于一點，
即直線與 是相交直線，所以①正確；
對于②，直線與 是異面直線， 不是平行直線，所以②錯誤；
對于③，直線與 是異面直線，所以③正確；
對于④，直線與 是異面直線，所以④正確.
綜上，正確結論的序號是①③④.
探究點二 證明空間中兩直線平行
例2 如圖所示,在三棱錐中,,,,分別是棱,,,
的中點,且,求證:四邊形 是菱形.
證明：在中,,分別是邊, 的中點,
所以是的中位線,即 ,且 .
同理在中,,且 .
由基本事實4可知, ,所以四邊形 是平行四邊形.
同理在中,,且 ,
又,所以 ,所以平行四邊形 是菱形.
變式 已知正方體中，，分別是棱， 的
中點.求證：四邊形 是梯形.
證明：連接 ，如圖.
因為，分別是棱， 的中點，
所以，且 .
因為，且 ，
所以四邊形 為平行四邊形，
所以，且 ，
所以，且 ，所以四邊形 是梯形.
［素養小結］
證明空間兩直線平行,目前有兩種途徑:一是根據基本事實4,找到第三
條直線，證明這兩條直線都與之平行；二是證明這兩條直線在同一
個平面內且無公共點.
探究點三 等角定理
例3 如圖，在正方體 中，
，分別是棱和 的中點.求證：
（1）四邊形 為平行四邊形；
證明：，分別是棱和 的中點，
， 四邊形 為平行四邊形，.
又 ，， 四邊形 是平行四邊形.
（2） .
證明： 方法一：由（1）可得四邊形 是平行四邊形,
.同理,.
又 與 對應邊的方向相同,
.
方法二：由（1）知四邊形 為平行四邊形，
．同理可得四邊形 為平行四邊形，
又, , .
變式 如圖所示,在三棱柱中,,,分別為, 和
的中點.求證: .
證明:因為,分別為,的中點,所以 .
在三棱柱中,且 .
因為,分別為,的中點,
所以 且,
所以四邊形 為平行四邊形,所以 .
由,及與 對應邊的方向相同,
可得 .
［素養小結］
等角定理的結論是相等，在實際應用時，一般是借助于圖形判斷兩
角的兩邊方向是否相同.
拓展 如圖所示，和 的對應頂點的
連線，，交于同一點 ，且
，則 __．
[解析] ，且 ，
，同理 ，
，，同理 ，
且 ， .
1.對異面直線概念的理解
（1）既不平行也不相交.
（2）“不同在任何一個平面內的兩條直線”是指這兩條直線“不能確
定一個平面”,其中的“任何”二字必不可少.
（3）若一條直線與一個平面相交,則這條直線與該平面內不過交點的
直線為異面直線.
2.（1）基本事實4的作用
基本事實4表明了平行線的傳遞性,它可以作為判定兩條直線平行的依
據,同時也給出空間中兩條直線平行的一種證明方法.
（2）剖析“等角定理”
①如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行,并且方向相同,那么
這兩個角相等.
②如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行,并且其中一組方向
相同,另一組方向相反,那么這兩個角互補.
③如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行,并且方向相反,那么
這兩個角相等.
例1 如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原
為正方體，那么線段， 所在直線的位置關系
是______.
異面
[解析] 如圖,把展開圖還原成正方體，
由圖可得直線與 異面.
例2 在如圖所示的正方體中,
, ,,分別是棱,,, 的中點.
求證：（1） ；
證明：連接，，在中，
因為， 分別為， 的中點，所以，
同理 ，
在正方體中，因為 ，，
所以，所以四邊形 是平行四邊形，
所以，所以 .
（2） .
證明： 取的中點，連接, ，因為，，
所以 ，所以四邊形是平行四邊形，所以 .
因為，所以四邊形 是平行四邊形，所以，
所以，同理可證，
又 與兩邊的方向均相反，所以 .13.2.2　空間兩條直線的位置關系
第1課時　平行直線
【學習目標】
　　1.掌握空間直線與直線的位置關系的分類與表示.
　　2.掌握基本事實4和等角定理并能解決一些簡單的相關問題.
◆ 知識點一　空間中直線與直線的位置關系
1.異面直線的定義
我們把　　　　　　　　　　　　　　叫作異面直線.如圖所示,直線a,b為異面直線.
2.空間兩條直線的位置關系
位置關系 共面情況 公共點
相交直線 在　　　　平面內 有且只有　　 個公共點
平行直線 在　　　　平面內 沒有公共點
異面直線 不同在　　　　平面內 沒有公共點
【診斷分析】 (1)若兩條直線分別在兩個不重合的平面內,則它們是否一定為異面直線
(2)異面直線具有傳遞性嗎 即a,b為異面直線,b,c為異面直線,則a,c為異面直線嗎
(3)如果一條直線與一個平面相交,那么該直線與這個平面內的直線的位置關系有幾種
◆ 知識點二　平行公理(基本事實4)
基本事實4(平行公理)
(1)文字表述:平行于同一條直線的兩條直線　　　　.
(2)符號表示: 　　　　.
(3)作用:判斷空間兩條直線　　　　.
◆ 知識點三　空間中的等角定理
定理　如果空間中一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別　　　　并且方向　　　　,那么這兩個角　　　　.
【診斷分析】 1.判斷正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若∠ABC=∠A'B'C',且AB∥A'B',則AC∥A'C'. (　 )
(2)若∠ABC+∠A'B'C'=180°,且AB∥A'B',則AC∥A'C'. (　 )
2.當一個角的兩條邊與另一個角的兩條邊分別平行時,這兩個角在什么情況下相等,在什么情況下互補
◆ 探究點一　空間中兩條直線的位置關系
例1 如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1,判斷下列直線的位置關系:
(1)直線A1B與直線D1C的位置關系是　　　　;
(2)直線A1B與直線B1C的位置關系是　　　　;
(3)直線D1D與直線D1C的位置關系是　　　　;
(4)直線AB與直線B1C的位置關系是　　　　.
變式 如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為棱C1D1,CC1的中點,給出以下四個結論:
①直線DM與CC1是相交直線;
②直線AM與BN是平行直線;
③直線MB1與BN是異面直線;
④直線AM與DD1是異面直線.
其中正確結論的序號是　　　　.
◆ 探究點二　證明空間中兩直線平行
例2 如圖所示,在三棱錐A-BCD中,E,F,G,H分別是棱AC,CD,BD,AB的中點,且AD=BC,求證:四邊形EFGH是菱形.
變式 已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是棱CD,AD的中點.求證:四邊形MNA1C1是梯形.
[素養小結]
證明空間兩直線平行,目前有兩種途徑:一是根據基本事實4,找到第三條直線,證明這兩條直線都與之平行;二是證明這兩條直線在同一個平面內且無公共點.
◆ 探究點三　等角定理
例3 如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分別是棱AD和A1D1的中點.求證:
(1)四邊形M1MBB1為平行四邊形;
(2)∠B1M1C1=∠BMC.
變式 如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N,P分別為A1C1,AC和AB的中點.
求證:∠PNA1=∠BCM.
[素養小結]
等角定理的結論是相等,在實際應用時,一般是借助于圖形判斷兩角的兩邊方向是否相同.
拓展 如圖所示,△ABC和△A'B'C'的對應頂點的連線AA',BB',CC'交于同一點O,且===,則=　　　　. 13.2.2　空間兩條直線的位置關系
第1課時　平行直線
一、選擇題
1.已知空間兩個角α,β,且α與β的兩邊對應平行,若α=60°,則β= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.60° B.120°
C.30° D.60°或120°
2.[2024·江蘇南通期中] 如果直線a和b沒有公共點,那么a與b (　 )
A.共面
B.平行
C.可能平行,也可能異面
D.異面
3.已知a,b,c是空間中的三條相互不重合的直線,則下列說法正確的是 (　 )
A.若a,b與c成等角,則a∥b
B.若a與b相交,b與c相交,則a與c相交
C.若a 平面α,b 平面β,則a,b一定是異面直線
D.若a∥b,b∥c,則a∥c
4.若∠AOB=∠A1O1B1且OA∥O1A1,與的方向相同,則下列結論中正確的是 (　 )
A.OB∥O1B1且與方向相同
B.OB∥O1B1但與方向不同
C.OB與O1B1一定不平行
D.OB與O1B1不一定平行
5.下列四面體中,直線EF與MN平行的是 (　 )
A B C D
6.[2024·河南鄭州一中高一期中] 已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB,AD,D1C1,CC1的中點分別為E,F,G,H,則下列直線中,與平面ACD1和平面BDA1的交線平行的直線是 (　 )
A.GH B.EH C.EG D.FH
7.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分別是棱CC1,BB1,DD1的中點,∠GBC=70°,則∠ED1F=(　 )
A.70° B.20°
C.45° D.30°
8.[2024·湖北華師大一附中高一期中] 下列說法正確的是 (　 )
A.空間中兩條直線的位置關系有三種:平行、垂直和異面
B.若空間中兩條直線沒有公共點,則這兩條直線異面
C.和兩條異面直線都相交的兩條直線是異面直線
D.若兩條直線分別是長方體的相鄰兩個面的對角線所在的直線,則這兩條直線可能相交,也可能異面
9.(多選題)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,l 平面A1B1C1D1,且l與B1C1不平行,則下列情況可能成立的是 (　 )
A.l與AD平行
B.l與AD相交
C.l與AC平行
D.l與BD平行
二、填空題
10.若l1,l2為異面直線,直線l3∥l1,則l3與l2的位置關系是　　　　.
11.如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是梯形,AB∥CD,則圖中一定與∠A1AB相等的角是　　　　　　　　　　.
12.如圖,E,F,G,H分別為空間四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA上的點,且AC=6,BD=4,====,則四邊形EFGH為　　　　.
三、解答題
13.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是CD,CC1的中點,求證:EF∥AB1.
14.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,已知E,F,G分別是AB,BB1,BC的中點,求證:△EFG∽△C1DA1.
15.在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為AA1,CC1的中點,則正方體過點E,F,D1的截面面積為 (　 )
A. B.5
C.2 D.
16.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H,M,N分別是A1B1,B1C1,CC1,AA1,AD,DC的中點.
(1)求證:MN∥EF.
(2)E,F,G,H,M,N六點是否共面 若共面,請加以證明;若不共面,請說明理由.13.2.2　空間兩條直線的位置關系
第1課時　平行直線
【課前預習】
知識點一
1.不同在任何一個平面內的兩條直線
2.同一　一　同一　任何一個
診斷分析
解:(1)不一定,當兩條直線分別在兩個不重合的平面內時,它們也可能相交或平行,此時這兩條直線共面,只有當它們既不相交也不平行時才是異面直線.
(2)異面直線不具有傳遞性,a,c的位置關系可能是平行,可能是異面,也可能是相交.
(3)有兩種.設直線與平面的交點為P,則當平面內的直線不過點P時,該直線與這個平面內的直線異面;當平面內的直線經過點P時,該直線與這個平面內的直線相交.
知識點二
(1)平行　(2)a∥c　(3)是否平行
知識點三
平行　相同　相等
診斷分析
1.(1)×　(2)×
2.解:當兩個角的兩組對邊方向相同或相反時,這兩個角相等;當兩個角的一組對邊的方向相同,而另一組對邊的方向相反時,這兩個角互補.
【課中探究】
探究點一
例1　(1)平行　(2)異面　(3)相交　(4)異面　[解析] 由正方體的性質易知BC∥B1C1∥A1D1,BC=A1D1,故四邊形A1D1CB為平行四邊形,故A1B∥D1C,所以(1)應該填“平行”;直線D1D與直線D1C相交于點D1,所以(3)應該填“相交”;易知直線A1B與直線B1C 異面,直線AB與直線B1C異面,所以(2)(4)都應該填“異面”.
變式　①③④　[解析] 在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為棱C1D1,C1C的中點.對于①,在平面CDD1C1內,延長DM與CC1,則它們的延長線交于一點,即直線DM與CC1是相交直線,所以①正確;對于②,直線AM與BN是異面直線,不是平行直線,所以②錯誤;對于③,直線MB1與BN是異面直線,所以③正確;對于④,直線AM與DD1是異面直線,所以④正確.綜上,正確結論的序號是①③④.
探究點二
例2　證明:在△ABC中,E,H分別是邊AC,AB的中點,所以EH是△ABC的中位線,即EH∥BC,且EH=BC.
同理在△DBC中,FG∥BC,且FG=BC.
由基本事實4可知,EH FG,
所以四邊形EFGH是平行四邊形.
同理在△ADB中,HG∥AD,且HG=AD,
又AD=BC,所以HG=EH,
所以平行四邊形EFGH是菱形.
變式　證明:連接AC,如圖.
因為M,N分別是棱CD,AD的中點,所以MN∥AC,且MN=AC.
因為AA1∥CC1,且AA1=CC1,所以四邊形AA1C1C為平行四邊形,
所以AC∥A1C1,且AC=A1C1,
所以MN∥A1C1,且MN=A1C1,
所以四邊形MNA1C1是梯形.
探究點三
例3　證明:(1)∵M,M1分別是棱AD和A1D1的中點,∴A1M1 AM,∴四邊形A1M1MA為平行四邊形,∴A1A M1M.又∵A1A B1B,∴M1M B1B,∴四邊形M1MBB1是平行四邊形.
(2)方法一:由(1)可得四邊形M1MBB1是平行四邊形,
∴M1B1∥MB.同理,M1C1∥MC.又∠B1M1C1與∠BMC對應邊的方向相同,
∴∠B1M1C1=∠BMC.
方法二:由(1)知四邊形M1MBB1為平行四邊形,
∴B1M1=BM.
同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形,∴C1M1=CM.
又∵B1C1=BC,∴△B1C1M1≌△BCM,
∴∠B1M1C1=∠BMC.
變式　證明:因為P,N分別為AB,AC的中點,所以PN∥BC.
在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC且A1C1=AC.因為M,N分別為A1C1,AC的中點,所以A1M∥NC且A1M=NC,所以四邊形A1NCM為平行四邊形,所以A1N∥MC.
由PN∥BC,A1N∥MC及∠PNA1與∠BCM對應邊的方向相同,可得∠PNA1=
∠BCM.
拓展　　[解析] ∵AA'∩BB'=O,且==,∴AB∥A'B',同理AC∥A'C',BC∥B'C'.∵A'B'∥AB,A'C'∥AC,∴∠BAC=∠B'A'C',同理∠ABC=∠A'B'C',
∴△ABC∽△A'B'C'且==,∴==.13.2.2　空間兩條直線的位置關系
第1課時　平行直線
1.D　[解析] ∵α與β的兩邊對應平行,∴α與β相等或互補,故β=60°或120°.
2.C　[解析] ∵直線a和b沒有公共點,∴直線a與b不相交,∴直線a與b可能平行,也可能異面.故選C.
3.D　[解析] 當a,b與c成等角時,a與b可能相交、平行、異面,故A不正確;當a與b相交,b與c相交時,a與c可能相交、平行、異面,故B不正確;當a 平面α,b 平面β時,a與b可能平行、相交、異面,故C不正確;由基本事實4知D正確.故選D.
4.D　[解析] 如圖,當∠AOB=∠A1O1B1且OA∥O1A1,與的方向相同時,OB與O1B1不一定平行.故選D.
5.C　[解析] 易知在選項A,B,D中,EF與MN為異面直線.在選項C中,EF與MN都和底面與后面的側面的交線平行,由基本事實4可知,EF∥MN.故選C.
6.A　[解析] 如圖所示,設AD1∩A1D=M,AC∩BD=O,連接OM,易知O,M∈平面ACD1,O,M∈平面BDA1,則平面ACD1∩平面BDA1=OM.由正方體的性質可知M,O分別是AD1,AC的中點,所以MO∥CD1,因為G,H分別為D1C1,CC1的中點,所以GH∥CD1,所以GH∥MO,即與平面ACD1和平面BDA1的交線平行的直線是GH.故選A.
7.B　[解析] 連接EF,如圖所示,依題意得EC∥D1G且EC=D1G,所以四邊形ECGD1為平行四邊形,所以GC∥D1E,同理可得GB∥D1F,因為∠ED1F與∠CGB的兩邊分別平行且方向相同,所以∠ED1F=∠CGB.在長方體中,可知BC⊥CG,即∠BCG=90°,
又∠GBC=70°,所以∠ED1F=∠CGB=20°.
8.D　[解析] 對于A,空間中兩條直線的位置關系有三種:平行、相交和異面,故A錯誤;對于B,若空間中兩條直線沒有公共點,則這兩條直線異面或平行,故B錯誤;對于C,和兩條異面直線都相交的兩條直線是異面直線或相交直線,故C錯誤;對于D,如圖,在長方體ABCD-A'B'C'D'中,當A'B所在直線為a,BC'所在直線為b時,a與b相交,當A'B所在直線為a,B'C所在直線為b時,a與b異面,所以若兩條直線分別是長方體的相鄰兩個面的對角線所在的直線,則這兩條直線可能相交,也可能異面,故D正確.故選D.
9.CD　[解析] 假設l∥AD,則由AD∥BC∥B1C1,知l∥B1C1,這與l與B1C1不平行矛盾,∴l與AD不平行,故A不可能成立;∵l在平面A1B1C1D1內,AD在平面ABCD內,∴l與AD無公共點,∴l與AD不相交,故B不可能成立;易知C,D可能成立.故選CD.
10.異面或相交　[解析] 因為l1,l2為異面直線,直線l3∥l1,所以l3與l2的位置關系是異面或相交.
11.∠D1DC,∠A1B1B,∠D1C1C　[解析] 在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB∥CD,AA1∥DD1,因為∠A1AB與∠D1DC的兩邊分別平行且方向相同,所以∠A1AB=∠D1DC.因為四邊形ABB1A1,四邊形DCC1D1均為平行四邊形,所以∠A1B1B=∠A1AB,∠D1C1C=
∠D1DC,所以一定與∠A1AB相等的角是∠D1DC,∠A1B1B,∠D1C1C.
12.菱形　[解析] 因為E,F,G,H分別為空間四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA上的點,且AC=6,BD=4,====,所以EH∥BD∥FG,EF∥AC∥GH,且EH=GF=·BD=,EF=GH=·AC=,所以四邊形EFGH為菱形.
13.證明:連接DC1,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,
易知AD∥B1C1且AD=B1C1,
∴四邊形ADC1B1是平行四邊形,∴AB1∥DC1.
在△CDC1中,∵E,F分別是CD,CC1的中點,
∴EF∥DC1,∴由基本事實4知,EF∥AB1.
14.證明:如圖,連接B1C.
因為G,F分別為BC,BB1的中點,所以FG∥B1C.
在長方體ABCD-A1B1C1D1中,CD∥AB且CD=AB,
A1B1∥AB且A1B1=AB,
由基本事實4知CD∥A1B1且CD=A1B1,
所以四邊形A1B1CD為平行四邊形,所以A1D∥B1C.
又B1C∥FG,所以由基本事實4知A1D∥FG.
同理可證A1C1∥EG,DC1∥EF.
因為∠DA1C1與∠FGE,∠A1C1D與∠GEF的兩邊分別平行且方向相同,所以
∠DA1C1=∠FGE,∠A1C1D=∠GEF,所以△EFG∽△C1DA1.
15.C　[解析] 如圖,連接BE,BF,D1E,D1F,取BB1的中點G,連接GF,GA1,∵A1E∥GB,A1E=GB,∴四邊形A1EBG為平行四邊形,∴GA1∥BE,GA1=BE,∵A1D1∥GF,A1D1=GF,∴四邊形A1D1FG為平行四邊形,∴GA1∥FD1,GA1=FD1,∴BE∥FD1,BE=FD1,∴四邊形BED1F為平行四邊形,即B,E,D1,F四點共面,∴正方體過點E,F,D1的截面為平行四邊形BED1F,又BE=ED1=,∴平行四邊形BED1F為菱形.連接EF,BD1,∵EF=2,BD1=2,∴菱形BED1F的面積S=EF·BD1=×2×2=2.故選C.
16.解:(1)證明:如圖所示,連接AC,A1C1.在△DAC中,∵M,N分別是DA,DC的中點,∴MN∥AC.
在矩形A1ACC1中,AC∥A1C1,
∴由基本事實4可得MN∥A1C1.
在△A1B1C1中,∵E,F分別是A1B1,B1C1的中點,∴EF∥A1C1,
∴由基本事實4可得MN∥EF.
(2)E,F,G,H,M,N六點共面.證明如下:
如圖,連接MF,HG,FG,GN,MH,HE.
在矩形AA1C1C中,∵G,H分別是CC1,AA1的中點,
∴HG∥AC,又MN∥AC,∴由基本事實4得MN∥HG,
∴MN,HG可以確定平面MNGH.
同理,NG,MF可以確定平面NGFM.
∵平面MNGH與平面NGFM均過不共線的三點M,N,G,∴平面MNGH與平面NGFM是同一個平面,
∴F,G,H,M,N共面,設此平面為α.
∵EF,HG可以確定平面EFGH,平面EFGH與平面α均過不共線的三點F,G,H,∴平面EFGH與平面α是同一個平面,∴E,F,G,H,M,N六點共面.

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